Pendahuluan

Pengertian Pendugaan Parameter.

Pendugaan adalah proses yang menggunakan sample statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui.

Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sample , dalam hal ini sample random , yang diambil dari populasi bersangkutan. Jadi dengan pendugaan itu , keadaan parameter populasi dapat diketahui

Pengertian Pendugaan Parameter

Pendugaan = Penaksiran Penduga adalah suatu statistik ( harga sample)

yang digunakan untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga , dapat diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada di sekitar sample ( statistik sample )

Secara umum , parameter diberi lambang θ ( baca : theta ) dan penduga diberi lambang xxx

Kriteria penduga yang baikTidak bias Efisien Konsisten

Populasi :

Parameter

Sampel : Statistik

Statistik merupakan PENDUGA bagi parameter populasi

PENDUGA TAK BIAS DAN MEMPUNYAI RAGAM

MINIMUM

STATISTIK merupakan PENDUGA bagi PARAMETER

TARGETPENDUGA TITIK

PENDUGA SELANG

Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter populasi maka digunakan pendugaan dalam bentuk selang interval

Dalam setiap pendugaan mengandung PELUANG kesalahan

penduga selang konsep probability SELANG KEPERCAYAAN (CONFIDENCE INTERVAL)

Dua jenis pendugaan parameterPendugaan Titik Parameter Populasi

:Pendugaan tunggal atau titik (point

estimate) ialah pendugaan yang terdiri dari satu nilai saja.

Memberikan nilai yang kemungkinan besar berbeda dari nilai parameter yang sebenarnya.

TARGET PENDUG

A TITIK

Pendugaan Titik Parameter Populasi

Pendugaan Parameter

Pendugaan Parameter

21 xx

p

21 ˆˆ pp

Satu Populasi Dua Populasi

x p̂

21 21 pp

22

21

s

s

22

21

2s

2

Pendugaan Interval

Pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya.

Jika kita menginginkan suatu pengukuran yang obyektif tentang derajat kepercayaan kita terhadap ketelitian pendugaan, maka kita sebaiknya menggunakan pendugaan interval (interval estimation). Pendugaan ini akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal sebagai penduga parameter.

TARGET PENDUG

A TITIK PENDUG

A SELANG

Pendugaan Interval

Pendugaan interval (selang) merupakan pendugaan berupa interval yang dibatasi oleh dua nilai yang disebut dengan nilai batas bawah dan nilai batas atas.

Pendugaan interval itu akan merupakan interval kepercayaan atau interval keyakinan (confidence interval) yang dibatasi oleh batas keyakinan atas (upper confidence limit) dan batas keyakinan bawah (lower confidence limit).

Untuk membuat pendugaan interval harus ditentukan terlebih dahulu koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan yang diberi simbol 1 - .

Pendugaan Interval

Pendugaan Interval

Koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan :Misalnya : 1 - = 0,90 = 0,10 = 10 %. /2 = 0,05 jadi Z/2 = Z 0,05 = (ZP = 0,5 - /2) =

Z 0,5 – 0,05 = Z0,45 = 1,645 (lihat Tabel Normal).

Misalnya : 1- = 0,98 dan n = 25 = 0,02 /2 = 0,01jadi t/2 ; v = t/2 ; n – 1 = t 0,01 ; 25 –1 = t 0,01 ; 24 = 2,492

( lihat tabel Distribusi t).

Koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan :

Menaksir Rataan

Pendugaan Titik untuk Rataan

Populasi Penduganyaµ

cenderung akan menjadi penduga µ yang amat tepat, jika n (ukuran

sampel) besar

x2 n

s x

2

2

CONTOH

Lihat di tabel dengan nilai

1-0,025 =0,9750 z

= 1,96

Dari soal sebelumnya, tentukan selang kepercayaan 99% untuk rataan nilai matematika semua mahasiswa tingkat sarjana

Rataan Populasi

Rataan contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi

s2 merupakan penduga tak bias bagi 2

x

1.96

x 1.96

x

SAMPLING ERROR

Dugaan Selang

nzx

nzx

22

n

stx

n

stx nn )1()1( 22

2 diduga dengan s2

ContohSurvei dilakukan terhadap 20 RT disuatu kota untuk menduga besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT). Datanya diperoleh sebagai berikut:

RT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Biaya(juta Rp) 2,30 4,50 4,00 5,00 3,80 7,20 6,25 5,75 6,70 7,80

RT 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Biaya(juta Rp) 6,80 5,30 8,00

15,10

13,20 4,50 2,00 4,70 5,75

10,10

a. Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun

b. Buatlah selang kepercayaan 95%, asumsikan biaya pendidikan mengikuti sebaran normal.

Jawab:a. Penduga rata-rata biaya pendidikan

b. Selang kepercayaan 95%44.6ˆ x

093,2

732407,020/275422,3/

)19;2/05,0(

db

x

t

nss

970,7905,4

732,0093,244,6732,0093,244,6

xx

Nilai s Dicari dari rumus

Contoh.Dua buah mesin A dan B dibandingkan dlm konsumsi BBM-nya. Random sampling mesin A sejumlah 50 dan B sejumlah 75 dipakai. Ternyata rata-rata konsumsi BBM mesin A adalah 36 mil/galon dan mesin B 42 milegalon. Carilah interval kepercayaan 96% bagi μB- μA bilamana diketahui standard deviasi populasi bagi A= 6 dan B = 8 mil/galon

Interval Kepercayaan Selisih Rata-Rata Populasi (σ diketahui)

Contoh:Diket.XsA=36, XsB = 42; nA=50 dan nB =75. σA=6 dan σB=8

Interval kepercayaan 96% bagi μvB- μA :

3.43 < μB- μA < 8.57 .

Jadi probabilitasnya tinggi bsahwa sampel A ditarik dari populasi yg memang rata-ratanya lebih tinggi dibandingkan B

B

B

A

AABAB

B

B

A

AAB nn

zxxnn

zxx22

02.0

22

02.0 )()()(

50

36

75

6405.2)3642()(

50

36

75

6405.2)3642( AB

Proporsi

Proporsi contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi p

p̂

p

1.96

p̂ 1.96

p̂

SAMPLING ERROR

Dugaan Selang / interval

11

)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆˆ

22 n

ppzx

n

ppzp

Selang kepercayaan (1-)100% bagi p

ContohDari sampel dengan n = 100 mahasiswa PTS “ABC”.

Ternyata 25 mahasiswa memiliki IPK ≥ 3. Buatlah dugaan untuk proporsi mahasiswa PTS “ABC” yang memiliki IPK ≥ 3 dengan interval keyakinan 95%.

Interval duga: p(0,206 < P < 0,335)

ContohSebelum memutuskan untuk memperkenalkan produk baru

pada tahun 1985, perusahaan coca cola memperkenalkan produk baru (tanpa diberi label) kepada 40,000 pelanggan di 30 kota. Sekitar 55% pelanggan lebih menyukai produk baru dibanding produk lama. Jika diasumsikan 40,000 pelanggan tersebut sebagai sebuah contoh acak dari populasi pelanggan coca cola di 30 kota:

Tentukan selang kepercayaan 95% bagi p (proporsi konsumen yang menyukai produk baru tersebut!

Tentukan selang kepercayaan 95% bagi proporsi konsumen yang lebih menyukai produk lama!

*Sumber : Mendenhall, W (1987)

*sedikit modifikasi soal

Selisih rataan dua populasi

Dugaan Selang

1

21

1

21

21211

21

1

21

21 22)()(

nnzxx

nnzxx

Syarat :

12 & 2

2

diketahui

Tidak

diketahui

12 & 2

2

Tidak sama

sama

Formula 1

Formula 2

1 - 2

21 xx

1-2

1.9621 xx

SAMPLING ERROR

1.9621 xx

a. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan sama:

21

2)(2121

21

2)(21

11)(

11)(

22 nnstxx

nnstxx gabvgabv

2dan 2

)1()1(21

21

222

2112

nnvnn

snsnsgab

Formula 1

b. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama: Formula 2

2

22

1

21

)(21212

22

1

21

)(21 22)()(

n

s

n

stxx

n

s

n

stxx vv

11

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

nnsnn

s

ns

ns

v

Contoh Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :

Dugalah beda kekuatan karton kedua perusahaan, dan hitung standar errornya

Buatlah selang kepercayaan 95% bagi beda kekuatan karton kedua perusahaan

Persh. A 30 35 50 45 60 25 45 45 50 40

Persh. B 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55

Diberi pakan tertentu

Ditimbang kondisi awal : bobot kelinci

Ditimbang kondisi akhir : bobot kelinci

Setelah periode tertentu

Perubahan akibat pemberian pakan : selisih bobot akhir –

bobot awal

d

d

Dugaan selang

n

std

n

std d

nDd

n )1()1( 22

Selang kepercayaan (1-)100% bagi d

Dugaan Selang

Beda nilai tengah bagi contoh berpasangan: d

Selang kepercayaan (1-)100% bagi d

n

std

n

std d

nDd

n )1()1( 22

Pasangan 1 2 3 … n

Sampel 1 (X1) x11 x12 x13   x1n

Sampel 2 (X2) x21 x22 x23   x2n

D = (X1-X2) d1 d2 d3   dn

iii

i

d xxin

dds 21i

2

2 ddan )(

Selisih dua proporsi

p1 - p2

21 ˆˆ pp

p1-p2

1.9621 ˆˆ pp

SAMPLING ERROR

1.9621 ˆˆ pp

Dugaan Selang

2

22

1

1121

2

22

1

1121

)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ)ˆˆ(

)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ)ˆˆ(

22 n

pp

n

ppzpp

n

pp

n

ppzpp

Selang kepercayaan (1-)100% bagi p1 - p2