Post on 02-Mar-2016
description
3
Kamiran
Kamiran
Kamiran Tak Terbatas
Di dalam matematik banyak prinsip pasangan yang dapat melakukan songsangan kembali kepada konsep asalnya. Pasangan yang nyata sekali ialah mendharab dan membahagi. Jika anda mendharab sesuatu nombor dengan satu skala bukan sifar, k, dan kemudian membagikannya semula dengan k, anda akan mendapat nombor yang asal. Situasi ini diterangkan dengan menyatakan dua operasi ini adalah songsangan. Di dalam kalkulus, songsangan bagi pembezaan adalah kamiran.
Katakan anda diperlukan untuk mencari fungsi F(x) dimana pembezaannya adalah,
Anda boleh meneka apakah F(x) di dalam kes ini. Dengan fungsi di atas dengan mudah kita mendapatkan jawapan dengan memeriksanya, iaitu,
disebabkan,
Secara amnya, jika F'(x) = f(x) maka F(x) dikatakan kamiran f(x) dan ditulis sebagai,
Didalam tanda ini,
dan
Contoh 3.1:
Didalam masalah diatas kita boleh menulis,
Walau bagaimanapun, terdapat kemungkinan lain. Sebagai contoh, bagi fungsi berikut
x2 + 6
dan
x2 - 59
di mana pembezaannya adalah 2x disebabkan pembezaan skala adalah sifar. Sebenarnya, kita boleh menambahkan sebarang skala, c, kepada x2 untuk mendapatkan fungsi yang dibezakan menjadi x2. Oleh itu,
Pemalar c, dipanggil sebagai kamiran malar. Secara amnya, jika F(x) yang merupakan satu fungsi yang dibezakan menjadi f(x) oleh itu,
F(x) + c
maka
Secara amnya, prinsip kamiran sesuatu fungsi adalah,
Untuk mengkamirkan fungsi yang mempunyai kuasa, anda hanya menambahkan kuasa fungsi tersebut dengan satu dan kemudian membahagikannya dengan nombor yang anda perolehi. Formula diatas adalah benar apabila n adalah positif, negatif, nombor bulat atau pecahan. Hanya satu pengecualian terhadap peraturan tersebut iaitu apabila n = -1, Prinsip tersebut tidak boleh mengkamirkan fungsi,
disebabkan adalah mustahil untuk membahagikan satu angka dengan sifar. Oleh itu kamiran fungsi ialah
Peraturan asas kamiran yang akhir yang perlu diketahui ialah
Didalam bahagian yang lepas, kita telah membincangkan peraturan pembezaan yang dikenali sebagai pembezaan pemalar, hasil tambah dan hasil tolak sesuatu fungsi. Di dalam peraturan kamiran, prinsip yang sama juga boleh digunakan. ketiga-tiga peraturan tersebut juga boleh digabungkan menjadi satu peraturan tunggal dimana
Contoh 3.2:
(a) Kamirkan
(b) Kamirkan
(c) Kamirkan
(d) Fungsi kos marginal MC = Q2 + 2Q + 4. Carikan fungsi kos jika kos tetap 100
MC = Q2 + 2Q + 4
Pemalar didalam hasil kamiran diatas merupakan kos tetap kepada fungsi tersebut. Oleh kerana kos tetap adalah 100, maka
Kamiran Melalui PenggantianKamiran bagi fungsi yang mengandungi dua rangkap atau lebih seperti
tidak boleh dilakukan secara langsung menggunakan peraturan mudah seperti yang diterangkan didalam bahagian di atas. Walau bagaimanapu, jika kamiran boleh dinyatakan sebagai pekali skala dengan fungsi lain u dan terbitannya , dikamirkan dengan penggantian maka ia boleh dilaksanakan. Dengan menyatakan pengkamir f(x) sebagai fungsi kepada u dan terbitannya dan dikamirkan terhadap x, maka,
Kaedah penggantian ini adalah songsangan kepada peraturan rantaian di dalam kalkulus pembezaan.
Contoh 3.3:
Kamirkan
Penyelesaian:
1. Pastikan pengkamir boleh dinyatakan sebagai pekali skala y dan . Untuk u, ambil fungsi dimana pembolehubah bebas yang mempunyai kuasa tertinggi.
Kataka u = x3 + 2
Oleh itu
Menyelesaikan untuk dx
Menggantikan u = x3 + 2 dan ke dalam persamaan asal kita memperolehi
2. Kamirkan fungsi yang baru terhadap u, maka
3. Menggantikan u = x3 + 2 maka,
Contoh 3.4:
Kamirkan 4x(x + 1)3 dx
Penyelesaian:
Katakan u = x + 1
dx = du
Oleh itu
Oleh kerana x pekali bukan skala maka ia tidak boleh difaktorkan, oleh itu pengkamir tidak boleh ditransformasikan kepada pekali skala . Oleh iti kaedah penggantian tidak boleh digunakan di dalam kes ini.
Kamiran Mengikut Bahagian
Jika pengkamir bagi fungsi x tidak boleh dinyatakan sebagai pekali skala u, kamiran mengikut bahagian biasanya amat berguna. Kaedah ini diterbitkan dari proses soangsangan pembezaan bagi hasil dharab. Ingat kembali,
dengan mengkamirkan pembezaan di atas memberikan
Kemudian menyelesaikan untuk kamiran pertama dibahagian sebelah kanan,
Bagi fungsi yang lebih rumit, jadual kamiran biasanya digunakan. Jadual kamiran memberikan formula untuk kamiran sebanyak 500 fungsi yang berbeza, dan boleh didapati dari buku panduan matematik.
Contoh 3.5:
Kamirkan 4x(x + 1)3 dx menggunakan kamiran mengikut bahagian.
Penyelesaian:
1. Asingkan kamiran kepada dua bahagian sebagaimana formula didalam (1).
Katakan f(x) = 4x
g(x) = (x + 1)3
Jika
f(x) = 4x,
maka
f'(x) = 4.
dan jika
g(x) = (x + 1)3
maka
dan boleh dikamirkan dengan mudah sebagai
dimana c boleh diabaikan untuk sementara.
2. Gantikan nilai f(x), g(x), dan f'(x) didalam (1); dan perhatikan g'(x) tidak digunakan didalam formula
3. Menggunakan kamiran yang biasa bagi kamiran yang tinggal, maka
Contoh 3.6:
Kamirkan
Penyelesaian:
Katakan f(x) = 2x
Oleh itu f'(x) = 2
Kamiran Terbatas
Salah satu penggunaan kamiran adalah untuk mencari keluasan pada sesuatu geraf. Di dalam Rajah 3.1 adalah kawasan yang dibataskan oleh keluk y x2, garisan x = 1, x = 2 dan paksi x. Sari cara untuk mencari keluasan yang berwarna dengan cepat dan tepat ialah menggunakan kamiran. Kita mulakan dengan kamiran fungsi
f(x) = x2
Untuk mendapatkan
Didalam contoh, kita hendak mencari keluasan dibawah keluk di antara x = 1 dan x = 2, oleh itu kita menilai
Akhir sekali, kita tolakkan F(1) dari F(2) untuk memperolehi
Angka ini merupakan nilai yang tepat bagi kawasan yang dilakarkan didalam Rajah 3.1. Diberi hubungan dengan kamiran kita tuliskan kawasan ini sebagai:
Secara amnya, kamiran terbatas ialah
menandakan keluasan dibawah graf f(x) diantara x = a dan x = b sebagaimana ditunjukkan di dalam Rajah 3.2. Nombor a dan b dipanggil limit kamiran dan diandaikan di dalam bahagian ini b > a dan sebagaimana ditunjukkan di dalam Rajah 3.2.
Teknik untuk menilai kamiran terbatas adalah sebagaimana berikut:
1.Fungsi f(x) diperolehi dengan kamirkan terhadap f(x)
2.Fungsi baru f(x) kemudian dinilaikan pada limit x = a dan x = b untuk mendapatkan F(x) dan F(x)
3.Tolakkan nombor kedua, F(b) dengan nombor pertama, F(a) untuk mendapatkan jawapan
F(b) - F(a)
Secara simbol
Proses untuk menilaikan fungsi pada dua titik x yang berbeza dan menolakkannya antara satu sama lain yang digunakan dengan kerap di dalam matematik adalah menggunakan tatatanda khusus. Kita tuliskan sebagai
sebagai ringkasan untuk F(b) - F(a) dan oleh itu kamiran terbatas dinilaikan sebagai
dimana F(x) merupakan kamiran tak terbatas f(x). menggunakan tatatanda ini penilaian bagi
adalah ditulis sebagai
Perhatikan tidak perlu untuk memasukkan nilai pemalar bagi kamiran disebabkan ia akan dihapuskan apabila menolak F(a) dari F(b).
Contoh 3.7:
(a)
(b)
Peraturan Kamiran Terbatas
1. Songsangan susunan had akan mengubah tanda kamiran terbatas
2. Jika had atas kamiran sama dengan had bawah, nilai kamiran terbatas adalah sifar
3. Kamiran terbatas boleh dinyatakan sebagai jumlah komponen sub- kamiran
Contoh 3.8:
Untuk menggambarkan keadaan yang dinyatakan diatas, kamiran terbatas berikut adalah dinilaikan
.
.
Penggunan Kamiran di dalam Ekonomi
Lebihan Pengguna
Fungsi permintaan sebagaimana didalam Rajah 3.3, memberikan harga yang berbeza untuk pengguna membayaar berbagai kuantiti barangan. Pada titik Q = Qo harganya ialah P = Po.. Jumlah wang yang diperuntukkan keatas Qo unit ialah QoPo yang memberikan keluasan kawasan OABC. Katakan, Po ialah harga yang sedia dibayar oleh pengguna bagi unit terakhir yang dibeli, iaitu Qo unit. Untuk kuantiti sehingga mereka sebenarnya sanggup membayar harga yang lebih tinggi daripada yang diberi oleh keluk permintaan. Oleh itu, kawasan yang berwarna BCD mewakili keuntungan kepada pengguna membayar harga tetap dan dipanggil lebihan pengguna. Nilai lebihan pengguna ini boleh diperolehi dari
kawasan BCD = kawasan OABD - kawasan OABC
Luas kawasan OABD ialah luas kawassan dibawah keluk permintaan, P = f(q), diantara Q = 0 dan Q = Qo oleh itu ia sama dengan
Keluasan kawasan OABC ialah keluasan empat persegi dengan lebar Qo dan tinggi Po, oleh itu
QABC = Qo Po
Oleh yang demikian
Contoh 3.9:
Kirakan lebihan pengguna pada Q = 5 bagi fungsi permintaan
P = 30 - 4Q
Di dalam kes ini
f(Q) = 30 - 4Q
dan Qo = 5, oleh itu harga ialah
Penyelesaian:
Formula lebihan pengguna diberi oleh
memberikan
Lebihan Pengeluar
Fungsi penawaran, P = g(q), didalam Rajah 3.4 memberikan harga yang berbeza dimana pengeluar bersedia untuk menawarkan berbagi kuantiti barangan. Pada Q = Qo harga ialah P = Po. Andaikan semua keluaran dijual, jumlah pendapatan yang diterima ialah PoQo dan diberi oleh keluasan kawasan empatsegi OABC
Katakan Po ialah harga dimana pengeluar bersedia untuk menawarkan unit terakhir, iaitu Qo unit. Untuk kuantiti sehingga Qo mereka sebenarnya sanggup untuk menerima harga yang lebih rendah diberi oleh keluk penawaran. Kawasan berwarna BCD adalah mewakili keuntungan kepada pengeluar menjual pada harga tetap Po dan dinamakan lebihan pengeluar, PS. Nilai PS adalah diperolehi dari
kawasan BCD = kawasan OABC - kawasan OABD
Kawasan OABD ialah empatsegi dengan lebar Qo dan tinggi Po, oleh itu
Keluasan OABD ialah keluasan dibawah keluk penawaran, P = q(Q) diantara Q = 0 dan Q = Qo, oleh itu sama dengan
oleh itu
Contoh 3.10:
Diberi fungsi permintan sebagai dan fungsi penawaran sebagai . Carikan nilai lebihan pengeluar dengan mengandaikan persaingan sempurna.
Penyelesaian:
Oleh kerana andaian kita ialah persaingan sempurna maka harga adalah ditentukan oleh pasaran. Sebelum kita mengira lebihan pengeluar kita terlebih dahulu perlu untuk mengira harga dan kuantiti kesimbangan. Dengan menggunakan tatatanda biasa bagi nilai QD dan QS oleh Q maka fungsi permintaan dan penawaran diberi oleh
dan
oleh itu
dan penyelesaiannya ialah . Kita biasanya tidak menghirukan nilai negatif kerana tidak memberikan sebarang nilai ekonomi. Oleh itu kuantiti kesaimbangan ialah 4. Harga yang berpadanan sama ada untuk penawaran dan permintaan boleh diperolehi dari fungsi permintaan, adalah
Formula bagi lebihan pengeluar ialah
memberikan nilai
Aliran Pelaboran
Pelaboran bersih, I, didefinisikan sebagai kadar perubahan stok modal, oleh itu
Disini, (t) menandakan aliran wang, diukur didalam ringgit per tahun, dan K(t) ialah jumlah modal terkumpul pada masa t sebagai hasil dari aliran pelaboran dan diukur didalam ringgit
Diberi formula stok modal didalam sebutan masa, kita hanya kamirkannya untuk mencari pelaboran bersih. Sebaliknya, jika kita tahu fungsi pelaboran bersih, maka kita kamirkan untuk mencari stok modal. Khususnya, untuk mengira pembentukan modal didalam tempohmasa t = t1 hingga t = t2 kita nilaikan kamiran
Contoh 3.11:
Jika aliran pelaboran ialah
Kirakan:
a.Pembentukan modal dari akhir tahun pertama hingga akhir tahun keempat
b.bilangan tahun diperlukan sebelum stok modal melebehi RM100,000
Penyelesaian
(a)Didalam bahagian ini kita pelu mengira pembentukan modal dari t = 1 hingga t = 4, oleh itu kita menilai kamiran berikut
(b)Didalam bahagian ini kita perlu mengira bilangan tahun yang diperlukan untuk mengumpul sejumlah RM100,000. Selepas T tahun stok modal ialah
Kita dikehendaki mencari nilai T, oleh itu
Kamirannya ialah
oleh itu T
Oleh itu untuk mencapai nilai RM100,000 adalah lebih kurang 6.65 tahun
LATIHAN 3
1. Carikan kamiran yang berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
2. Ulang soalan 1 bagi setiap yang berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
3. Carikan kamiran bagi y = , jikan keadaan awal y = 0 apabila x = 0.
4. Carikan kamiran bagi y = (2x5 - 3x-1/4) dx jika keadaan awal y = 6 apabila x = 0.
5. Carkan kamiran y = dx jika y = 21 apabila x = 1.
6. Ulang soalan 1 bagi setiap yang berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
7. Cari kamiran yang berikut menggunakan kaedah penggantian:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
8. Gunakan kamiran mengikut bahagian bagi kamiran berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
9. Kadar pelaburan bersih = I = 40t3/5 dan stok modal pada t = 0 adalah 75. Carikan fungsi modal, K.
10. Kadar pelaburan bersih ialah I = 10t1/3 dan stok modal pada t = 1 ialah 85. Carikan K.
11. Kos marginal diberi oleh MC = = 25 + 30Q - 9Q2. Kos tetap ialah 55. Carikan (a) jumlah kos, (b) kos purata dan (c) fungsi kos berubah.
12. Jika MC = dTC/dQ = 32 + 18Q - 12Q2 dan FC = 43. Carikan (a) TC, (b) AC dan (c) fungsi VC.
13. Jika hasil marginal diberi oleh MR = 60 - 2Q - 2Q2. Carikan (a) fungsi jumlah hasil dan fungsi permintaan P = f(Q).
14. Carikan (a) fungsi jumlah hasil dan (b) fungsi permintaan jika MR = 84 - 4Q - Q2.
15. Dengan C = f(Y), kecenderungan mengguna marginal diberi oleh MPC = = f'(Y). Jika MPC = 0.8 dan penggunaan adalah 40 jika pendapatan sifar, carikan fungsi penggunaan.
16. Jika MPC = 0.6 + 01Y1/3 dan C = 45 apabila Y = 0, carikan fungsi penggunaan.
17. Jika MC = 12e0.5Q dan FC = 36, carikan fungsi jumlah kos.
18. Jika MC = 16e0.4Q dan FC = 100, carikan jumlah kos.
19. Nilaikan setiap kamiran berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
20.Gunakan kaedah penggantian untuk mengkamirkan persamaan berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
21.Kamirkan persamaan berikut menggunakan kamiran mengikut bahagian:
a.
b.
c.
22. Jika fungsi permintaan, P = 45 - 0.5Q, carikan lebihan pengguna apabila Po = 32.5 dan Qo = 25.
23.Jika fungsi penawaran, P = (Q + 3)2, kirakan lebihan pengeluar pada Po = 81 dan Qo = 6.
24.Jika fungsi permintaan, Pd = 25 - Q2, dan fungsi penawaran, Ps = 2Q + 1. Andaikan persaingan sempurna, kirakan (a) lebihan pengguna, dan (b) lebihan pengeluar.
25.Jika fungsi permintaan Pd = 113 - Q2, dan fungsi penawaran Ps = (Q + 1)2. Andaikan pasaran persaingan sempurna, kirakan (a) lebihan pengguna, dan (b) lebihan pengeluar.
26.Di dalam keadaan persaingan monopoli, kuantiti yang dijual dan harga pasaran adalah ditentukan oleh fungsi permintaan. Jika fungsi permintaan bagi monopoli untuk memaksimumkan keuntungan dinyatakan sebagai P = 274 - Q2 dan MC = 4 + 3Q, kirakan lebihan pengguna.
27.Jika diberi, I(t) = 9t1/2, kirakan pembentukkan modal didalam (a) 8 tahun, dan (b) tahun kelima hingga tahun ke lapan [selang masa (4,8)].
5
((
PAGE 13
_1067844044.unknown
_1067845576.unknown
_1067846126.unknown
_1067850460.unknown
_1067850865.unknown
_1067851048.unknown
_1067851097.unknown
_1067851150.unknown
_1067851474.unknown
_1067851497.unknown
_1067851155.unknown
_1067851166.unknown
_1067851119.unknown
_1067851139.unknown
_1067851114.unknown
_1067851079.unknown
_1067851086.unknown
_1067851063.unknown
_1067851072.unknown
_1067850983.unknown
_1067851032.unknown
_1067850952.unknown
_1067850751.unknown
_1067850805.unknown
_1067850830.unknown
_1067850782.unknown
_1067850548.unknown
_1067850711.unknown
_1067850525.unknown
_1067847400.unknown
_1067850209.unknown
_1067850344.unknown
_1067850400.unknown
_1067850303.unknown
_1067850029.unknown
_1067850039.unknown
_1067847446.unknown
_1067846284.unknown
_1067846347.unknown
_1067847167.unknown
_1067847362.unknown
_1067847160.unknown
_1067847145.unknown
_1067846300.unknown
_1067846247.unknown
_1067846268.unknown
_1067846170.unknown
_1067845751.unknown
_1067845994.unknown
_1067846029.unknown
_1067846053.unknown
_1067846012.unknown
_1067845875.unknown
_1067845905.unknown
_1067845926.unknown
_1067845851.unknown
_1067845660.unknown
_1067845715.unknown
_1067845734.unknown
_1067845684.unknown
_1067845582.unknown
_1067845586.unknown
_1067845579.unknown
_1067845360.unknown
_1067845498.unknown
_1067845542.unknown
_1067845551.unknown
_1067845553.unknown
_1067845545.unknown
_1067845518.unknown
_1067845535.unknown
_1067845509.unknown
_1067845417.unknown
_1067845433.unknown
_1067845456.unknown
_1067845428.unknown
_1067845401.unknown
_1067845411.unknown
_1067845378.unknown
_1067844301.unknown
_1067845285.unknown
_1067845302.unknown
_1067845356.unknown
_1067845293.unknown
_1067845177.unknown
_1067845180.unknown
_1067845172.unknown
_1067844113.unknown
_1067844139.unknown
_1067844143.unknown
_1067844116.unknown
_1067844077.unknown
_1067844105.unknown
_1067844072.unknown
_1067842973.unknown
_1067843580.unknown
_1067843897.unknown
_1067843962.unknown
_1067843989.unknown
_1067843992.unknown
_1067843969.unknown
_1067843941.unknown
_1067843947.unknown
_1067843928.unknown
_1067843672.unknown
_1067843769.unknown
_1067843884.unknown
_1067843766.unknown
_1067843592.unknown
_1067843608.unknown
_1067843589.unknown
_1067843175.unknown
_1067843528.unknown
_1067843567.unknown
_1067843576.unknown
_1067843544.unknown
_1067843416.unknown
_1067843500.unknown
_1067843250.unknown
_1067843052.unknown
_1067843067.unknown
_1067843109.unknown
_1067843064.unknown
_1067843011.unknown
_1067843045.unknown
_1067842988.unknown
_1067842412.unknown
_1067842611.unknown
_1067842808.unknown
_1067842907.unknown
_1067842963.unknown
_1067842903.unknown
_1067842679.unknown
_1067842791.unknown
_1067842718.unknown
_1067842745.unknown
_1067842634.unknown
_1067842433.unknown
_1067842507.unknown
_1067842601.unknown
_1067842493.unknown
_1067842420.unknown
_1067842430.unknown
_1067842416.unknown
_1067842170.unknown
_1067842357.unknown
_1067842394.unknown
_1067842408.unknown
_1067842369.unknown
_1067842342.unknown
_1067842354.unknown
_1067842185.unknown
_1067841997.unknown
_1067842011.unknown
_1067842164.unknown
_1067842002.unknown
_1060537747.unknown
_1060537750.unknown
_1060537751.unknown
_1060537749.unknown
_1060537292.unknown
_1060537746.unknown
_1060537437.unknown
_1060537130.unknown
_1060537291.unknown