Post on 10-Aug-2015
MODULMATEMATIKA
PROGRAM LINEAR
KUSNADI, S.Pdwww.mate-math.blogspot.com
PROGRAM LINEAR
Standar Kompetensi :
Menyelesaikan program linear
Kompetensi Dasar :
Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel
Merancang model matematika dari masalah program linear
Menyelesaikan model matematika dari masalah program
linear dan penafsirannya
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari penyelesaian
pertidaksamaan linear dua variabel, menentukan nilai optimum dari
fungsi tujuan dengan metode uji titik pojok, merancang model
matematika dari program linear, dan menyelesaikan model
matematika dari program linear.
B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah
menguasai sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan
adalah sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi
yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari
materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua
soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda
menemui kesulitan,
kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui
kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah
mempelajari materi yang terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan,
catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka
atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi
modul ini. Dengan
membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan
pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua
variabel.
2. Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linear.
3. Menggambar daerah visibel dari program linear.
4. Merumuskan model matematika dari program linear.
5. Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif dan
menafsirkannya.
BAB II. PEMBELAJARAN
A. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel
Bentuk umum :
ax + by < c
ax + by > c
ax + by c
ax + by c
x, y adalah variabel
a, b, dan c R
Contoh : Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x
+ 4y 8
Jawab :
Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y dengan membuat tabel
sbb :
x 0 4
y 2 0
Jadi titik potong dengan sumbu x (4,0) dan dengan sumbu y
(0,2)
DP
4
2
x
y
Dari gambar diatas terlihat bahwa daerah penyelesaian (DP)
untuk pertidaksamaan 2x + 4y 8
B. Menentukan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan
liniear dengan dua variabel.
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan dua
atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel.
Contoh :
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear
x + y 5
x + 2y 6
x 0
y 0
Jawab :
x + y 5
x 0 5
y 5 0
x + 2y 6
x 0 6
y 3 0
DP
x
y
65
5
3
Tugas I
1. Gambarlah pada bidang cartesius, himpunan penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linear berikut :
a. 3x + y 6, 5x + 4y 20, x 0, y 0
b. 2x + y 10, 3x + 2y 18, x 0, y 0
c. x – y 3, x + 2y 4, y 2
2. Tulislah sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian berikut
:
a.
DP
b.
DP
x
y
64
6
5
x
y
7
y = 2
y = 4
x = 2
7
B. Menentukan fungsi tujuan dan kendala dari program linear
Program linear adalah suat metode atau suatu cara untuk
memecahkan masalah menjadi optimal (maksimum atau
minimum) yang memuat batasan-batasan yang dapat diubah
atau diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan
linear. Penyelesaian pertidaksamaan linear terdapat dalam
daerah himpunan penyelesaian. Dari beberapa penyelesaian
terdapat satu penyelesaian terbaik yang selanjutnya disebut
penyelesaian optimum dari suatu fungsi. Fungsi ini disebut
dengan fungsi tujuan atau objektif.
Model matematika adalah rumusan matematika yang berupa
persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi yang diperoleh dari
hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah ke dalam
bahasa matematika.
Contoh :
Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah tempat
duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas B.
Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu membawa barang 60
kg, sedang penumpang kelas B diberi hak membawa barang
hanya 20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat 1440
kg. Bila banyaknya penumpang kelas A sebanyak x orang sedang
kelas B sebanyak y orang. Tentukan model matematikanya.
Jawab :
Kelas A Kelas B
Bagasi 60 kg 20 kg
Penumpang x orang y orang
Bagasi : 60x + 20y 1440 3x + y 72
Penumpang : x + y 48
Banyak penumpang tidak pernah negatif : x 0, y 0
Sehingga diperoleh model matematikanya adalah :
3x + y 72x + y 48x 0y 0
Tugas II
1. Suatu perusahaan merencanakan membangun rumah untuk 600
orang. Banyaknya rumah yang akan dibangun tidak lebih dari
120 buah. Rumah jenis I biaya sewanya Rp. 100.000,- tiap bulan
dan ditempati 4 orang, rumah jenis II biaya sewanya Rp.
125.000,- tiap bulan dan ditempati oleh 6 orang. Buatlah model
matematikanya.
2. Sebuah pabrik membuat sepeda motor dan sepeda gunung
setiap bulan dapat membuat sebanyak-banyaknya 100 sepeda
gunung, sedangkan sepeda motor dapat dibuat sedikitnya 20
buah dan sebanyak-banyaknya 70 buah tiap bulan. Kapasitas
produksi pabrik sebanyak-banyaknya 150 buah kendaraan dalam
sebulan. Jika harga setiap sepeda motor 5 juta rupiah dan harga
sepeda gunung 1 juta rupiah.
a. Buatlah model matematikanya
b. Tentukan daerah penyelesaian yang sesuai
3. Seorang petani memerlukan zat kimia unsur A, B, dan C
sebanyak 60 kg, 120 kg, dan 50 kg untuk memupuk kebun
sayurnya. Dalam setiap kaleng pupuk cair mengandung zat A = 1
kg, zat B = 3 kg, dan zat C = 1 kg. Pupuk kering tiap kantong
mengandung zat A = 2kg, zat B = 2 kg, dan zat C = 1 kg. Harga
1 kantong pupuk cair Rp. 30.000,- sedangkan pupuk kering Rp.
25.000,-
a. Buatlah model matematikanya
b. Tentukan daerah penyelesaiannya
4. Seorang tukang parkir mengelola lahan parkir seluas 588 m2,
diperuntukkan untuk menampung kendaraan jenis bus dan
sedan. Luas rata-rata untuk parkir bus adalah 24 m2, sedangkan
untuk sedan memerlukan 6 m2. Lahan parkir tersebut tidak
mampu menampung sedan dan bus melebihi 38 kendaraan.
Tentukan model matematika dari permasalahan diatas.
4. Menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan (fungsi ogjektif)
dengan metode uji titik pojok.
Fungsi tujuan atau objektif dapat dinotasikan f(x,y) = ax + by.
Nilai optimum dari bentuk f(x,y) = ax + by dilakukan dengan
cara menghitung nilai f(x,y) = ax + by untuk setiap titik pojok
(titik sudut) dari daerah penyelesaian (DP), kemudian
dibandingkan yang selanjutnya ditetapkan nilai terbesar sebagai
nilai maksimum dan nilai terkecil sebagai nilai minimum.
Contoh :
Seorang pedagang mempunyai dagangan rokok merk A dan
merk B. Rokok A dibeli dengan harga Rp. 6000,- per bungkus dan
dijual dengan laba Rp. 400,- per bungkus, sedangkan rokok B
dibeli dengan harga Rp. 3000,- per bungkus dan dijual dengan
laba Rp. 300,- per bungkus. Pedagang itu hanya mempunyai
modal Rp. 240.000,- dan kiosnya hanya dapat menampung
paling banyak 500 bungkus rokok.
a. Berapakah banyak rokok A dan B yang harus dibeli agar
mendapat untung yang sebanyak-banyaknya (maksimum)
b. Tentukan besar keuntungan maksimumnya
Jawab :
Model matematikanya
Rokok Jumlah Harga Laba
A x 6000 400
B y 3000 300
Persediaan 500 240.000
Fungsi tujuan : Untung = 400x + 300y
Sistem pertidaksamaan linearnya :
x + y 500
6000x + 3000y 240.000 2x + y 800
x 0
y 0
Daerah himpunan penyelesaian
x + y = 500
x 0 500
y 500 0
2x + y = 800
x 0 400
y 800 0
DP
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
x
y
500400
800
500
x + y = 500 2x + y = 800
x + y = 500
2x + y = 800
- x = - 300
x = 300
y = 200
Dengan metode uji titik pojok, ditentukan keuntungan maksimum
dengan tabel sbb :
Titik pojok Untung = 400x + 300y
(0, 0) 0 + 0 = 0
(400, 0) 160.000 + 0 = 160.000
(300, 200) 120.000 + 60.000 =
180.000
(0, 500) 0 + 150.000 = 150.000
Berdasarkan tabel diatas, diperoleh keuntungan maksimum yang
dapat dicapai adalah 180.000, dengan rokok A yang dibeli
sebanyak 300 bungkus, dan rokok B sebanyak 200 bungkus.
Tugas III
1. Tentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi sasaran
dalam model matematika berikut :
a. F(x, y) = 2x + y
x + y 6 ; x + 2y 8 ; x 0 ; y 0
b. F(x, y) = 2x + 3y
5x + 3y 30 ; 5x + y 50 ; x + 3y 30 ; x 0 ; y 0
2. Seorang pedagang roti mempunyai modal 400.000,-. Roti jenis
A dibeli dengan harga 1000,- dan roti jenis B dibeli dengan
harga 500,-. Sedangkan tempat roti hanya mampu
menampung tidak lebih dari 500 buah. Keuntungan tiap roti
jenis A 200,- dan keuntungan tiap roti jenis B 150,-.
a. Hitunglah keuntungan sebanyak-banyaknya.
b. Berapa sebaiknya roti jenis A dan jenis B yang harus
dibeli agar pedagang mendapat keuntungan yang
sebanyak-banyaknya.
3. Seorang pedagang pakaian mempunyai modal 2.475.000,-
untuk membeli kemeja dengan harga 30.000,- per buah dan
celana 75.000,- per buah. Jumlah kemeja yang ia beli tidak
kurang dari tiga kali jumlah celana. Ia mengambil keuntungan
4.500,- untuk setiap potong celana dan 1.500,- untuk setiap
potong kemeja.
a. Berapa kemeja dan celana yang harus dibeli supaya
pedagang itu mendapat keuntungan yang maksimum
b. Hitunglah keuntungan tersebut
4. Seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak
menjual apel dan pisang. Harga pembelian pisang 4.000,- per
kg dan apel 10.000, - per kg. Penjaja buah tersebut
mempunyai modal 2.500.000,-. Sedangkan muatan gerobak
tidak melebihi 400 kg. Jika keuntungan tiap kg apel 2 kali
keuntungan tiap kg pisang. Berapa kg apel dan pisang yang
harus dibeli agar keuntungan yang diperoleh maksimum.
BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes
untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda
dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam
modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul
berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Pemerintah Kota Semarang, 2006. Matematika Program Ilmu
Pengetahuan Sosial, Semarang :
H. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, H. Subagya, 2005.
Matematika IPS, Penerbit Bumi Aksara, Jakarta.
Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Penerbit
Erlangga, Jakarta.