VEKTORDEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO

UNIVERSITAS INDONESIA

Pengertian Dasar

Vektor merupakan kombinasi dari suatu besaran dan suatu arah

Vektor dapat dinyatakan dalam panah-panah, panjang panah menyatakan besarnya vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor

Ekor panah dinamakan titik awal dan ujung panah dinamakan titik terminal

P

S

R

Q

Jika titik awal suatu vektor v adalah P dan titik terminalnya adalah Q, maka dapat dituliskan

v = PQ

Vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama disebut vektor ekivalen (sama)

Vektor nol merupakan vektor yang mempunyai besar 0

P

Q

v

t

x

Penjumlahan Vektor

cb + c

a + b + c

a + b

b

a

Pengurangan Vektor

Jika a dan b adalah sebarang 2 vektor, maka pengurangan vektor a dari b didefinisikan oleh : a – b = a + (-b)

a + b

b

a

- b

a - b

Skalar dikalikan Vektor

Jika v adalah vektor tak nol dan k adalah bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v yang arahnya sama seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0

v

2v

0,5v

-1v-1,5 v

Operasi Vektor di R2

xv1 w1

w2

v2

w

v

( v1+w1 , v2+w2 )

(v1,v2)

(w1,w2)

v +

w

y

CONTOH :

Jika v = (3,-2) dan w = (4,5) maka :

v + w = (3,-2) + (4,5) = ( 3+4 , -2+5 ) = (7,3)

v - w = (3,-2) - (4,5) = ( 3-4 , -2-5 ) = (-1,-7)

5v = 5 (3,-2) = (15,-10)

Operasi Vektor di R2

Operasi Vektor di R2

Kadangkala vektor titik awalnya tidak pada titik asal, jika vektor P1P2 mempunyai titik awal P1 (x1,y1) dan titik terminal P2 (x2,y2) maka

P1P2 = (x2-x1 , y2-y1)

x

(x1,y1)

y

P1P2

P1

P2 (x2,y2)

Panjang Vektor

Besar atau panjang sebuah vektor dinyatakan dengan

Panjang suatu vektor a (a1 , a2) diruang 2 adalah

aatau a

22

21 a a a

y

x

(a1,a2)

a

CONTOH APLIKASI VEKTOR R-2

Salah satu sistem yang menggunakan vektor adalah perhitungan daya pada bidang Listrik

Terdapat tiga Komponen Daya Listrik Daya Kompleks (S) -- VA Daya Aktif (P) -- Watt Daya Reaktif (Q) -- VAr

P(Watt)

QL (VAr)

Qc(VAr)

S = P + QL

P = (x,0)Q = (0,y)S = P + Q = (x,y)

Power Factor Correction

P(Watt)

Qc(VAr)

S (VA) last

lastlast

QL(VAr)

S new

Panjang Vektor di R-3

x

y

z

0D

CB

A (a1,a2,a3)

a

23

22

21

23

22

21

2

2222

222

)()0()0(

)()0(

aaaa

aaaa

CADBa

CACa

Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah titik diruang 3, maka jarak d diantara kedua titik tersebut adalah :

212

212

21221

12121221

)()()(

),,(

zzyyxxPPd

zzyyxxPP

x

y

z

P2 (x2,y2,z2)

P1 (x1,y1,z1)

v

DOT PRODUCT

ORIENTASI RUANG

Vektor i panjangnya 1 unit searah sumbu x

Vektor j panjangnya 1 unit searah sumbu y

Vektor k panjangnya 1 unit searah sumbu z

x

y

z

k

j

i

(0,0,1)

(1,0,0)

(0,1,0)

Triple i,j,k disebut vektor basisSetiap vektor diruang 3 dapat diungkapkan dengan i,j,k sehingga v =(v1,v2,v3) = v1i + v2j + v3k

Definisi

Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 dan ruang-3 dan adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) u.v didefinisikan :

. cos jika u 0 dan v 0

. 0 jika u=0 dan v=0

u v u v

u v

v

u

v

u

Contoh

Jika u=(0,0,1) dan v=(0,2,2) dan sudut antara u dan v adalah 45o (lihat gambar) maka u.v adalah :

x

y

z

(0,2,2)

u

v

(0,0,1)

22

1220100.

cos.

222222

vu

vuvu

Jika u, v dan w adalah vektor di ruang dimensi 2 atau 3, dan k merupakan skalar, maka:

i.i=1 j.j=1 k.k=1 i.j=0 j.k=0 k.i=0

x

y

z

k

j

i

(0,0,1)

(1,0,0)

(0,1,0)

VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH

Jika u=(ux,uy,uz) adalah vektor yang panjangnya satu, maka u disebut vektor satuan.

ux = u.i = 1 x 1 cos = cos dengan adalah sudut antara vektor u dan arah positif sumbu x.

uy = cos

uz = cos

VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH

Vektor a mempunyai komponen ax,ay,az. Jika a adalah vektor bukan nol maka :

Adalah vektor satuan, dengan komponen-komponen yang merupakan cosinus arah :

a

kajaia

a

a zyx

a

a

a

a

a

a zyx cos cos cos

Sudut antar Vektor

332211

222

222

222

.

)(21.

)(21cos

cos2

vuvuvuvu

uvvuvu

uvvuvu

uvPQ

vuvuPQ

x

y

z

(v1,v2,v3)

u

v

(u1,u2,u3)

Q

P

vu

vu.cos

Contoh

Diketahui vektor u=(2,-1,1) dan v=(1,1,2) carilah sudut diantara vektor u dan v.

u.v = u1v1+ u2v2+ u3v3

= (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2)

= 3

6dan 6 vu

o

vu

vu

60

5,06

3

)6)(6(

3.cos

(2,-1,1)

x

y

z

u

v

(1,1,2)

Resume sudut

Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol dan adalah sudut diantara kedua vektor tersebut maka :

lancip , jika dan hanya jika u.v > 0 tumpul, jika dan hanya jika u.v < 0 tegaklurus (/2), jika dan hanya jika u.v = 0

PROYEKSI ORTHOGONAL

w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada aDinyatakan dengan : proyau

w2 dinamakan komponen vektor u yang orthogonal terhadap a w2 = u – w1 = u - proyau

a

w2

w1

u

Formula Proyeksi

a) orthogonalu (komponen .

2

a) sepanjangu (komponen .

1

2

2

aa

auuuproyuw

aa

auuproyw

a

a

a

w2

w1

u

aa

au

a

a

a

auw

a

au

au

auuuw

au

au

21

cos1

cos

w1=ka u= w1 + w2 = ka + w2 u.a = (ka+w2).a = k + w2.a Karena w2 tegak lurus a maka w2.a = 0

2a

2

.

a

auk

Panjang Komponen Proyeksi

coscos

1

.1

.

.

1 22

ua

auuproyw

a

auuproyw

aa

aua

a

auuproyw

a

a

a

a

w2

w1

u

Contoh

Carilah rumus untuk jarak D diantara titik Po(xo,yo) dan garis ax + by + c = 0

Misal Q (x1,y1) adalah sebarang titik pada garis dan n=(a,b) vektor dengan titik awal di Q

22

1111

11

22

11

22

11

11

:

sehingga 0

maka tersebut garis pada terletak),( titik karena

)()(

)()(.

),(

ba

cbyaxD

Substitusi

byaxccbyax

yxQba

yybxxaD

ban

yybxxanQP

yyxxQP

oo

oo

ooo

ooo

ax+by+c=0

x

y

Q(x1,y1) P(x0,y0)

n=(a,b)

CROSS PRODUCT

DEFINISI CROSS PRODUCT

Hasil kali silang dari vektor u dan v adalah sebuah vektor w = u x v besarnya w didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya u dan v dan sinus sudut antara keduanya.

Arah vektor w = u x v tegak lurus pada bidang yang memuat u dan v sedemikian rupa sehingga u, v dan w membentuk sebuah sistem tangan kanan

n sin x uvvu

Hasil Cross pada Vektor basis

i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k j x k = i k x i = j

x

y

z

k

j

i

(0,0,1)

(1,0,0)

(0,1,0)

kji

)1,0,0(

10

01,

00

01,

01

00 x

j x i = - k k x j = -i i x k = -j

i

k j

DEFINISI CROSS PRODUCT

Jika u=(u1,u2,u3) dan v =(v1,v2,v3) adalah vektor diruang 3 maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh :

u x v = (u1i + u2j + u3k) x (v1i + v2j + v3k)

= u1i x (v1i + v2j + v3k) +

u2j x (v1i + v2j + v3k) +

u3z x (v1i + v2j + v3k)

= ( u2v3- u3v2)i + (u3v1- u1v3)j + ( u1v2- u2v1 )k

Atau dalam notasi determinan :

k

vv

uuj

vv

uui

vv

uuvu

21

21

31

31

32

32 ,, x

321

321 x

vvv

uuu

kji

vu

Jika u dan v adalah vektor di ruang 3, maka : u . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke u) v . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke v) u x v = - ( v x u ) u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w ) ( u + v ) x w = ( u x w ) + ( v x w ) k ( u x v ) = k(u) x v = u x k(v) u x u = 0

Contoh Soal

Carilah u x v dimana u=(1,2,-2) v=(3,0,1)

1 2 2

3 0 1

2 2 1 2 1 2 x , ,

0 1 3 1 3 0

x (2, 7, 6)

i j k

u v i j k

u v

HASIL KALI VEKTOR DARI VEKTOR TRIPEL

Pernyataan ( a x b ) x c dan a x ( b x c ) dikenal sebagai hasil kali vektor dari vektor tripel.

Tanda kurung sangat mempengaruhi : ( i x i ) x j = 0 i x ( i x j ) = i x k = - j

Latihan

Diketahui segitiga ABC

Buktikanab

c

2 2 21. 2 cosa b c bc

2.sin sin sin

a b c

13. Luas Segitiga ABC = ( )

2AB AC

A B

C

2 2

2 2

( )

2 cos 180

2 cos

b c b c

b b b c c b c c

b c b c

b c b c

a a

0

sin sin

sin sin

a a a b c

a b a c

a b a c

a b a c

b c

1

21

sin21

2

L ABC AB t

AB AC

AB AC

SOAL Vector

Misalkan u = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1) carilah komponen vektor x yang memenuhi :

2u – v + x = 7x + w Misalkan u,v,w adalah vektor seperti soal 1, carilah

skalar c1, c2 dan c3 sehingga :

c1u + c2v + c3w = (6,14,-2) Hitunglah jarak antara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0) Carilah semua skalar sehingga dimana v =

(1,2,4)

3kv

SOAL Dot Product Tentukanlah apakah u dan v membentuk sudut

lancip, tumpul atau ortogonal u=(7,3,5) v=(-8,4,2) u=(1,1,1) V=(-1,0,0) u=(6,1,3) v=(4,0,6) u=(4,1,6) v=(-3,0,2)

Carilah sudut diantara diagonal kubus dan salah satu sisinya

carilah komponen vektor u yang ortogonal ke a jika : u=(-7,1,3) v=(5,0,1) u=(0,0,1) v=(8,3,4)

SOAL Cross Product Jika a = 4i –j +3k dan b = -2i +j -2k, tentukanlah

vektor satuan yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut

Titik titik A, B, C mempunyai posisi vektor a = 3i – 2j – k b = i + 3j + 4k dan c= 2i + j – 2k terhadap titik asal 0 (Gambar. 2). Hitunglah jarak terdekat antara titik A terhadap bidang 0BC A

b

a

0

C

B

c

s