Post on 07-Apr-2018
TEOREMA DASAR KALKULUS
Muhammad Hajarul Aswad A MK: Kalkulus 2
Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan (FTIK)
Tadris Matematika
Gambar 1 memberikan ilustrasi
tentang Teorema Dasar Kalkulus
1 yang akan dibahas berikut.
Sebelumnya perhatikan Contoh 1.
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 2
Gbr.1
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 3
Contoh 1.
Jika fungsi f ditunjukkan seperti
Gambar 2 dan
Tentukan nilai dari g(0), g(1),
g(2), g(3), g(4), dan g(5).
Gbr.2
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 4
Penyelesaian.
Perhatikan jelas
bahwa:
Selanjutnya,
diperoleh g(1), ...,
g(5) berturut-
turut sebagai
berikut:
Gbr.3
Gbr.4
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 5
Gbr.5
Gbr.7
Gbr.6
Teorema Dasar Kalkulus
Pertama
Jika f kontinu pada [a, b], maka
fungsi g yang didefenisikan
sebagai:
adalah juga kontinu di [a, b] dan
terdiferensial di (a, b),
dan
g’(x) = f(x).
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 6
Gbr.8
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 7
Bukti
Jika x dan x + h di (a, b), maka
Kedua ruas dikali dengan 1/h, untuk h ≠ 0, diperoleh
1
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 8
Asumsikan h > 0.
Karena f kontinu di [x, x+h],
maka ∃ u dan v ∋ f(u) = m dan
f(v) = M, dengan m dan M
keduanya merupakan nilai
absolut minimum dan maksimum
dari f di [x, x+h].
Sehingga:
𝑚 ≤1
ℎ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑥+ℎ
𝑥
≤ 𝑀
𝑓(𝑢) ≤1
ℎ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑥+ℎ
𝑥
≤ 𝑓(𝑣)
2
Gbr.9
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 9
Misalkan h → 0.
Maka u → x dan v → x, untuk u dan v terletak diantara x
dan x + h.
Sehingga:
dan
dan Pers.(2) menjadi:
Berdasarkan Pers.(3) dan Teorema Apit, maka Pers.(4)
menjadi:
limℎ→0
𝑓 𝑢 ≤ limℎ→0
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥
ℎ≤ limℎ→0
𝑓 𝑣
3
4
limℎ→0
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥
ℎ= 𝑓(𝑥) 5
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 10
Teorema Apit (Sequeeze Theorem)
Misalkan f, g, dan h adalah fungsi yang
memenuhi
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
untuk semua x dekat c, terkecuali
(mungkin) pada c. Jika
Maka
lim𝑥→𝑐
𝑔 𝑥 = 𝐿
lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑐
𝑔 𝑥 = 𝐿
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 11
Persamaan (5) dapat ditulis kembali menjadi
limℎ→0
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥
ℎ= 𝑓(𝑥)
Perhatikan bahwa
limℎ→0
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥
ℎ= 𝑔′(𝑥)
Sehingga Persamaan (6) menjadi
𝑔′(𝑥) = limℎ→0
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥
ℎ= 𝑓(𝑥)
Sampai di sini pembuktian selesai.
6
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 12
Bentuk persamaan dasar kalkulus pertama dapat
ditulis kembali dengan menggunakan notasi
Leibniz menjadi:
Dengan f suatu fungsi yang kontinu.
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 13
Contoh 1.
Selesaikan bentuk berikut:
a.
b.
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 14
Penyelesaian.(1.a.)
Sehingga:
3 4 4 4
11
1 1 1 11
4 4 4 4
xx
t dt t x x
3 4 3
1
1 1
4 4
xd d
t dt x xdx dx
Bagian b
ditinggalkan
sebagai latihan
Teorema Dasar Kalkulus Kedua
Jika f kontinu pada [a, b], maka
dengan F adalah himpunan antiturunan
dari yang juga merupakan fungsi
sedemikian sehingga F’ = f.
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 15
Pembuktian
ditinggalkan
sebagai latihan
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 16
Contoh 2.
Selesaikan bentuk berikut:
a.
b.
c.
Hasil:
a.
b. ln 2.
c. Tidak memiliki penyelesaian.
Integral tak-tentu
Integral tak-tentu atau indefeinite integrals atau
antideiravitf merupakan operasi pengintegralan suatu
fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru.
Dengan katalain, pada integral tak-tentu, belum
memiliki batas atas dan batas bawah.
Notasi:
Misal:
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 17
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 18
Sifat integral
tak-tentu
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 19
Perhatikan kembali Contoh 2.c.
Bentuk integral tak-tentu dari bentuk tsb dapat ditulis
menjadi:
Bentuk tsb valid pada interval (0, ∞) atau (- ∞, 0).
Dengan kata lain:
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 20
Contoh 3.
Selesaikan bentuk berikut:
Hasil:
S e l e s a i ...
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 21
Latihan
1. Misalkan dengan f suatu fungsi
seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:
a.Hitunglah g(x) untuk x = 0, 1, 2, 3, 4, dan 6.
b.Estimasi nilai g(7).
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 22
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 23
28/03/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 24