008. Homomorphisma & Isomorphisma.docx (a)
of 7
-
Upload
muhammad-soenarto -
Category
Documents
-
view
55 -
download
0
Transcript of 008. Homomorphisma & Isomorphisma.docx (a)
-
[email protected] HOMOMORPHISMA & ISOMORPHISMA1
I. DEFINISI, HOMOMORPHISMA & ISOMORPHISMA, CONTOH-CONTOH, DAN SIFAT-SIFAT.
A. CONTOH 1
1.1. = 0, 1, 2, 3 dengan operasi + modulo 4. Dibuat tabel caylay , + sbb:
a/b/c
+ 0 1 2 3
a/b/c
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
= 1, 2, 3, 4 dengan operasi modulo 5. Dibuat tabel caylay , sbb:
a/b/c
1 2 3 4
a/b/c
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
, + suatu grup, sebab: (1). , , maka + (tertutup) (2). , , , maka + + = + +
(asosiatif) (3). Ada elemen , sehingga + = +
= untuk yaitu + = 0 +0 = 0(identitas = 0)
(4). ada 1 sedemikian hingga
+ 1 = 1 + = = 0yaitu: 01 = 0 11 = 3 21 = 2
31 = 1
, suatu grup, sebab: (1). ,
, maka (tertutup) (2). , ,
, maka = (asosiatif)
(3). Ada elemen , sehingga = = untuk yaitu = 1 1 = 1(identitas = 1)
(4). ada 1 sedemikian hingga
1 = 1 = = 1yaitu: 11 = 1 21 = 3 31 = 2
41 = 4
Dibentuk pemetaan dan didefinisikan sebagai:
0 = 1 1 = 2 2 = 4 3 = 3
Kita periksa bahwa untuk , berlaku bahwa
+ =
Misalnya lihat tabel berikut:
-
[email protected] HOMOMORPHISMA & ISOMORPHISMA2
+ , operasi + modulo 4 , operasi modulo 5 + . ? .
0
1 1 = 2 = 2 4 1 = 2 0 1 = 1 2 =2
5= 0 2 =
2 2 = 4 = 0 4 2 = 4 0 2 = 1 4 =4
5= 0 4 =
3 3 = 3 = 3 4 3 = 3 0 3 = 1 3 =3
5= 0 3 =
1
0 1 = 1 = 1 4 1 = 2 1 0 = 2 1 =2
5= 0 2 =
2 3 = 3 = 3 4 3 = 3 1 2 = 2 4 =8
5= 1 3 =
3 4 = 4 4 = 0 4 0 = 1 1 3 = 2 3 =6
5= 1 1 =
2
0 2 = 2 4 2 = 4 2 0 = 4 1 =4
5= 0 4 =
1 3 = 3 4 3 = 3 2 1 = 4 2 =8
5= 1 3 =
3 5 = 5 4 = 1 4 1 = 2 2 3 = 4 3 =12
5= 2 2 =
3
0 3 = 3 4 3 = 3 3 0 = 3 1 =3
5= 0 3 =
1 4 = 4 4 = 0 4 0 = 1 3 1 = 3 2 =6
5= 1 1 =
2 5 = 5 4 = 1 4 1 = 2 3 2 = 3 4 =12
5= 2 2 =
Karena , + =
Maka
Pemetaan adalah homomorphisma
Homomorphisma disebut epimorphisma jika
ada sehingga = .
Homomorphisma disebut monomorphisma jika untuk , , = = .
epimorphismamonomorphisma
Homomorphisma disebut isomorphisma
-
[email protected] HOMOMORPHISMA & ISOMORPHISMA3
1.2. = 0, 1, 2 himpunan bil. Bulat modulo 3. Operasi + modulo 3.
= = 3 , , 2 himpunan simetri samasisi dengan adalah rotasi thd dengan sudut putar 1200 . Operasi didefinisikan sebagai rotasi thd pusat putar.
Tabel cayley:
a/b/c
+ 0 1 2
a/b/c
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
Tabel cayley:
a/b/c
2
a/b/c 2 2 2 2
, + suatu grup, sebab: (1). , , maka + (tertutup) (2). , , , maka + + = + +
(asosiatif) (3). Ada elemen , sehingga + = +
= untuk yaitu + = 0 +0 = 0(identitas = 0)
(4). ada 1 sedemikian hingga
+ 1 = 1 + = = 0yaitu: 01 = 0 11 = 2 21 = 1
, suatu grup, sebab: (1). , , maka (tertutup) (2). , , , maka =
(asosiatif) (3). Ada elemen , sehingga = =
untuk yaitu = =(identitas = )
(4). ada 1 sedemikian hingga
1 = 1 = = yaitu: 1 = 1 = 2 2 1 =
Dibentuk pemetaan dan didefinisikan sebagai:
0 = 1 = 2 = 2
Kita selidiki bahwa untuk , berlaku bahwa
+ =
Dengan melihat tabel dibawah ini:
-
[email protected] HOMOMORPHISMA & ISOMORPHISMA4
+ , Operasi + modulo 3
, Operasi didefinisikan sebagai rotasi thd pusat putar dengan
sudut putar 1200
+ . ? .
0 1 1 = 0 1 = = = 2 2 = 2 0 2 = 2 = 2 =
1 0 1 = 1 0 = = = 2 3 = 0 = 1 2 = 2 = 3 = =
2 0 2 = 2 2 0 = 2 = 2 = 1 3 = 0 = 2 1 = 2 = 3 = =
Karena , + =
Maka
Pemetaan adalah homomorphisma
Terlihat pada diagram pemetaan, bahwa adalah pemetaan 1 1 dan onto
Pemetaan adalah homomorphisma
pada diagram pemetaan, bahwa adalah pemetaan 1 1 dan onto suatu isomorphisma
-
[email protected] HOMOMORPHISMA & ISOMORPHISMA5
B. LATIHAN
1. = 1, 2, 3, 4 operasi binernya mod 5. = 0, 1, 2, 3 operasi binernya + mod 4. Pemetaan yang mempunyai periode sama. Apakah suatu isomorphisma ?
= 1, 2, 3, 4 .Operasi binernya mod 5. (,) =. Mencariperiode , :
= , , bil. Asli
11 = 1 =1
5= 0 1 1 = 1
21 = 2 =2
5= 0 2
22 = 4 =4
5= 0 4
23 = 8 =8
5= 1 3
24 = 16 =16
5= 3 1
2 = 4
31 = 3 =3
5= 0 3
32 = 9 =9
5= 1 4
33 = 27 =27
5= 5 2
34 = 81 =81
5= 16 1
3 = 4
41 = 4 =
4
5= 0 4
42 = 16 =16
5= 3 1
4 = 2
= 0, 1, 2, 3 .Operasi binernya + mod 4. (, +) =. Mencariperiode , : = , +, bil. Asli 1 0 = 0 0 = 1
1 1 = 12 1 = 23 1 = 3
4 1 = 4 4 = 0
1 = 4
1 2 = 2
2 2 = 4 4 = 0 2 = 2
1 3 = 32 3 = 6 4 = 2
3 3 = 9 2 4 = 14 3 = 12 3 4 = 0
3 = 4
Jadi periode yang sama antara (B, ) dan (C,+) adalah:
1 1 0 1 1 0 1 0 2 4 1 4 2 3 2 1 3 4 2 2 3 1 3 3 4 2 3 4 4 2 4 2
-
[email protected] HOMOMORPHISMA & ISOMORPHISMA6
Dibentuk pemetaan dan didefinisikan sebagai:(pilih salah satu Gbr. A atau Gbr. B)
1 = 0 2 = 1 3 = 3 4 = 2
1 = 0 2 = 3 3 = 1 4 = 2
Kita selidiki bahwa untuk , berlaku bahwa
= +
Dengan melihat tabel dibawah ini:
Untuk Gbr. A
, operasi mod 5
+ , operasi + mod 4 Apakah
. ? . +
1
2 2 = 1 1 + 2 = 0 + 1 = 1 = +
3 3 = 3 1 + 3 = 0 + 3 = 3 = +
4 4 = 2 1 + 4 = 0 + 2 = 2 = +
2
1 2 = 1 2 + 1 = 1 + 0 = 1 = +
3 6 = 1 = 0 2 + 3 = 3 + 1 = 4 = 0 = +
4 8 = 3 = 3 2 + 4 = 1 + 2 = 3 = +
3
1 3 = 3 3 + 1 = 3 + 0 = 3 = +
2 6 = 1 = 0 3 + 2 = 3 + 1 = 4 = 0 = +
4 12 = 2 = 1 3 + 4 = 3 + 2 = 5 = 1 = +
4
1 4 = 2 4 + 1 = 2 + 0 = 2 = +
2 8 = 3 = 3 4 + 2 = 2 + 1 = 3 = +
3 12 = 2 = 1 4 + 3 = 2 + 3 = 5 = 1 = +
Untuk Gbr. B
, operasi mod 5
+ , operasi + mod 4 Apakah
. ? . +
1
2 2 = 3 1 + 2 = 0 + 3 = 3 = +
3 3 = 1 1 + 3 = 0 + 1 = 1 = +
4 4 = 2 1 + 4 = 0 + 2 = 2 = +
2 1 2 = 3 2 + 1 = 3 + 0 = 3 = +
-
[email protected] HOMOMORPHISMA & ISOMORPHISMA7
3 6 = 1 = 0 2 + 3 = 3 + 1 = 4 = 0 = +
4 8 = 3 = 1 2 + 4 = 3 + 2 = 5 = 1 = +
3
1 3 = 1 3 + 1 = 1 + 0 = 1 = +
2 6 = 1 = 0 3 + 2 = 1 + 3 = 4 = 0 = +
4 12 = 2 = 3 3 + 4 = 1 + 2 = 3 = +
4
1 4 = 2 4 + 1 = 2 + 0 = 2 = +
2 8 = 3 = 1 4 + 2 = 2 + 3 = 5 = 1 = +
3 12 = 2 = 3 4 + 3 = 2 + 1 = 3 = +
Baikpadatabelgbr. A maupunpadapada table gbr. B, keduanyamempunyaihasil yang samayaitu
= + Dapatdikatakanbahwa:
Pemetaan adalah homomorphisma
pada diagram pemetaan, bahwa adalah pemetaan 1 1 dan onto suatu isomorphisma
================================
=============================
1234
0123
