Transformasi Fourier, Konvolusi dan Korelasi

Tiga operasi matematika yang merupakan jantung dari pengolahan data adalah transformasi Fourier, konvolusi dan korelasi.

Transformasi Fourier memindahkan data dari kawasan waktu ke kawasan frekuensi dan sebaliknya.

Konvolusi adalah operasi penggantian setiap elemen input dengan fungsi output yang terskala, yang di dalam bahasa matematik merupakan filter. Seperti masuknya gelombang ke dalam bumi.

Korelasi adalah salah satu metode untuk mengukur kesamaan

antara dua kelompok data.

FFT (Fast Fourier Transform)

Fungsi gelombang seismik f(t) pada interval t1 < t < (t1+T) dapat dianggap

sebagai hasil superposisi dari gelombang sinusoida yang berbeda frekuensi, amplitodo dan phase. Maka fungsi tersebut dapat didekati dengan deret Fourier Sn(t),

(4.1)

dengan n adalah indek harmonik dan

(4.2)

berfungsi sebagai pergeseran DC

(4.3)adalah transformasi cosinus (bagian riel)

(4.4)

f t S ta

an t

Tb

n t

Tn nn

k

n( ) ( ) cos ( ) sin ( ) 0

12

a

Tf t dt

t

t T

0

2

1

1

1

( )

aT

f tn t

Tdtn

t

t T

1

1

1

( ) ) cos (

bT

f tn t

Tdtn

t

t T

1

1

1

( ) ) sin (

FFTPendekatan di atas dapat diperbaiki lagi mutunya, sehingga hasil sumasi (hampir) sama persis dengan fungsi aslinya, yaitu dengan menambahkan fungsi harmoniknya (memperbesar jumlah n). Dengan demikian limit dari f(t) pada n akan menjadi deret konvergen.

(4.5)

Dengan n dan cn adalah phase dan amplitudo yang ditentukan oleh nilai an dan bn melalui persamaan,

(4.6)

Mengingat hubungan (4.7)

f t S ta

an t

Tb

n t

T

ac

n t

T

nn n

nn

n nn

( ) lim ( ) cos ( ) sin ( )

cos ( )

0

1

0

1

2

2

=

)arctan(dan n22

n

nnnn a

bbac

sin

cos

n t

T je e

n t

T je e

jn t

Tjn t

T

jn t

Tjn t

T

1

2

1

2maka bentuk persamaan (4.5) dapat dituliskan sebagai,

(4.8)

dengan n = 1/2 (an - jbn)

-n = 1/2 (an + jbn)

0 = a0/2

f t e en nn

jn t

Tj

n t

T

( )

01

dengan demikian

(4.9)sehingga

dengan (4.10)

 dengan mengingat relasi e-it = cos t - j sin t

dan 2T adalah perioda, maka persamaan

(4.10) merupakan deret Fourier dalam bentuk exponensial yang disebut sebagai bentuk komplek.

Bila frekuensi 1/2T dinotasikan sebagai f dan frekuensi harmonik ke n/2T sebagai dinotasikan f, maka persamaan (4.10)

menjadi

(4.11)

atau (4.12)

 

karena T , dan fungsi kontinyu maka f df dan , sehingga

nn

jn t

Tn

n

jn t

Te e

1 1

f t e

Tf t e dt

n

jn t

T

n

n

T

T jn t

T

( )

( )

1

2

f t e f f f

f t e dt

fj ft

f

fj ft

T

T

( )

( )

2

2

0 2 , ( = , , , ...)

f

f t f t e dt ej ft

T

T

f

j ft( ) ( )

2 2 . f

(4.13)

yang dikenal sebagai integral Fourier f(t)Integral Fourier ini dapat dipecah menjadi hubungan pasangan, yaitu

(4.14)

f(t) dan F(f) disebut sebagai pasangan transformasi Fourier yang sering dinotasikan sebagai f(t) F(f).

f t f t e dt e dfj ft j ft( ) [ ( ) ]

2 2

f t F f e df

F f f t e dt

j ft

j ft

( ) ( )

( ) ( )

dan

2

2

Pasangan FFT

Prosedur Transformasi Fourier 1.  Sinyal didigitasi dengan waktu cuplik 2 mdt.2.  Letakkan waktu nol (0) di tengah-tengah sampel.3. Karena panjang sinyal 0,5 detik, maka perioda atau frekuensi dasar (harmonik

pertama) diambil juga 0,5 detik. Sehingga frekuensi dasarnya 1/0,5 = 2 Hz.

4.  Lakukan transformasi cosinus.Buat gelombang cosinus frekuensi 2 Hz dengan panjang yang sama (0,5 dt) lalu cuplik setiap 2 mdt.Kalikan sampel demi sampel (sampel sinyal x sampel cosinus) dan jumlahkan semua hasilnya. Agar angkanya tidak terlalu besar dapat dinormalisasikan terhadap hasil jumlah perkalian yang maximum.Kemudian plot hasil penjumlahan tersebut di atas pada sumbu frekuensi 2 Hz.Dengan cara yang sama lakukan untuk gelombang cosinus pada frekuensi harmonik berikutnya ( 4, 6, 8, .....) Hz. Hasilnya seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.2. di bawah gambar sinyal.

.  5. Lakukan transformasi sinus dengan tahapan yang sama pada langkah transformasi cosinus.

6. Setelah diperoleh spektrum dari transformasi cosinus dan sinus, lalu hitung spektrum amplitudo dan phasenya dengan menggunakan persamaan (4.6).

Pekerjaan transformasi Fourier di atas dapat dipercepat dengan menggunakan metode Cooley - Tukey (Fast Fourier Transform) yang dikerjakan oleh komputer.

FFT

Konvolusi Operasi matematiknya adalah,

Operasi konvolusi bersifat komutatatif, distributif, assosiatif dan inversif,ht = ft * gt = gt * ft = fk gt-k = gk ft -k

ht = ft *( gt * jt ) = gt * ft + ft * jt

ht =( ft * gt )* jt = ft * (gt * jt)

ft * ft-1= t

bentuk fungsi kontinyu,

f g f g

f g f g f g f g f g f g

t t k t kk

. . . 0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 1, , ,

dsstgsftgtfth

ktfgtfgthk

kt

)().()()()(

)()()(

Konvolusi dapat dikerjakan dengan tiga cara 1. Replacement,

2. Folding (pelipatan),

3. Transformasi-Z.

Konvolusi

Transformasi Z

Dalam teorema konvolusi berlaku bahwa transformasi Fourier dari konvolusi dua fungsi sama dengan perkalian transformasi Fourier dari fungsi masing-masing. Sehingga apabila terdapat fungsi ft dan gt dengan transformasi Fouriernya,

 

maka (4.22) Berarti konvolusi adalah mengalikan spektrum amplitudo dan menjumlahkan spektrum phase dari kedua fungsi tersebut.

kawasan waktu (t) kawasan Zft = ( 1, 2, -1) F(z) = 1 + 2z -z2

gt = ( 2, -1, 1) G(z) = 2 -z + 2z2

maka, ft * gt = ht F(z).G(z) = H(z)

= (1+2z-z2).(2-z+z2)( 2, 3, -3, 3, -1) = ( 2 +3z -3z2 +3z3 -z4)

f F f F f e

g G f G f e

tj f

tj f

f

g

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

f g F f G f et t

j f ff g ( ) ( ) ( ( ) ( ))

Korelasi

Korelasi SilangKorelasi antara dua kelompok data ft dan gt

dituliskan sebagai,

(4.23) untuk fungsi diskrit, dan

(4.24)

untuk fungsi kontinyu.

fg t t tt

N

tf g f g

0

.

fg f t g t s dt

( ) ( )

Hubungan Korelasi dan konvolusiAndaikan fungsi korelasi ditulis sebagai,

kemudian fungsi tersebut ingin dituliskan dalam bentuk konvolusi tanpa merubah hasil korelasinya maka caranya adalah dengan menggeser waktu t sejauh s, yaitu

(4.26)

Sehingga persamaan tersebut merupakan konvolusi antara f dan g', dimana g' adalah fungsi g yang waktunya dibalik dari positif menjadi negatif. Dengan kata lain korelasi adalah konvolusi antara dua trace yang trace keduanya mengalami pembalikan waktu, ditulis sebagai,

(4.27)Contoh :

ft = ( 2, -1, -1)

gt = ( 2, -1, 1) g-t = ( 1, -1, 2) t 0, 1, 2 -2, -1, 0

Sehingga = (2, -3, 4, -1, 2) t -2, -1, 0, 1, 2

Artinya korelasi akan sangat mirip (optimum dgn koef. korelasi = 4) apabila salah satu kelompok data digeser sejauh t = 0 (tidak digeser)

fg t st

N

ts f g( ) .

0

fg t s st

N s

t s tt

N s

t ss f g f g( ) . .

0 0

fg t tt f g( )

Korelasi dalam transformasi Z

g-t G(z -1)

ft F(z)

fg(t) FG(z)

maka fg(t) = ft * g-t FG(z) = F(z).G(z -1) (4.28)

Korelasi dalam kawasan frekuensi

xt X(f) =

gt G(f) =

g-t (konjugate-nya)

(4.29) 

Korelasi dalam kawasan frekuensi merupakan perkalian spektrum amplitudo dan pengurangan spektrum phase

antara dua fungsi.

X f e j fx( ). ( )

G f e j fg( ). ( )

G f G f e j fg( ) ( ). ( )

xg

j f fs X f G f X f G f e g x( ) ( ). ( ) ( ) ( ). [ ( ) ( )]

Auto Korelasi

Auto korelasi adalah keadaan khusus dari korelasi dimana kedua kelompok data tersebut sama persis. Hal ini berarti melakukan korelasi dengan dirinya sendiri, maka fungsi korelasinya menjadi

(4.30)

Fungsi auto korelasi bersifat simitri, karena pergeseran ke kanan sama dengan pergeseran ke kiri, sehingga

ff (s) = ff (-s) (4.31)

untuk fungsi kontinyu,

(4.32)

t

N

tstff ffs .)(

0

ff s f t f t s dt( ) ( ) ( )

Normalisasi Korelasi

Nilai koefisien auto korelasi pada pergeseran nol disebut sebagai energi trace,

Sehingga ff (s) F(f) 2 (4.33)

Normalisasi fungsi auto korelasi dilakukan dengan membagi fungsi korelasi terhadap energi trace

(4.34)

Normalisasi fungsi korelasi silang dituliskan sebagai,(4.35)

ff tt

f

f t dt

( )0 2

2

= ( )

ff normal

ff

ff

ss

( )( )

( )

0

2/1)0().0(

)()(

ggff

fgnormalfg

ss

Latihan

2. Hitung konvolusi dan korelasi dari dua fungsi berikut ini, g(t) = (1, 1, 2, 3, -2, 1, -1, 0, 0, 0 ) dan f(t) = (2, 1, -1).

Hitung: a). g(t) * f(t) = ? dan b). g(t) f(t) = ?

3. Hitung g(t) * f(-t) dengan menggunakan transformasi Z, bila

g(t) = (2,-1,-1) f(t) = (2,-1, 1)