04 KONSEP PELUANG - stat.ipb.ac.id · •Himpunan merupakan gabungan dari unsur-unsur/objek- objek...
Transcript of 04 KONSEP PELUANG - stat.ipb.ac.id · •Himpunan merupakan gabungan dari unsur-unsur/objek- objek...
04KONSEP PELUANG
Cici Suhaeni – Dept. Statistika IPB – 2019
Referensi : Agresti (2017), Mendenhall (2012), Slide AMS
(2017)
Apa itu peluang?
• Kejadian di dunia: pasti (deterministik) atau tidak pasti (probabilistik)
• Contoh kejadian di dunia ini yang tidak pasti
Akankah besok hujan?
Akankah saya dapat nilai A pada matakuliah ini?
dll
• Nilai kejadian walaupun tidak pasti tetapi memiliki pola
• Pembelajaran pola kejadian memberikan informasi kemungkinan
terjadinya kejadian
• ukuran kemungkinan disebut sebagai PELUANG
Apa itu peluang?
• Peluang dapat diartikan sebagai ukuran kemungkinan
terjadinya suatu kejadian
• Dalam hal ini: Ukuran kemungkinan dinyatakan dalam besaran
numerik bernilai antara 0 (nol) sampai 1 (satu)
• 1 kejadian yg pasti terjadi
• 0 kejadian yg mustahil terjadi
Penalaran (Reasoning) Probabilistic vs Statistical
• Andaikan diketahui proporsi populasi mobil yang dibuat di Indonesia.
Maka kita dapat menghitung peluang mobil Toyota Avanza terlihat di
suatu jalan. Ini adalah "penalaran probabilistic" karena kita tahu
populasi dan memprediksi contoh
• Andaikan tidak diketahui proporsi mobil yang dibuat, tetapi akan
menduganya. Kita observasi contoh acak mobil dari jalanan kemudian
kita duga proporsi populasi. Ini adalah "penalaran statistical"
Populasi Contoh
Probability
6
Statistics
Teori Himpunan
7
• Himpunan merupakan gabungan dari unsur-unsur/objek- objek
yang bisa berupa apa saja baik benda, manusia ataupun
bilangan.
• Unsur/objek biasanya dituliskan dalam huruf kecil Yunani
• Himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf besar latin
• Himpunan semesta dilambangkan dengan S.
• Himpunan biasanya dituliskan dalam kurung kurawal { }.
• Contoh himpunan :
A = { 1, 2, …, 10 } → Menyatakan himpunan bilangan bulat dari 1 – 10
Teori Himpunan
8
• Dilihat dari cara penghitungannya, himpunan dapat
dibedakan menjadi dua yaitu :
1. DISKRET (Countable) / Dapat dicacah
a. Terhingga (finite)
Contoh : Bilangan bulat antara 1 dan 10.
b. Tak terhingga (Infinite)
Contoh : Bilangan bulat positif.
Contoh penulisan himpunan diskret :
A = { 1, 2, 3, …, 10 } = {x; x bilangan bulat 1 ≤ x ≤ 10 }
9
2. KONTINU (Uncountable) / Tak hingga Contoh :
• Bilangan antara 0 dan 1
B = {x; x himpunan bilangan 0 ≤ x ≤ 1 }
Teori Himpunan
Operasi Himpunan• Ada tiga operasi himpunan yaitu :
a. Gabungan (U)
b. Irisan (∩)
c. Komplemen (C)
• Contoh Operasi Himpunan
A = { 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } , B = { 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 }
C = { 15, 16, 17, …, 40 }
A U B = { 1, 2, 3, …,10, 11, ….., 20 }
A ∩ B = { 8, 9, 10 }
AC = { 11, 12, 13, ….}
A U C = { 1, 2, 3, …, 10, 15, 16, …, 40 } A ∩ C = { } = ϕ
S
B
•E1
A
1
0
•E6
•E2
•E3
•E4
•E5
Ruang Contoh adalah suatu gugus yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.
Semua kemungkinan nilai yang muncul
S={1,2,3,4,5,6}
Semua kemungkinan nilai yang muncul
S={GG, GA, AG, AA}
Ruang Contoh
Ruang kejadian adalah anak gugus/himpunan bagian dari ruang contoh,
yang memiliki karakteristik tertentu.
Percobaan : pelemparan 2 coin setimbang
Kejadian : munculnya sisi angka
A={GA,
AG,
AA}
B = {11,12, 13,14, 15,16, 31,32, ….,56}
Percobaan : Pelemparan dua dadu sisi enam setimbang
Kejadian : munculnya sisi ganjil pada dadu I
Ruang Kejadian
Banyaknya Ruang Contoh/Ruang Kejadian
• Bagaimana cara menghitung banyaknya ruang contoh & ruang kejadian?
• Prinsip dasarnya adalah banyaknya cara mengambil r
objek dari n objek, dalam hal ini r ≤ n.
Ingat kembali:1.Faktorial
2.Penggandaan
3.Permutasi
4.Kombinasi
Pencacahan (counting) Pengambilan r objek
dari n objek
a. Tanpa Pemulihan (WithoutReplacement)
Tertata (ordered) (AB ≠ BA)
Tidak Tertata (unordered) (AB = BA)
b.Dengan Pemulihan (With Replacement)
Tertata (ordered) (AB ≠ BA)
Tidak Tertata (unordered) (AB =
BA)
Aksioma Peluang
• Beberapa kaidah sebaran peluang, yaitu:1. 0 p(xi) 1, untuk i=1,2, …, n
2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam ruang contoh adalah 1,
3. p(A1+A2+…+Am) = p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2, …, Am merupakankejadian-kejadian yang terpisah.
1)(1
n
i
ixp
Contoh :
1. Sebuah dadu dilempar, maka ruang contohnya:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6
jika setiap sisi seimbang maka peluangnya
p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6
2. Sebuah kejadian yang diharapkan adalah sisi yang muncul kurangatau sama dengan empat maka ruang kejadiannya:
A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4
Maka peluang kejadian A adalah:
P(A) = 4/6 = 2/3
Lanjutan Contoh
• Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki dan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu tim yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan seorang perempuan untuk mewakilidalam munas, berapa peluang dari tim tersebutterbentuk?
404101
4
2
5
x 84
!6!3
!6.7.8.9
!6!3
!9
3
9
A = kejadian terbentuknya tim yang terdiri 2 laki-laki dan 1 perempuan
n(A) = n(S) =
21
10
84
40
)(
)()(
Sn
AnAP
Hukum Penjumlahan dalam Peluang
Jika terdapat dua kejadian A dan B maka
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Jika A dan B saling lepas (mutually exclusive), P(AB) =0, sehingga
P(AB) = P(A) + P(B)
Hukum Perkalian dalam Peluang
Jika terdapat dua kejadian A dan B maka P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)
Jika A dan B saling bebas, P(AB) = P(A) P(B)
A B
Kejadian Saling Bebas
• Kejadian saling bebas adalah kejadian-kejadian yang tidak saling mempengaruhi.
• Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah:
P(AB)=P(A).P(B)
Contoh (5)
Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6. Jika jenis kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-laki?
P(A B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36
Peluang Bersyarat
• Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahui telah terjadi.
• Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A/B), dimana:
P(A/B) = P(AB) / P(B)
• Jika kejadian A dengan B saling bebas maka,
P(A/B)=P(AB) / P(B)=P(A).P(B)/P(B)=P(A)
Contoh (5):Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpa pemulihan. Berapakah peluang bola kedua berwarna merah (A) jika pada pengambilan pertama diketahui berwarnabiru (B).
P(A/B)= P(AB)/P(B)
= (3/5)(2/4)/(3/5) = 2/4
I
II
3/5
2/4
MIsalkan :A= terambilnya bola merah pada pengambilan II
B = terambilnya bola biru pada pengambilan I
A
B
• Untuk mengerjakan kasusdiatas, dapat juga dilakukansebagai berikut:
• MIsalkan B = terambilnyabola biru pada pengambilan I
• A= terambilnya bola merahpada pengambilan II
Pertama
Kedua
Merah
(B-)
Biru (B) Total
Merah
(A)
2/20 6/20 8/20
Biru
(A-)
6/20 6/20 12/20
Total 8/20 12/20 20/20
P(A B) = P(A).P(B)
Perhatikan tabel kemungkinanP(A/B)=(6/20)/(12/20)=1/2
Hukum Jumlah Peluang
• Misal S1 , S2 , S3 ,..., Sk adalah kejadian disjoint atau
mutually exclusive, maka peluang kejadian A dapat ditulis:
Aturan Bayes
• Misal S1 , S2 , S3 ,..., Sk adalah kejadian mutually exclusive dan
exhaustive dengan peluang prior P(S1), P(S2),…,P(Sk). Jika
sebuah kejadian telah A terjadi, maka peluang posterior Si
adalah:
i
P(S i )P( A | S i )for i 1, 2,...k
P(S i )P( A | S i )P(S | A)
Proof
ii
i
i
ii
P(Si )P( A | Si )
P(A)
P( AS )
P(S )
P( AS )
P(Si )P( A | Si )P(S | A)
P(AS ) P(Si )P( A | Si )P(A | S )
Contoh :
• Misal diketahui terdapat 49% perempuan dari suatu populasi.
Terdapat 8% orang memiliki risiko tinggi terkena serangan
jantung jika dia perempuan, sementara 12% jika laki-laki.
Seseorang dipilih secara acak dan diketahui memiliki risiko
tinggi serangan jantung. Berapa peluang dia adalah laki-laki?
Definisikan: H: high risk F: female M: male
Diketahui:
P(F) =
P(M) =
P(H|F) =
P(H|M) =
.51
.08
.12
.49
.51(.12).61
.51(.12) .49(.08)
P(M )P(H | M)
P(M )P(H | M ) P(F)P(H |F)P(M | H )