Post on 24-Feb-2016
description
Pertemuan 25
Matriks
Tujuan
Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Pengertian Matriks
Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolomyang membentuk persegi panjang serta termuat di antara sepasang tanda kurung
Notasi Matriks
A = --
a11 a12 …. a1n
a21 a22 …. a2n
.
.am1 am2 …. amn
Ukuran Matrik atau Ordo Matrik A adalah m x n
dimana :m = banyak barisn = banyak kolom
Elemen matrik aij artinya elemen baris ke-I dan kolom ke-j pada matrik A
Bentuk Matriks
Matriks bujur sangkar bila ordo A adalah m x n dimana m = n
Matriks bukan bujur sangkar bila ordo A adalah m x n dimana m n
Jenis-jenis matriksMatriks Nol adalah matriks yang elemen-
elemennya nol Matriks diagonal adalah matriks yang
hanya elemen-elemen diagonal tidak sama dengan nol
Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks diagonal dimana elemen-elemen diagonalnya sama dengan nol
Matriks Transpose Bila A (m x n) maka transpose dari A
dinyatakan dengan AT adalah matriks berordo (n x m).
Dengan perkataan lain terjadi perubahan dari baris menjadi kolom , sedangkan kolom menjadi baris
Operasi matriks
Pengurangan dan penjumlahanA(m x n ) B( m x n ) = C( m x n )
Syarat dua buah matriks atau lebih agar dapat dijumlahkan atau dikurangkan adalah ordo masing-masing matriks harus sama
Perkalian Skalar k A =
ka11 ka12 …. ka1n
ka21 ka22 …. ka2n
.
...
kam1 kam2 …. kamn
Perkalian matriks dengan matriks Dua buah matriks A(m x n) dan B(n x k) dapat
dikalikan apabila memenuhi syarat:• Jika dan hanya jika jumlah kolom matrik
A sama dengan jumlah baris matriks B• Ordo matriks hasil perkalian A dan B
adalah ( m x k )
Sifat-sifat Matriks
AT + BT = ( A + B )T
( A B )T = BT AT
( k A )T = k AT , k = skalar (AT )T = A
Determinan Matriks
Jika suatu matriks adalah matriks bujur sangkar maka mempunyai nilai determinannya
Determinan matriks A di dinotasikan dengan | A |
Cara menghitung determinan tergantung ordo matriks tersebut
Determinan matriks ordo 2 x 2
A =
det.A = |A| = a11a22 - a21a12
a11 a12
a11 a12
Determinan matriks ordo 3 x 3
A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Determinan matrik A ( 3 x 3 ) dihitung menggunakan metode SARRUS:
| A | = a11 a22a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32
- a31 a22a13 - a32 a23a11 - a33 a21a12
Beberapa sifat-sifat Determinan
Bila matrik A dan B adalah bujur sangkar: Det ( A ± B ) = det A ± det B Det ( AB ) = det A . det B Det ( AT ) = det A Determinan A sama dengan nol jika unsur-
unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol
Matriks Invers
Sebuah matriks A dikatakan mempunyai invers apabila matriks A adalah matriks Non singular, yaitu matriks bujur sangkar yang determinannya tidak sama dengan nol, ditulis dengan A- 1 sehingga berlaku:
A-1 A = A A-1 = Idimana I adalah matriks identitas
Menentukan matriks invers
Menggunakan metode Adjoin:
A- 1 = Adjoin A
Det. A
Det. A 0
Adjoin A adalah transpose dari matrik kofaktor-kofaktor dari matrik A
Adjoin A =
A11
A12
.
.A1n
... An1
An2
.
.Ann...
Ai j adalah kofaktor dari elemen ai j dimana :Ai j = ( - 1 )i+ j | Mi j |
Mi j adalah submatrik dari A yang diperoleh dengan jalan menghilangkan baris ke – i dan kolom ke – j pada A
Sifat-sifat matriks invers
( A B ) – 1 = B – 1 A – 1
( k A ) – 1 = 1/k A – 1
(A – 1) – 1 = A
Contoh:Tentukan Adjoint matriks A dan invers matriks
berikut ini:
A =
1 2 3 4 5 6 7 8 9