TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /1
TEGASAN LENTUR
Objektif am : Memahami hubungkait antara kedudukan paksi neutral dan momen luas kedua bagi keratan piawai dalam persamaan lenturan.
Objektif Khusus : Di akhir unit ini, pelajar akan dapat :-
Memahami jenis-jenis keratan piawai
Mengira kedudukan paksi neutral (PN) bagi keratan piawai
Mengira momen luas kedua (I) bagi keratan piawai
Menggunakan persamaan lenturan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan kekuatan dan lenturan rasuk yang disokong mudah dan rasuk julur
UNIT 10
OBJEKTIF
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /2
10.0 PENGENALAN
Di dalam unit ini, persamaan lenturan akan digunakan bagi menentukan tegasan lentur bagi bentuk-bentuk piawai. Untuk mendapatkan tegasan lentur, kedudukan paksi neutral (P.N) dan momen luas kedua bagi bentuk-bentuk piawai (I) perlu dikira.
10.1 MOMEN LUAS KEDUA
Dalam merekabentuk sebatang rasuk atau aci, dimensi dan bentuk keratan yang paling sesuai dari segi kekuatan dan ekonomi perlu diberi perhatian. Nilai tegasan yang berlaku dalam sesuatu rasuk boleh ditentukan melalui persamaan-persamaan yang diterbitkan. Salah satu elemen dalam persamaan ini ialah momen luas kedua (I) atau momen Inersia .
Berikut adalah kaedah bagaimana mendapatkan momen luas kedua bagi bentuk-bentuk :-
i. Keratan Segi Empat
Rajah 10.1 di bawah menunjukkan satu rasuk yang mempunyai keratan rentas berbentuk segiempat tepat. Perhatikan satu rasuk julur luas dA, tebal dy, lebar b dan jarak y dari P.N. Oleh sebab keratan rentas rasuk adalah simetri, P.N. adalah terletak dipertengahan ukuran dalam rasuk.
Rajah 10.1: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat
b
A B
dA
dy
y
DC
P.N.d
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /3
Momen luas kedua di takrifkan sebagai
dA y I 2∫= Oleh itu bagi keratan segiempat tepat, momen luas kedua pada P.N., ialah
12
bd
3
y b
dy y b
dy y I
3
2/
2/
3
2d/2
d/2-
22/
2/P.N.
=
=
=
=
−
−
∫
∫
d
d
d
d
Dengan cara yang sama, momen luas kedua keratan segiempat tepat melalui tepi bahagian bawah keratan diperolehi dengan kamiran dari 0 hingga d.
Oleh itu 3
bd
3
y b I
3
0
3
CD =
=
d
Bentuk piawai di atas terbukti memudahkan pengiraan IP.N. bagi keratan terbentuk. Ini ialah dengan cara membahagikan keratan tersebut kepada beberapa segiempat tepat. Sebagai contoh, nilai IP.N. untuk keratan simetri seperti dalam Rajah 10.2 di bawah.
Rajah 10.2: Rasuk Berkeratan Rentas I IP.N. = IACEF – Ib.b ; b.b = bahagian berlorek.
Untuk Momen Luas Kedua pada paksi P.N.
Untuk mendapatkan Momen Luas Kedua dari bahagian bawah tapak bagi sebuah segiempat atau dari paksi x - x
A
B
b bC
Dd
FE
P.N.
Untuk mendapatkan momen luas kedua dengan menggunakan kaedah potong.
Untuk mendapatkan momen luas kedua dengan menggunakan kaedah potong.
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /4
12
)(bd 2 -
12
BD
33
=
ii. Keratan bulat
Rajah 10.3 menunjukkan satu bulatan yang berjejari r. Unsur berlorek yang ditunjukkan dalam rajah tersebut mempunyai keluasan dA dan oleh itu persamaan berikut terbentuk:-
dA = rd θ dr
Rajah 10.3: Rasuk Berkeratan Rentas Bulat
Daripada sistem kordinat kutub
y = r sin θ
Momen luas kedua pada P.N. untuk keratan bulat diberikan oleh :-
4
πr
θdθ sin 4
r
4
r dθ sinθ
θdr rd θ sin r
dA y I
4
22π
0
40
r
0
42π
0
22r
0
2π
0
2P.N.
0
o
=
=
=
=
=
∫
∫
∫∫
∫
10.2 TEOREM PAKSI SELARI
Teorem paksi selari menyatakan momen luas kedua pada mana-mana paksi yang selari dengan P.N. ( paksi X – X ) adalah bersamaan dengan momen luas kedua
dθro
r
dr
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /5
keliling paksi yang melalui sentroid keratan itu ( P.N. ) campur hasil darab luas keratan dan ganda dua jarak antara paksi yang selari dengan P.N.
Perhatikan keratan bagi sebuah segiempat tepat seperti Rajah 10.4 . Jika sekiranya satu unsur daripada keratan itu yang mempunyai jarak y darp paksi x – x, maka momen luas kedua keratan ini pada paksi x – x boleh didapati dari persamaan :-
∫= dA y I 2xx
Rajah 10.4: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat
Jika garisan P.N. dilakarkan juga selari dengan garisan x – x , maka rumusan di atas boleh dihuraikan seperti berikut:-
[ ]
∫ ∫ ∫
∫
∫
++=
++=
+=
+=
dAh dA y'2h dA )(y'
dAh h 2y' ) (y'
)h y' ( I
h y' y
22
22
2xx
Kamiran pertama merupakan momen luas kedua keratan pada paksi yang melalui pusat bentuknya. Kamiran kedua merupakan momen luas pertama pada paksi
yang melalui pusat bentuk, oleh itu ∫ dAy' adalah bersamaan dengan sifar.
Kamiran terakhir adalah untuk jumlah luas keratan. Seterusnya persamaan diatas boleh ditulis sebagai :-
Ixx = IP.N. + Ah2
P
y
N
h
dA
xx
y’
Rumus ini penting dalam mencari nilai momen luas kedua sesuatu keratan yang terdiri daripada beberapa gabungan bentuk asas.
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /6
10.3 JADUAL KERATAN PIAWAI
Dari persamaan yang telah dibuat, kita boleh ringkaskannya seperti jadual dibawah:-
Jadual 10.1: Ringkasan Momen Luas Kedua untuk bentuk piawai
BENTUK SENTROID MOMEN LUAS KEDUA
b/2 x =
d/2 y =
12
bd I
3
P.N. =
3
bd I
3
xx =
d/2 x =
d/2 y = 4
r
64
d I
44
P.N.
ππ ==
c r x x π3
4r y =
4P.N r 0.11 I =
8
r I
4
xx
π=
BENTUK SENTROID MOMEN LUAS KEDUA
c
x x
h/3 y =
36
bh I
3
P.N. =
12
bh I
3
xx =
48
hb I
3
yy =
P.N.
y
x
b
d
y
P.N.>
∅d
y
P.N
yP.N.
x
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /7
10.4 SENTROID
Seperti pusat gravity yang dianggap sebagai titik dimana semua jisim sesuatu jasad itu terpumpun, sentroid pula adalah titik dimana luasan sesuatu bentuk itu terpumpun.Berikut adalah contoh bagaimana sentroid sesuatu bentuk itu ditentukan.
i. Bentuk Gabungan
Bentuk gambarajah boleh dihasilkan dengan menggabungkan beberapa bentuk asas atau memotong gambarajah asal (Rajah 10.5(a)).
Rajah 10.5(a)
Bentuk dalam Rajah 10.5(a) dihasilkan dengan menggabungkan segiempat tepat ABCD dengan separuh bulatan ADP.
Bagi Rajah 10.5(a) tinggi sentroid tiap-tiap bentuk asas dari BC tidak sama iaitu
y1 ≠ y2 (Rajah 10.5(b)).
y tapak,dari Sentroid Tinggi
D
CB
A
P
CB
D
CB
DA
ÿ
A
P
C
p
D
y2
y1
A D
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /8
Rajah 10.5(b)
Oleh yang demikian,
ii. Bentuk Terpotong
Dalam Rajah C10.6(a) bahagian segiempat DEFG dipotong dan ditanggalkan daripada bentuk segiempat asal ABCH.
Rajah 10.6(a)
Bagi Rajah 10.6(a) tinggi sentroid bagi setiap bentuk asas dari garisan BC adalah sama (Rajah 10.6(b)). Jadi,
)A (A
)yA y(A
A
Ay y
2 1
2211
++
=
=∑∑
21 y y y ==
y
CB
D
H
G
A
E
F
y2
y1 D
G
E
F
CB
HA
CB
D
H
G
A
E
F
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /9
Rajah 10.6(b)
Merujuk kepada Rajah 10.7 pula bentuk L itu boleh dihasilkan dengan menggabungkan dua segiempat atau dengan kaedah memotong dan memisahkan segiempat EDGF daripada ABCG.
Rajah 10.7
Jika menggunakan kaedah potong dan pisah, gunakan formula berikut:
y
y2
y1
E D
CB
FA
D
G
E
F
CB
GA
)A (A
)yA y(A
A
Ay y
2 1
2211
++
=
=∑∑
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /10
Contoh 10.1
Sebatang rasuk mempunyai keratan rentas berbentuk segiempat tepat, 30 mm lebar dan tebalnya 50 mm (Rajah C10.1). Tentukan momen luas kedua bagi rasuk tersebut.
Penyelesaian.
Rajah C10.1: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat
b = 30 mmd = 50 mm
Gunakan Formula IP.N. = 12
bd3
47-
45
3
3
P.N.
mm 10 x 3.125
mm 10 x 3.125
12
50 x 30
12
bd I
=
=
=
=
Contoh 10.2
30 mm
50 mmP.N.
Ini adalah kerana kita ingin mendapatkan momen luas kedua pada paksi neutral ( I
P.N. )
Ini adalah kerana kita ingin mendapatkan momen luas kedua pada paksi neutral ( I
P.N. )
y3
y2
y1
y
x x
P.N.
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /11
Kirakan momen luas kedua untuk keratan – I seperti Rajah C10.2 pada paksi x – x yang melalui pusat graviti keratan itu.
Contoh C10.2: Rasuk Berkeratan Rentas IPenyelesaian.
Langkah 1. Pecahkan keratan kepada 3 bahagian dan dapatkan nilai luas dan y dari permukaan x – x.
h1
h2
h3
Bahagian Luas, A ( mm2 )y dari x – x
( mm )h (mm)
20
60
20 x 60 = 1200
20/2 + 120= 130
yy −
= 130 – 57.1= 72.9
B1
B2
BA
B3
BA
120 mm
20 mm
100 mm
20 mm
20 mm
60 mm
X X
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /12
100
20
100 x 20 = 2000
100/2 + 20= 70
yy −
= 70 – 57.1= 12.9
20
120
20 x 120 = 2400
20/2= 10
y- y
= 57.1 – 10= 47.1
Langkah 2 Dapatkan pusat graviti bagi keratan – I tersebut ) y ( . Katakan jarak
pusat graviti keratan itu ialah y dari permukaan atas ( A – B ).
mm 57.1 y
) 20 x 120 ( ) 20 x 100 ( ) 20 x 60 (
) )(10 20 x 120 ( ) 70 )( 20 x 100 ( ) )(130 20 x 60 (
A A A
yA yA yA
A
yA y
321
332211
=
++++=
++++=
ΣΣ=
Langkah 3 Dapatkan nilai momen luas kedua dari pusat graviti bagi setiap bahagian. Gunakan formula dibawah :-
3
G 12
bd I =
Formula ini digunakan kerana bentuk piawai bagi keratan ini adalah segiempat tepat.
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /13
Bahagian 1 Bahagian 2 Bahagian 3
mm 80,000 mm 671,666,666. mm 40,000
12
20 x 120
12
100 x 20
12
20 x 60
12
db I
12
db I
12
db I
444
333
311
G1
311
G1
311
G1
===
===
===
Langkah 4 Dapatkan momen luas kedua untuk keseluruhan keratan tersebut. Gunakan Formula :-
) 47.1 x 2400 ( 80,000 ) 12.9 x 2000 ( 671,666,666. ) 72.9 x 1200 ( 40,000
h A I h A I h A I
) hA I ( I
222
233 G3
222 G2
211 G1
2GPN
+++++=
+++++=
+Σ=
= 13.8 x 10 -6 m 4
10.5 PERSAMAAN LENTURAN
Persamaan lenturan membolehkan kita menentukan nilai tegasan yang berlaku di jarak y daripada paksi neutral. Anggapan momen lentur ini malar biasanya tidak dapat di penuhi kerana momen lentur berubah dari keratan ke keratan di keseluruhan panjang rasuk. Dalam merekabentuk rasuk, tujuan kita adalah untuk menentukan nilai tegasan lentur maksimum yang berlaku. Oleh itu amalan biasa ialah untuk menggunakan nilai momen lentur maksimum yang didapati daripada gambarajah momen lentur bagi rsuk tersebut. Jadi tegasan yang ditentukan dengan menggunakan nilai ini adalah yang maksimum dan jika kita merekabentuk
Nilai h di perolehi setelah y keseluruhan di tolak dengan y untuk setiap bahagian
= 13,820962.67 mm 4
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /14
sebatang rasuk berdasarkan kepada nilai ini, maka sudah tentu ia akan dapat menentang momen lentur yang dikenakan.
10.6 MODULUS KERATAN
Kita telah pun melihat bahawa tegasan lentur berkadar terus dengan jarak daripada paksi neutral PN dan nilai tegasan ini boleh ditentukan dengan menggunakan persamaan:
y I
M =σ
Jika σm ialah tegasan lentur maksimum yang berlaku dan ym ialah jarak
maksimum daripada paksi neutral, maka:
y
I x M
y
I
M
mm
m
m
σ
σ
=∴
=
Persamaan ini memberi hubungan terus di antara momen lentur (M) dengan
tegasan lentur (σ) dan momen luas kedua (I).
R
E
I
M
y
σ ==
Contoh 10.3
Persamaan lenturan, dari unit 9
80 mm
20 mm
15 mm
60 mm
16 kN 16 kN
1 m1 m
6 m
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /15
Rajah C10.3 (a): Rasuk Disokong Mudah Dan Rajah C10.3 (b): Rasuk Berkeratan Dikenakan Beban Tumpu Rentas T
Sebatang bar – T yang panjangnya 6 meter menanggung beban terpumpun. Tiap-tiap satu beban itu ialah 16 kN pada jarak 1 m dari kedua-dua hujung rasuk tersebut. Bar itu disangga mudah pada kedua-dua hujungnya, Rajah C10.3(a). Keratan rentas bar ditunjukkan pada Rajah C10.3 (b). Kirakan yang berikut :-
i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah rasuk.ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral.iii. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk.iv. Tegasan lentur maksimum mampatan dan tegangan yang terhasil dalam rasuk.
Diberi: E bagi rasuk = 200 GN / m2
Penyelesaian.
Bahagikan keratan tersebut kepada dua bahagian. Kirakan luas dan jarak sentroid bagi setiap bahagian dari bahagian tapak keratan.
Bahagian Luas ( mm2 ) y ( mm )
60 x 20 = 1200 80 + 20/2 = 90
60
20 1
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /16
80 x 15 = 1200 80/2 = 40
i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah keratan rentas.
mm 65
1200) 1200(
) 40 x (1200 ) 90 x (1200
AA
yA yA y
21
2211
=
++=
++=
ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral.
Kirakan momen luas kedua dan jarak h untuk setiap bahagian
Bahagian IC (Momen luas kedua setiap bahagian) h (mm )
1 433
mm 40,000 12
20 x 60
12
bd == y-y = 90 – 65 = 25 mm
2 433
mm 640,000 12
80 x 15
12
bd == y - y = 65 – 40 = 25 mm
80
15
Oleh kerana kita menggunakan kaedah keratan terpotong, gunakan Formula ini.
2
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /17
Momen luas kedua pada paksi neutral ialah
IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h2
2 )
= ( 40,000 + ( 1200 x 252 ) ) + ( 640,000 + ( 1200 x 252 ) )
= 2.18 x 106 mm4
= 2.18 x 10 -6 m 4
iii. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk.
Gunakan formula M
EI R
R
E
y
I
M =⇒=σ=
Dari pembebanan yang ditunjukkan, kita dapati bahawa susunan pembebanan itu adalah simetri, oleh itu tindakbalas :-
R1 = R2 = 16 kN
Dari G.M.L. pula, momen lentur dipertengahan rentang :-
M = 16 kNm ( meleding ) iv. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk.
m 27.25
10 x 16
10 x 2.18 x 10 x 200 R
3
-69
=
=∴
v. Tegasan lentur maksimum mampatan dan tegangan yang terhasil dalam rasuk.
Merujuk kepada rajah keratan rasuk, kita dapati :-
ybawah > yatas
nilai E telah diberi iaitu 200 GN/m2 nilai E telah diberi iaitu 200 GN/m2
16 kN16 kN
1 m1 m
6 m
R1 R
2
( + )
(-)
G.D.R
( + )
G.M.L.
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /18
σ maksimum terhasil pada permukaan bawah iaitu,
ymax = 65 mm = 0.065 m
) tegangan ( N/mm 10 x 477
10 x 18.2
0.065 x 10 x 16
I
yM σ
26
6-
3maksmaks
=
==
σ maksimum terhasil pada permukaan atas iaitu,
ymaks = 35 mm = 0.035 m
)mampatan ( N/m 10 x 256.8
10 x 18.2
0.035 x 10 x 16
I
yM σ
26
6-
3maksmaks
=
==
Contoh 10.4
Rajah C10.4: Rasuk JulurBerkeratan Rentas T Yang Dikenakan Beban Teragih Seragam
Satu rasuk julur sepanjang 10 m menanggung beban teragih seragam disepanjang rentang rasuk itu. Keratan rentas rasuk adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah C10.4. dimana EE adalah permukaan atas bagi rasuk. Tentukan yang berikut :-
80 mm
40 mm
60 mm
120 mm
E E
y1 m
20 kN/m
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /19
i. kedudukan paksi neutral bagi keratan rentas.ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral.iii. Tegasan tegangan maksimum dan tegasan mampatan maksimum didalam
rasuk hasil dari lendutan.
Penyelesaian.
Bahagikan keratan tersebut kepada 2 bahagian. Dapatkan luas dan jarak sentroid bagi setiap bahagian dari bahagian tapak keratan.
Bahagian Luas ( mm2 ) y ( mm )
120 x 40 = 4800 80 + 40/2 = 100
80 x 60 = 4800 80/2 = 40
i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah keratan rentas.
mm 70
4800) 4800(
) 40 x 4800 ( ) 100 x (4800
A A
21
2211
=
++=
++=
AA
yyy
ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral.
Dapatkan momen luas kedua dan jarak h untuk setiap bahagian
120
40
80
60
Oleh kerana kita menggunakan kaedah keratan terpotong, gunakan Formula ini.
1
2
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /20
Bahagian IC (Momen luas kedua setiap bahagian) h ( mm)
1 4333
mm 10 x 640 12
40 x 120
12==bd
yy − = 100 – 70 = 30
2 4333
mm 10 x 2560 12
80 x 60
12==bd
y - y = 70 – 40 = 30
Momen luas kedua pada paksi neutral ialah
IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h2
2 )
= ( 640 x 103 + ( 4800 x 302 ) ) + ( 2560 x 103 + ( 4800 x 302 ) )
= 11.84 x 106 mm4
= 1.184 x 10-5 m4
iii. Momen lentur maksimum berlaku pada bahagian bar yang bertemu tembok iaitu :
Mmaks = ( - 20 x 103)( 1 )(0.5) = 10,000 Nm = 10 kNm
Oleh kerana rasuk ini meleding, permukaan atas akan mengalami tegangan dan permukaan bawah mengalami mampatan.
ybawah maksimum = 70 mm
yatas maksimum = 120 – 70 = 50 mm
MN/m 59.12 10 x 1.184
10 x 70 x 10,000 mampatan σ
MN/m 42.23 10 x 1.184
10 x 50 x 10,000 tegangan σ
I
yM σ
y
σ
I
M
25-
3-
maks
25-
3-
maks
maksmaksmaks
==
==
=⇒=
10.7 AGIHAN TEGASAN
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /21
Jika nilai σ bagi tiap-tiap lapisan dari permukaan atas ke permukaan sebelah
bawah rasuk ditentukan, nilai-nilai itu boleh diplotkan pada satu graf seperti dibawah. Graf menunjukkan agihan tegasan lentur.
Perhatikan yang nilai σ tidak bergantung kepada lebar keratan rentas sesuatu jalur.
Pada lapisan P.N., σ = 0.
Rajah 10.8: Agihan Tegasan Bagi Rasuk Berkeratan Rentas T
Contoh 10.5
Rajah C10.5 menunjukkan keratan rentas bagi sebatang rasuk.
a) Kirakan :-
i) jarak y
ii) momen luas kedua keliling paksi neutral.
b) Jika rasuk itu yang disokong mudah pada kedua-dua hujungnya membawa beban teragih seragam 30 kN/m pada keseluruhan rentangnya yang panjangnya 3m, kirakan tegasan lentur dalam rasuk itu pada:-
i) permukaan atas
ii) permukaan bawah
P.N.
5 cm
7 cm
+ 42.23 MN/m2
- 59.12 MN/m2
σ = 0
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /22
Rajah C10.5
Penyelesaian
a) Keratan itu boleh dianggap berbentuk T hasil cantuman bahagian 1 dan bahagian 2. Sementara dibahagian tengahnya pula ditebuk satu lubang berbentuk segiempat tepat (bahagian 3).
Rajah C10.5 (a)
Dapatkan luas bagi setiap bahagian yang terlibat :-
80 mm
20 mm
20 mm10 mm
100 mm
10 mm
100 mm
P.N.
40 mm
P.N.
1
2
3
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /23
Bahagian 1 A1 = 80 x 20 = 1600 mm2
Bahagian 2 A2 = 40 x 100 = 4000 mm2
Bahagian 3 A3 = 20 x 100 = 2000 mm2
Kirakan jarak y dari bahagian tapak keratan T tersebut.
y1 = 100 + 10 = 110 mm ; y2 = 50 mm ; y3 = 10 + 50 = 60 mm
i) Dapatkan nilai ∑∑=
A
Ay y formulan menggunakadengan y
mm 71.1
2000) - 4000 1600(
60) x (2000 - 50) x (4000 110) x (1600
A A A
y A - y A y A y
321
332211
=
++=
−++=
ii) Dapatkan momen luas kedua keliling paksi neutral.
h1 = y1 - y = 110 – 65.3 = 44.7 mm
h2 = y - y2 = 65.3 – 50 = 15.3 mm
h3 = y - y3 = 65.3 – 60 = 5.3 mm
Dapatkan nilai Ah2 bagi setiap bahagian.
A1h12 = 1600 x ( 44.7 )2 = 3.2 x 106 mm4
A2h22 = 4000 x ( 15.3 )2 = 936 x 103 mm4
A3h32 = 2000 x ( 5.30 )2 = 56 x 103 mm4
Gunakan formula Ic = 12
bd3
untuk mendapatkan momen luas kedua bagi setiap
bahagian.
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /24
IC1 = 433
mm 10 x 53 12
20 x 80 =
IC2 = 433
mm 10 x 3.33 12
100 x 40 =
IC3 = 463
mm 10 x 1.67 12
100 x 20 =
IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h2
2 ) - ( IC3 + A3h32 )
= 5.8 x 106 mm4
= 5.8 x 10-6 m4
b) Dapatkan daya yang bertindak balas pada kedua-dua hujung A dan B.
Rajah C10.5 (b)
Kita tahu bahawa rasuk tersebut dibebankan teragih seragam. Oleh yang demikian, dapatkan dahulu jumlah daya yang terlibat.
Jumlah daya pada A = Jumlah daya pada B
RA = RB
Oleh yang demikian, RA = RB = kN 45kN 2
330 =×
3 m
30 kN/m
RA
RB
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /25
Mmaks akan berlaku dipertengahan rentang, oleh itu,
Mmaks = (+45 ) x 1.5 + (- 30 x 1.5) x 0.75
= 33.75 kNm
ybawah = 65.3 mm Oleh itu, yatas = 120 – 65.3 = 54.7 mm
I
y M σ
y
σ
I
M maksmaksmaks =⇒=
26-
3
atas MN/m 318 x108.5
0.0547 x 10 x 33.75 σ ==
26-
3
bawah MN/m 380 x108.5
0.0653 x 10 x 33.75 σ ==
UJI KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA.
SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DIHALAMAN BERIKUTNYA.
Kirakan momen luas kedua bagi keratan rentas rasuk dibawah:-
10.1
AKTIVITI 10
A
200
90 90
B
300 260
DC
P.N.
Semua ukuran dalam mm
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /26
10.2
10.3
10.4 Sebatang aci bulat padu ABCD disokong mudah dan dibebankan seperti Rajah 10.4 di bawah. Kirakan diameter aci jika tegasan lentur maksimum yang dibenarkan ialah 100 MN/m2.
80
20
2010
100
10
100
P.N.
40
200 300
100
200
ø 120
0.1 m 0.2 m 0.2 m 0.1 m
50 kN
A
20 kN 10 kNRA
RE
B C D E
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /27
Rajah 10.4
10.5
Bentuk keratan rentas sebatang rasuk yang disokong mudah dikedua-dua hujungnya ditunjukkan dalam Rajah 10.5. Rasuk itu menanggung beban teragih seragam sebanyak 6 kN/m disepanjang rasuk. Jika tegasan lentur maksimum dalam rasuk itu tidak boleh melebihi 35 MN/m2, tentukan,
a) Panjang rasukb) Tegasan tegangan maksimum
d
200 mm
25 mm
250 mm
25 mm
25 mm
150 mm
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /28
Rajah 10.5
TAHNIAH KERANA ANDA TELAH
MENCUBA.!!!!! !! ! !
Jawapan :-
10.1
MAKLUM BALAS 10
A B
DC
P.N.
B
D
b
d
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /29
Oleh kerana keratan ini adalah simetri, maka pusat bentuk adalah berada di tengah-tengah keratan.
Gunakan persamaan
=
12
bd 2 -
12
BD I
33
P.N.
=
12
260 x 90 2 -
12
300 x 200 I
3 3
P.N.
= 1.86 x 108 mm4
= 1.86 x 10 -4 m 4
10.2 Sebelum nilai momen luas kedua ini diperolehi, kedudukan pusat bentuknya perlu ditentukan dahulu.
Bentuk keratan ini terdiri daripada dua komponen iaitu segiempat tepat dan bulatan. Sufiks 1 dipilih untuk segiempat tepat dan sufiks 2 untuk bulatan. Sekiranya tapak segiempat tepat dipilih sebagai paksi rujukan, maka persamaan berikut digunakan:-
x x
2
1
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /30
mm 138.4
4
(120) - )300)(200(
)200(4
(120) - (300)(150) 200
A - A
A - A
A
2
2
21
2211
i
=
=
=
=∑
∑
π
π
yy
A
yy
ii
ii
Setelah kedudukan P.N. diketahui, maka nilai momen luas kedua untuk keseluruhan keratan dapat dicari. Ini dilakukan dengan menggunakan teorem paksi selari.
46
243
2222
2111..
mm 10 x 405
)4.138200(4
)120(
64
)120()4.138150)(300)(200(
12
)(300) (200
)A I ( - )A (I
=
−+−
−+=
++=
ππ
hhI NP
10.3 Keratan itu boleh dianggap berbentuk T hasil cantuman bahagian 1 dan bahagian 2. Sementara dibahagian tengahnya pula ditebuk satu lubang berbentuk segiempat tepat (bahagian 3).
Dapatkan luas bagi setiap bahagian yang terlibat :-
P.N.
1
2
3
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /31
Bahagian 1 A1 = 80 x 20 = 1600 mm2
Bahagian 2 A2 = 40 x 100 = 4000 mm2
Bahagian 3 A3 = 20 x 100 = 2000 mm2
Dapatkan jarak y dari bahagian tapak keratan T tersebut.
y1 = 100 + 10 = 110 mm ; y2 = 50 mm ; y3 = 10 + 50 = 60 mm
Dapatkan nilai ∑∑=
A
Ay y formulan menggunakadengan y
mm 71.1
2000) - 4000 1600(
60) x (2000 - 50) x (4000 110) x (1600
A A A
y A - y A y A y
321
332211
=
++=
−++=
Kirakan nilai momen luas kedua
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /32
46-
46
233C3
222C2
211C1.N.P
43233
4633
C3
43222
4333
C2
46211
4333
C1
33
22
11
m 10 x 5.3
mm 10 x 5.3
)h A (I )h A (I )h A (I I
mm 10 x 56 hA ; mm 10 x 1.67 12
100 x 20
12
bd I
mm 10 x 936 hA ; mm 10 x 3.33 12
100 x 40
12
bd I
mm 10 x 3.2 hA ; mm 10 x 53 12
20 x 80
12
bd I
mm 5.3 60 - 65.3 y - y h
mm 15.3 50 - 65.3 y - y h
mm 44.7 65.3 - 110 y - y h
=
=
+−+++=
====
====
====
===
===
===
10.4 Dengan mengambil momen pada A, kita akan dapat:
Momen ikut jam = Momen lawan jam
∑MA = 0
0.1 x 50 – 0.3 x 20 – 0.5 x 10 – 0.6 x RE = 05 – 6 – 5 – 0.6RE = 0
∴ RE = - 10 kN (menunjukkan arah sebenar RE adalah ke bawah)
Dengan mengambil momen pada E, ia akan memberikan,
Momen ikut jam = Momen lawan jam
∑ME = 0
0.6 x RA – 0.5 x 50 + 0.3 x 20 + 0.1 x 10 = 00.6RA – 25 + 6 + 1 = 0
∴ RA = 30 kN
Semakan,
Jumlah daya keatas = Jumlah daya ke bawahRA + RE + 20 kN + 10 kN = 50 kN
∴ (30 – 10 + 20 + 10) kN = 50 kN (kiraan adalah betul)
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /33
Jika jumlah daya ke atas tidak sama dengan jumlah daya kebawah, ini menunjukkan pengiraan tersebut tidak tepat.
Gambarajah momen lentur ditunjukkan seperti di bawah:
Dari G.M.L, momen lentur maksimum berlaku pada x = 0.1 m, dalam persamaan M = 30x, iaitu:Mm = 30 x 0.1 = 3 kNm
Menggunakan I
M =
y
σ dengan
σm = 100 x 106 N/m2
ym = 2
d
Mm = 3 kNm
I = 64
d4π
Kita dapati,
50 kN RE = 10 kN
RA = 30 kN 20 kN 10 kN
3 kNm
1 kNm
G.M.L
0.1 m 0.2 m 0.2 m 0.1 m
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /34
mm 67.36 ddan
2 x 10 x 100 x
64 x 10 x 3 d
d x
64 x 10 x 3
d
2 x 10 x 100
64
d x
10 x 3
2
d10 x 100
6
33
4
36
4
36
=
=∴
=
=
π
π
π
10.5Langkah 1. Pecahkan keratan kepada 3 bahagian dan dapatkan nilai luas dan y
dari tapak
h1
h2
h3
Bahagian Luas ( mm2 ) y ( mm )
25
150 25 x 150 = 3750 300 – 25/2 = 387.5
250
25
25 x 250 = 6250 25 + 125 = 150 mm
25
200 200 x 25 = 5000 12.5 mm
Langkah 2 Kirakan pusat graviti bagi keratan – I tersebut ) y ( . Katakan jarak pusat graviti keratan itu ialah y dari tapak.
y3
y2
y1
y
x x
P.N.
B1
B2
B3
Rajah 10.5(a)
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /35
mm 138.5 y
) 5000 ( 6250) ( 750)3 (
) )(12.5 5000 ( ) 150 )( 6250 ( ) )(287.5 3750 (
A A A
yA yA yA
A
yA y
321
332211
=
++++=
++++
=
ΣΣ=
Langkah 3 Kirakan nilai momen luas kedua dari pusat graviti bagi setiap bahagian. Gunakan formula dibawah :-
3
G 12
bd I =
Bahagian 1 Bahagian 2 Bahagian 3
mm 10 x 260.4 mm 10 x 32.55 mm 10 x 195
12
25 x 200
12
250 x 25
12
25 x 150
12
db I
12
db I
12
db I
434643
333
311
G1
311
G1
311
G1
===
===
===
Langkah 4 Dapatkan momen luas kedua untuk keseluruhan keratan tersebut. Gunakan Formula :-
Formula ini digunakan kerana bentuk piawai bagi keratan ini adalah segiempat tepat.
Nilai h di perolehi setelah keseluruhan di tolak dengan untuk setiap bahagian
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /36
) 12.5 x 5000 (
10 x 260.4 ) 150 x 6250 ( 10 x 32.55 ) 287.5 x 3750 ( 10 x 195
h A I h A I h A I
) hA I ( I
2
32623
233 G3
222 G2
211 G1
2Gxx
+++++=
+++++=
+Σ=
= 196.5 x 10 -6 m 4
a) ybawah = 138.5 mm ∴ yatas = 300 – 138.5 mm = 161.5 mm
yatas > ybawah ⇒ σmax terhasil pada permukaan atas.
kNm 425.85
Nm 0.01615
10 x 196.5 x 10 x 35
y
I σ
y
I
M
6-6
atas
maxmax
=
=
=⇒= σσ
Tindakbalas, R = 2
6L
= 3L
Mmax berlaku pada pertengahan rentang, iaitu:
Mmaks = kNm 4
L
2
L(-6)
2
L3L
+
= 0.75L2 kNm = 750 Nm
∴ 750L2 = 425.85 x 103 ⇒ L = 23.8 m
b) Oleh kerana rasuk itu melendut, maka permukaan bawah mengalami tegasan lentur tegangan.
= 196.5 x 10 6 mm 4
L m
6 kN/m
R R
P.N.
161.5 mm
138.5 mm
- 35 MN/m2
+ σbawah
σ = 0
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /37
Keratan rentas Agihan tegasan
Rajah 10.5(b)
σtegangan = maksatas
bawah σ x y
y
= 2MN/m 35 x 161.5
5.138
= 30 MN/m2
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /38
Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan dari pensyarah modul anda.
Selamat mencuba dan semoga berjaya !!!!!!!!!!!!!
1.
2.
PENILAIAN KENDIRI
90 mm
20 mm
40 mm
30 mm
BA
200 mm
25 mm
250 mm
25 mm
25 mm
150 mm
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /39
3.
4.
20 cm
5 cm4 cm
1 cm
20 cm
1 cm
1 cm
1 cm
70 mm
100 mm30 mm
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /40
5. Sebatang rasuk berbentuk keratan ‘T’ dibebankan seperti Rajah 5. Kirakan tegasan-tegasan lentur maksimum yang berlaku dalam rasuk ini.
Rajah 5: Rasuk Keratan T Disokong Mudah Dan Dikenakan Beban Tumpu
6. Sebatang rasuk dibebankan seperti Rajah 6. Jika tegasan lentur maksimum dihadkan kepada 35 kN/m2, kirakan nilai b.
Rajah 6: Rasuk Disokong Mudah Keratan Segiempat Yang Dikenakan Beban Tumpu
7. Sebatang rasuk berkeratan rentas bulat dibebankan seperti Rajah 7. Kirakan tegasan lentur maksimum yang berlaku.
Rajah 7: Rasuk Disokong Mudah Keratan Bulat Yang Dikenakan Beban Tumpu
160 mm
20 mm
20 mm
120 mm20 kN
A B
750 mm
3 m
5 kN
A B
1 m
2 m
b
3b
A
200 mm
600 kN
B
600 mm
100 kN
50 mm 250 mm
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /41
8. Tentukan nilai b bagi sebatang rasuk disokong secara mudah seoerti Rajah 8 dibawah dengan syarat tegasan lentur maksimum tidak melebihi 150 MN/m2.
Rajah 8: Rasuk Disokong Mudah Keratan Segiempat Yang Dikenakan Beban Teragih Seragam
9. Sebatang rasuk julur dibebankan seperti Rajah 9. Jika tegasan lentur tidak boleh melebihi 60 MN/m2, tentukan W
Rajah 9: Rasuk Julur Bergeronggang Yang Dikenakan Beban Tumpu
b
100 mm
b
5 m
2 kN/m
100 mm
10 mm
W
40 mm
240 mm
RA RB
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /42
Adakah anda telah mencuba ?
Jika “Ya”, sila semak jawapan anda.
Jawapan
1. 196.5 x 10-6 m4
2. 868 x 10-9 m4
3. 5742.7 cm4
4. 5.2 x 10-6 m4
5. Tegasan lentur maksimum = 38.35 MN/m2, 74.02 MN/m2
6. b = 47.6 mm
MAKLUMBALAS KENDIRI
TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /43
7. Tegasan lentur maksimum = 114.06 MN/m2
8. b = 25 mm
9. W = 17.39 kN
Top Related