8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
1/29
TUGASAN 2
Perkembangan Pelbagai Idea Matematik Adalah Hasil Dari Usaha-Usaha Ahli
Matematik Sepanjang Zaman.Dalam Tugasan Ini,Anda Perlu Mengulangi Usaha-
Usaha eberapa !rang Ahli Matematik Dalam Men"iasat Dan Memperkembangkan
Idea-Idea #alkulus erikut$
IDEA 2: PENENTUAN LUAS BULATAN OLEH ARCHIMEDES
Ar%himedes merupakan salah se&rang ahli matematik berbangsa 'unani "ang
paling terkenal semasa (aman purba. an"ak hasil kerja beliau telah hilang seperti
pen"elidikann"a dan pen%iptaan hebat beliau. Akan tetapi masih ada "ang erja"a
ditinggal iaitu salah satun"a tentang pengukuran luas bulatan "ang dikaitkan
dengan .
Dalam pr&ses menentukan luas bulatan "ang tepat, Ar%himedes telah
menetapkan ) prinsip asas iaitu$
a* +uas p&lig&n dengan sisi n n-g&n* "ang dilukis dalam unit bulatan
menghampiri suatu nilai iaitu pi * apabila nilai n meningkat.
b* +uas p&lig&n "ang dilukis dalam bulatan menghampiri luas bulatan apabila
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
2/29
bilangan sisi p&lig&n meningkat.
%* Perimeter p&lig&n semakin menghampiri lilitan bulatan apabila bilangan sisi
p&lig&n meningkat.
Dengan memenuhi ketiga-tiga prinsip asas ini, luas bulatan "ang di%ari akan
menjadi lebih relean dan tepat. Selain itu, Ar%himedes memastikan penentuan luas
bulatan tidak terpes&ng dengan &rmula asas bulatan iaitu . eliau
men"impulkan baha/a luas bulatan merupakan had kepada luas p&lig&n dalam
bulatan dengan bilangan sisi kepada ininiti *. Pr&ses penentuan luas bulatan
Ar%himedes ini dinamakan sebagai ‘exhaustion’ . Pr&ses penentuan luas bulatan ini
menggunakan kaedah 0s1uaring the %ir%le2 iaitu mengenalpasti p&lig&n "ang
men"amai luas bulatan dengan jejari r*.
Dalam usaha menentukan luas bulatan, Ar%himedes melakukan seban"ak tiga kali
per%ubaan sehinggalah per%ubaann"a mendapat hasil "ang semakin menghampiri
nilai pi *.
PERCUBAAN PERTAMA
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
3/29
3. Ar%himedes menggunakan segi empat sama "ang dilukis dalam bulatan.
eliau memastikan segi empat tersebut sepadan dan bu%u men"entuh
bulatan seperti dalam rajah 3.
Rajah 1: +akaran segi empat sama pada bulatan
4. Ar%himedes melabelkan A5 sebagai diameter iaitu 4r*. manakala panjang A
dan 5 sama kerana A5 membentuk segi tiga sama kaki.
). Ar%himedes meneruskan pen"elidikann"a dengan menggunakan te&rem
Ph"tag&ras bagi men"elesaikan pengiraan tersebut.
6. erikut adalah hukum asas bagi te&rem Ph"tag&ras$
7. 8adikan A 9 5 9 a manakala 5 9 4r. :ilai a di%ari menggunakan te&rem
Ph"tag&ras.
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
4/29
;. Di dapati panjang A dan 5 ialah . Maka luas segi empat pada bulatan
tersebut ialah$
.
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
5/29
Rajah 2: +akaran heksag&n "ang dibahagi kepada segi tiga.
4. Untuk menentukan penghampiran luas bulatan dengan heksag&n,
Ar%himedes telah membahagikan heksag&n kepada enam bahagian segi tiga.
+uas heksag&n han"a b&leh dikira apabila luas segi tiga berja"a diper&lehi.
). Merujuk kepada ?ajah 4, panjang A 9 r. Untuk mengira luas heksag&n, luas
6. segi tiga perlu di%ari terlebih dahulu. 8adikan tinggi sebagai h.
7. 8alan pengiraan ini masih lagi menggunakan te&rem Ph"tag&ras seperti
dalam per%ubaan pertama.
;. Setelah mendapat nilai tinggi segi tiga iaitu , maka luas heksag&n
dalam bulatan dapat ditentukan$
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
6/29
@antikan ke dalam persamaan$
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
7/29
meningkatkan lagi sisi p&lig&n. Ini relean dengan prinsip Ar%himedes "ang
men"atakan =+uas p&lig&n dengan sisi n n-g&n* "ang dilukis dalam unit
bulatan menghampiri suatu nilai iaitu pi * apabila nilai n meningkat>.
4. eliau menentukan luas bulatan menggunakan p&lig&n dengan bilangan
sisin"a ditingkatkan sehingga menjadi sisi n.
). 5&nt&h gambaran per%ubaan ketiga Ar%himedes seperti dalam ?ajah ).
Rajah 3: +akaran sisi p&lig&n "ang ditingkatkan
6. Seperti dalam per%ubaan kedua, luas p&lig&n ini b&leh dikira apabila nilai segi
tiga berja"a diper&leh. Maka, Ar%himedes membahagikan lakaran p&lig&n
tersebut kepada segi tiga seperti dalam ?ajah 6.
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
8/29
Rajah 4: Segi tiga hasil daripada p&lig&n pada bulatan
7. +uas bagi p&lig&n bersisi n adalah n kali luas satu segi tiga. Ia dirumuskan
seperti berikut$
;. ?umus bagi luas p&lig&n bersisi n ini berlaku sedikit perubahan apabila
bilangan n-sisi bertambah. Perubahann"a adalah seperti berikut$
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
9/29
. Selain itu, Ar%himedes juga membuat pen%erapan baha/a sekiran"a p&lig&n
tersebut mempun"ai sisi n, maka setiap segi tiga dikira sebagai daripada
lilitan bulatan. Tambahan daripada itu, tinggi segi tiga, h, juga menghampiri
jejari bulatan, r.
3C.Hasil daripada pen%erapan tersebut, Ar%himedes telah dapat menentukan
luas bulatan seperti berikut$
33. Dalam penentuan luas bulatan, Ar%himedes melibatkan nilai tetap "ang
mana /ujud sebagai nisbah lilitan bulatan kepada diameter bulatan iaitu
.
Hasil daripada ketiga-tiga per%ubaan "ang dilakukan &leh Ar%himedes ini,
beliau dapat men"impulkan baha/a semakin bertambah bilangan segi tiga,
luas p&lig&n akan menghampiri dan memenuhi luas bulatan. Selain itu juga,
kita dapat tahu baha/a penggunaan pi dalam menentukan luas bulatan
sangat berkait rapat di samping penggunaan p&lig&n dan segi tiga. Semakin
meningkat sisi p&lig&n pada bulatan, maka nilai luas semakin menghampiri
nilai sebenar luas bulatan iaitu ).364r 4.
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
10/29
IDEA 3 PARADOKS ZENO DAN PENYELESAIANNYA
Parad&ks Zen& ini dipel&p&ri &leh ahli alsaah @reek iaitu Zen& & la 6C-6)C
SM*. Zen& dilahirkan di Itali dan merupakan sahabat serta pelajar kepada ahli
alsaah Parmenides "ang berusia 47 tahun lebih tua darin"a. Zen& disiatkan
sebagai se&rang ahli alsaah dan ahli l&gikal, bukann"a se&rang ahli matematik.
Pada a/aln"a Zen& telah menulis satu buku parad&ks "ang "ang men"&k&ng
alsaah Parmenide. :amun demikian, buku tersebut tidak dapat bertahan dan
len"ap begitu sahaja kerana idea-idea tersebut bukan berasal daripada
dirin"a sendiri. Hal ini kerana selepas Zen& membuat penemuam ini,ahli alsaah
@reek iaitu Pr&%lus dan Simpli%ius telah memberi k&men dan kritikan terhadap buku
tersebut. Selepas itu, Zen& telah menulis bukun"a "ang bertajukpi%heiremata dan
men"erang pihak-pihak "ang tidak bersependapat dengan gurun"a Parmenides.
Zen& amat dikenali dengan parad&ks-parad&ksn"a. Parad&ks ialah perkara "ang
dianggap benar atau betul tetapi sebenarn"a salah dalam dunia realiti. Pada asaln"a
terdapat sekurang-kurangn"a 6C parad&ks "ang dihasilkan &leh Zen& tetapi han"a
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
11/29
lapan sahaja "ang berkekalan. Zen& telah men%ipta parad&ks-parad&ksn"a kerana
ahli alsaah lain ban"ak mengemukakan parad&ks "ang bertentangan dengan idea
Parmenides. #esemua idea "ang dikemukan adalah untuk membela idea-idea
gurun"a. Parmenides per%a"a baha/a dunia realiti han"alah satu dan tidak berubah.
Pergerakan, perubahan,masa dan pluraliti semuan"a dianggap han"a sebagai ilusi.
#eper%a"aan ini telah memba/a kepada ban"ak kritikan.
Parad&ks ini dinamakan sebagai Dik&t&mi kerana ia melibatkan pengulangan
pembahagian kepada dua. Parad&ks ini bermula apabila Zen& telahmengambil
keputusan untuk berjalan ke sebuah taman setelah penat berikirtentang masalah
"ang dihadapin"a. Di dalam parad&ks dik&t&mi, Zen& memberi hujah baha/a
sesuatu &bjek akan sampai ke jarak tertentu sebelum sampai ke destinasi. Hal ini
disebabkan &leh, beliau mesti sampai 3E4 jarak terlebih dahulu untuk sampai ke
taman. :amun, apabila sampai 3E4 jarak, Zen& masih perlu men"eberangi separuh
baki jarak untuk ke destinasi.Tetapi setelah men"eberangi separuh baki jarak, beliau
mesti meliputi separuh daripada baki baru, dan seterusn"a.
Idea berkenaan dengan parad&ks dik&t&mi ini diterbitkan kerana Zen&
menghadapi masalah untuk mentukan jumlah jarak "ang perlu dilaluin"a untuk
sampai ke destinasi. Setelah berjalan dan berikir berkenaan dengan pergerakan
dan jarak "ang telah dilalui &leh beliau, Zen& telah men"atakan pendapat beliau
tentang jumlah jarak untuk sampai ke destinasin"a adalah tidak terhingga.
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
12/29
Sebagai %&nt&h, jika jarak daripada rumah Zen& ke taman "ang ditujuin"a
adalah 3 batu, beliau mesti meliputi jarak 3E4 batu, 3E6 batu, 3EB batu, 3E3; batu
3E)4 batu, 3E;6 batu dan seterusn"a sehingga jarak tidak terhingga.
8umlah 8arak 9 3E4 batu F 3E6 batu F 3EB batu F 3E3; batu F 3E)4 batu F...9 ininit"
PARADOKS DIKOTOMI
Masalah sesuatu &bjek sampai ke destinasi b&leh dilihat dari perspekti
"ang berbe(a. Menurut ersi regresi daripada parad&ks dik&t&mi, sese&rang
pejalan kaki atau pelari tidak dapat mengambil langkah pertama. Hal ini kerana,
sebelum mengambil langkah penuh, pelari mesti mengambil langkah 3E4, tetapi
sebelum itu dia mesti mengambil langkah 3E6, tetapi sebelum itu satu langkah
3EB, dan sebagain"a. !leh itu, Zen& men"atakan baha/a semua pergerakan
adalah mustahil. uktin"a, jika &bjek b&leh dibahagikan, maka ia sebenarn"a
tidak /ujud.Pern"ataan berkenaan dengan jarak dan pergerakan "ang telah
din"atakan &leh Zen& mengakibatkan Arist&tle iaitu ahli alsaah i(ik menentang
pendapat beliau. Menurut Arist&tle, dik&t&mi adalah mustahil bagi sesuatu &bjek
kerana apabila &bjek bergerak, ia semakin menghampiri destinasi dan masa
"ang diperlukan untuk sampai ke destinasi juga semakin berkurang. !leh itu,
Arist&tle telah men"angkal hujah "ang telah din"atakan &leh Zen& baha/a
sesuatu &bjek tidak dapat men%apai matlamat akhir kerana jumlah jarak "ang
tidak terhingga. #en"ataan ini merupakan satu kesalahan dalam Dik&t&mi.
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
13/29
Arist&tle memberi pendapat baha/a jumlah masa "ang diperlukan untuk sampai
ke destinasi adalah terhingga.Selain itu, ahli Matematik dan alsaah M&den telah
mengemukakan hujah "ang dapat men"angkal prad&ks Zen& ini. Antara hujah "ang
men"angkal pendapat Zen& ini adalah $
a* Urutan 3, 3E4, 3E6, 3EB, dan lain-lain mempun"ai had kepada C.
b* Urutan C.,C..C. dan seterusn"a mempun"ai had "ang menghampiri 3.
%* Apabila kita menulis C.... Ian"a bermaksud had n&mb&r adalah
sehingga ininiti, maka C....G 3.
d* Dalam erti kata lain urutan "ang sebenarn"a akan menghampiri had "ang
kita kehendaki.
8adi realitin"a, jarak "ang terhad memerlukan jumlah masa "ang terhad untuk
bergerak.Pern"ataan "ang telah diberikan &leh Zen& dalam parad&ks dik&t&mi ini
jelas bertentangan dengan dunia realiti. !leh itu, terdapat beberapa ahli alsaah
dan ahli matematik telah mengeluarkan hujah mereka untuk menentang dik&t&mi.
Hujah "ang telah diberikan &leh ahli Matematik dan ahli alsaah ini dapat
diaplikasikan dalam dunia realiti. Sebagai %&nt&h, idea "ang telah dikemukakan
&leh ahli matematik ini dapat dilihat apabila kita ingin menjatuhkan b&la "ang
berada pada ketinggian B meter ke atas lantai. Apabila b&la dijatuhkan, ia akan
memantul pada ketinggian tertentu. &la memantul dengan s"arat r,
Cr3.Dalam situasi ini, nilai r tidak mungkin negati karena tidak mungkin b&la
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
14/29
menembusi lantai. Tambahan pula, nilai r tidak mungkin 3 atau lebih dari 3
kerana akan melanggar hukum dasar i(ik tentang kekekalan tenaga. Pergerakan
b&la untuk sampai ke lantai dapat dibuktikan melalui situasi "ang din"atakan ini $
i. 8umlah gerak maju tak terhingga memberikan rumus seperti berikut $S 9 aE3 r*
i.ii. Te&ri limit rn 9 C jika n menuju tak terhingga dapat kita buktikan dengan
situasi ini.
iii. Perhatikan rumus umum jumlah gerak maju ge&metri.
S 9 a3 rn*E3 r*
i. andingkan dengan kedua-dua rumus gerak maju.
S 9 aE3 r* 9 a3 rn*E3 r*
. Maka 3 9 3 rn rn 9 C Terbukti*.
erdasarkan rumus tersebut, pantulan b&la iaitu r akan menghampiri C. Apabila
Pantulan b&la menghampiri C,b&la tersebut terbukti dapat men%apai matlamatn"a
iaitu men%e%ah lantai.
PARADOKS ACHILLES DAN KURA-KURA
Parad&ks ini men%eritakan hubungan antara jarak dengan masa.Parad&ks ini
ter%etus melalui kisah perlumbaan antara A%hilles dan #ura-kura.A%hilles
merupakan se&rang pahla/an perang (aman 'unani #un& "ang
diagungkan dan menjadi kegilaan ramai /anita. #ura-kura pula sentiasa
dianggap sebagai hai/an "ang sangat lambat pergerakann"a.Dalam perlumbaan ini,
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
15/29
A%hilles berusaha untuk menandingi kura-kura "ang telah merangkak jauh darin"a.
Pada a/al perlumbaan, A%hilles telah membenarkan kura-kura untuk memulakan
perlumbaan dengan jarak jauh, %&nt&hn"a 3CC meter dari dirin"a.
#edua-duan"a berlumba dalam satu jarak "ang lurus dan kelajuan "ang sekata.
A%hilles perlu sampai ke tempat permulaan kura-kura untuk mengejar kura-kura
tersebut. :amun begitu, apabila A%hilles sampai ke tempat permulaan kura-kura,
kura-kura telah pun bergerak ke hadapan. Sebagai %&nt&hn"a, apabila A%hilles telah
berlari sejauh 3CC meter tempat permulaan kura-kura*, kura-kura telah bergerak ke
hadapan dengan jarak "ang lebih pendek, %&nt&hn"a 3C meter.!leh itu, A%hilles
perlu berlari 3C meter lagi untuk sampai ke destinasi kura-kura "ang baharu. Perkara
"ang sama berlaku, iaitu apabila A%hilles sampai ke titik 3C meter tersebut, kura-kura
telah pun bergerak ke tempat baharu "ang jauh lebih ke depan.
?ajah 6 @ambaran perlumbaan antara A%hilles dan #ura-kura
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
16/29
Melalui gambaran tersebut, Zen& mengatakan selepas 3 saat, A%hilles telah pun
sampai ke tempat permulaan kura-kura tetapi kura-kura telah pun berada 7 meter di
hadapan. A%hilles terus mengejar kura-kura sehingga tempat kedua kura-kura tetapi
sekali lagi kura-kura telah bergerak ke hadapan tetapi dengan jarak 4.7 meter ke
hadapan pula. erikutn"a A%hilles masih mengejar untuk sampai ke tempat kura-
kura "ang seterusn"a tetapi kura-kura telah pun bergerak 3.47 meter maju ke
hadapan. Perlumbaan ini berterusan dan setiap kali A%hilles sampai ke tempat kura-
kura, kura-kura telah pun maju ke hadapan dan terus kekal berada di hadapan
A%hilles.
!leh hal demikian, Zen& men"iatkan baha/a A%hilles tidak akan pernah dapat
untuk mengejar kura-kura. Disebabkan &leh bilangan titik "ang perlu A%hilles sampai
adalah ininiti, maka A%hilles tidak berja"a untuk mengejar mahu pun menandingi
kura-kura. Jalaupun jarakn"a semakin menge%il, Zen& tetap mengatakan A%hilles
tidak akan berja"a memintas kura-kura. Dalam parad&ks ini Zen& ingin membuktikan
baha/a ruang dan /aktu adalah berterusanK dan jika ada pergerakan, pergerakan
tersebut adalah seragam.Parad&ks ini turut mendapat perhatian Arist&tle "ang
men"impulkan baha/a =In a ra%e, the 1ui%kest runner %an neer &ertake the
sl&/est, sin%e the pursuer must irst rea%h the p&int /hen%e the pursued started, s&
that the sl&/er must al/a"s h&ld a lead>.
erdasarkan %erita parad&ks "ang dikemukakan, maka Zen& telah membuat
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
17/29
generalisasi hubungan antara masa dan jarak seperti berikut.
8adual tersebut menunjukkan jarak antara A%hilles dan kura-kura "ang
semakin menge%il. =n> dalam persamaan tersebut me/akili tidak terhingga
ininit", L*. Apabila =n> me/akili tidak terhingga maka jarakn"a akan semakin
menghampiri siar. Pern"ataan ini kelihatan benar tetapi jika dibangdingkan
dengan realit" ia adalah tidak l&gik. Hal ini kerana dalam dunia n"ata pasti
A%hilles dapat mengalahkan kura-kura dengan mudah. !leh hal demikian
parad&ks ini dikatakan gagal dibuktikan &leh &rang-&rang 'unani. Parad&ks ini
juga dianggap tidak l&gik.
:amun begitu,kehadiran Isaa% :e/t&n telah membantu untuk men"elesaikan
masalah parad&ks ini. :e/t&n telah membuktikann"a denganmenggunakan kaedah
had limit*. !leh itu, pengiraan dapat dilakukan sehingga =n> men%apai bilangan tidak
terhingga. Persamaan a/al menunjukkan baha/a
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
18/29
Disebabkan persamaan tersebut tidak memb&lehkan kita men%ari limit, maka ia
dimanipulasikan dengan membahagikan masa dengan 4.
!leh itu dikurangkan dengan 4 dengan %ara$
8adi, dengan menggunakan had =n> ialah tidak terhingga,
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
19/29
:&mb&r 4 apabila dibahagi dengan tidak terhingga akan mendekati siar, C.
8adiK
Daripada pengiraan tersebut, dapat disimpulkan baha/a A%hilles mampu
menandinggi kura-kura pada saat "ang kedua. Hal ini kerana A%hilles berlari dengan
kelajuan 3C meter per saat 3Cms-3*, maka selepas dua saat A%hilles akan berada
pada jarak 4C meter. #ura-kura pula bergerak dengan kelajuan 7 meter per saat
7ms-3*. #ura-kura akan bergerak sejauh 3C meter dalam masa dua saat. :amun
begitu, pada a/aln"a kura-kura telah berada 3C meter di hadapan A%hilles.
Pengiraan ini membuktikan baha/a pada saat kedua, A%hilles dan kura-kura berada
pada kedudukan "ang sama. Hal ini bersesuaian dengan dunia n"ata baha/a
A%hilles sememangn"a mudah untuk mengalahkan kura-kura.
PARADOKS ANAK PANAH
Parad&ks Anak Panah ini memerihalkan perkaitan antara ruang pergerakan dengan
masa. Zen& berpendapat baha/a ruang dan masa adalah dua perkara "ang
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
20/29
berjalan seiringan dan tidak b&leh dipisahkan. eliau menegaskan baha/a apabila
terdapat satu &bjek "ang sedang terbang atau bergerak, &bjek tersebut selalun"a
menepati ruang "ang sama besarn"a dengan &bjek tersebut.Zen& berpendirian
baha/a pergerakan bagi sesuatu &bjek itu adalah mustahil. Hal ini kerana, beliau
per%a"a baha/a semua &bjek adalah pegun dan statik pada satu tempat.
5&nt&hn"a, pada suatu ketika, apabila ada satu anak panah sedang dilepaskan
daripada busur dan terbang kearah sasaran, ian"a masih tidak dapat dibe(akan
dengan anak panah lain "ang dalam keadaan rehat atau statik pada kedudukan
"ang sama. Hal ini kerana masa anak panah itudalam keadaan terbang dipanggil
=/aktu sekarang> m&ment & n&/*.Zen& tegas memberikan pendapat dalam
parad&ksn"a baha/a anak panah "ang dilepaskan dari busur untuk menepati
sasarann"a adalah tidak bergerak. Anak panah han"a berhenti setiap saat pada
setiap kedudukann"a.Zen& men"impulkan baha/a anak panah "ang sedang
terbang itu sebenarn"a tidak bergerak melainkan dalam keadaan diam pada setiap
masa di setiap tempat anak panah itu berada. Pergerakan "ang dilihat han"alah ilusi
mata sahaja.
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
21/29
?ajah 7 Perjalanan antara masa dan jarak anak panah "ang sedang terbang.
?ajah menunjukkan anak panah "ang telah dilepaskan dari busur. P ialah garis
permulaan dimana anak panah dilepaskan dari busur manakala adalah garisan
penamat dimana sasaran diletakkan. Selepas anak panah dilepaskan,l&gikn"a, anak
panah akan terbang dari P ke . :amun, Zen& men"atakanbaha/a anak panah
berada dalam keadaan berhenti di setiap tempat anak panah itu berada. Masa A
menunjukkan tempat di mana anak panah bermula.Masa pula menunjukkan
baha/a anak panah sedang berada pada kedudukan N dalam keadaan pegun.
egitu juga dengan pada masa 5, anak panah beradadi kedudukan ', pada masa D
berada di kedudukan Z dan terakhir sekali pada masa anak panah berada di ,
kesemuan"a dalam keadaan pegun.Idea Parad&ks Anak Panah ini diterbitkan
adalah untuk me"angkal perkaitan antara ruang pergerakan dengan masa "ang
diterima umum sebagai berasingan. Zen& "ang bersetuju dengan pendapat gurun"a,
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
22/29
melihat baha/a ruang pergerakan dengan masa adalah tidak b&leh dipisahkan.
eliau per%a"a baha/a satu &bjek tidak b&leh berada di dua tempat pada satu masa
"ang sama.8ika anak panah itu sedang terbang, anak panah tersebut mestilah
berada pada satu tempat pada satu masa sahaja. 8ika anak panah itu berada pada
satu tempat, anak panah itu mestilah berada dalam keadaan pegun atau tidak
bergerak. Sesuatu &bjek "ang dalam keadaan pegun mempun"ai kelajuan CmEs atau
tiada kelajuan.
Tegas Zen&, se%ara l&gikn"a, apabila anak panah berada di satu tempat pada satu
masa tertentu dalam keadaan pegun, maka pergerakan itu tidak terjadi. erdasarkan
alasan ini, Zen& berpendapat baha/a masa dan ruang itu adalah sama dan tidak
b&leh dipisahkan dan masa itu adalah sesuatu "ang han"a berlaku dalam ikiran
sahaja sebagai satu ilusi manusia.#ajian demi kajian telah dilakukan untuk men%ari
kebenaran tentang Parad&ks Anak Panah "ang telah diperkenalkan &leh Zen&.
Mereka %uba untuk berikir %ara Zen& berikir untuk men%ari l&gik mengapa Zen&
menerbitkan idea parad&ks ini. !leh itu, ada langkah pengiraan "ang telah
ditunjukkan bagi membuktikan kebenaran parad&ks ini.
#atakan purata kelajuan anak panah$
Apabila Os dikatakan sebagai jarak "ang terhingga, melalui jangka masa
"ang terhingga, maka tiada jarak "ang dilalui semasa jangka masa ini. !leh itu,
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
23/29
Dengan kata lain, nilai jarak tidak dapat diper&lehi, kerana persamaan "ang
ditunjukkan mempun"ai pen"elesaian "ang unik. !leh kerana itulah Zen&
men"atakan baha/a anak panah itu sebenarn"a berada dalam keadaan pengun di
setiap tempat dan tidak mempun"ai jarak dan masa perjalanan dan ruang
pergerakan dan masa itu berjalan seiringan, tidak b&leh dipisahkan.
Parad&ks ialah satu idea "ang dianggap benar se%ara l&gik namun tidak
se%ara realitin"a. Pengaplikasian idea ini terhadap kehidupan sebenar b&leh
dibuat berdasarkan hujah dan akta idea "ang membuktikan baha/a Parad&ks
Anak Panah ini tidak benar. Hukum "ang membuktikan baha/a pandangan Zen&
terhadap ruang pergerakan dan masa adalah sesuatu "ang tidak dapat dipisahkan
b&leh disangkal melalui$
Distant d* 9 el&%it" * Q Time t*
?ealitin"a, ruang dan masa adalah berasingan. Ini b&leh dibuktikan
melalui pengiraan berikut$
#atakan anak panah "ang terbang pada jarak, d 9 4Cm dalam masa, t 9 6s.
Halaju anak panah$ el&%it" * 9 distant d*
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
24/29
time t* 9 4Cm
6s9 7mEs
Anak panah "ang sedang terbang pada masa 3 saat sebenarn"a
mempun"ai jarak "ang b&leh dikira.distantd* 9 el&%it"* Q timet*
9 7mEs* 3s*
9 7m
Melalui pengiraan "ang ditunjukkan jarak anak panah dalam masa 3 saat
ialah 7 m. Ini sekali gus men"angkal pendapat (en& "ang mengatakan anak
panah "ang sedang terbang itu han"a diam pada setiap tempat anak panah itu
berada dan tidak mempun"ai jarak. Rakta dalam dunia realiti adalah apabila
sesuatu &bjek itu bergerak, pastin"a ada jarak, masa "ang diambil juga kelajuan
&bjek itu bergerak. Pandangan Zen& terhadap ruang dan masa tidak b&leh
dipisahkan han"alah parad&ks semata-mata.
Hukum "ang ditunjukkan adalah berkaitan dengan jarak, kelajuan dan
masa. Untuk men%ari jarak sesuatu &bjek "ang terbang atau bergerak, kelajuan
&bjek itu perlu didarabkan dengan masa "ang diambil untuk &bjek itu sampai ke
destinasin"a. Melalui hukum ini, jelas dibuktikan baha/a masa dan ruang itu
adalah dua benda "ang terpisah. #ita perlu men%ari sekurang-kurangn"a dua
nilai untuk mendapatkan satu nilai "ang di%ari, seperti "ang ditunjukkan dalam
%&nt&h s&alan "ang diberikan. Pengaplikasian hukum ini membuktikan baha/a
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
25/29
anak panah bergerak menuju ke sasaran dalam jarak "ang tertentu, dengan
kelajuan dan masa "ang tertentu. Anak panah bukanlah memenuhi ruang
pergerakan dan diam di setiap tempat anak panah itu berada seperti dak/aan
Zen& dalam parad&ksn"a.
PARADOKS STADIUM / STADION
Parad&ks ini membi%arakan berkenaaan pergerakan &bjek "ang berkedudukan
selari "ang b&leh diilustrasikan sebagai barisan A, dan 5. Zen&
memberikan pendapatn"a baha/a ruang dan masa b&leh dibahagikan jika ada
jumlah "ang pasti. Zen& memberikan bukti baha/a separuh daripada masa
adalah sama dengan dua kali masa. ?ealitin"a adalah ruang dan masa tidak
b&leh dibahagikan. ?ajah diba/ah menunjukkan dengan lebih jelas lagi
mengapa Zen& membuat pen"ataan tersebut dan bagaimana bukti didapati &leh
beliau.
?ajah ;
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
26/29
Pergerakan tiga baris selari A. dan 5.
?ajah 3 menunjukkan tiga baris A, dan 5 sebelum disusun, manakala
?jah dua menunjukkan ketiga-tiga baris A, dan 5 "ang telah bergerak dan
tersusun se%ara selari. ?ajah 3 menunjukkan baha/a baris A adalah dalam
keadaan pegun iaitu tidak bergerak, baris dan 5 bergerak mengikut arah anak
panah dalam keadaan bertentangan antara satu sama lain. Pergerakan baris
dan 5 ini akan men"ebabkan kedudkan ketiga-tiga baris adalah sama dan selari
seperti "ang b&leh dilihat pada ?ajah 4.
Idea ini diterbitkan untuk men"angkal akta baha/a masa dan ruang tidak
b&leh dibahagikan. Zen& berpendapat, ruang dan masa b&leh dibahagikan
melalui pr&ses pergerakan tiga barisan "ang selari dan pengiraan "ang telah
dilakukann"a. Menurut Zen&, untuk kedua-dua baris dan 5 bergerak untuk
berada pada kedudukan seperti "ang ditunjukkan pada ?ajah 4, bahagian
hadapan barisan mestilah melintasi satu bahagian barisan A. Satu bahagian
bermaksud satu jarak dan satu jarak berlaku pada satu unit masa. !leh itu, untuk
barisan perlu bergerak satu jarak ke hadapan untuk men"amakan kedudukan
dengan barisan A. aris 5 pula, perlu melintasi dua bahagian atau jarak baris
untuk men"amakan kedudukan dengan aris A.
!leh itu, melalui pergerakan "ang berlaku antara baris A, dan 5, dapat
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
27/29
disimpulkan baha/a$
Halaju menuju A $ 3s mEs
Halaju 5 menuju A $ 3s mEs
Halaju 5 menuju $ 4s mEs
8arak untuk menghabiskan pergerakan$ 4D m 4 jarakEunit*
!leh itu, /aktu "ang diperlukan untuk menghabiskan pergerakan,
9 4D m
4s mEs
9Dm
s mEs
9 3 unit /aktu s*
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
28/29
Zen& mengemukakan hujahn"a berkenaan dengan ruang dan masa b&leh
dibahagikan melalui pengiraan "ang telah ditunjukkan. ukti separuh daripada
masa adalah sama dengan dua kali masa telah ditunjukkan melalui rajah
pergerakan tiga barisan A, dan 5 supa"a tersusun se%ara selari. ?ealitin"a,
umum menerima baha/a ruang dan masa tidak b&leh dibahagikan.
Pendapat "ang telah din"atakan &leh Zen& iaitu ruang dan masa b&leh
dibahagikan terbukti bertentangan dengan realiti sebenar. Hal ini kerana dalam
dunia sebenar jelas terbukti baha/a ruang dan masa tidak b&leh dibahagikan.
!leh hal demikian, parad&k stadium ini tidak dapat diaplikasikan dalam
kehidupan sebenar kerana ia bertentangan dengan realiti "ang sebenar.
8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK
29/29
TUGASAN 1
Satu tugasan pr&jek "ang memerlukan pelajar mengumpul,memba%a dan menganalisa
maklumat berkaitan tajuk #&d #lasik dan 5ipher
Seterusn"a pelajar perlu menghasilkan satu ringkasan eksklusi dalam bentuk br&sur
bagi salah satu subtajuk-subtajuk berikut$
4. #aedah Penggantian
i* 5aesar
ii* M&n&alphabeti%
iii* P&l"alphabeti%
i* Pig-pen
* Atbash