Post on 08-May-2019
Fungsi dua peubah
2/13/2019
Sistem Koordinat
y
x
P(x,y)
Kuadran IKuadran II
Kuadran III Kuadran IV
y
x
y
z
x
P(x,y,z)
Oktan 1
R3(Ruang) R2(Bidang)
2/13/2019
Permukaan di Ruang (R3)
Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan diruang dan cara membuat sketsa suatupermukaan di ruang (R3).
Berikut beberapa permukaan di ruang, antara lain :
• Bola, mempunyai bentuk umum :0a,azyx 2222 =++
222 ayx =+Jejak di bidang XOY, z = 0➔
Jejak di bidang XOZ, y = 0➔
, berupa lingkaran222 azx =+ , berupa lingkaran
Jejak di bidang YOZ, x = 0➔222 azy =+ , berupa lingkaran
2/13/2019
Bola
Z
x
y
0a,azyx 2222 =++a
-a
a
a-a
-a
jari-jari = a, pusat titik asal
( ) ( ) ( )2 2 2 2 , 0x r y s z t a a− + − + − =
jari-jari = a, pusat (r,s,t)
2/13/2019
• Elipsoida, mempunyai bentuk umum
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
=++ , a, b, c > 0
1b
y
a
x2
2
2
2
=+Jejak di bidang XOY, z = 0➔ , berupa Ellips
1c
z
a
x2
2
2
2
=+Jejak di bidang XOZ, y = 0➔ , berupa Ellips
1b
y
c
z2
2
2
2
=+Jejak di bidang YOZ, x = 0➔ , berupa Ellips
2/13/2019
Gambar Elipsoida
Z
x
y
2 2 2
2 2 21, , , 0
x y za b c
a b c+ + =
c
-c
a
b-b
-a
2/13/2019
Permukaan di R3
• Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum:
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
=−+ , a, b, c > 0
1b
y
a
x2
2
2
2
=+Jejak di bidang XOY, z = 0➔ , berupa Ellips
1c
z
a
x2
2
2
2
=−Jejak di bidang XOZ, y = 0➔ , berupa Hiperbolik
1c
z
b
y2
2
2
2
=−Jejak di bidang YOZ, x = 0➔ , berupa Hiperbolik
2/13/2019
Gambar Hiperbolik Berdaun Satuz
x
y
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
=−+
c
-c
ab-b
-a
1. Bidang XOY, z = 0
Berupa elips
2. Bidang XOZ, y = 0
Berupa hiperbolik
3. Bidang YOZ, x = 0
Berupa hiperbolik
1c
z
a
x2
2
2
2
=−
1c
z
b
y2
2
2
2
=−
1b
y
a
x2
2
2
2
=+
2/13/2019
• Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentukumum:
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
=−− , a, b, c > 0
1b
y
a
x2
2
2
2
=−Jejak di bidang XOY, z = 0➔ , berupa Hiperbolik
1c
z
a
x2
2
2
2
=−Jejak di bidang XOZ, y = 0➔ , berupa Hiperbolik
1c
z
b
y2
2
2
2
=−−Jejak di bidang YOZ, x = 0➔ , tidak ada jejak
1a
x
c
z
b
y2
2
2
2
2
2
−=+ , maka terdefinisi saat x - a atau x a
Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips
2/13/2019
Gambar Hiperbolik Berdaun Duaz
x
y
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
=−−
1. Bidang XOY, z = 0
Berupa hiperbolik
1b
y
a
x2
2
2
2
=−
a
-a
2. Bidang XOZ, y = 0
Berupa hiperbolik
1c
z
a
x2
2
2
2
=−
3. Bidang YOZ, x = 0
Tidak ada jejak
1c
z
b
y2
2
2
2
=−−
2/13/2019
Z
x
y
Paraboloida eliptik, mempunyai bentuk umum:2 2
2 2
x yz
a b+ = , a, b > 0
Bidang XOZ (y =0)
Bidang YOZ (x =0)
Bidang ZOY (z =0)
b-ba
-a
2/13/2019
Z
x
y
Paraboloida hiperbolik, mempunyai bentuk umum:
2 2
2 2
y xz
b a− = , a, b > 0
Bidang XOZ (y =0)
Bidang YOZ (x =0)
Bidang ZOY (z =0)b-ba
-a
2/13/2019
Permukaan di R3
z
x
y
Bidang XOZ (y =0)
Bidang YOZ (x =0)
Bidang ZOY (z =0)
Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum:
0c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
=−+
2/13/2019
Permukaan di R3
yx
z
Bidang, mempunyai bentuk umum:
DCzByxA =++
Bidang XOZ (y =0)
Bidang YOZ (x =0)
Bidang ZOY (z =0)
D/C
D/A
D/B
2/13/2019
LatihanSketsalah permukaan berikut:1. x2 + y2 = 42. y = x2
3. 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 14. 9 z2 + 9x2 + 4y2 = 365. z =46. x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 4z = 3
2/13/2019
Fungsi Dua Peubah
• Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengantepat satu z =f(x,y)
Notasi : f : A → R ( A C R2)(x,y) → z = f(x,y)
Contoh:1. f(x,y) = x2 + 4 y2
2. f(x,y) = 22 4936
3
1yx −−
3. f(x,y) =( )22
2
2
2
−+
−
yx
xy
2/13/2019
Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (Rf)
R)y,x(fR)y,x(D 2
f =
Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari
ff D)y,x()y,x(fR =
1. f(x,y) = x2 + 4 y2
22 y4x9363
1)y,x(f.2 −−=
)y1(x)y,x(f.3 −=
2/13/2019
Contoh (Jawab)1. Df ={(x,y) R2 | x2 + 4 y2 R}
= {(x,y) R2}
x
y
2.
= {(x,y) R2 | 36 – 9x2 – 4y2 0}
−−= RyxRyxDf222 4936
3
1),(
= {(x,y) R2 | 9x2 + 4y2 36}
2 22
2 2( , ) 1
2 3
x yx y R
= +
x
y
2
3
2/13/2019
Contoh (Jawab)
3.
= {(x,y) R2| x(1 – y) 0}
x
y
RyxRyxDf −= )1(),( 2
= {(x,y) R2|x 0 dan (1–y) 0 atau x 0 dan (1–y) 0}
= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x 0 dan y 1}
2/13/2019
Latihan
Tentukan dan Gambarkan Df dari1. f(x,y) =
( )22
2
2yx
xy2
−+
−
5. f(x,y) =1
)1(ln
+−
+−
xy
yx2. f(x,y) =
y1
x
−
4. f(x,y) =)yxln(
yx16 22
+
−−
3. f(x,y) = 2x
y−
2/13/2019
Grafik Fungsi Dua Peubah
Grafiknya berupa permukaan di ruang
Z=f(x,y)
Df
x
y
z
Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengantepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb zakan memotong grafik tepat di satu titik.
2/13/2019
Contoh
Gambarkan Grafik
1. f(x,y) = 2 x2 + 3y2
z = 2 x2 + 3y2
2. f(x,y) = 3 – x2 – y2
Paraboloida eliptik
31
21
22 yxz +=
Z
x
y
z = 3 – x2 – y2
z = 3 – (x2 +y2)
Z
x
y
3
3 3
-3
-3
2/13/2019
Contoh
3. f(x,y) =22 4936
3
1yx −−
4. f(x,y) = 22 yx16 −−
9z2 = 36 – 9x2 – 4y2
9x2 + 4y2 + 9z2 = 36
2 2 2
2 2 21
2 3 2
x y z+ + = Elipsoida z positif
z2 = 16 –x2 –y2
x2 + y2 + z2 = 16
Bola z positif
3
4
32
2
4
4
Z
x
y
4
Z
x
y
2/13/2019
Contoh grafikfungsi 2 peubah
menggunakanaplikasi/sofware
2/13/2019
Kurva Ketinggianz = f(x,y) → z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksiperpotongan grafik z = f(x,y) denganbidang z =k pada bidang XOY.
Contoh:
Contoh aplikasi kurva ketinggian
2/13/2019
2/13/2019
Contoh
1. Gambarkan kurva ketinggian z = k darif(x,y) = x2+ 2y2 dengan k = 0, 1, 2, 4
Untuk k = 0 x2 +2 y2 = 0
x = 0, y = 0 titik (0, 0)
Untuk k = 1 x2 +2 y2 = 1
elips
Untuk k = 2 x2 +2 y2 = 2
elips
Untuk k = 4 x2 +2 y2 = 4
elips
1
211
22
=+yx
12
22
=+ yx
124
22
=+yx
.k=0
k=1k=2
k=4
x
y
2/13/2019
Contoh
Untuk k = -2 x – y2 = -2
x = y2 – 2 parabola
Untuk k = 0 x – y2 = 0
parabola
Untuk k = 2 x – y2 = 2
parabola
Untuk k = 4 x - y2 = 4
parabola
k=0
k=-2 k=2
k=4
x
y
x = y2
x = y2 + 2
x = y2 + 4
2. Gambarkan kurva ketinggian z = k darif(x,y) = x – y2 , k = -2, 0, 2, 4
2/13/2019
Latihan
1. f(x,y) = x2/y , k = -4, -1, 0, 1, 4
2. f(x,y) = x2+y2 , k = 0, 1, 4, 9
3. f(x,y) = xy , k = -4, -1, 0, 1, 4
4. f(x,y) = y2 – x2 , k = 1, 2, 3, 4
Gambarkan kurva ketinggian z = k dari