Post on 07-Feb-2016
description
MATHEMATICS III TS 4353
CLASS B Integral Rangkap
Herlina SetiyaningsihCivil Engineering DepartmentPetra Christian University
INTEGRAL RANGKAP DUA Integral garis
Integrannya merupakan suatu fungsi f(x) yang terdefinisikan untuk semua x di dalam selang a ≤ x ≤ b pada sumbu x.
Integral rangkap dua, integrannya adalah suatu fungsi f(x,y) yang terdefinisikan untuk semua (x,y) di dalam suatu daerah D yang terbatas dan tertutup pada suatu bidang xy.
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
න 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑏𝑎 𝑑𝑥
INTEGRAL RANGKAP DUA
a b
c
d
AB
P
QZ = F(Xk, Yk)
ΔAk = ΔXkΔYk
ΔYk
ΔXk
D
D dibagi n daerah bagian ΔDk dengan luas ΔAk (k=1, 2, 3, …, n). Diambil titik Z misalkan (xk, yk).
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
X
Y
D = daerah integrasi D dicakup oleh pertidaksamaan: a ≤ x ≤ b, APB ≤ y ≤ AQB f1(x) ≤ y ≤ f2(x) c ≤ y ≤ d, QBP ≤ x ≤ QAP g1(y) ≤ x ≤ g2(y)
𝑓𝑛𝑘=1 ሺ𝑥𝑘,𝑦𝑘ሻ∆𝐴𝑘 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 → ∞
lim𝑛→∞ 𝑓𝑛𝑘=1 ሺ𝑥𝑘,𝑦𝑘ሻ∆𝑋𝑘 ∆𝑌𝑘 𝑑𝑖𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛
= ඵ 𝑓ሺ𝑥,𝑦ሻ𝑑𝑥 𝑑𝑦𝐷
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
ඵ 𝑓(𝑥,𝑦)𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝑦= න න 𝑓ሺ𝑥,𝑦ሻ𝑑𝑦𝑓2(𝑥)𝑦=𝑓1(𝑥) 𝑏
𝑥=𝑎 𝑑𝑥
Diintegralkan terhadap y dengan menganggap x konstan
ඵ 𝑓(𝑥,𝑦)𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝑦= න න 𝑓ሺ𝑥,𝑦ሻ𝑑𝑥𝑔2(𝑦)𝑥=𝑔1(𝑦) 𝑑
𝑦=𝑐 𝑑𝑦
Diintegralkan terhadap x dengan menganggap y konstan
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE 1
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE 2
Diketahui a/. Hitung I dan gambarkan daerah integrasinyab/. Ubah urutan integrasinya & hitung nilai I
𝐼= න න𝑑𝑦𝑥𝑥3/2 𝑑𝑥1
0
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE 3
y=xx=yx=y2/3
y = x3/2
1
1
x
y
න න𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥𝑥3/2
10 = න න 𝑑𝑦𝑦=𝑥
𝑦=𝑥3/2𝑥=1
𝑥=0 𝑑𝑥
= න𝑦1𝑥=0 ቚ
𝑥𝑥3/2 𝑑𝑥= න
1𝑥=0 ൫𝑥− 𝑥3/2൯ 𝑑𝑥
= ൬12𝑥2 − 25𝑥5/2൰ቚ10 = ൬
12− 25൰− (0− 0)
= 110
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE 3
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
නන 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑦2/3
𝑦1
0 = න ൦ න 𝑑𝑥𝑥=𝑦2/3
𝑥=𝑦 ൪
𝑦=1𝑦=0 𝑑𝑦
= න 𝑥𝑦=1𝑦=0 ฬ𝑦2/3𝑦 𝑑𝑥= න
1𝑦=0 ൫𝑦2/3 − 𝑦൯ 𝑑𝑦
= ൬35𝑦5/3 − 12𝑦2൰ቚ10 = ൬
35− 12൰− (0− 0)
= 110
Diketahui:
Y
X10
1
2
x=0
x=y
y=2
y =1y=x
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA Perhitungan Luas
dyd
x
D
X
YElemen luas dL = dx dyLuas:
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi y=2-x2 dan
y=1Y
X
D
y=1
1-1 y=2-x2
Titik-titik potongy = 2-x2 2-x2 = 1y = 1 1-x2 = 0
x = -1 or x = 1
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = y2
dan x+y = 2
X
x + y =2
x = y2
-2
1
Y Titik-titik potongx = y2 y2=2-yx= 2-y y2+y-2 = 0
(y-1)(y+2)=0
y=1 or y=-2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Massa
dyd
x
ρ= ρ(x,y)
X
Y
Rapat massa(untuk pelat tipis tidak punya ketebalan)Elemen massa dM= ρ dx dyMassa :
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Tentukan massa pelat tipis yang dibatasi
y=2√x, sumbu x dan garis x=4 jika rapat massanya sebanding dengan jaraknya terhadap sumbu x.
X
Y
y = 2√x
x = 4
ρ = kyyk = konstanta kesebandingan
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat
• Elemen momen terhadap sumbu x: dMx = y ρ dx dy
• Momen terhadap sumbu x:
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
dyd
x
ρ= ρ(x,y)
X
Y
y
x
Elemen momen terhadap sumbu y: dMy = x ρ dx dy Momen terhadap sumbu y:
Pusat Massa
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Tentukan pusat massa lamina (lapisan tipis
(pelat)) homogen (rapat massanya konstan) yang dibatasi kurva y=x dan y=x2
X
Yy=x2 y=x
D ρ = c (konstan)
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Titik-titik potongy = x2 x2=xy= x x2-x = 0
x(x-1)=0x=0 or x=1
0 1
𝑀𝑥=ඵ 𝑦 𝜌𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝑦= 𝑐නන𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥𝑥2
10
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
𝑀𝑦= ඵ 𝑥 𝜌𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝑦= 𝑐නන𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥𝑥2
10
Pusat massa : (1/2, 2/5)
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Momen Inersia
dyd
x
ρ= ρ(x,y)
X
Y
D
yx
r
Elemen momen inersia thd sumbu x:dIx= y2 ρ dx dyMomen inersia thd sb x:
Elemen momen inersia thd sumbu y:dIy= x2 ρ dx dyMomen inersia thd sb y:
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Momen Inersia thd titik pusat O
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Tentukan momen inersia terhadap:
a/. Sumbu xb/. Sumbu yc/. Titik pusat Oyang dibatasi oleh kurva y=x dan y=x2
X
Yy=x2 y=x
D ρ = c (konstan)
Titik-titik potong:y=x2 x2=xy=x x2-x=0
x(x-1)=0x=0 or x=1
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Volume
Z
X
Y
D
Z= f(x,y)Elemen volume dV = z dx dyVolume:
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
X Y Z Oktan (ruang)
+ + + I- + + II- - + III+ - + IV+ + - V- + - VI- - - VII+ - - VIII
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung volume benda yang dibatasi 2x+3y+z = 6 di
oktan pertama!
6
23
z = 6 – 2x – 3y
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
X
Y
Z
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
= ሺ18− 18+ 6ሻ= 6
EXAMPLE Hitung volume benda di oktan pertama yang dibatasi
z=y, y=x2 dan x=y2
Z
X
Y
z = y
y=x2
x=y2 y=x1/2
x=0y=x2
x=1
y=x2
x=y2
z = y
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
x=y2 y=x2
X
Y
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Luas Permukaan Kulit
Z
X
Y
Z= f(x,y)k = ?
Elemen luas permukaan/ kulit:
Luas permukaan/ kulit:
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung luas permukaan bidang 3x + 2y + z = 6 di
oktan IZ
X
Y
Y
X2
33x + 2y = 6y = (6-3x)/2z = 6 - 3x – 2y
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
dx
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
SISTEM KOORDINAT POLAR/ KUTUB
Transformasi sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar:x = r cos θy = r sin θ
Y
X
y
x
r
θ
P(x,y) = P(r,θ)
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
O
NILAI JACOBIAN
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi x2 + y2 = 4
X
Y
2-2 Sistem Koordinat Polar
Sistem Koordinat Kartesius
r2
b
2π
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung momen inersia terhadap titik pusat dari lamina
homogen x2 + y2 = a2 di atas sumbu x Sistem koordinat kartesius:
-a a
x2+y2=a2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
INTEGRAL RANGKAP TIGA
∆xk
∆yk
∆zk f(x,y,z)
Z
Y
X
Diintegralkan thd z dengan menganggap x,y
konstanDiintegralkan thd y
dengan menganggap x konstan
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
APLIKASI INTEGRAL LIPAT TIGA Perhitungan Volume
Elemen volume: dV = dx dy dz
Volume:
∆xk
∆yk
∆zk
Z
Y
X
V
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung volume benda yang dibatasi tabung x2 + z2 =
4, bidang XOZ, bidang y=x, bidang XOY yang terletak di oktan I.
Tabung x2 + z2 =4 z=√4-x2
Bidang XOZ y = 0X
Bid XOY z =0
Bid Y=X
Z
Y
Y
X
y = x
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
2
𝑉= ම 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧=𝐷 න න න 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥ξ4−𝑥2
𝑧=0𝑥
𝑦=02
𝑥=0
= නන𝑧𝑥0
20 ฬඥ4− 𝑥20 𝑑𝑦 𝑑𝑥= නනඥ4− 𝑥2𝑥
02
0 𝑑𝑦 𝑑𝑥
= නඥ4− 𝑥220 𝑦ቚ𝑥0𝑑𝑥= න𝑥 ඥ4− 𝑥22
0 𝑑𝑥
= −12නሺ4− 𝑥2ሻ𝑑ሺ4− 𝑥2ሻ2
0 = −12.23(4− 𝑥2)3/2ቚ20
= −13ሺ0− 8ሻ= 83
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Massa
dx
dy
dz
Z
Y
X
ρ = ∫(x, y, z) = rapat massa
Elemen massa: dM= ρ dx dy dz
Massa:M= 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat Momen terhadap bidang: Titik
Berat:𝑋𝑂𝑌 →𝑀𝑋𝑂𝑌 → ම 𝜌 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
𝑋𝑂𝑍 →𝑀𝑋𝑂𝑍 → ම 𝜌 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
𝑌𝑂𝑍 →𝑀𝑌𝑂𝑍 → ම 𝜌 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
𝑦ത= 𝑀𝑋𝑂𝑍𝑀 = 𝜌 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
𝑧ҧ= 𝑀𝑋𝑂𝑌𝑀 = 𝜌 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
𝑥ҧ= 𝑀𝑌𝑂𝑍𝑀 = 𝜌 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung titik berat benda homogen yang dibatasi z=1-
x2, bid XOY, bid YOZ, bid XOZ dan bid y=2 yang terletak di oktan I!
Z
X
Y
z = 1-x2
y = 2
1 2
Bidang XOZy = 0
Bidang XOYz = 0
M= 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
= නන න 𝜌 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥1−𝑥2
02
01
0
= 𝑐නන𝑧20
10 ฬ1− 𝑥20 𝑑𝑦 𝑑𝑥
= 𝑐නන(1− 𝑥220 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥1
0
= 𝑐൬𝑥− 13𝑥3൰ቚ10𝑦ቚ20
= 𝑐൬1− 13൰ሺ2− 0ሻ= 43𝑐 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
𝑀𝑌𝑂𝑍 = ම 𝑥 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
= 𝑐නන න 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥1−𝑥2
02
01
0 = 𝑐නන𝑥𝑧20
10 ฬ1− 𝑥20 𝑑𝑦 𝑑𝑥
= 𝑐නනሺ𝑥− 𝑥3ሻ𝑑𝑦 𝑑𝑥=20
10 𝑐൬12𝑥2 − 14𝑥4൰ቚ10𝑦ቚ20
= 𝑐൬12− 14൰ሺ2− 0ሻ= 12𝑐
𝑀𝑋𝑂𝑍 = ම 𝑦 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
= 𝑐නන න 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥1−𝑥2
02
01
0 = 𝑐නන𝑦𝑧20
10 ฬ1− 𝑥20 𝑑𝑦 𝑑𝑥
= 𝑐නන𝑦ሺ1− 𝑥2ሻ𝑑𝑦 𝑑𝑥=20
10 𝑐12𝑦2ቚ20൬𝑥− 13𝑥3൰ቚ10
= 𝑐2ሺ4− 0ሻ൬1− 13൰= 43𝑐 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
𝑀𝑋𝑂𝑌 = ම 𝑧 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
= 𝑐නන න 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥1−𝑥2
02
01
0 = 𝑐නන𝑧220
10 ฬ1− 𝑥20 𝑑𝑦 𝑑𝑥
= 𝑐2නනሺ1− 2𝑥2 + 𝑥4ሻ𝑑𝑦 𝑑𝑥=20
10
𝑐2𝑦ቚ20൬𝑥− 23𝑥3 + 15𝑥5൰ቚ10
= 𝑐2ሺ2− 0ሻ൬1− 23+ 15൰= 815𝑐
𝑥ҧ= 𝑀𝑌𝑂𝑋𝑀 = 12𝑐43𝑐= 38
𝑦ത= 𝑀𝑋𝑂𝑍𝑀 = 43𝑐43𝑐= 1
𝑧ҧ= 𝑀𝑋𝑂𝑌𝑀 = 815𝑐43𝑐 = 25
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Perhitungan Momen Inersia
dx
dy
dz
Z
Y
X
ρ = ∫(x, y, z) = rapat massa
Momen inersia thd sb x:𝐼𝑥= ම ሺ𝑦2 + 𝑧2ሻ𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
Momen inersia thd sb y:𝐼𝑦= ම ሺ𝑥2 + 𝑧2ሻ𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
Momen inersia thd sb z:𝐼𝑧= ම ሺ𝑥2 + 𝑦2ሻ𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung momen inersia thd sb x dari balok homogen
dgn panjang p, lebar l dan tinggi t, jika ρ = 2!
𝐼𝑥= ම ሺ𝑦2 + 𝑧2ሻ𝐷 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧= න න නሺ𝑦2 + 𝑧2ሻ𝑡
𝑧=0𝑙
𝑦=0𝑝
𝑥=0 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
= 2නන൬𝑦2𝑧+ 13𝑧3൰ቚ𝑡0𝑙
0𝑝
0 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 2නන൬𝑦2𝑡+ 13𝑡3൰𝑙
0𝑝
0 𝑑𝑦 𝑑𝑥
= 2𝑥ቚ𝑝0൬12𝑦3𝑡+ 13𝑡3൰ቚ𝑙0 = 2ሺ𝑝− 0ሻ൬13𝑙3𝑡+ 13𝑡3𝑙൰
= 2𝑝𝑙𝑡3 (𝑙2 + 𝑡2)
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
SISTEM KOORDINAT TABUNGZ
Y
X
P(x,y,z)= P(r,θ,z)Transformasi Koordinat:x = r cos θy = r sin θz = z
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
NILAI JACOBIAN
𝐽=ተ
ተ
𝜕𝑥𝜕𝑟 𝜕𝑥𝜕𝜃 𝜕𝑥𝜕𝑧𝜕𝑦𝜕𝑟 𝜕𝑦𝜕𝜃 𝜕𝑦𝜕𝑧𝜕𝑧𝜕𝑟 𝜕𝑧𝜕𝜃 𝜕𝑧𝜕𝑧ተተ= อ
cos𝜃 −𝑟sin𝜃 0𝑟sin𝜃 𝑟cos𝜃 00 0 1อ= 𝑟
Dengan demikianම 𝑓ሺ𝑥,𝑦,𝑧ሻ𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧= 𝐷 ම 𝐹(𝑟,𝜃,𝑧)ȁ?𝐽ȁ?𝐷 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧
= 𝐹ሺ𝑟,𝜃,𝑧ሻ 𝑟𝐷 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
EXAMPLE Hitung momen inersia terhadap sb z dari
tabung homogen x2 + y2 = 4 dan tingginya 3.Z
Y
X
x2 + y2 = 4
𝐼𝑧= ම ሺ𝑥2 + 𝑦2ሻ𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝐷
= න න නሺ𝑥2 + 𝑦2ሻ𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧3𝑧=0
ξ4−𝑥2
𝑦=ξ4−𝑥22
𝑥=−2
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2
Sistem koordinat polar𝐼𝑧= ම 𝑟2𝜌 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑟 𝐷 = 𝑐 න න න𝑟33
𝑧=02
𝑟=02𝜋
𝜃=0 𝑑𝜃 𝑑𝑧 𝑑𝑟
= 𝑐න න𝑟320
2𝜋0 𝑧ቚ30𝑑𝜃 𝑑𝑟 = 𝑐න 3𝑟32𝜋
0 𝜃ቚ20 𝑑𝑟
Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353)
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2