Inferensi Statistik Satu Populasi

Siska Yosmar, M.Sc

Inferensi Statistik

1 2,

1 2,

2 2

1 2,

2 2

1 2,p p

p

2

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

• Estimasi interval mean suatu populasi▫ Teorema limit pusat▫ Apabila sampel-sampel ramdom diambil dari

suatu populasi yang berdistribusi sembarang,yang mempunyai mean dan variansi , makauntuk n besar, distribusi sampling untuk meandapat dianggap mendekati Normal dengan

dan variansi sehingga

mendekati Normal Standar.

2

x

22

x n

X

Zn

( )

• Estimasi interval mean suatu populasi

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

( )

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

• Estimasi interval mean suatu populasi( )

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

• Estimasi interval mean suatu populasi( )

/2 /2

/2 /2

/2 /2

( ) 1

( ) 1

( ) 1

P Z Z Z

XP Z Z

n

P X Z X Zn n

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

• Estimasi interval mean suatu populasi

• Interval konfidensi untuk mean

( )

(1 )100%

/2 /2dengan dan

B A

B X Z A X Zn n

• Contoh :• Suatu sampel random dengan 150 keluarga di suatu kota

menunjukkan penghasilan bulanan rata-rata $ 325 dengandeviasi standar $ 25. hitunglah interval konfidensi 95%untuk rata-rata penghasilan bulanan seluruh keluarga dikota tersebut.

• Jawab :X : penghasilan bulanan di kota tersebut

Interval konfidensi 95% untuk rata-rata penghasilanbulanan :

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

( )

325, 25, 150X s n

2

2

25325 (1,96) 320,999

15025

325 (1,96) 329,001150

Interval konfidensi 95% : 320,999 329,001 ( dapat diganti )

B X Zn

A X Zn

s

• Uji hipotesis Mean Populasi

▫ 1. Hipotesis

▫ 2. Tingkat signifikansi

▫ 3. Statistik Penguji

atau

Jika tidak diketahui diganti s . Distribusi dari Zadalah Normal Standar.

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

( )

0 0 1 0

0 0 1 0

0 0 1 0

A. : vs :

B. : vs :

C. : vs :

H H

H H

H H

0XZ

n

0X

Zs n

• Uji hipotesis Mean Populasi

▫ 4. Daerah penolakan (berdasarkan dan hipotesis)

A. H0 ditolak jika

B. H0 ditolak jika

C. H0 ditolak jika

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

( )

2 2 atau Z Z Z Z

Z Z

Z Z

• Etimasi interval proporsi suatu populasi

jika maka variabel random

mempunyai mean dan variansi

untuk n besar

mendekati Normal Standar (Teorema Limit Pusat)

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

( )p

p

Binomial ( , ),X n px

n(1 )p p

n

1

xp

nZx x

n n

n

• Etimasi interval proporsi suatu populasi

interval konfidensi untuk p

dengan

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

( )p

(1 )100%

2

2

ˆ ˆ(1 )ˆ

ˆ ˆ(1 )ˆ

B p A

p pB p Z

n

p pA p Z

n

ˆx

pn

• Uji hipotesis proporsi Populasi

▫ 1. Hipotesis

▫ 2. Tingkat signifikansi

▫ 3. Statistik Penguji

Distribusi dari Z adalah Normal Standar.

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

( )p

0 0 1 0

0 0 1 0

0 0 1 0

A. : vs :

B. : vs :

C. : vs :

H p p H p p

H p p H p p

H p p H p p

0

0 0

ˆ

(1 )

p pZ

p p

n

• Uji hipotesis proporsi Populasi

▫ 4. Daerah penolakan (berdasarkan dan hipotesis)

A. H0 ditolak jika

B. H0 ditolak jika

C. H0 ditolak jika

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

( )p

2 2 atau Z Z Z Z

Z Z

Z Z

Hubungan antara Interval Konfidensi dan Uji hipotesis

Interval konfidensi untuk

dengan penolakan dengan tingkat signifikansi untuk

uji hipotesis

daerah penerimaan

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

(1 )100%

/2 /2X Z X Zn n

0 0 1 0: vs :H H

2 2 atau Z Z Z Z

2 2

02 2

/2 0 /2

Z Z Z

XZ Z

n

X Z X Zn n

• Ringkasan

Inferensi Statistik Satu Populasi Sembarang

• Data dianggap berdistribusi Normal

• Ukuran sampel tidak harus besar

• Jenis parameter :

▫ Mean

▫ variansi

• Distribusi sampling

▫ Normal

▫ t

▫ Chi-kuadrat (Chi-square)

Inferensi Statistik Satu Populasi Normal

2

• Normal Standar

▫ Jika adalah sampel random berasal dari populasi Normal dengan mean dan variansi maka variabel random

berdistribusi Normal Standar N(0,1)

Inferensi Statistik Satu Populasi Normal

21,..., nX X

XZ

n

• Distribusi t

▫ Jika adalah sampel random berasal dari populasi Normal dengan mean dan variansi maka variabel random

berdistribusi t dengan derajat bebas n-1

Untuk n yang semakin besar, distribusi t akan mendekati distribusi Normal.

Inferensi Statistik Satu Populasi Normal

21,..., nX X

Xt

s n

• Distribusi Chi-kuadrat 2k

▫ Jika adalah variabel random yang

berdistribusi Normal yang independen satu

dengan yang lain. Distribusi variabel random

berdistribusi Chi-kuadrat berderajat bebas k

dengan mean dan variansi

Inferensi Statistik Satu Populasi Normal

1,..., kX X

2 2 2

1 ... kX X

2( )E k 2( ) 2Var k

• Distribusi Chi-kuadrat n-1

▫ Diketahui adalah variabel random yang

berdistribusi Normal dengan mean dan variansi

maka variabel random

berdistribusi Chi-kuadrat berderajat bebas n-1

Inferensi Statistik Satu Populasi Normal

1,..., nX X

22

2

( 1)n s

2

• Distribusi Normal Standar

▫ Jika sampel random berukuran n diambil dari suatu populasi yang berdistribusi Normal dengan mean dan variansi maka variabel random

berdistribusi N(0,1) untuk n besar.

Inferensi Statistik Satu Populasi Normal

22 2

2 2

1

sZ

n

Inferensi Statistik Satu Populasi Normal

Inferensi Statistik Satu Populasi Normal