Post on 20-Jun-2015
BAB IVLINGKARAN
DEFINISILingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Titik tertentu disebut dengan pusat lingkaran dan jarak sama disebut jari-jari.
A. Persamaan lingkaran1. Lingkaran dengan pusat O(0,0)
y
P(x,y) r
x O
Titik P(x,y) terletak pada lingkaranmaka:
OP = r = r
x2 + y2 = r2
Sihingga diperoleh:
Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari = r adalah x2 + y2 = r2
Contoh 1:Tentukan persamaan lingkaran yang titik pusatnya di O(0,0)dan berjari-jari = 4
Jawab:Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2
r = 4 maka diperoleh x2 + y2 = 42 atau x2 + y2 = 16
Contoh 2:Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya adalah suatu garis yang menghubungkan titik (3,4) dan (-3,-4)
Jawab:
Pusat = (0,0)
Jari-jari = = = 5Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25
2. Lingkaran dengan pusat Py
Misalnya titik Q(x,y) terletak pada lingkaran yang titik pusatnya P , maka:PQ =
r2 =
Sihingga diperoleh:
Persamaan lingkaran dengan pusat P dan berjari-jari = r adalah = r2
Contoh 3:Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,-5) dan berjari-jari 6
Jawab:= 62
= 36
x2 – 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 36x2 + y2 – 4x + 10y – 7 = 0
UJI KOMPETENSI 1
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari:a. 5b. c. 3
Jawab:
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik:a. (-5, 12)b. (-8, -6)c. (7, 4)
Jawab:
3. Tentukan persamaan tempat kedudukan titik P jika diketahui:a. PB = 3 PA dengan A (9,1) dan B(1,1) b. PA = 2 PB dengan A(0,4) dan B(0,1)
Jawab:
3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran = r2 yaitu lingkaran yang berpusat dititik Pdan berjari-jari = r dapat dijabarkan sebagai berikut:
= r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Jika -2a = A a = A a2 = A2
-2b = B b = B b2 = B2
C = A2 + B2 – r2 r =
maka persamaan terakhir menjadi:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Sihingga diperoleh:
Persamaan bentuk umum lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0
pusat P( A, B) dan berjari-jari r =
Contoh :
Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 6x + 2y + 1 = 0
Jawab:
P(3, -1)
r = = = 3
UJI KOMPETENSI 2
Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran: 1. x2 + y2 – 4x + 6y – 23 = 02. x2 + y2 – 2x – 4 y – 9 = 03. x2 + y2 + 8x + y + 1 = 04. 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 05. 5x2 + 5y2 – 20x – 30y + 15 = 06. 3x2 + 3y2 – 4x + 6y –12 = 0
Jawab:
B. Letak suatu titik terhadap lingkaran
Posisi suatu titik T(p,q) terhadap lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 sebagai berikut:
1. Jika T(p,q) diluar lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 maka p2 + q2 + Ap + Bq + C > 0
2. Jika T(p,q) pada lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 maka p2 + q2 + Ap + Bq + C = 0
3. Jika T(p,q) didalam lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 maka p2 + q2 + Ap + Bq + C < 0
Contoh:
Terhadap lingkaran x2 + y2 – 2x + 6y – 6 = 0, selidiki posisi titik berikut:a. (1, 2) b. (1, 1) c. (0,-3)
Jawab:a. (1, 2) (1)2 + (2)2 – 2(1) + 6(2) – 6 = 1 + 4 – 2 + 12 – 6 = 9 > 0
jadi titik (1,2) terletak diluar lingkaran
b. (1, 1) (1)2 + (1)2 – 2(1) + 6(1) – 6 = 1 + 1 – 2 + 6 – 6 = 0jadi titik (1,1) terletak pada lingkaran
c. (0, -3) (0)2 + (-3)2 – 2(0) + 6(-3) – 6 = 0 + 9 – 0 – 18 – 6 = - 15 < 0jadi titik (0, -3) terletak didalam lingkaran
UJI KOMPETENSI 3
1. Terhadap lingkaran x2 + y2 – 12 = 0, selidiki posisi titik berikut:a. (1, 2) b. (3, -4) c. (2, )
Jawab:
2. Terhadap lingkaran x2 + y2 + x + 7y – 10 = 0, selidiki posisi titik berikut:a. (2, -1) b. (1, 1) c. (-5,-1)
Jawab:
C. Garis singgung lingkaran
1. Garis singgung yang melalui titik pada lingkaran Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah
x1x + y1y = r2
Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran = r2 adalah = r2
Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 + Ax +
By + C = 0 adalah x1x + y1y + + C = 0
Contoh 1:Persamaan garis singgung melalui titik (3, 4) pada lingkaran = 26
Jawab:(3 – 2)(x – 2) + (4 + 1)(y + 1) = 26
x – 2 + 3y + 3 – 26 = 0 x + 3y – 25 = 0
Contoh 2:Persamaan garis singgung melalui titik (1, -2) pada lingkaran x2 + y2 + 6x – 10y - 31 = 0
Jawab:
(1)x + (-2)y + (x + 1) + (y – 2) – 31 = 0
x – 2y + 3x + 3 + 5y – 10 – 31 = 0 4x + 2y – 38 = 0 2x + y – 19 = 0
UJI KOMPETENSI 4Tentukan persamaan garis singgung lingkaran :1. x2 + y2 = 18 melalui titik (3, 3)
Jawab:
2 x2 + y2 – 20 = 0 melalui titik (2, -4)Jawab:
3. = 4 melalui titik (0, -1)Jawab:
4. = 2 melalui titik (-3, 2)Jawab:
5. x2 + y2 – 4x – 12y + 15 = 0 melalui titik (-1, 2)Jawab:
6. x2 + y2 + 6x – 2y + 2 = 0 melalui titik (-5, -1)Jawab:
2. Garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 yang gradiennya m adalah
Persamaan garis singgung lingkaran = r2 yang gradiennya m
adalah
Contoh:Tentukan persamaan garis singgung lingkaran = 4 yang
gradiennya
Jawab:
atau
UJI KOMPETENSI 5
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 16 jika diketahui:a. gradiennya = 2b. sejajar garis 3x + y = 5c. tegak lurus garis x – y + 4 = 0
Jawab :
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran = 9 jika diketahui:a. gradiennya = - 3 b. sejajar garis 2x – 6y = 1c. tegak lurus garis 3x – y + 2 = 0
Jawab :
3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 - 2x + 2y - 23 = 0jika diketahui:a. gradiennya = 5 b. sejajar garis x – 5y = 1c. tegak lurus garis x – y + 2 = 0
Jawab :
EVALUASI KOMPETENSI
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!1. Persamaan tempat kedudukan titik P(x, y) sedemikian sehingga jarak K ke titik
A(0,16) sama dengan 4 kali jaraknya terhadap titik B(0,1) adalah … .a. x2 + y2 = 4 d. x2 + y2 = 25b. x2 + y2 = 9 e. x2 + y2 = 36c. x2 + y2 = 16
2. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0) dan melalui titik (3, 7) adalah … .a. x2 + y2 = 9 d. x2 + y2 = 58b. x2 + y2 = 16 e. x2 + y2 = 100c. x2 + y2 = 49
3. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 1) dan berjari-jari 5 adalah … .a. = 5 d. = 25b = 25 e. = 25c = 5
4. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,-3) dan melalui titik (4,5) adalah … .a. x2 + y2 + 4x - 6y - 55 = 0 d. x2 + y2 - 4x + 6y - 68 = 0b. x2 + y2 + 4x - 6y - 68 = 0 e. x2 + y2 - 4x + 6y - 86 = 0c. x2 + y2 - 4x + 6y - 55 = 0
5. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-3,5) dan menyinggung sumbu y adalah … .a. x2 + y2 – 6x + 10y + 9 = 0 d. x2 + y2 + 6x – 10y + 25 = 0
b. x2 + y2 – 6x + 10y + 25 = 0 e. x2 + y2 + 6x – 10y + 34 = 0
c. x2 + y2 + 6x – 10y + 9 = 0
6. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3,4) dan menyinggung sumbu x adalah … .a. x2 + y2 – 6x – 8y – 9 = 0 d. x2 + y2 + 6x + 8y + 9 = 0b. x2 + y2 - 6x – 8y + 9 = 0 e. x2 + y2 - 3x - 4y + 9 = 0c. x2 + y2 + 6x + 8y – 9 = 0
7. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-3,2) dan menyinggung garis x = 1 adalah … .a. x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0 d. x2 + y2 + 6x – 4y + 3 = 0b. x2 + y2 + 6x – 4y – 4 = 0 e. x2 + y2 + 6x – 4y + 9 = 0c. x2 + y2 + 6x – 4y – 9 = 0
8. Gambar diameter suatu lingkaran , melalui titik (-2,3) dan (4,-5) . Jika kita menggambar lingkaran yang berdiamater tersebut, maka persamaan gambar lingkaran yang diperoleh adalah …a. x2 + y2 – 2x – 2y – 23 = 0 d. x2 + y2 + 2x + 2y + 23 = 0b. x2 + y2 - 2x – 2y + 23 = 0 e. x2 + y2 - 2x + 2y - 23 = 0c. x2 + y2 + 2x + 2y – 23 = 0
9. Diketahui persamaan lingkaran . Lingkaran tersebut memiliki titik pusat lingkaran di titik ...a. (3,-6) d. (-3,-6)b. (3,6) e. (6,-12)c. (-3,6)
10 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0 di titik (1,-2) adalah ... a. x = 2 d. y = -1 b. x = 1 e. y = -2 c. y = 0