Transformasi Linier -...

Transformasi LinierMatematika Lanjut 1

Dr. Ahmad Sabri

Universitas Gunadarma

Definisi dan teorema

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 2

Definisi [Transformasi Linier]. Diberikan ruang vektor 𝑉 dan 𝑊. Fungsi𝐹: 𝑉 → 𝑊 disebut transformasi linier jika:

i. 𝐹 𝐮 + 𝐯 = 𝐹 𝐮 + 𝐹(𝐯)

ii. 𝐹 𝑘𝐮 = 𝑘𝐹(𝐮)

untuk semua vektor u, v pada V dan semua skalar k.

Contoh: 𝐹: 𝑅2 → 𝑅3 adalah sebuah transformasi linier.


Buktikan 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦) adalah transformasi linier.


Sifat-sifat

Teorema. Jika 𝑇: 𝑉 → 𝑊 adalah transformasi linier, maka:

a) 𝑇 𝟎 = 𝟎

b) 𝑇 −𝐯 = −𝑇(𝐯) untuk semua v di V

c) 𝑇 𝐯 − 𝐰 = 𝑇 𝐯 − 𝑇(𝐰) untuk semua v,w di V


Definisi. Untuk 𝑇: 𝑉 → 𝑊 transformasi linier,

• Himpunan semua 𝐯 ∈ 𝑉 sehingga 𝑇 𝐯 = 𝟎 disebut kernel (ruang nol) dari T, dan dinotasikan sebagai ker(𝑇).

• Himpunan semua 𝐰 ∈ 𝑊 yang merupakan peta dari T disebutjangkauan dari T, dan dinotasikan sebagai 𝑅(𝑇).


• tinjau kembali slide no. 11 materi “06 Solusi SPL”

• Dengan eliminasi Gauss-Jordan, diperoleh matriks eselon baris :

1 1 0 0 1 00 0 1 0 1 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0

• basis dari ruang pemecahan adalah

vektor 𝑣1 =

−11000

dan 𝑣2 =

−10−101


Masalah tersebut dapat dipandang sebagai mencari kernel dari sebuahtransformasi linier, dengan matriks transformasi

𝐴 =

2 2 −1 0 1−1 −1 2 −3 11 1 −2 0 −10 0 1 1 1

Menemukan solusi 𝐴𝐱 = 0 ekivalen dengan menemukan kernel daritransformasi linier 𝑇 𝐱 = 𝐴𝐱, yang diberikan oleh:

ker 𝑇 = 𝑠 −1,1,0,0,0 + 𝑡 −1,0, −1,0,1 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅

dalam hal ini dimensi dari ker(𝑇) adalah 2Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 8

Teorema. Jika 𝑇: 𝑉 → 𝑊 adalah transformasi linier, maka:

a) ker(𝑇) adalah subruang dari V

b) 𝑅(𝑇) adalah subruang dari W.


Diberikan basis-basis 𝑆 = 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, 𝐯𝟑 untuk 𝑅3, di mana 𝐯𝟏 =1,1,1 , 𝐯𝟐 = 1,1,0 , 𝐯𝟑 = (1,0,0). Sebuah transformasi linier 𝑇: 𝑅3 →𝑅2 pada vektor-vektor basis memberikan:

𝑇 𝐯𝟏 = 1,0 ; 𝑇 𝐯𝟐 = 2,−1 ; 𝑇 𝐯𝟑 = (4,3)

a) Temukanlah formula untuk T

b) Tentukan 𝑇(2, −3,5)


Definisi. Diberikan transformasi linier 𝑇: 𝑉 → 𝑊.

• Dimensi dari ker(𝑇) disebut nulitas T,

• Dimensi jangkauan dari T disebut rank T.


Teorema. Jika 𝑇: 𝑉 → 𝑊 adalah transformasi linier dan V berdimensi n, maka: rank T + nulitas T = n.

Teorema. Jika A matriks 𝑚 × 𝑛, maka dimensi ruang pemecahan untuk𝐴𝐱 = 𝟎 adalah 𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴).


(lihat slide no. 11 materi “06 Solusi SPL”)

𝐴 =

2 2 −1 0 1−1 −1 2 −3 11 1 −2 0 −10 0 1 1 1

, ekivalen dengan matriks eselon baris

1 1 0 0 10 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 0

, sehingga rank(A) = 3

maka dimensi dari ruang pemecahan untuk 𝐴𝐱 = 𝟎 adalah 𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 =5 − 3 = 2.


Transformasi Linier 𝑅𝑛ke 𝑅𝑚


• Misalkan A matriks berukuran 𝑚 × 𝑛, dan v vektor di 𝑅𝑚.

• 𝑇 𝐱 = 𝐴𝐱 merupakan transformasi linier yang memetakan vektor di 𝑅𝑛 ke vektor di 𝑅𝑚.

• Transformasi linier 𝑇: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑚 disebut juga transformasi matriks.

Bukti:𝑇 𝐮 + 𝐯 = 𝐴 𝐮 + 𝐯 = 𝐴𝐮 + 𝐴𝐯 = 𝑇 𝐮 + 𝑇(𝐯)𝑇 𝑘𝐮 = 𝐴 𝑘𝐮 = 𝑘𝐴 𝐮 = 𝑘𝑇(𝐮)


Teorema. Jika

• 𝑇: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑚 adalah transformasi linier, dan

• 𝑒1, 𝑒2, ⋯ , 𝑒𝑛 adalah basis baku untuk 𝑅𝑛,

maka 𝑇 𝐯 = 𝐴𝐮, di mana 𝐴 = 𝑇(𝑒1) 𝑇(𝑒2) ⋯ 𝑇(𝑒𝑛)

Matriks A disebut matriks baku untuk T.

Dengan kata lain, setiap transformasi linier dapat dinyatakan sebagaitransformasi matriks.


Temukanlah matriks baku untuk 𝑇: 𝑅3 → 𝑅4 yang didefinisikan oleh:

𝑇

𝑥1𝑥2𝑥3

=

𝑥1 + 𝑥2𝑥1 − 𝑥2𝑥3𝑥1

Jawab:

𝑇 𝑒1 = 𝑇100

=

1101

, 𝑇 𝑒2 = 𝑇010

=

1−100

, 𝑇 𝑒3 = 𝑇001

=

0010

𝐴 = 𝑇 𝑒1 𝑇 𝑒2 𝑇 𝑒3 =

1 1 01 −1 00 0 11 0 0

. Cek: 𝐴

𝑥1𝑥2𝑥3

=

1 1 01 −1 00 0 11 0 0

𝑥1𝑥2𝑥3

=

𝑥1 + 𝑥2𝑥1 − 𝑥2𝑥3𝑥1Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 17

Transformasi linier bidang

• Transformasi linier bidang adalah 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2.

• Transformasi utama pada bidang:1. Rotasi

2. Refleksi

3. Ekspansi/kompresi

4. Shearing


• Refleksi • Ekspansi/kompresi

• Shear


Transformasi Fungsi Transformasi Matriks Transformasi

Rotasi terhadaptitik pusat

𝑇𝑥𝑦 =

𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃

cos 𝜃 − sin 𝜃sin 𝜃 cos 𝜃

Refleksi terhadapsumbu Y

𝑇𝑥𝑦 =

−𝑥𝑦

−1 00 1

Refleksi terhadapsumbu X

𝑇𝑥𝑦 =

𝑥−𝑦

1 00 −1

Refleksi terhadapgaris 𝑦 = 𝑥

𝑇𝑥𝑦 =

𝑦𝑥

0 11 0

Ekspansi/kompresiarah x dengan faktor k

𝑇𝑥𝑦 =

𝑘𝑥𝑦

𝑘 00 1

Ekspansi/kompresiarah y dengan faktor k

𝑇𝑥𝑦 =

𝑥𝑘𝑦

1 00 𝑘

Shearing arah xdengan faktor k

𝑇𝑥𝑦 =

𝑥 + 𝑘𝑦𝑦

1 𝑘0 1

Shearing arah ydengan faktor k

𝑇𝑥𝑦 =

𝑥𝑘𝑥 + 𝑦

1 0𝑘 1


Jika 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 adalah perkalian oleh sebuah matriks elementer, maka efekgeometris dari transformasi tersebut adalah salah satu dari yang berikut:

1. Shearing sepanjang sumbu koordinat: 1 0𝑘 1

,1 𝑘0 1

2. Refleksi terhadap 𝑦 = 𝑥: 0 11 0

3. Kompresi/ekspansi sepanjang sumbu koordinat: 𝑘 00 1

,1 00 𝑘

4. Refleksi terhadap sumbu koordinat: −1 00 1

,1 00 −1

5. Kompresi/ekspansi sepanjang sumbu koordinat diikuti oleh refleksiterhadap sumbu koordinat


• Jika 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 adalah perkalian dengan sebuah matriks A yang non-singular, maka T memetakan (𝑥, 𝑦) ke 𝑥′, 𝑦′ sebagaimana berikut:

𝑥′𝑦′

= 𝐴𝑥𝑦

• oleh karena A non-singular, maka:𝑥𝑦 = 𝐴−1

𝑥′𝑦′

• transformasi dengan matriks 𝐴 dan 𝐴−1 disebut transformasi-transformasi invers


Teorema. Jika 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 adalah perkalian oleh matriks A yang non-singular, maka efek geometrik dari T sama dengan shearing, kompresi, ekspansi, dan refleksi yang dilakukan berdasarkan urutan perkalianmatriks-matriks elementer pembentuk A.


Contoh: Nyatakanlah 𝐴 =1 23 4

sebagai hasil kali matriks elementer, dan jelaskan

efek geometrik perkalian oleh A.

Jawab:

1 23 4

𝑏2−3𝑏1 1 20 −2

−12𝑏2 1 2

0 1

𝑏1−2𝑏2 1 00 1

𝐸1 =1 0−3 1

, 𝐸2 =1 00 −

12, 𝐸3 =

1 −20 1

𝐴 = 𝐸1−1𝐸2

−1𝐸3−1 =

1 03 1

1 00 −2

1 20 1


Efek geometris:

1.1 20 1

shearing arah x dengan

faktor 2

2.1 00 −2

ekspansi arah y

dengan faktor -2

3.1 03 1

shearing arah y dengan

faktor 2

Sebuah persegi memiliki titik sudut 𝑃1 0,0 , 𝑃2 1,0 , 𝑃3 0,1 , 𝑃4(1,1). Gambarlah urutan efek geometrik dari peta persegi tersebut berdasarkan

transformasi matriks 𝐴 =−1 22 −1

.

−1 22 −1

𝑏2+2𝑏1 −1 20 3

13𝑏2 −1 2

0 1

−𝑏1 1 −20 1

𝑏1+2𝑏2 1 00 1

𝐸1 =1 02 1

, 𝐸2 =1 00 1

3, 𝐸3 =

−1 00 1

, 𝐸4 =1 20 1

𝐸1−1 =

1 0−2 1

, 𝐸2−1 =

1 00 3

, 𝐸3−1 =

−1 00 1

, 𝐸4−1 =

1 −20 1


𝐴𝑃 = 𝐸1−1𝐸2

−1𝐸3−1𝐸4

−1𝑃

• 𝐸4−1 0 1 1 0

0 0 1 1=

0 1 −1 −20 0 1 1

• 𝐸3−1 0 1 −1 −2

0 0 1 1=

0 −1 1 20 0 1 1

• 𝐸2−1 0 −1 1 2

0 0 1 1=

0 −1 1 20 0 3 3

• 𝐸1−1 0 −1 1 2

0 0 3 3=

0 −1 1 20 2 1 −1


Transformasi Linier -...

Documents

Transcript of Transformasi Linier -...