PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL … PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN...

i

PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE

KEMUNGKINAN MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER

DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika

Oleh:

Roswita Putri Arcelia Hede

NIM: 123114005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2016

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

COMPARISON OF LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM

LIKELIHOOD METHOD FOR ESTIMATING THE TWO PARAMETER

WEIBULL DISTRIBUTION

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain Sarjana Sains Degree in Mathematics

By:


Student Number: 123114005

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTEMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

2016


''' "1:;-

.+'

PERBAIIDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE

KEMT]NGKINAIY MAKSIMTIM DALAM PNIYDUGAAFI PARAMETER

Dgsen Pembimbing

6rrh^/./*'q(Ir. Ig.Aris Dwiatmoko, M. Sc.) Tanggal: Juni 2016

lll

A}TDUAPARAMETER

fl** m*{d **@-gg

"'%*fi***d


SKRIPSI

PERBANDINGAI\I METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE

KEMUNGKINAI{ NNA(SNVTUM DALAM PENDUGAAI\ PARAMETER


Disiapkan dan ditulis oleh:


NIM:123114005

Telah dipertahankan dihadapan Panitia Penguj i

Pada tanggal 22 Juni 20 | 6

Dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama lengkap

Ketua: Y. G. Hartono Ph.D.

Sekretaris: Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan

Anggota: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Se.

Yogyakarta, lJ J u /i 2o 1 6Fakultas Sains dan Teknoloei

,/'oL

tv

Yg

frTT^'{9A

fr#i Mungkasi, Ph.D.)


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Bagi Tuhan tak ada yang mustahil

Lukas 1:37

Skripsi ini dipersembahkan untuk

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai dan memberkatiku

dengan berkatNya yang melimpah

Kedua orang tua Yohanes Hede dan Elisabet M. Adat

Nenek Lusia D. Bunga

Adik-adik tercinta Marry Grace Florensia Hede dan Alm. Hendrikus Alvian Hede

Serta almamater yang kubanggakan


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 16 Mei 2016

Penulis


VI


vii

ABSTRAK

Distribusi Weibull adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Sama seperti

distribusi probabilitas lainnya, distribusi Weibull dicirikan oleh mean, variansi dan

momen. Hal yang paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan

parameter. Metode yang digunakan dalam menduga parameter distribusi Weibull

dengan dua parameter adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan

Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Metode Kuadrat

Terkecil menduga parameter distribusi Weibull yang meminimumkan Jumlah

Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Metode kemungkinan Maksimum adalah

metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood . Pemilihan

metode terbaik diantara keduanya didasarkan pada perbandingan Rata-Rata Kuadrat

Galat (Mean Square Error). Metode yang lebih baik adalah metode yang memiliki

Rata-Rata Kuadrat Galat minimum. Perbandingan kedua metode diterapkan pada data

rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu dan Sumenep.

Kata kunci: distribusi Weibull, pendugaan parameter, Metode Kuadrat Terkecil,

Metode Kemungkinan Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat.


viii

ABSTRACT

Weibull distribution is one of the continuous probability density function. Similar to

other continuous probability function, Weibull distribution characterized by mean,

variance, and moment. The most important thing in analyzing a distribution is

parameter estimation. The method used in estimation of the two Weibull distribution

parameters is Least Square Method and Maximum Likelihood Method. Least Square

Method estimate the Weibull parameter distribution that minimizes the Sum of

Square Error. Maximum Likelihood Method is a estimation method that maximizes

the likelihood function . Choosing the best method of the two is done by

comparising the mean square error. The better method has the minimum Mean Square

Error. The comparison of the two method is applied to the monthly average data of

wind velocity in Enugu and Sumenep.

Keyword: Weibull distribution, parameter estimation, Least Square Method,

Maximum Likelihood Method, Mean Square Error


LEMBAR PERTANYAAN PERSETUJUAN PT]BLIKASI KARYA ILMIAIIUNTTiK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan dibawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:Nama : R0swita Putri Arcelia Hede

Nomer Mahasiswa ;123114005Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:

PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODEKEMUNGKINAI\ MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER


Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikankepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkandalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,mendistribusikannya secara tetbatas, dan mempublikasikannya di intemet atau medialain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikanroyalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di YogyakartaPadatanggal: 16 Mei 2016

Yang menyatakan

(Roswita Putri Arcelia Hede)

lx


x

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala

berkat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan baik.

Skripsi yang berjudul “Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode

Kemungkinan Maksimum Dalam Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan

Dua Parameter” ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana

Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini, tentunya

penulis telah menerima bantuan baik secara moril maupum materil dari berbagai

pihak. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan ucapan trima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko. M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan

penuh kesabaran telah memberikan bimbingan nasihat dan arahan kepada

penulis.

2. Bapak Hartono Ph. D, selaku Ketua Program Studi yang telah memberikan

banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan.

3. Serta bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan

kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma.

4. Mas Susilo selaku laboran yang telah banyak membantu penulis dalam

perkuliahan terutama dalam penulisan skripsi ini.

5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains

dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran,

serta administrasi bagi penulis selama masa perkuliahan.


xi

6. Bapa dan Mama yang penulis cintai dan banggakan, nenek Lusia D. Bunga,

serta adik Marry Grace Florensia Hede yang telah banyak memberikan

dukungan dan pengorbanan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi

dengan baik.

7. Teman-teman angkatan 2012 Program Studi Matematika yaitu Sila, Risma,

Happy, Bobi, Tika, Ajeng, Oksi, Juli, Ferni, Arum, Ilga, Lia, Noni, Dewi,

Manda , Anggun, Budi, Rian, Ega, yang telah memberikan dukungan dan

semangat dalam perkuliahan terlebih dalam penyusunan skripsi ini.

8. Teman-Teman kos Cintia: Archa, Lisa, Nova, Tia, Mb. Ela, Mb. Ria, Mb

Ketrin, Mb. Intan, Awang, Hera, Tanti dan juga Asri dan Digna yang selalu

memberikan semangat dalam penyelesaian skripsi ini.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak

memberikan bantuan, dorongan dan motivasi sehingga skripsi ini dapat

terselesaikan.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, maka

saran dan kritik yang konstruktif dari semua pihak sangat diharapkan demi

penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua

pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.

Yogyakarta, 16 Mei 2016

Penulis

(Roswita Putri Arcelia Hede)


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...................................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .................................................. ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................................... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................. vi

HALAMAN ABSTRAK ............................................................................................. vii

HALAMAN ABSTRACT ......................................................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI....................................... ix

KATA PENGANTAR .................................................................................................. x

DAFTAR ISI ............................................................................................................... xii

DAFTAR TABEL ....................................................................................................... xv

DAFTAR GAMBAR ................................................................................................. xvi

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1

Latar Belakang Masalah ................................................................................................ 1

A. Rumusan Masalah ............................................................................................... 3

B. Pembatasan Masalah .......................................................................................... 4

C. Tujuan Penulisan ................................................................................................. 4

D. Manfaat Penulisan ............................................................................................... 4

E. Metode Penulisan ................................................................................................ 5

F. Sistematika Penulisan .......................................................................................... 5

BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................... 9

A. Distribusi Probabilitas ......................................................................................... 9

1. Variabel Random .............................................................................................. 9

2. Fungsi Probabilitas ............................................................................................ 9

a. Distribusi Probabilitas Diskrit ....................................................................... 9

b. Distribusi Probabilitas Kontinu ................................................................... 10


xiii

3. Fungsi Distribusi Kumulatif .................................................................................. 10

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas ............................................................... 10

a. Mean .......................................................................................................... 10

b. Variansi ..................................................................................................... 11

c. Momen ...................................................................................................... 11

d. Fungsi Pembangkit Momen ...................................................................... 12

B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya ................................................................ 13

1. Mean ........................................................................................................... 18

2. Variansi ....................................................................................................... 19

3. Fungsi Pembangkit Momen ......................................................................... 20

C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ........................................................ 21

1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter .................. 23

a. Mean ...................................................................................................... 24

b. Variansi ................................................................................................. 24

c. Momen .................................................................................................. 25

2. Grafik Distribusi Weibull ............................................................................ 26

D. Pendugaan Parameter ........................................................................................ 32

1. Penduga Titik ............................................................................................... 33

2. Penduga Interval .......................................................................................... 33

E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik ...................................... 33

F. Metode Kuadrat Terkecil ................................................................................... 35

1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil .......................................................... 38

G. Uji Kolmogorov Smirnov .................................................................................. 53

H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov ..................... 56

I. Metode Kemungkinan Maksimum .................................................................... 58

J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana .............. 63

K. Metode Newton Raphson .................................................................................. 67

BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN

METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN

MAKSIMUM .............................................................................................................. 72


xiv

A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ........................................................ 72

B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil ....... 72

C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan

Maksimum ......................................................................................................... 85

BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER ..... 95

A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil

Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu ............. 95

1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull ........................................ 96

2. Estimasi Parameter ...................................................................................... 97

B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan

Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di

Enugu ................................................................................................................. 98

C. Uji Distribusi Weibull ..................................................................................... 101

D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum

......................................................................................................................... 103

E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil

Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep ....... 104

F. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan

Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di

Sumenep .......................................................................................................... 106

G. Uji Distribusi Weibull ..................................................................................... 108

H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum

......................................................................................................................... 110

BAB V PENUTUP .................................................................................................... 112

A. Kesimpulan ...................................................................................................... 112

B. Saran ............................................................................................................... 113

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................... 114

LAMPIRAN .............................................................................................................. 116


xv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku ................................................................ 52

Tabel 2.2 Data Contoh 2.2 .......................................................................................... 56

Tabel 3.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan (

) Di Kolkata .................... 80

Tabel 4.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan (

) Di Enugu ...................... 95

Tabel 4.2 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan Di Sumenep, Jawa Timur .. 104


xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan dan dan ......... 27

Gambar 3.1 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan

dan ...................................................................................................... 81

Gambar 3.2 Grafik ( ) dan ( ) ......................................................................... 83

Gambar 3.3 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan

................................................................................................................. 91


............................................................................................................ 98


............................................................................................................. 101


........................................................................................................... 106


............................................................................................................... 108


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan

dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data empi-

ris yang berasal dari sampel acak. Tujuan dari statistik adalah menggunakan

informasi yang terkandung dalam sampel untuk membuat kesimpulan tentang

populasi dari mana sampel tersebut di ambil. Parameter adalah suatu konstanta

yang mencirikan (merupakan karakteristik) populasi. Penduga berupaya untuk

mengaproksimasi parameter yang diketahui tersebut menggunakan pengukuran.

Dalam mengkaji suatu distribusi hal yang paling penting adalah masalah

menduga parameternya. Dalam teori probabilitas, distribusi Weibull adalah distri-

busi probabilitas kontinu dan merupakan satu dari distribusi yang digunakan pada

praktek ilmu teknik. Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh ilmuwan dari

Swedia yang bernama Waloddi Weibull. Walodi Weibull menemukan distribusi

Weibull pada tahun 1937 dan disampaikan pada jurnal Hallmark Amerika pada

tahun 1950 meskipun pertama kali diidentifikasi oleh Fréchet (1927) dan pertama

kali diterapkan oleh Rosin dan Rammler (1933) untuk menggambarkan distribusi

ukuran partikel. Weibull mengklaim bahwa distribusi ini dapat diaplikasikan pada

berbagai masalah. Distribusi ini pada awalnya mendapat tanggapan negatif dari

para ahli.


2

Selama lebih dari setengah abad distribusi Weibull telah menarik perhatian

para ahli statistika yang mempelajari teori dan metode dalam berbagai bidang

penerapan statistika. Ditribusi Weibull akhirnya menjadi orientasi dari ahli statis-

tika karena kelebihannya yakni dapat digunakan dalam berbagai bidang mulai dari

uji hidup (life testing), peramalan cuaca, serta observasi antara lain dalam bidang

ekonomi, administrasi bisnis, hidrologi, biologi, dan ilmu-ilmu rekayasa.

Variable random dikatakan mempunyai distribusi Weibull bila fungsi

probabilitasnya :

{

( )

dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter

skala (scale parameter).

Distribusi Weibull termasuk dalam keluarga distribusi Eksponensial, hal

itu dapat dilihat dari persamaan di atas. Jika maka fungsi densitas

probabilitas tersebut menjadi :

{

(

)

Dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter,

penulis menggunakan Metode Pendugaan Kuadrat Terkecil (Least Square

Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).

Metode Kuadrat Terkecil adalah salah satu metode yang sering digunakan untuk

mendapatkan nilai-nilai penduga dalam pemodelan regresi yang meminimumkan


3

jumlah kuadrat galat. Sedangkan Metode Kemungkinan Maksimum adalah

metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood .

Sesuai dengan uraian diatas, maka penulis ingin mempelajari lebih jauh

tentang distribusi Weibull dan sifat-sifatnya dan membandingkan pendugaan pa-

rameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kuadrat

Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.

Dalam skripsi ini, penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean

Square Error) untuk menentukan metode terbaik dalam menduga parameter distri-

busi Weibull dengan dua parameter. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran ke-

akuratan dari penduga. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi

Weibull adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum.

B. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam tulisan ini adalah

1. Bagaimana sifat-sifat statistis distribusi Weibull?

2. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter

menggunakan Metode Kuadrat Terkecil?

3. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter

menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum?

4. Bagaimana membandingkan metode terbaik dalam mengestimasi parameter

distribusi Weibull dengan dua parameter?


4

C. Pembatasan Masalah

Adapun beberapa hal yang dibatasi penulis dalam tulisan ini adalah

1. Dalam mengestimasi parameter distribusi, penulis hanya akan membahas

pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan

Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.

2. Penulis tidak membahas pendugaan interval dari distribusi Weibull dengan

dua parameter.

3. Penulis tidak akan mengkaji generalisasi dan modifikasi dari distribusi

Weibull.

4. Penulis tidak mencantumkan semua teori yang digunakan, tetapi hanya diba-

tasi oleh teori yang digunakan secara langsung.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penulisan ini adalah ingin meng-

estimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter dengan Metode

Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum

(Maximum Likelihood Method) serta membandingkan kedua metode tersebut

untuk menentukan metode terbaik dalam mengestimasi parameter distribusi

Weibull dengan dua parameter.

E. Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat

mempelajari sifat-sifat distribusi Weibull dan metode pendugaan distribusi


5

Weibull dengan dua parameter serta menentukan metode terbaik dalam menduga

parameter distribusi Weibull dengan dua parameter.

F. Metode Penelitian

Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir adalah studi

pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku atau jurnal yang berkaitan dengan

estimasi parameter distribusi Weibull.

G. Sistematika Penulisan

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Perumusan Masalah

C. Pembatasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisa

BAB II. LANDASAN TEORI

A. Distribusi Probabilitas

1. Variabel Random

2. Fungsi probabilitas

a. Distribusi Probabilitas Diskret

b. Distribusi Probabilitas Kontinu


6

3. Fungsi Distribusi Kumulatif

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas

a. Mean

b. Variansi

c. Momen

d. Fungsi Pembangkit Momen

B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya

1. Mean

2. Variansi

3. Fungsi Pembangkit Momen

C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter

1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter

a. Mean

b. Variansi

c. Momen

2. Grafik Distribusi

D. Estimasi Parameter

E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat Galat dari Penduga Titik

F. Metode Kuadrat Terkecil

1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil

G. Uji Kolmogorov-Smirnov

H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov

I. Metode Kemungkinan Maksimum


7

J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear

Sederhana

K. Metode Newton Raphson

BAB III. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN

METODE KUADRAT TERKECIL

A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter

B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat

Terkecil

C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode

Kemungkinan Maksimum

BAB IV. APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL

A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat

Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di

Enugu

1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull

2. Estimasi Parameter

B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode

Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepa-

tan Angin di Enugu

C. Uji Distribusi Weibull

D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungki-

nan Maksimum


8

E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat

Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Su-

menep

F. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode

Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepa-

tan Angin di Sumenep

G. Uji Distribusi Weibull

H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungki-

nan Maksimum

BAB V. PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


9

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Distribusi Probabilitas

1. Variabel Random

Definisi 2.1

Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang

sampel. Dengan X adalah notasi untuk variabel random dan x menyatakan

nilainya.

Definisi 2.2

Sebuah variabel random dikatakan variabel random diskret jika himpunan dari

kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas

maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu.

2. Fungsi Probabilitas

Fungsi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit

dan distribusi probabilitas kontinu.

a. Distribusi Probabilitas Diskrit

Definisi 2.3

Himpunan pasangan terurut )) adalah fungsi probabilitas dari variabel

random diskrit jika


10

1) ) untuk setiap

2) ∑ )

b. Distribusi Probabilitas Kontinu

Definisi 2.4

Fungsi ) adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel

random kontinu , jika

1) )

2) ∫ )

3. Fungsi Ditribusi Kumulatif

Definisi 2.5

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah va-

riabel random diskret dan kontinu didefinisikan sebagai berikut

) )

{

∑ )

∫ )

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas

a. Mean

Definisi 2.6

Mean atau nilai harapan (expected value) dari suatu variabel random dinota-

sikan sebagai atau ) didefinisikan sebagai


11

)

{

∑ )

∫ )

b. Variansi

Definisi 2.7

Jika adalah variabel random, maka variansi dari ditulis ) didefinisikan

sebagai

) [ )) ]

Teorema 2.1

) ) ( ))

Bukti

) [ )) ]

) ))

) ) ) ( ))

) ) ( ))

c. Momen

Definisi 2.8

Momen ke-k dari variabel random Y di sekitar titik asal dinotasikan dengan

didefinisikan sebagai

)


12

d. Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

Definisi 2.9

Fungsi pembangkit momen ) dari sebuah variabel random Y didefinisikan

sebagai ) ). Fungsi pembangkit moment dari Y dikatakan ada jika

terdapat konstanta positif b sedemikian sehingga m(t) berhingga untuk | |

.

Teorema 2.2

Diberikan ) dan ) adalah fungsi pembangkit momen dari variabel

random dan . Jika ) ) maka dan mempunyai distribusi

yang sama.

Bukti

Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi

Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan

menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu

) )

dengan adalah bilangan kompleks

Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti

dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi

kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu

∫ )

∫ )


13

Maka ) ) (skripsi hal 54).

Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara

fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.

B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya

Distribusi probabilitas (fungsi densitas) merupakan representasi dari populasi yang

dicirikan dengan suatu konstanta yang disebut parameter.

Definisi 2.10

Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan atau yang merupakan karakteristik

populasi.

Definisi 2.11

Statistik adalah sebarang fungsi dari elemen pada sampel random yang tidak

bergantung pada paremeter yang tidak diketahui. Contohnya ∑

Definisi 2.12

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai

) ∫


14

Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistik karena dapat di-

gunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi pembangkit

momen, variansi, mean dan momen.

Teorema 2.3

Fungsi Gamma memiliki sifat

1. ) ) ) untuk setiap

Bukti

Berdasarkan definisi 2.12

) ∫

Misalkan

maka ) dan maka

) ∫

[ ] ∫ )

[ ] )∫

[ ] )∫ )

.

/ ) )


15

0 ( ) )

1 ) )

[ ( ) )] ) )

{ [ ) (

)]} ) )

) )

2. ) ) dengan n bilangan bulat positif

Bukti

Berdasarkan sifat Gamma

) ) )

Sehingga diperoleh

) ) )

) ) )

) ) ) )

) ) ) ) ) ) )

Berdasarkan definisi 2.12 maka diperoleh

) ∫

∫

[ ]


16

diperoleh

) ) ) ) ) ) )

)

3. (

) √

Bukti

Akan di buktikan bahwa (

) √


) ∫

Misalkan

) ∫

∫

Ketika maka

Sehingga diperoleh

(

) ∫

[ (

)]

[ (

)] [ (

)]

. ∫

/. ∫

/


17

∫ ∫ )

Integral tersebut diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi

integral polar.

Misalkan maka

)

[ (

)]

∫ ∫

∫ ∫

(∫

).∫

/

Misalkan

(

) .

∫

/

[ ]

)

(

) √


18

Definisi 2.13

Sebuah variabel random dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter

jika dan hanya jika fungsi probabilitas adalah

) {

)

dengan ) ∫

1. Mean

Jika berdistribusi Gamma dengan parameter , maka

)

Bukti


) ∫ )

∫

)

Berdasarkan definisi fungsi probabilitas

∫

)


19

∫

) (2.1)

) ∫

)

)∫

) )

Persamaan terakhir diperoleh berdasarkan persamaan 2.1

Berdasarkan sifat fungsi Gamma maka ) ), maka diperoleh

) )

)

2. Variansi

Jika Y berdistribusi Gamma dengan parameter , maka variansi dari

distribusi Gamma adalah

)

Bukti

Berdasarkan teorema 2.1

) ) ( ))

) ∫

)


20

∫

)

)∫

Berdasarkan persamaan 2.1 dan teorema 2.3, maka diperoleh

)

) )

) )

)

) )

)

)

Maka

) ) ( ))

) )

)

3. Fungsi Pembangkit Momen

Berdasarkan definisi 2.9, maka

) )


21

∫ [

)]

)∫

)∫

( )

)∫

(

)

)∫

Berdasarkan definisi 2.12 dan persamaan 2.1, maka diperoleh

)

)(

)

)

)

C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter

Definisi 2.14

Variabel random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter

, bila fungsi probabilitasnya:

{

( )


22

dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter skala

(scale parameter).

Akan ditunjukkan berdasarkan definisi 2.4 bahwa persamaan di atas merupakan

fungsi probabilitas. Jelas bahwa ) untuk setiap . Selanjutnya akan

ditunjukkan bahwa ∫ )

Misalkan (

)

maka

∫ )

∫

( )

∫

[ ]

)

Jadi terbukti bahwa ) adalah fungsi probabilitas

Definisi 2.15

Bila telah diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull seperti yang diberikan

pada definisi 2.14 maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dapat

ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka

) ∫ )


23

) ∫

[

]

Misalkan (

)

)

∫

)

∫ )

[ )]

[ (

)

]

( (

)

)

Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah

( (

)

)

1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter

Sifat-sifat statistis dari distribusi Weibull antara lain adalah rata-rata

(mean), variansi dan fungsi pembangkit momen (moment generating function)


24

a. Mean


) ∫ )

∫

( )

Misalkan (

)

maka

dan

∫

∫

∫

berdasarkan fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh

) (

)

b. Variansi

Berdasarkan teorema 2.1

) ) ( ))

) (

)

) ∫ )


25

∫

( )

Misalkan (

)

maka

∫

∫ ( )

∫

Berdasarkan subsitusi fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh

) (

)

) ) ( ))

(

) [ (

)]

(

) (

)

0 (

) (

)

1

c. Momen (Moment)

Berdasarkan definisi 2.8 momen ke- didefinisikan sebagai

)

Maka, momen ke- dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah


26

) ∫

)

∫

( )

Misalkan (

)

maka

dan

∫

( )

∫

Berdasarkan definisi 2.12, maka diperoleh

(

)

2. Grafik Distribusi Weibull

Grafik dari distribusi Weibull sangat beragam. Grafik distribusi Weibull

bergantung pada nilai parameter dan yang dipilih, sehingga grafik akan

memiliki berbagai macam bentuk. Jika parameter yang akan diubah-ubah adalah

parameter skala dengan menganggap parameter bentuk konstan, maka akan

diperoleh grafik fungsi probabilitas ) . Hal ini juga terjadi ketika


27

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

f(x)

a=0.5a=1a=1.5

a=5

grafik fungsi distribusi Weibull

f(x)

parameter yang diubah adalah parameter bentuk dan mengganggap parameter

skala konstan.

Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan dan

Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa nilai yang berbeda-beda akan

membentuk grafik yang berbeda-beda pula. Ketika maka akan diperoleh

grafik dari distribusi Eksponensial. Gambar 2.1 diproduksi dari program R pada

lampiran A.1.

Teorema 2.4

Misalkan ), jika maka berdistribusi Chi Squre dengan derajat

bebas .

Bukti

Fungsi probabilitas dari adalah )

√


28

) )

)

( √ )

( √ √ )

(√ ) ( √ )

)

[ (√ ) ( √ )]

(√ )

( √ )

√

(√ )

√

( √ )

√

√

√

)

(

)

Sehingga diperoleh ) adalah fungsi probabilitas dari distribusi Gamma

dengan

dan dan ) juga adalah fungsi probabilitas distribusi Chi

Square dengan derajat bebas . Maka fungsi pembangkit momen dari adalah

) )


29

Teorema 2.6

Misalkan variabel random independen berdistribusi Normal dengan

) dan ) untuk dan misalkan adalah

konstanta. Jika ∑ maka variabel random

berdistribusi Normal dengan

) ∑

dan

) ∑

Bukti

Karena berdistribusi Normal dengan ) dan ) , fungsi

pembangkit momen adalah

) .

/

Maka fungsi pembangkit momen dari adalah

) )

)

.

/

Karena variabel random independen, maka variabel random juga independen

untuk , maka


30

) )

) )

.

/

.

/ .

/

( ∑

∑

)

) merupakan FPM dari distribusi Normal dengan rata-rata rata-rata ∑

dan variansi ∑

Maka berdasarkan teorema ketunggalan berdistribusi Normal dengan rata-rata

∑ dan variansi ∑

Teorema 2.6

Misalkan adalah variabel random independen dengan ). Jika

∑

, maka berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas

Bukti

Berdasarkan teorema 2.4 fungsi pembangkit momen dari adalah )

Karena independen, maka

) )

) )

) )

)

)


31

) )

adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma

dengan

dan atau (

) dan juga fungsi pembangkit momen dari

distribusi Chi Square dengan derajat bebas . Sehingga menurut teorema ketunggalan

)

Teorema 2.7

Jika ) dan adalah matriks simetri idempoten dengan rank maka

)

Bukti

Karena simetri maka dapat didiagonalkan dengan matriks ortogonal maka

diperoleh

[

]

Selanjutnya, karena idempoten maka nilai akar karakteristiknya adalah dan ,

maka dapat dipilih sedemikian sehingga

*

+

Dimensi dari matriks identitas akan sama dengan rank dari , karena banyaknya akar

tak nol adalah rank dari matriks dan karena trace dari matriks adalah jumlah dari akar,

maka dimensi juga sama dengan trace dari .

Misalkan


32

) ) )

) )

Maka berdasarkan teorema 2.5 )

Misalkan distribusi dari menggunakan transformasi dari . Karena matriks

ortogonal, maka invers dari sama dengan transpose dari

)

Maka diperoleh

*

+

∑

∑ (

)

∑ (

)

adalah jumlah kuadrat dari variabel normal standar. Berdasarkan teorema

2.6 maka

berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas

D. Pendugaan Parameter

Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan dengan

pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data empiris yang


33

berasal dari sampel random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk

menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel.

Definisi 2.16

Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang

memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengu-

kuran yang termuat di dalam sampel.

Pendugaan dibagi menjadi dua yaitu penduga titik (point estimation) dan

penduga selang (interval estimation).

1. Penduga Titik (Point Estimator)

Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya

menduga parameter yang sebenarnya.

2. Penduga Interval (Interval Estimator)

Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang

besar akan memuat parameter yang sebenarnya.

E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik

Definisi 2.17

Misalkan adalah penduga titik dari parameter , maka adalah penduga tak bias

jika ( ) .


34

Definisi 2.18

Bias dari penduga titik didefinisikan sebagai ( ) ( )–

Definisi 2.19

Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dari penduga titik adalah

( ) *( ) +

Rata-rata kuadrat galat dari sebuah penduga adalah fungsi dari variansi dan

biasnya.

Teorema 2.8

( ) ( ) * ( ) +

Bukti

( ( )) ( ( ) )

( ) *( ( )) ( ( ) )+

( ) ( ( ))

( ( )) ( ( ) ) ( ( ) )

*( ) + [( ( ))

] * ( ( )) ( ))+ [ ( )]

*( ) + ( ) [ ( )]


35

F. Metode Kuadrat Terkecil

Regresi linier adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui

hubungan antara variabel terikat (dependen; ) dengan satu atau lebih variabel bebas

(independen; ).

Definisi 2.20

Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai

dengan pengamatan ke- variabel dependen

= intersep (intercept)

= parameter regresi (slope)

= pengamatan ke- variabel independen

= galat (error) dari pengamatan ke-

Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) merupakan salah satu metode

yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam

pemodelan regresi. Misalkan ) sampel random berukuran n dari sebuah

populasi, berdasarkan definisi 2.20 maka persamaan garis regresinya adalah

Metode Kuadrat Terkecil bertujuan menentukan penduga dari yaitu

. Dengan asumsi ) persamaan regresi akan di duga oleh


36

.

Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan penduga dari

yang akan meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error).

Definisi 2.21

Jumlah kuadrat galat (Sum of Squares Error) didefinisikan sebagai

∑ )

∑[ ( )]

Jumlah Kuadrat Galat minimum diperoleh dengan menggunakan turunan parsial

terhadap maka

,∑ [ ( )]

-

∑ [ ( )]

(∑ ∑

)

∑ ∑

∑

∑

(2.2)


37

,∑ [ ( )]

-

∑ {[ ( )] }

(∑

∑ ∑

)

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

(2.3)

Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.2 dan persamaan 2.3

maka diperoleh

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑ )

(2.4)

∑

∑ ∑

∑

∑ )

(2.5)

Penduga dan pada persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 adalah penduga yang

memiliki jumlah kuadrat galat paling minimum, karena

dan

dan

dan

maka dan adalah titik minimum.


38

1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil

Sifat dari penduga Metode Kuadrat Terkecil dalam Regresi Linear Sederhana

adalah

a. Penduga dan tak bias, yaitu ( ) untuk .

Bukti

Sebuah penduga dikatakan merupakan penduga tak bias jika ( ) . Dan

mengunakan fakta bahwa ) .

Berdasarkan persamaan 2.4

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑ )

) ∑

∑ ) ∑ ∑

)

∑

∑ )

∑

∑

) ∑ (∑

))

∑

∑ )

∑

∑

∑

∑

) ∑

∑

∑

∑ )

∑

∑

)

∑

∑ )

∑

∑

) )

∑

∑ )


39

Maka adalah penduga tak bias bagi .


∑

∑ ∑

∑

∑ )

) ∑ ) ∑ ∑ )

∑

∑ )

∑ ) ∑ ∑ )

∑

∑ )

∑ ∑

∑

∑

)

∑

∑ )

∑

∑

)

∑

∑ )

∑

∑

) )

∑

∑ )

Maka adalah penduga tak bias bagi .


40

b. ( ) dengan

∑ )

dan adalah parameter yang tidak

diketahui.

Bukti

Persamaan 2.5 dapat ditulis dalam bentuk seperti dibawah ini

∑

∑ ∑

∑

∑ )

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Berdasarkan lampiran A.2, bentuk alternatif dari adalah

Jika ∑ ) , maka diperoleh

∑ ) )

∑ )

∑ ) )

∑ )

∑ )

∑ )


41

c. ( ) dengan

∑

∑ )

dan adalah parameter yang

tidak diketahui.

Bukti


) .∑ )

∑ )

/

.

∑ )

/

(∑ )

)

.

∑ )

/

∑ )

)

∑ )

∑

∑

∑

∑

∑

∑

(2.6)

) (∑

∑ ( )

∑ ( )

)


42

Karena dan independen dimana , maka ( )

)

dari persamaan 2.6 diperoleh

∑ ∑( )

( )

( )

) )

) ( ) )

) ( ) )

∑ )

)

∑ )

∑ )

∑ )

∑ )

∑ )

∑

∑ )


43

d. ( ) dengan

∑ )

dan adalah parameter yang

tidak diketahui.

Bukti

Berdasarkan persamaan 2.6, diperoleh

∑ )

( )

( )

maka

( ) [ ) )]

[( ( ) ) )]

* ( ) ( ) +

karena [ ]

* ( ) +

( )

∑ )


44

e. Penduga tak bias dari adalah

dengan ∑ [

( )] .

Bukti

Akan dibuktikan

adalah penduga tak bias dari

) [(

) ]

(

) )

) [∑[ ( )]

]

[∑[ ]

]

[∑( ) ))

]

[∑ ) )

) )]

karena ∑ ) ) ∑ )

, maka diperoleh

) [∑ ) )

]

∑ [ ) ]

∑ )

)

karena ∑ ) ∑

, maka diperoleh


45

) ∑ )

) ∑ )

)

Untuk sebarang variabel random berlaku ) ) [ )] , maka

diperoleh

) ∑[ ) [ )] ]

[ ) [ )] ]

∑ )

* ( ) [ ( )] +

∑[ ) ]

0

) 1

∑ )

0

∑ )

1

∑[

] 0

1

∑ )

∑

∑

∑ )

) ∑

∑ )


46

Karena ∑ ) ∑

, maka diperoleh

) ∑

[∑

]

) ∑

∑

)

) )

)

Maka adalah penduga tak bias dari .

Jika untuk berdistribusi Normal, maka

f. dan berdistribusi Normal.

Bukti

Pada model regresi linear sederhana , bentuk galat

tidak bergantung pada dengan rata-rata ) dan variansi )

. Bentuk dari distribusi sampling untuk dan bergantung pada distri-

busi dari galat . Maka jika berdistribusi Normal, maka berdistribusi

Normal dengan rata-rata dan variansi , karena dan adalah

fungsi linear dari , maka berdistribusi Normal dengan rata-rata


47

dan variansi ∑

∑ )

dan berdistribusi Normal dengan rata-rata

dan variansi ∑

∑ )

.

g. Variabel random )

berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas .

Bukti


Jika ditulis ke dalam bentuk matriks, maka model regresi linear sederhana

dapat ditulis sebagai

[

] [

] [

] [

]

Bentuk lain dari model regresi linear sederhana adalah

dengan [

] [

] [

] dan [

]

Penduga kuadrat terkecil dari yaitu , dapat dinotasikan dengan notasi

matriks

)

Penduga dari regresi linear sederhana adalah


48

Galat dari model regresi linear sederhana adalah

)

) )

dengan ) )

adalah matriks simetri idempoten.

Akan dibuktikan adalah matriks simetri dan idempoten

Bukti

) )

) [ ) ]

)

Jadi adalah matriks simetri.

) ) ) ) )

) ) ) ) )

) ) ) )

) ) )

)


49

Jadi adalah matriks idempoten.

Akan dibuktikan

) ) )

) ) )

) )

)

)

Akan dibuktikan

) )

) ) )

) ) )

) ) )

) )

Statistik didefinisikan sebagai


50

∑

Akan dibuktikan )

berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas

)

)

0

1 *

+

Variabel random *

+ berdistribusi normal standar dengan rata-rata nol dan

variansi . Karena matriks adalah matriks simetri dan idempoten, maka

berdasarkan teorema 2.7 *

+ *

+ berdistribusi Chi Square dengan derajat

bebas .

Jadi )

berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas

h. Statistik tidak bergantung pada dan

Bukti


51

∑ [ ( )]

∑ [ ( )]

∑ [ ]

∑ [ ) )]

∑ ) ) )

)

∑ ) ) ) ) )

∑ ) ) )

karena ∑ )

∑ )

, maka diperoleh

∑ ) ∑ )

∑ )

) )

∑ ) ) ∑ )

∑ ) )

∑ ) )

Jadi, tidak bergantung pada dan

Contoh 2.1

Auditor sering diminta untuk membandingkan hasil audit dari item penyimpanan

buku (atau terdaftar). Jika sebuah perusahaan selalu memperbaharui penyimpanannya


52

dan buku up to date, maka pasti terdapat hubungan linear antara nilai audit dan nilai

buku. Sebuah perusahaan mengambil sampel sepuluh item inventori dan memperoleh

nilai audit dan buku yang diberikan pada tabel di bawah ini.

Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku

Item Nilai Audit

( ) Nilai Buku

( ) 1 9 10

2 14 12

3 7 9

4 29 27

5 45 47

6 109 112

7 40 36

8 238 241

9 60 59

10 170 167

Gunakan model untuk data di dalam tabel tersebut.

Jawab

Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 diperoleh

∑

∑ ∑

∑

∑ )

)


53

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑ )

)

Jadi, penduga kuadrat terkecil dari dan adalah dan

Sehingga diperoleh model persamaan regresi

Penyelesaian contoh 2.1 dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.3.

G. Uji Kolmogorov Smirnov

Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan distribusi

yang mendasari suatu kumpulan data (atau variabel random). Uji kecocokan

(goodness of fit test) biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa

distribusi yang tidak diketahui untuk menguji hipotesis nol bahwa fungsi distribusi

yang tidak diketahui sebenarnya dikenal atau diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu.

Kecocokan (goodness of fit) dapat di uji dengan berbagai metode, diantaranya uji

Kolmogorov Smirnov, uji Chi Square dan uji Anderson Darling. Pada tugas akhir ini,

hanya akan dibahas uji kecocokan dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov.

Pada dasarnya uji kecocokan berdasarkan pada salah satu dari dua elemen

distribusi, yaitu fungsi distribusi kumulatif (Cumulative Ditribution Function) atau


54

fungsi probabilitas (Probability Density Function). Uji Chi Square berdasarkan pada

fungsi probabilitas sedangkan uji Kolmogorov Simirnov dan uji Anderson Darling

berdasarkan pada fungsi distribusi kumulatif. Uji Kolmogorov Smirnov disarankan

pertama kali oleh Kolmogorov pada tahun 1933.

Misalkan variabel random berasal dari distribusi yang tidak

diketahui ), dan misalkan ) ) ) adalah statistik terurut. akan

diuji hipotesis bahwa ) adalah sama dengan suatu distribusi tertentu ).

Definisi 2.22

Statistik uji Kolmogorov Smirnov didefinisikan sebagai

) (2.7)

[ ) ( ))]

[ ( )) )]

dengan , ) adalah fungsi distribusi empiris. Fungsi distribusi empiris

berguna sebagai penduga dari fungsi distribusi yang tidak diketahui ).

Definisi 2.23

Misalkan adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris ) di

definisikan sebagai


55

)

{

)

) )

)

Hipotesis uji Kolmogorov Smirnov adalah

) )

untuk setiap dengan ) adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan

) )

Jika lebih dari yang diberikan oleh tabel Kolmogorov Smirnov maka

ditolak pada tingkat signifikansi .

H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov

Uji Kolmogorov Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji suatu data

berdistribusi Weibull atau tidak. Uji distribusi Weibull dengan Kolmogorov Smirnov

dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Weibull.

Langkah-langkah uji Kolmogorov Smirnov untuk distribusi Weibull adalah sebagai

berikut

1. ))

2. Tentukan tingkat signifikansi

3. Statistik uji

)


56

4. Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar

5. Hitunglah ) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull

6. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah fungsi distribusi empiris )

7. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah nilai dan , dan tentukan maksimum

dari ( )

8. Daerah keputusan :

ditolak jika

9. Kesimpulan

Contoh 2.2

Diberikan data dalam tabel 2.2 di bawah ini. Ujilah apakah data tersebut berdistribusi

Weibull dengan .

Tabel 2.2 Data Contoh 2.2

No 1 2 3 4 5 6

1.43 4.115 7.578 8.02 10.429 11.722

Jawab

1.

2.

3. Statistik uji


57

)

4. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull

adalah

) ( (

)

)


di tolak jika

6. Perhitungan

) ) )

1 1.43 0.091 0.167 0.000 0.075 0.091

2 4.115 0.315 0.333 0.167 0.019 0.148

3 7.578 0.566 0.500 0.333 -0.066 0.233

4 8.02 0.593 0.667 0.500 0.073 0.093

5 10.429 0.718 0.833 0.667 0.115 0.051

6 11.722 0.771 1.000 0.833 0.229 -0.062

Maksimum 0.229 0.233

)

7. Kesimpulan

Karena maka diterima. Data tersebut berdistribusi

)


58

I. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation Method)

Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan dalam

suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga bola.

Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak

diketahui banyaknya bola untuk setiap warna.

Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel

random menghasilkan dua bola merah. Dapat disimpulkan bahwa jumlah bola merah

pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat nol atau satu bola merah pada kotak,

maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika mengambil sampel

tanpa pengembalian). Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak,

peluang terpilihnya dua bola merah secara acak adalah

( ) (

)

( )

Jika terdapat tiga bola merah pada kotak, peluang terpilihnya tiga bola merah secara

acak adalah

( )

( )

Oleh karena itu dipilih tiga sebagai penduga dari banyaknya bola merah pada

kotak karena tiga merupakan penduga yang memaksimumkan probabilitas dari

sampel yang diamati bandingkan dengan dua yang probabilitasnya

(lebih kecil).


59

Kemungkinan terdapat dua bola merah pada kotak juga benar, tetapi hasil yang

diamati memberikan kepercayaan lebih untuk tiga bola merah dalam kotak. Contoh

ini mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah penduga yang dapat

diaplikasikan pada berbagai situasi. Secara teknis, metode ini disebut Metode

Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).

Metode Kemungkinan Maksimum pertama kali diperkenalkan oleh R.A Fisher

pada tahun 1912. Metode ini menghasilkan penduga yang sangat baik bagi untuk

sampel yang sangat besar.

Definisi 2.24

Misalkan adalah variabel random kontinu berukuran dengan fungsi

probabilitas ) dan adalah parameter yang tidak diketahui, fungsi likelihood

dari sampel random adalah densitas bersama dari variabel random dan adalah

fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dinotasikan dengan

) dan didefinisikan sebagai

) ∏ )

Definisi 2.25

Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimator) dari

memaksimumkan likelihood | ) atau ekuivalen dengan memaksimumkan log-

likelihood | ) dengan ).


60

Selain itu, karena biasanya sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka

yang dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari logaritma natural fungsi

likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood. Fungsi log-likelihood

dapat ditulis dalam bentuk :

)

Nilai parameter dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-

likelihood. Hal tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi

log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE merupakan

penyelesaian dari persamaan berikut :

Misalkan terdapat parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan parameter

dengan Metode Kemungkinan Maksimum

dengan )

Contoh 2.3

Misalkan adalah sampel random berdistribusi Normal dengan mean

dan variansi . Temukan dan dengan menggunakan Metode Kemungkinan

Maksimum.


61

Jawab

adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan mean dan

variansi maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai

)

√ [(

)] )

berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh

) | )

| ) |

) | )

0

√ .

)

/1

√ .

)

/

(

)

[

∑ )

]

Fungsi log-likelihood dari persamaan diatas adalah

[ )] {(

)

[

∑ )

]}

[ (

)]

∑ )

∑ )

Penduga kemungkinan maksimum dari dan adalah penduga yang memaksimum-

kan [ )], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap dan , maka

diperoleh


62

[ )]

∑ )

[ )]

∑ )

Jika turunan parsial terhadap dan disamakan dengan nol, maka akan diperoleh

∑ )

∑ )

∑

∑

∑ )

∑ )

∑ )

∑ )

dengan subsitusi ke persamaan maka diperoleh


63

∑ )

Jadi penduga kemungkinan maksimum untuk dan adalah

dan

∑ )

.

J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana


Tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum dari regresi linear sederhana adalah

untuk menduga vektor parameter

[ ]

Untuk mencari Penduga Kemungkinan Maksimum dari , dan dengan meng-

gunakan asumsi bahwa galat ( ) independen dan berdistribusi Normal

( ). Misalkan variabel random independen dan berdistribusi

Normal ) untuk .

Fungsi probabilitas dari distribusi Normal dengan mean dan variansi

adalah

)

√ [

)

]

Berdasarkan definisi 2.24 diperoleh

) ∏

√

[

)

]


64

(

√ )

∏ [

)

]

(

√ )

[

∑ )

]

Maka diperoleh fungsi log-likelihood sebagai berikut

[ )] {(

√ )

[

∑ )

]}

(√ )

∑ )

∑ )

∑ )

Penduga Kemungkinan Maksimum dari , dan dapat diperoleh dengan mencari

turunan parsial [ )] terhadap , dan dan menyamakan dengan

nol, maka diperoleh

[

∑ )

]

∑ )

∑ )

(2.9)


65

[

∑ )

]

∑ ) )

(

)

∑ )

(2.10)

[

∑ )

]

∑ )

(2.11)

Berdasarkan persamaan 2.9 diperoleh

∑ )

∑ )

∑

∑

(2.12)


∑ )


66

∑

∑ ∑

(2.13)

Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.12 dan 2.13, maka

diperoleh

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑ )

(2.14)

∑

∑ ∑

∑

∑ )

(2.15)


∑ )

∑ )

∑ )

∑ )

(2.16)

Persamaan 2.14 dan 2.15 menunjukkan bahwa Pendugaan Kemungkinan Maksimum

dari regresi linear sederhana menghasilkan penduga (estimator) yang sama dengan

penduga yang dihasilkan dengan Metode Kuadrat Terkecil. Penduga Kemungkinan


67

Maksimum dari yang ditulis dalam persamaan 2.16 adalah rata-rata kuadrat galat

sampel.

K. Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson adalah salah satu metode yang digunakan untuk

menyelesaikan persamaan non linear. Dalam menduga parameter menggunakan

Metode Kemungkinan Maksimum menghasilkan fungsi log-likelihood yang non

linier, maka penyelesaian dari fungsi tersebut diselesaikan dengan menggunakan

metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson merupakan penerapan dari deret

Taylor.

Misalkan mempunyai akar pada suatu interval real dan akan dicari nilai

pendekatan akarnya. Deret Taylor disekitar adalah

) ) ) ) )

)

Untuk yang cukup dekat dengan maka suku-suku nonlinear dapat diabaikan,

maka akan diperoleh pendekatan

) ) ) )

Jika adalah akar dari maka )

) ) )

) ) )

)

)


68

)

)

Oleh karena itu diperoleh skema iterasi ke metode Newton Raphson adalah

)

)

Contoh 2.34

Tentukan akar persamaan nonlinear ) dengan metode Newton Raphson

jika diketahui nilai awal dengan toleransi

Jawab

Diketahui ) maka )

Diketahui skema iterasi metode Newton Raphson adalah

)

)

Ketika maka diperoleh

)

)

)



69

)

)

)


)

)

)


)

)

)


)

)


70

)

Karena ) , maka akar persamaan fungsi ) adalah

Di bawah ini adalah program menghitung akar persamaan ) menggu-

nakan R.

> newton<-function(f,tol=1e-7, x0 = 1, N = 100){

+ h <-1e-7

+ i = 1; x1 = x0

+ p = numeric(N)

+ while (i <= N) {

+ df.dx = (f(x0 + h) - f(x0))/h

+ x1 = (x0 - (f(x0) / df.dx))

+ p[i] = x1

+ i = i + 1

+ if (abs(x1 - x0) < tol) break

+ x0 = x1

+ }

+ return(p[1 : (i-1)])

+ }

> f <- function(x){x^2-3}


71

> h <-1e-7

> df.dx <- function(x){(f(x + h) - f(x)) / h}

> df.dx(1);df.dx(2)

[1] 2

[1] 4

> app <- newton(f, x0 = 1)

> app

[1] 2.000000 1.750000 1.732143 1.732051 1.732051

> f(app[length(app)])

[1] 4.440892e-16


72

BAB III

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE

KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter

Definisi 3.1

Variable random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter

bila fungsi probabilitasnya

{

( )

,

, selainnya

dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter skala

(scale parameter)

B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil

Pendugaan parameter distribusi Weibull dapat dilakukan dengan berbagai

metode, diantaranya adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method).

Metode Kuadrat Terkecil merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk

mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi linear.

Model regresi linear didefinisikan sebagai

(3.1)


73

dengan

pengamatan ke- variabel dependen

= intersep (intercept)

= gradien (slope)

= pengamatan ke- variabel independen

galat (error) dari observasi ke- di mana memuat setiap faktor selain yang

mempengaruhi

Metode kuadrat terkecil akan menentukan penduga dari

yang akan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan

adalah sampel random dengan ukuran dari distribusi dan

misalkan adalah nilai dari sebuah sampel random. Untuk menduga para-

meter distribusi Weibull, perlu diketahui fungsi distribusi kumulatifnya. Berdasarkan

definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dengan dua parameter

adalah

( (

)

)

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull merupakan fungsi non linear.

Transformasi logaritma dilakukan untuk mendekati Metode Kuadrat Terkecil.

( (

)

)


74

( (

)

)

[ (

)

]

(

) [ ((

)

)]

(

) (

)

[ (

)] [(

)

]

[ (

)] (3.2)

Persamaan 3.2 dapat dinyatakan dalam bentuk regresi linear sederhana yaitu:

(3.3)

dengan * (

)+, ,

Diasumsikan bahwa nilai harapan galat dari populasi sama dengan nol

sehingga diperoleh penduga regresi linear sederhana adalah

(3.4)

dengan

= penduga model (estimator)

= penduga dari

= penduga dari


75

Misalkan adalah statistik terurut dari

dan misalkan adalah observasi terurut. pada persa-

maan 3.2 tidak diketahui, maka menurut Ivana Pobocikova (Pobocikova, I., and

Sedliackova, Z. (2014). Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull

distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 8(83):4137-4149), nilai dari

di estimasi dengan mean rank yaitu

( )

(3.5)

dengan adalah x urutan ke-i.

Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 penduga dari

dan dari parameter regresi dan adalah

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

Selanjutnya nilai * (

)+ dan disubsitusikan ke persamaan

2.4 dan persamaan 2.5.


76

∑

∑ ( (

)) ∑ ∑ (

)

∑

∑

(3.6)

∑ (

) ∑ ∑ (

)

∑

∑

(3.7)

Karena adalah penduga maka

(3.8)

Karena adalah penduga dari maka penduga dari adalah

[

∑ ∑ ( (

)) ∑ ∑ (

)

∑

∑

]


77

[ ∑

∑ ( (

)) ∑ ∑ (

)

[ ∑

∑

]

]

[

∑ ∑ ( (

)) ∑ ∑ (

)

∑ (

)

∑ ∑ (

)

∑

∑

∑

∑

]

[

∑ ∑ ( (

)) ∑ ∑ (

)

∑ (

)

∑ ∑ (

)

]

[ [ ∑

∑ ( (

)) ∑ ∑ (

)

]

∑ (

)

∑ ∑ (

)

]

Misalkan ∑ (

)

∑ ∑ (

)


78

[ ∑

∑ (

) ∑

∑ (

)

∑ ∑ (

)

∑ ∑ (

)

]

[ ∑ (

) [ ∑

∑

]

( ∑ (

) ∑ ∑ (

)

)∑

]

[ ∑ ( (

))

∑ (

)

∑ ∑ (

)

∑

∑

∑

∑

∑

]


79

[ ∑ ( (

))

∑ (

)

∑ ∑ (

)

∑

∑

∑

∑ (

)

∑ ∑ (

)

∑

∑

]

[

∑ ( (

))

∑

] (3.9)

Dengan diduga dengan dari persamaan 3.5

Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull

( (

)

)


80

Contoh 3.1

Tabel di bawah ini adalah data rata-rata kecepatan angin per bulan dalam satuan

pada daerah Kolkata. Data ini di ambil mulai pada tanggal 1 Maret 2009 sampai 31

Maret 2009 (Bhattacharya, P. (2010). A Study On Weibull Distribution For

Estimating The Parameters. Journal Of Applied Quantitative Methods. 5(2):234:241).

Dugalah parameter distribusi Weibull dan ujilah apakah data tersebut berdistribusi

Weibull dengan uji Kolmogorov-Smirnov

Tabel 3.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan (m/s) di Kolkata

Maret, 2009 Kecepatan angin

(m/s) Maret, 2009

Kecepatan angin

(m/s)

1 0.56 17 0.28

2 0.28 18 0.83

3 0.56 19 1.39

4 0.56 20 1.11

5 1.11 21 1.11

6 0.83 22 0.83

7 1.11 23 0.56

8 1.94 24 0.83

9 1.11 25 1.67

10 0.83 26 1.94

11 1.11 27 1.39

12 1.39 28 0.83

13 0.28 29 2.22

14 0.56 30 1.67

15 0.28 31 2.22

16 0.28


81

Jawab

Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9

a.

∑ (

) ∑ ∑ (

)

∑

∑

[

∑ (

)

∑

]

(

)

Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull

[ (

)

]

Penyelesaian Contoh 3.1 dengan program R pada lampiran A.4.

Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan


82

Gambar 3.1 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan

dan (diproduksi dengan program R pada

lampiran A.5)

b. Akan di uji apakah data kecepatan angin tersebut berdistribusi Weibull

dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.

Langkah- langkah pengujian

1. dengan dan

2.


83

3. Statistik uji

4. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull

adalah

( (

)

)


ditolak jika

6. Perhitungan

0.28 1 0.08 0.03 0.00 -0.05 0.08

0.28 2 0.08 0.06 0.03 -0.02 0.05

0.28 3 0.08 0.10 0.06 0.01 0.02

0.28 4 0.08 0.13 0.10 0.05 -0.01

0.28 5 0.08 0.16 0.13 0.08 -0.05

0.56 6 0.25 0.19 0.16 -0.05 0.08

0.56 7 0.25 0.23 0.19 -0.02 0.05

0.56 8 0.25 0.26 0.23 0.01 0.02

0.56 9 0.25 0.29 0.26 0.04 -0.01

0.56 10 0.25 0.32 0.29 0.08 -0.04

0.83 11 0.43 0.35 0.32 -0.07 0.10

0.83 12 0.43 0.39 0.35 -0.04 0.07

0.83 13 0.43 0.42 0.39 -0.01 0.04

0.83 14 0.43 0.45 0.42 0.03 0.01

0.83 15 0.43 0.48 0.45 0.06 -0.03

0.83 16 0.43 0.52 0.48 0.09 -0.06

1.11 17 0.60 0.55 0.52 -0.05 0.08

1.11 18 0.60 0.58 0.55 -0.02 0.05


84

0.5 1.0 1.5 2.0

0.2

0.4

0.6

0.8

xi

F0

grafik F0(xi)

grafik Fn(xi)

1.11 19 0.60 0.61 0.58 0.01 0.02

1.11 20 0.60 0.65 0.61 0.05 -0.01

1.11 21 0.60 0.68 0.65 0.08 -0.05

1.11 22 0.60 0.71 0.68 0.11 -0.08

1.39 23 0.74 0.74 0.71 0.00 0.03

1.39 24 0.74 0.77 0.74 0.04 0.00

1.39 25 0.74 0.81 0.77 0.07 -0.04

1.67 26 0.84 0.84 0.81 0.00 0.03

1.67 27 0.84 0.87 0.84 0.03 0.00

1.94 28 0.91 0.90 0.87 0.00 0.04

1.94 29 0.91 0.94 0.90 0.03 0.00

2.22 30 0.95 0.97 0.94 0.02 0.01

2.22 31 0.95 1.00 0.97 0.05 -0.02

maksimum 0.11 0.10

Gambar 3.2 grafik dan

(diproduksi dengan program R dilampirkan pada lampiran A.6)

7. Kesimpulan

Karena maka diterima. Data tersebut

berdistribusi dengan dan


85

C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum

Salah satu metode dalam pendugaan parameter adalah Metode Kemungkinan

Maksimum (Maksimum Likelihood Estimation). Prinsip dasar dari metode ini adalah

menentukan penduga parameter , yang memaksimumkan fungsi likelihood. Metode

ini dapat dilakukan karena distribusi data diketahui. Untuk itu sebagai langkah awal

perlu diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull dengan dua parameter.

Berdasarkan definisi 3.1, fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dua parameter

adalah

{

( )

,

, selainnya

berdasarkan definisi 2.24 fungsi likelihood adalah

∏

Dengan demikian fungsi likelihood dari distribusi Weibull dengan dua parameter

dapat dituliskan sebagai berikut:

( )

(

)

(

)


86

(

)

∏ [ ∑(

)

]

Oleh karena itu diperoleh

∏

(

)

∏ [ ∑(

)

]

(3.10)

Metode Kemungkinan Maksimum mengestimasi dan untuk parameter dan

yang memaksimumkan fungsi dalam persamaan 3.10 atau ekuivalen dengan

memaksimumkan logaritma dari fungsi dalam persamaan 3.10 yang biasa disebut

dengan fungsi log-likelihood dan didefinisikan sebagai berikut

[(

)

∏ [ ∑(

)

]

]

[(

)

] [∏

] [ [ ∑(

)

]]

∑

∑(

)

(3.11)

Dengan mencari turunan parsial terhadap dan dari persamaan 3.11 dan nilai dari

kedua turunan disamakan dengankan nol, maka akan diperoleh

[ ∑

∑(

)

]


87

∑

∑(

)

(

)

∑

∑(

)

[ ]

∑

∑

∑

[ ∑

∑(

)

]

∑

Jika turunan parsial pada persamaan 3.13 diselesaikan maka akan diperoleh

∑

∑

∑

∑

∑

(∑

)


88

persamaan 3.14 disubsitusikan kedalam persamaan 3.12 maka akan diperoleh

∑

∑

∑

(

∑

)

∑

∑

∑

(

∑

)

∑

( ∑

) ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑


89

Persamaan 3.15 tidak dapat diselesaikan secara analitik, oleh karena itu harus

diselesaikan secara numerik terhadap . Dalam hal ini, digunakan metode Newton

Raphson untuk memperoleh solusi numerik dari . Rumus iterasi untuk metode

Newton Raphson di definisikan sebagai

Misalkan

∑

∑

∑

Maka diperoleh

(∑

∑

∑

)

∑

∑

∑

∑

Berdasarkan rumus iterasi Newton Raphson, maka diperoleh

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Misalkan


90

∑

∑

∑

∑

Maka, rumus iterasi di atas dapat ditulis menjadi

Nilai awal yang digunakan pada pendugaan parameter distribusi Weibull

dengan dua parameter adalah bilangan Real tak negatif yang tidak sama dengan nol.

Dalam skripsi ini, penulis menggunakan nilai yang diperoleh dalam pendugaan

menggunakan Metode Kuadrat Terkecil sebagai nilai awal (Pobocikova, I., and

Sedliackova, Z. (2014). Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull

distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 8(83):4137-4149).

Contoh 3.2

Berdasarkan data pada Contoh 3.1, carilah penduga dari parameter dengan menggu-

nakan Metode Kemungkinan Maksimum.

Jawab

Pendugaan parameter dari data pada Contoh 3.1 menggunakan program R. Berikut

ini adalah hasil pendugaan parameter dengan menggunakan Metode Kemungkinan


91

Maksimum yang diperoleh dari program R pada lampiran A.7 dengan nilai awal

dan dan dengan 3 iterasi.

Maximum Likelihood estimation

Newton-Raphson maximisation, 3 iterations

Return code 1: gradient close to zero

Log-Likelihood: -23.45415

2 free parameters

Estimates:

Estimate Std. error t value Pr(> t)

[1,] 1.9228 0.2776 6.927 4.29e-12 ***

[2,] 1.1720 0.1173 9.988 < 2e-16 ***

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Penduga dan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum adalah

dan , maka diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull

[ (

)

]


92

0.5 1.0 1.5 2.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

xi

fML

E

dist Weibul

data asli

Gambar 3.3 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan

(diproduksi dengan program R pada lampiran A.8)

Dalam skripsi ini, penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean

Square Error) dalam membandingkan Metode Kemungkinan Maksimum dan Metode

Kuadrat Terkecil untuk menduga parameter distribusi Weibull (Lei,Y. (2008). Eva-

luation of The Three Methods For Estimating The Weibull Distribution Parameters of

Chinese pine. Journal of Forest Science. 54(12):566-571). Rata-Rata Kuadrat Galat

adalah ukuran keakuratan dari penduga dan didefinisikan sebagai

∑[ ]

(3.17)

dengan


93

( (

)

)

Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull adalah metode

yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat paling minimum.

Berdasarkan pendugaan pada data Contoh 3.1 menggunakan Metode Kuadrat

Terkecil, diperoleh dan , dan menggunakan Metode

Kemungkinan Maksimum diperoleh dan . MSE digunakan

untuk membandingkan metode terbaik dalam mengestimasi data pada Contoh 3.1.

Berdasarkan persamaan 3.17, maka MSE dari Metode Kuadrat Terkecil adalah

∑[ ]

MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah

∑[ ]

Perhitungan MSE dengan program R pada lampiran A.9.


94

Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (MSE), MSE yang paling

minimum adalah MSE dari Metode Kuadrat Terkecil. Maka metode yang terbaik

dalam menduga parameter distribusi Weibull dari data pada Contoh 3.1 adalah

Metode Kuadrat Terkecil.


95

BAB IV

APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER

Pada BAB IV ini akan dibahas pendugaan parameter distribusi Weibull

dengan dua parameter pada kasus data kecepatan angin. Terdapat dua data yang

digunakan dalam pendugaan parameter distribusi Weibull, yaitu data rata-rata

kecepatan angin per bulan di Enugu, Nigeria dan data rata-rata kecepatan angin di

Sumenep, Jawa timur. Data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu merupakan

data yang dikutip dari jurnal “Weibull Distribution Based On Model For Prediction

Of Wind Potential in Enugu, Nigeria”. Sedangkan data rata-rata kecepatan angin per

bulan di Sumenep dikutip dari jurnal “Permodelan Kecepatan Angin Rata-Rata di

Sumenep menggunakan Mixture of ANFIS”.

A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least

Square Method) Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu

Tabel di bawah ini menyajikan data rata-rata kecepatan angin per bulan di

Enugu. Data yang dipakai adalah data rata rata kecepatan angin dalam periode 13

tahun (1995-2007) dengan jumlah sampel .

Tabel 4.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan ( ) (1995-2007)

Tahun Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agst Sep Okt Nov Des

1995 2.4 3.0 2.8 3.3 3.0 3.0 2.7 2.7 2.7 2.5 2.0 2.0


96

1996 2.7 3.0 3.1 2.7 2.3 2.6 2.2 2.6 2.1 2.1 1.5 2.7

1997 3.2 2.6 2.3 2.1 1.9 2.0 2.5 3.2 2.3 2.1 2.5 2.6

1998 3.0 2.3 3.2 3.0 2.4 2.3 2.8 2.4 2.1 2.1 2.1 2.6

1999 2.7 1.7 3.1 2.6 2.2 2.4 2.6 2.7 2.3 1.9 2.2 3.2

2000 2.6 2.1 2.8 2.5 2.1 2.4 2.4 2.1 2.1 2.0 2.5 2.0

2001 2.1 2.6 2.9 2.8 2.8 2.5 2.6 2.5 2.4 2.2 2.5 1.8

2002 2.3 3.5 2.5 2.5 1.9 2.3 2.9 2.5 2.4 2.1 1.7 2.2

2003 3.2 2.6 2.8 3.1 2.6 2.3 2.8 2.5 2.5 2.1 1.7 2.4

2004 2.6 2.7 3.6 2.9 2.6 2.3 2.6 2.7 2.3 2.1 1.7 2.5

2005 2.5 3.0 2.9 3.3 2.5 2.4 2.7 2.7 2.5 2.0 1.9 2.8

2006 2.6 2.9 2.9 2.9 2.5 2.5 2.6 2.8 2.5 2.0 1.8 2.1

2007 3.2 2.8 3.0 3.0 2.5 2.5 2.4 2.5 2.3 1.8 1.8 2.7

1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dengan dua parameter

adalah fungsi non linear, oleh karena itu dilakukan transformasi ke fungsi linear

dengan menggunakan transformasi logaritma.

Berdasarkan persamaan 3.2, transformasi logaritma dari distribusi

Weibull dengan dua parameter adalah

[ (

( ))]

Data kecepatan angin yang mengikuti distribusi Weibull akan ditransformasikan

dalam bentuk regresi linear sederhana yang diberikan oleh

dengan

rata-rata kecepatan angin

* (

( ))+, , ( )

,


97

misalkan untuk

[ (

)]

Dengan langkah yang sama, maka di dapatkan dan sampai dengan

dan

2. Estimasi Parameter

Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9 penduga dari dan adalah

∑ (

( )

) ∑ ∑ (

( )

)

∑ ( )

(∑

)

[

∑ (

( ))

∑

]

maka diperoleh

( )

( )

[

]

Penyelesaian dengan program R pada lampiran A.10.


98

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xi

fLS

data asli

dist. Weibull

Jadi penduga dan adalah dan

Dengan demikian fungsi probabilitas dari distribusi Weibull adalah

( )

( ) [ (

)

]

Gambar 4.1 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan

dan (diproduksi dengan program R yang pada

lampiran A.11)

B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum

Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu.

Prinsip dasar dari Metode kemungkinan Maksimum adalah menduga parame-

ter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood. Berdasarkan persamaan 3.10,

fungsi likelihood dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah


99

( ) (

)

∏ [ ∑(

)

]

Berdasarkan persamaan 3.16 dan persamaan 3.14 penduga dari diperoleh dengan

metode Newton Raphson dengan menggunakan rumus iterasi

dengan

∑

∑

∑

∑

( )

dan penduga dari adalah

(∑

)

Pendugaan parameter dari data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu dengan

Metode Kemungkinan Maksimum dilakukan dengan menggunakan program R. Nilai

awal yang digunakan pada iterasi Newton Raphson adalah nilai dan yang

diperoleh dengan menduga data yang sama tetapi menggunakan Metode Kuadrat

Terkecil, yaitu dan .

Berikut ini adalah hasil pendugaan parameter dari data kecepatan angin per bulan di

Enugu yang diperoleh dengan program R pada lampiran A.12.


100



Return code 2: successive function values within tolerance limit


2 free parameters

Estimates:


[1,] 6.79310 0.41311 16.44 <2e-16 ***

[2,] 2.67009 0.03338 79.98 <2e-16 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Maka diperoleh penduga dari dan adalah dan .

Jadi fungsi probablitas dari distribusi Weibull adalah

( )

[ (

)

]


101

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

xi

fMLE

data asli

dist. Weibull


(diproduksi dengan program R yang dilampirkan pada lampiran A.13)

C. Uji Distribusi Weibull

Pengujian ini dilakukan untuk meyakinkan bahwa model yang telah diduga

sungguh-sungguh berdistribusi Weibull. Data rata-rata kecepatan angin per bulan di

Enugu akan diuji apakah berdistribusi Weibull atau tidak. Uji yang digunakan adalah

uji Kolmogorov Smirnov. Berikut ini adalah perhitungan dan langkah-langkah dalam

melakukan uji Kolmogorov Smirnov.

1. Data rata-rata kecepatan angin berdistribusi Weibull dengan

dan

Data rata-rata kecepatan angin tidak berdistribusi Weibul

2. Tingkat signifikansi

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah


102

3. Statistik uji

( )

( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

dengan

( )

( )

( ) ( )

4. Daerah keputusan

ditolak jika

5. Perhitungan

Proses perhitungan dilakukan dengan menggunakan Microsoft exel pada

lampiran B.1

Berdasarkan lampiran B.1, diperoleh

dan

Maka


103

6. Kesimpulan

Karena maka diterima. Data rata-rata

kecepatan angin berdistribusi Weibull dengan dan

.

D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum

Pendugaan parameter pada data rata-rata kecepatan angin di Enugu dengan

Metode Kuadrat Terkecil diperoleh dan dan menggu-

nakan Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh dan .

Berdasarkan persamaan 3.17, MSE dari Metode Kuadrat Terkecil adalah

∑[ ( ) ( )]


∑[ ( ) ( )]

Perhitungan MSE dengan program R dilampirkan pada lampiran A.14.

Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (MSE), MSE yang paling

minimum adalah MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum. Maka metode yang


104

terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull pada data rata-rata kecepatan

angin di Enugu adalah Metode Kemungkinan Maksimum.

E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil

Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep

Tabel dibawah ini menyajikan data rata-rata kecepatan angin dalam dua

periode (2009-2010) dengan jumlah sampel di Sumenep. Data ini merupakan

data yang dikutip dari jurnal “Permodelan Kecepatan Angin Rata-rata di Sumenep

menggunakan Mixture of ANFIS” (Permai, S.D., et all. (2013). Permodelan Kecepa-

tan Angin Rata-Rata di Sumenep menggunakan Mixture of ANFIS. Statistika.

1(2):48-58)

Tabel 4.2 Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Sumenep, Jawa Timur

Bulan Tahun

2009 2010

Jan 7.097 6.065

Feb 7.143 2.929

Mar 2.093 2.871

Apr 3.867 2.533

Mei 4.387 3.871

Jun 6.467 4.800

Jul 7.742 5.935

Ags 8.355 6.645

Sep 7.100 5.233

Okt 7.258 4.516

Nov 5.767 3.800

Des 3.613 5.452


105

Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9 penduga dari dan adalah

∑ (

( )

) ∑ ∑ (

( )

)

∑ ( )

(∑

)

[

∑ (

( ))

∑

]

Maka diperoleh

( ) ( )

( )

* ( )

+

(

)

Penyelesaian dengan program R pada lampiran A.15.

Penduga dari dan adalah dan , maka fungsi

probabilitas dari distribusi Weibull adalah

( )

(

)


106


(diproduksi dengan program R pada lampiran A.16)

F. Pendugaan Paramater Distribui Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum

Menggunakan Data Kecepatan Angin di Sumenep

Berdasarkan persamaan 3.16 dan persamaan 3.14 penduga dari didapat-

kan dengan metode Newton Raphson dengan rumus iterasi

dengan


107

∑

∑

∑

∑

( )

dan penduga dari adalah

(∑

)

Metode Kemungkinan Maksimum menggunakan program R dalam menduga

parameter distribusi Weibull. Nilai awal yang digunakan pada iterasi Newton

Raphson adalah nilai dan yang diperoleh pada pendugaan parameter dengan

Metode Kuadrat Terkecil, yaitu dan Berikut ini adalah

pendugaan parameter dari data kecepatan angin per bulan di Sumenep, Jawa Timur

yang diperoleh dengan program R pada lampiran A.17.



Return code 1: gradient close to zero


2 free parameters

Estimates:


[1,] 3.3923 0.5596 6.062 1.34e-09 ***

[2,] 5.8419 0.3703 15.774 < 2e-16 ***

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


108

2 3 4 5 6 7 8

0.0

50

.10

0.1

50

.20

xi

fML

E

data asli

dist. Weibull

Diperoleh penduga dari dan adalah dan , maka fungsi

probabilitas dari distribusi Weibull adalah

( )

(

)

Gambar 4.4 Grafik fungsi probablitas distribusi Weibull dengan dan

(diproduksi dengan program R yang dilampirkan pada lampiran A.18)

G. Uji Distribusi Weibull

Pengujian ini dilakukan untuk meyakinkan bahwa model yang telah diduga

sungguh-sungguh berdistribusi Weibull. Data rata-rata kecepatan angin per bulan di

Sumepen, Jawa Timur akan diuji apakah berdistribusi Weibull atau tidak. Uji yang


109

digunakan adalah uji Kolmogorov Smirnov. Berikut ini adalah perhitungan dan

langkah-langkah dalam melakukan uji Kolmogorov Smirnov.

1. Data rata-rata kecepatan angin berdistribusi Weibull dengsn

dan

Data rata-rata kecepatan angin tidak berdistribusi Weibull

2. Tingkat signifikansi

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah

3. Statistik uji

( )

( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

dengan

( )

( )

( ) ( )

4. Daerah keputusan

ditolak jika

5. Perhitungan

Proses perhitungan dilakukan dengan menggunakan Microsoft exel dilampir-

kan pada lampiran B.2.


110

Berdasarkan lampiran B.2, diperoleh

dan

Maka

6. Kesimpulan

Karena maka diterima. Data rata-

rata kecepatan angin berdistribusi Weibull dengan dan

.

H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Penduga Kemungkinan

Maksimum

Pendugaan parameter pada data rata-rata kecepatan angin di Sumenep, Jawa

Timur dengan Metode Kuadrat Terkecil diperoleh dan

dan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh dan

.

Berdasarkan persamaan 3.17, MSE dari metode kuadrat Terkecil adalah

∑[ ( ) ( )]



111

∑[ ( ) ( )]

Perhitungan MSE dengan program R dilampirkan pada lampiran A.19.

Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat, MSE yang paling minimum

adalah MSE dari Metode Kuadrat Terkecil. Maka metode yang terbaik dalam

menduga parameter distribusi Weibull dari data kecepatan rata-rata angin di Sumenep

adalah Metode Kuadrat Terkecil.


112

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Distribusi Weibull adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Sama

seperti distribusi probabilitas kontinu lainnya, distribusi Weibull dicirikan oleh mean,

variansi dan momen yang diperoleh dengan menggunakan fungsi Gamma. Hal yang

paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Metode

yang digunakan dalam pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter

adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan

Maksimum (Maximum Likelihood Method).

Metode Kuadrat Terkecil menduga parameter distribusi Weibull dengan dua

parameter yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error).

Sedangkan Metode Kemungkinan Maksimum adalah metode pendugaan yang

memaksimumkan fungsi likelihood .

Dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter

digunakan data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu, Nigeria dan data rata-

rata kecepatan angin per bulan di Sumenep, Jawa Timur.

Pendugaan parameter menggunakan data rata-rata kecepatan angin per bulan

di Enugu dengan Metode Kuadrat Terkecil diperoleh dan

sedangkan pendugaan parameter dengan menggunakan Metode


113

Kemungkinan Maksimum diperoleh dan Pada data rata-

rata kecepatan angin per bulan di Sumenep, Jawa Timur pendugaan parameter dengan

dengan Metode Kuadrat Terkecil diperoleh dan

sedangkan pendugaan parameter dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksi-

mum diperoleh dan .

Dalam membandingkan metode terbaik dalam menduga parameter distribusi

Weibull dengan dua parameter digunakan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat

(Mean Square Error). Metode yang terbaik adalah metode yang memiliki Rata-Rata

Kuadrat Galat minimum. Metode terbaik dalam pendugaan menggunakan data rata-

rata kecepatan angin di Enugu adalah Metode Kemungkinan Maksimum. Sedangkan

pada data rata-rata kecepatan angin per bulan di Sumenep, metode terbaik adalah

Metode Kuadrat Terkecil.

B. Saran

Penulis menyarankan beberapa hal sebagai berikut

1. Menduga selang kepercayaan dari distribusi Weibull dengan dua parameter.

2. Membahas lebih lanjut tentang distribusi Weibull, misalnya distribusi Weibull

dengan tiga parameter.

3. Menggunakan metode lain dalam menduga parameter distribusi Weibull.

4. Membahas lebih lanjut tentang aplikasi distribusi Weibull.


114

DAFTAR PUSTAKA

Bhattacharya, P. (2010). A Study On Weibull Distribution For Estimating The

Parameters. Journal Of Applied Quantitative Methods. 5(2):234:241

Castro, R. (2013). Goodness of Fit (GOF) Test. Lecture Note

Evans, D.L, et all. (2008). The Distribution of The Kolmogorov-Smirnov, Cramen-

Von Mises, and Anderson-Darling Test Statistics For Exponential Populations

With Estimated Parameters. Communications In Statistics-Simulation and

Computation 37:1396-1421

Gustavsson, S.M, et all. (2012). Linear Maximum Likelihood Regression Analysis

for Unstransformed Log-Normally Distributed Data. Open Journal of

Statistics 2:389-400

Lai, C.D. (2014). Generalized Weibull Distribution. Palmerston North: Springer

Larson, H.J. (1982). Introduction to Probability Theory and Statistical Inference,

Third Edition. New York: John Wiley and Sons, Inc

Lei,Y. (2008). Evaluation of The Three Methods For Estimating The Weibull

Distribution Parameters of Chinese pine. Journal of Forest Science.

54(12):566-571

Nwobi, F. N., and Ugomma, C.A. (2014). A Comparison of Method for the

Estimation of Weibull Distribution Parameter. Metodoski Zwezki. 11(1):65-78

Odo, F.C., et all. (2012). Weibull Distribution Based Model for Prediction of Wind

Potential In Enugu, Nigeria. Advanced in Applied Science Research.

3(2):1202-1208


115

Permai, S.D., et all. (2013). Permodelan Kecepatan Angin Rata-Rata di Sumenep

menggunakan Mixture of ANFIS. Statistika. 1(2):48-58

Pobocikova, I., and Sedliackova, Z. (2014). Comparison of Four Methods For

Estimating The Weibull distribution Parameters. Applied Mathematical

Science. 8(83):4137-4149

Rinne, H. (2009). The Weibull Distribution. A Handbook. Boca Raton: CRC Press.

Steenbergen, M.R. (2012). A Primer of Maximum Likelihood Programming in R.

lecture Note

Van De Geer, S.A. (2005). Least Squares Estimation. Ensyclopedia of Statistic in

Behavioral Science 2: 1041-1045

Wackerly, D.D., et all. (2008). Mathematical Statistics with Application. Duxbury:

Thompson Brooks

Zhao, Y. (2014). Newton Raphson in R. Lecture Note


116

LAMPIRAN

Lampiran A.1: Program R untuk Gambar 2.1

> par(mar=c(3,3,1,1))

> x<-seq(0,2.5,length.out=1000)

>plot(x,dweibull(x,0.5),type="l",col="blue",xlab="x",ylab="f(x)",xlim=c(0,2.5),yli

m=c(0,2.5),xaxis="l",yaxis="l",title="distribusi Weibull")

There were 18 warnings (use warnings() to see them)

> lines(x,dweibull(x,1),type="l",col="red")

> lines(x,dweibull(x,1.5),type="l",col="magenta")

> lines(x,dweibull(x,5),type="l",col="green")

>legend("topright",c("α=0.5","α=1","α=1.5","α=5"),cex=0.8,col=c("blue","red","m

agenta","green"),pch=21:22,lty=1:2)

> title("grafik fungsi distribusi Weibull",xlab="x",ylab="f(x)")

Lampiran A.2: bentuk lain dari pembilang dan penyebut untuk rumus

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑


112

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Lampiran A.3: Penyelesaian contoh 2.1 dengan program R

> A<-read.csv(file.choose(),header=T)

> B<-lm(A$Y~A$X)

> B

Call:

lm(formula = A$Y ~ A$X)

Coefficients:

(Intercept) A$X

0.7198 0.9914


113

Lampiran A.4: Penyelesaian contoh 3.1 dengan program R

> data<-read.delim(file.choose(),header=T)

> x<-data[,1]

> X<-log(x)

> F<-data[,3]

> Y<-log(log(1/(1-F)))

> lm(Y~X)

Call:

lm(formula = Y ~ X)

Coefficients:

(Intercept) X

-0.2702 1.7162

> LSE<-lm(Y~X)

> lin.mod.coef <- coefficients(LSE)

> alpha<- lin.mod.coef[2]

> alpha

X

1.716205

> beta<-exp(-lin.mod.coef[1]/lin.mod.coef[2])

> beta

(Intercept)


114

1.170502

Lapiran A.5: Program untuk Gambar 3.1


> data

> xi<-data[,1]

>fLS=(1.716205394/(1.170502)^1.716205394)*xi^(0.716205)*exp(-

(xi/1.170502)^1.716205394)

> plot(xi,fLS,col="magenta",type="o")


>f=(1.716205394/(1.170502)^1.716205394)*x^(0.716205)*exp(-

(x/1.170502)^1.716205394)

> lines(x,f,type="l",col="blue")

>legend("topright",c("distWeibul","data

asli"),cex=0.8,col=c("blue","magenta"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.6: Program untuk gambar 3.2


> Fn<-data[,4]

> F0<-data[,3]


115

> xi<-data[,1]

> plot(xi,F0,type="l",col="blue")

> lines(xi,Fn,type="l",col="magenta")

>legend("topleft",c("grafik F0(xi)","grafik

Fn(xi)"),cex=0.8,col=c("blue","magenta"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.7: Program R untuk menyelesaian contoh 3.2

>data=read.delim(file.choose())

> xi<-data[,2]

> n<-length(xi)

> lnl<-function(pars,xi){

+ alpha<-pars[1]

+ beta<-pars[2]

+ n*(log(alpha)-alpha*log(beta))+(alpha-1)*sum(log(xi))-sum((xi/beta)^alpha)}

> MLE<-maxLik(lnl,start=c(1.716205394,1.170502),method="NR",xi=xi)

> summary(MLE)

Lampiran A.8: Program untuk gambar 3.3


> xi=data[,1]

> fMLE=(1.9228/(1.1720)^1.9228)*xi^(1.9228-1)*exp(-(xi/1.1720)^1.9228)

> plot(xi,fMLE,col="magenta",type="o")


116


> f1=(1.9228/(1.1720)^1.9228)*x^(1.9228-1)*exp(-(x/1.1720)^1.9228)

> lines(x,f1,type="l",col="blue")

>legend("topright",c("dist Weibul","data

asli"),cex=0.8,col=c("blue","magenta"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.9: Perhitungan MSE contoh 3.2 dengan R

> data=read.delim(file.choose())

> xi=data[,1]

> i=data[,2]

> beta=1.170502

> alpha=1.716205

> Fxi=i/32

> A=(xi/beta)^alpha

> Fx_MKT=1-exp(-A)

> B=(Fx_MKT-Fxi)^2

> MSE_MKT=sum(B)

> MSE_MKT

[1] 0.05993449

> alpha1=1.9228

> beta1=1.172


117

> C=(xi/beta1)^alpha1

> Fx_MLE=1-exp(-C)

> D=(Fx_MLE-Fxi)^2

> MSE_MLE=sum(D)

> MSE_MLE

[1] 0.07762

Lampiran A.10: Program Metode Kuadrat Terkecil untuk data rata-rata kecepatan

angin per bulan di Enugu


> xi=data[,1]

> F<-data[,2]

> X=log(xi)

> Y<-log(log(1/(1-F)))

> LSE<-lm(Y~X)

> summary(LSE)

Call:

lm(formula = Y ~ X)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max


118

-1.03335 -0.08430 0.01996 0.12681 0.41358

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -7.25190 0.09052 -80.11 <2e-16 ***

X 7.40359 0.09862 75.07 <2e-16 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.2014 on 154 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.9734, Adjusted R-squared: 0.9732

F-statistic: 5635 on 1 and 154 DF, p-value: < 2.2e-16



> alpha

X

7.403585

> beta

(Intercept)

2.663155


119

Lampiran A.11: program untuk Gambar 4.1


> xi=data[,1]

> fLS=(7.403585 /(2.663155 )^7.403585 )*xi^(6.403585 )*exp(-(xi/2.663155

)^7.403585 )

> plot(xi,fLS,col="magenta",type="o")


> f=(7.403585 /(2.663155 )^7.403585 )*x^(6.403585 )*exp(-(x/2.663155

)^7.403585 )


>legend("topright",c("data asli","dist.

Weibull"),cex=0.8,col=c("magenta","blue"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.12: Program Metode Kemungkinan Maksimum untuk data rata-rata

kecepatan angin per bulan di Enugu


> library(maxLik)

> xi=data[,1]

> n<-length(xi)


120


+ alpha<-pars[1]

+ beta<-pars[2]



> summary(MLE)

Lampiran A.13: program untuk Grafik 4.2


> xi=data[,1]

>fMLE=(6.79310/(2.67009)^6.79310)*xi^(6.79310-1)*exp(-

(xi/2.67009)^6.79310)


> f=(6.79310/(2.67009)^6.79310)*x^(6.79310-1)*exp(-(x/2.67009)^6.79310)

> plot(xi,fMLE,col="green",type="o")

> lines(x,f,type="l",col="red")

> legend("topright",c("data asli ","dist.

Weibull"),cex=0.8,col=c("green","red"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.14: Perhitungan MSE data rata-rata kecepatan angin di Enugu


121

> data1=read.delim(file.choose())

> i=data1[,1]

> xi=data1[,2]

> Fxi=i/157

> beta=2.67009

> alpha=6.79310

> A=(xi/beta)^alpha

> F_MLE=1-exp(-A)

> B=(F_MLE-Fxi)^2

> MSE_MLE=sum(B)

> MSE_MLE

[1] 0.1897452

> alpha1=7.403585

> beta1=2.6631553


> Fx_MKT=1-exp(-C)

> D=(Fx_MKT-Fxi)^2

> MSE_MKT=sum(D)

> MSE_MKT

[1] 0.1943771


122

Lampiran A.15: Program Metode Kuadrat Terkecil untuk data rata-rata kecepatan

angin per bulan di Sumenep


> xi=data[,1]

> F=data[,2]

> X=log(xi)

> Y<-log(log(1/(1-F)))

> LSE<-lm(Y~X)

> summary(LSE)

Call:

lm(formula = Y ~ X)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-0.21322 -0.09312 -0.03852 0.09720 0.26944

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -5.11543 0.12101 -42.27 <2e-16 ***

X 2.88400 0.07408 38.93 <2e-16 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


123

Residual standard error: 0.1357 on 22 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.9857, Adjusted R-squared: 0.985

F-statistic: 1516 on 1 and 22 DF, p-value: < 2.2e-16



> beta<-exp(-lin.mod.coef[1]/lin.mod.coef[2])

> alpha

X

2.883996

> beta

(Intercept)

5.892787

Lampiran A.16: program untuk Gambar 4.3


>xi=data[,1]

> fLS=(2.883996 /(5.892787)^2.883996 )*xi^(2.883996-1)*exp(-(xi/5.892787

)^2.883996 )

> plot(xi,fLS,col="green",type="o")


124


> f=(2.883996 /(5.892787)^2.883996 )*x^(2.883996-1)*exp(-(x/5.892787

)^2.883996 )


> legend("topright",c("data asli","dist.

Weibull"),cex=0.8,col=c("green","blue"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.17: Program Metode Kemungkinan Maksimum untuk data rata-rata

kecepatan angin per bulan di Sumenep


> library(maxLik)

> xi=data[,1]

> n<-length(xi)


+ alpha<-pars[1]

+ beta<-pars[2]



> summary(MLE)


125

Lampiran A.18: program untuk Grafik 4.4

> fMLE=(3.3923/(5.8419)^3.3923)*xi^(3.3923-1)*exp(-(xi/5.8419)^3.3923)


> f=(3.3923/(5.8419)^3.3923)*x^(3.3923-1)*exp(-(x/5.8419)^3.3923)

> plot(xi,fMLE,col="orange",type="o")

> lines(x,f,type="l",col="magenta")

> legend("topright",c("data asli ","dist.

Weibull"),cex=0.8,col=c("orange","magenta"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.19: Perhitungan MSE untuk data kecepatan angin di Sumenep


> xi=data[,1]

> i=data[,2]

> Fxi=i/25

> alpha=2.883996

> beta=5.892787

> A=(xi/beta)^alpha

> Fx_MKT=1-exp(-A)

> B=(Fx_MKT-Fxi)^2

> MSE_MKT=sum(B)


126

> MSE_MKT

[1] 0.0247503

> alpha1=3.3923

> beta1=5.8419


> Fx_MLE=1-exp(-C)

> D=(Fx_MLE-Fxi)^2

> MSE_MLE=sum(D)

> MSE_MLE

[1] 0.06035996

Lampiran B1: Uji Kolmogorov-Smirnov pada data rata-rata kecepatan angin per

bulan di Enugu

1 1.5 0.014 0.014 0.006 0.000 -0.008 0.014

2 1.7 0.036 0.035 0.013 0.006 -0.023 0.029

3 1.7 0.036 0.035 0.019 0.013 -0.016 0.023

4 1.7 0.036 0.035 0.026 0.019 -0.010 0.016

5 1.7 0.036 0.035 0.032 0.026 -0.003 0.010

6 1.8 0.055 0.054 0.038 0.032 -0.015 0.021

7 1.8 0.055 0.054 0.045 0.038 -0.009 0.015

8 1.8 0.055 0.054 0.051 0.045 -0.002 0.009

9 1.8 0.055 0.054 0.058 0.051 0.004 0.002

10 1.9 0.082 0.079 0.064 0.058 -0.015 0.021

11 1.9 0.082 0.079 0.071 0.064 -0.008 0.015

12 1.9 0.082 0.079 0.077 0.071 -0.002 0.008

13 1.9 0.082 0.079 0.083 0.077 0.005 0.002


127

14 2 0.120 0.113 0.090 0.083 -0.023 0.030

15 2 0.120 0.113 0.096 0.090 -0.017 0.023

16 2 0.120 0.113 0.103 0.096 -0.011 0.017

17 2 0.120 0.113 0.109 0.103 -0.004 0.011

18 2 0.120 0.113 0.115 0.109 0.002 0.004

19 2 0.120 0.113 0.122 0.115 0.009 -0.002

20 2 0.120 0.113 0.128 0.122 0.015 -0.009

21 2.1 0.172 0.158 0.135 0.128 -0.024 0.030

22 2.1 0.172 0.158 0.141 0.135 -0.017 0.024

23 2.1 0.172 0.158 0.147 0.141 -0.011 0.017

24 2.1 0.172 0.158 0.154 0.147 -0.004 0.011

25 2.1 0.172 0.158 0.160 0.154 0.002 0.004

26 2.1 0.172 0.158 0.167 0.160 0.008 -0.002

27 2.1 0.172 0.158 0.173 0.167 0.015 -0.008

28 2.1 0.172 0.158 0.179 0.173 0.021 -0.015

29 2.1 0.172 0.158 0.186 0.179 0.028 -0.021

30 2.1 0.172 0.158 0.192 0.186 0.034 -0.028

31 2.1 0.172 0.158 0.199 0.192 0.041 -0.034

32 2.1 0.172 0.158 0.205 0.199 0.047 -0.041

33 2.1 0.172 0.158 0.212 0.205 0.053 -0.047

34 2.1 0.172 0.158 0.218 0.212 0.060 -0.053

35 2.1 0.172 0.158 0.224 0.218 0.066 -0.060

36 2.1 0.172 0.158 0.231 0.224 0.073 -0.066

37 2.2 0.243 0.216 0.237 0.231 0.021 -0.015

38 2.2 0.243 0.216 0.244 0.237 0.028 -0.021

39 2.2 0.243 0.216 0.250 0.244 0.034 -0.028

40 2.2 0.243 0.216 0.256 0.250 0.041 -0.034

41 2.2 0.243 0.216 0.263 0.256 0.047 -0.041

42 2.3 0.338 0.287 0.269 0.263 -0.017 0.024

43 2.3 0.338 0.287 0.276 0.269 -0.011 0.017

44 2.3 0.338 0.287 0.282 0.276 -0.005 0.011

45 2.3 0.338 0.287 0.288 0.282 0.002 0.005

46 2.3 0.338 0.287 0.295 0.288 0.008 -0.002

47 2.3 0.338 0.287 0.301 0.295 0.015 -0.008

48 2.3 0.338 0.287 0.308 0.301 0.021 -0.015

49 2.3 0.338 0.287 0.314 0.308 0.027 -0.021


128

50 2.3 0.338 0.287 0.321 0.314 0.034 -0.027

51 2.3 0.338 0.287 0.327 0.321 0.040 -0.034

52 2.3 0.338 0.287 0.333 0.327 0.047 -0.040

53 2.3 0.338 0.287 0.340 0.333 0.053 -0.047

54 2.4 0.463 0.371 0.346 0.340 -0.024 0.031

55 2.4 0.463 0.371 0.353 0.346 -0.018 0.024

56 2.4 0.463 0.371 0.359 0.353 -0.012 0.018

57 2.4 0.463 0.371 0.365 0.359 -0.005 0.012

58 2.4 0.463 0.371 0.372 0.365 0.001 0.005

59 2.4 0.463 0.371 0.378 0.372 0.008 -0.001

60 2.4 0.463 0.371 0.385 0.378 0.014 -0.008

61 2.4 0.463 0.371 0.391 0.385 0.020 -0.014

62 2.4 0.463 0.371 0.397 0.391 0.027 -0.020

63 2.4 0.463 0.371 0.404 0.397 0.033 -0.027

64 2.4 0.463 0.371 0.410 0.404 0.040 -0.033

65 2.5 0.626 0.465 0.417 0.410 -0.049 0.055

66 2.5 0.626 0.465 0.423 0.417 -0.042 0.049

67 2.5 0.626 0.465 0.429 0.423 -0.036 0.042

68 2.5 0.626 0.465 0.436 0.429 -0.029 0.036

69 2.5 0.626 0.465 0.442 0.436 -0.023 0.029

70 2.5 0.626 0.465 0.449 0.442 -0.017 0.023

71 2.5 0.626 0.465 0.455 0.449 -0.010 0.017

72 2.5 0.626 0.465 0.462 0.455 -0.004 0.010

73 2.5 0.626 0.465 0.468 0.462 0.003 0.004

74 2.5 0.626 0.465 0.474 0.468 0.009 -0.003

75 2.5 0.626 0.465 0.481 0.474 0.015 -0.009

76 2.5 0.626 0.465 0.487 0.481 0.022 -0.015

77 2.5 0.626 0.465 0.494 0.487 0.028 -0.022

78 2.5 0.626 0.465 0.500 0.494 0.035 -0.028

79 2.5 0.626 0.465 0.506 0.500 0.041 -0.035

80 2.5 0.626 0.465 0.513 0.506 0.047 -0.041

81 2.5 0.626 0.465 0.519 0.513 0.054 -0.047

82 2.5 0.626 0.465 0.526 0.519 0.060 -0.054

83 2.5 0.626 0.465 0.532 0.526 0.067 -0.060

84 2.5 0.626 0.465 0.538 0.532 0.073 -0.067

85 2.5 0.626 0.465 0.545 0.538 0.079 -0.073


129

86 2.5 0.626 0.465 0.551 0.545 0.086 -0.079

87 2.5 0.626 0.465 0.558 0.551 0.092 -0.086

88 2.6 0.837 0.567 0.564 0.558 -0.003 0.009

89 2.6 0.837 0.567 0.571 0.564 0.003 0.003

90 2.6 0.837 0.567 0.577 0.571 0.010 -0.003

91 2.6 0.837 0.567 0.583 0.577 0.016 -0.010

92 2.6 0.837 0.567 0.590 0.583 0.023 -0.016

93 2.6 0.837 0.567 0.596 0.590 0.029 -0.023

94 2.6 0.837 0.567 0.603 0.596 0.035 -0.029

95 2.6 0.837 0.567 0.609 0.603 0.042 -0.035

96 2.6 0.837 0.567 0.615 0.609 0.048 -0.042

97 2.6 0.837 0.567 0.622 0.615 0.055 -0.048

98 2.6 0.837 0.567 0.628 0.622 0.061 -0.055

99 2.6 0.837 0.567 0.635 0.628 0.068 -0.061

100 2.6 0.837 0.567 0.641 0.635 0.074 -0.068

101 2.6 0.837 0.567 0.647 0.641 0.080 -0.074

102 2.6 0.837 0.567 0.654 0.647 0.087 -0.080

103 2.6 0.837 0.567 0.660 0.654 0.093 -0.087

104 2.6 0.837 0.567 0.667 0.660 0.100 -0.093

105 2.7 1.107 0.669 0.673 0.667 0.004 0.003

106 2.7 1.107 0.669 0.679 0.673 0.010 -0.004

107 2.7 1.107 0.669 0.686 0.679 0.016 -0.010

108 2.7 1.107 0.669 0.692 0.686 0.023 -0.016

109 2.7 1.107 0.669 0.699 0.692 0.029 -0.023

110 2.7 1.107 0.669 0.705 0.699 0.036 -0.029

111 2.7 1.107 0.669 0.712 0.705 0.042 -0.036

112 2.7 1.107 0.669 0.718 0.712 0.048 -0.042

113 2.7 1.107 0.669 0.724 0.718 0.055 -0.048

114 2.7 1.107 0.669 0.731 0.724 0.061 -0.055

115 2.7 1.107 0.669 0.737 0.731 0.068 -0.061

116 2.7 1.107 0.669 0.744 0.737 0.074 -0.068

117 2.7 1.107 0.669 0.750 0.744 0.081 -0.074

118 2.8 1.449 0.765 0.756 0.750 -0.009 0.015

119 2.8 1.449 0.765 0.763 0.756 -0.002 0.009

120 2.8 1.449 0.765 0.769 0.763 0.004 0.002

121 2.8 1.449 0.765 0.776 0.769 0.010 -0.004


130

122 2.8 1.449 0.765 0.782 0.776 0.017 -0.010

123 2.8 1.449 0.765 0.788 0.782 0.023 -0.017

124 2.8 1.449 0.765 0.795 0.788 0.030 -0.023

125 2.8 1.449 0.765 0.801 0.795 0.036 -0.030

126 2.8 1.449 0.765 0.808 0.801 0.042 -0.036

127 2.8 1.449 0.765 0.814 0.808 0.049 -0.042

128 2.9 1.879 0.847 0.821 0.814 -0.027 0.033

129 2.9 1.879 0.847 0.827 0.821 -0.020 0.027

130 2.9 1.879 0.847 0.833 0.827 -0.014 0.020

131 2.9 1.879 0.847 0.840 0.833 -0.008 0.014

132 2.9 1.879 0.847 0.846 0.840 -0.001 0.008

133 2.9 1.879 0.847 0.853 0.846 0.005 0.001

134 2.9 1.879 0.847 0.859 0.853 0.012 -0.005

135 3 2.415 0.911 0.865 0.859 -0.045 0.052

136 3 2.415 0.911 0.872 0.865 -0.039 0.045

137 3 2.415 0.911 0.878 0.872 -0.032 0.039

138 3 2.415 0.911 0.885 0.878 -0.026 0.032

139 3 2.415 0.911 0.891 0.885 -0.020 0.026

140 3 2.415 0.911 0.897 0.891 -0.013 0.020

141 3 2.415 0.911 0.904 0.897 -0.007 0.013

142 3 2.415 0.911 0.910 0.904 0.000 0.007

143 3 2.415 0.911 0.917 0.910 0.006 0.000

144 3.1 3.079 0.954 0.923 0.917 -0.031 0.037

145 3.1 3.079 0.954 0.929 0.923 -0.024 0.031

146 3.1 3.079 0.954 0.936 0.929 -0.018 0.024

147 3.2 3.895 0.980 0.942 0.936 -0.037 0.044

148 3.2 3.895 0.980 0.949 0.942 -0.031 0.037

149 3.2 3.895 0.980 0.955 0.949 -0.025 0.031

150 3.2 3.895 0.980 0.962 0.955 -0.018 0.025

151 3.2 3.895 0.980 0.968 0.962 -0.012 0.018

152 3.2 3.895 0.980 0.974 0.968 -0.005 0.012

153 3.3 4.891 0.992 0.981 0.974 -0.012 0.018

154 3.3 4.891 0.992 0.987 0.981 -0.005 0.012

155 3.5 7.561 0.999 0.994 0.987 -0.006 0.012

156 3.6 9.315 1.000 1.000 0.994 0.000 0.006

Maksimum 0.100 0.055


131

Lampiran B.2: Uji Kolmogorov-Smirnov pada data kecepatan angin perbulan di

Sumenep

2.093 1 0.051 0.049 0.042 0.000 -0.008 0.049

2.533 2 0.088 0.084 0.083 0.042 -0.001 0.042

2.871 3 0.126 0.118 0.125 0.083 0.007 0.035

2.929 4 0.133 0.125 0.167 0.125 0.042 0.000

3.613 5 0.244 0.216 0.208 0.167 -0.008 0.050

3.8 6 0.282 0.246 0.250 0.208 0.004 0.038

3.867 7 0.297 0.257 0.292 0.250 0.035 0.007

3.871 8 0.298 0.257 0.333 0.292 0.076 -0.034

4.387 9 0.427 0.348 0.375 0.333 0.027 0.014

4.516 10 0.464 0.371 0.417 0.375 0.045 -0.004

4.8 11 0.553 0.425 0.458 0.417 0.033 0.008

5.233 12 0.710 0.508 0.500 0.458 -0.008 0.050

5.452 13 0.799 0.550 0.542 0.500 -0.009 0.050

5.767 14 0.940 0.609 0.583 0.542 -0.026 0.068

5.935 15 1.021 0.640 0.625 0.583 -0.015 0.056

6.065 16 1.087 0.663 0.667 0.625 0.004 0.038

6.467 17 1.308 0.730 0.708 0.667 -0.021 0.063

6.645 18 1.414 0.757 0.750 0.708 -0.007 0.049

7.097 19 1.710 0.819 0.792 0.750 -0.027 0.069

7.1 20 1.712 0.819 0.833 0.792 0.014 0.028

7.143 21 1.742 0.825 0.875 0.833 0.050 -0.009

7.258 22 1.824 0.839 0.917 0.875 0.078 -0.036

7.742 23 2.197 0.889 0.958 0.917 0.069 -0.028

8.355 24 2.737 0.935 1.000 0.958 0.065 -0.023

maksimum 0.078 0.069


PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL … PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN...

Documents

Transcript of PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL … PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN...