STATISTIKA I

STATISTIK DATA (Menentukan Kuartil)

Oleh : Saptana Surahmat

Selain ukuran pemusatan, statistik lain yang penting untuk dipelajari adalah statistik yang didasarkan pada posisi datum. Statistik demikian dinamakan ukuran letak. Terdapat tiga jenis ukuran letak yang banyak digunakan, yaitu kuartil, desil dan presentil.

Salah satu penerapan ukuran letak adalah dalam kegiatan penilaian di sekolah. Seorang siswa akan kegirangan manakala mendapatkan nilai ulangan 8 (bila gurunya menggunakan skala 10) atau 80 (bila gurunya menggunakan skala 100). Sebaliknya, ia akan sedih sekali saat mendapatkan nilai ulangan 3 atau 30. Hal ini terjadi karena siswa tersebut tahu, jika nilainya 8 atau 80 berarti ia dianggap sudah mampu menguasai materi sebesar 80% dari seluruh materi yang harus dikuasai. Karenanya ia akan dianggap sebagai anak pintar. Sebaliknya, bila nilainya 3 atau 30 berarti ia dianggap hanya mampu menguasai materi sebesar 30% dari seluruh materi yang harus dikuasai. Hasil ini dapat menyebabkan ia akan dianggap sebagai siswa yang kurang pintar.

Selain skala 10 dan skala 100, skala lain yang juga digunakan dalam penilaian adalah skala 4. Dalam penilaian dengan menggunakan skala 4, nilai siswa bagi dalam empat kategori, yaitu D, C, B dan A. Penggunaan jenis ini semakin populer sejak digulirkannya Kurikulum 2013.

Secara sederhana, skala 4 merupakan implementasi dari kuartil, skala 10 merupakan implementasi dari desil dan skala 100 merupakan implementasi dari presentil.

Kuartil Dari Data Tunggal Quartil adalah statistik yang membagi data kedalam empat bagian yang sama banyak. Keempat bagian tersebut dipisahkan oleh tiga nilai, yaitu nilai quartil pertama (quartil bawah), quartil kedua (quartil tengah) dan quartil ketiga (quartil atas). Secara simbolik, kuartil pertama ditulis dengan simbol Q1, kuartil kedua ditulis dengan simbol Q2 dan kuartil ketiga ditulis dengan simbol Q3.

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 1

STATISTIKA I

Penentuan kuartil untuk data tunggal dilakukan dengan menggunakan ketentuan :

Misalkan terdapat data berukuran n yang telah diurutkan secar naik, yaitu x1, x2, x3, , xn dimana x1 < x2 < x3 < < xn, maka Q1, Q2 dan Q3 dapat ditentukan dengan mengacu pada bagan berikut:

Berdasarkan bagan di atas, nilai Q1, Q2 dan Q3 dapat ditentukan dengan menggunakan rumus :

Qi = data ke -( 1)

4i n + , dengan i = 1, 2, 3

Contoh 1.

Tentukan kuartil kesatu, kedua dan ketiga dari data 1, 3, 6, 9, 14, 18, 21 !

Penyelesaian :

Banyak data : n = 7

Data setelah diurutkan : 1, 3, 6, 9, 14, 18, 21

Q1 = data ke -1(7 1)

4+ = data ke- 8

4 = data ke-2

Q2 = data ke -2(7 1)

4+ = data ke- 16

4 = data ke-4

Q3 = data ke -3(7 1)

4+ = data ke- 24

4 = data ke-6

Jadi diperoleh kuartil pertama (Q1) = 3, kuartil kedua (Q2) = 9 dan kuartil ketiga (Q3) = 18.

Contoh 2.

Tentukan Q1, Q2 dan Q3 dari data 40, 30, 65, 45, 55, 70, 50, 60, 80, 35, 85, 95 !

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 2

STATISTIKA I

Penyelesaian :

Banyak data : n = 12

Data setelah diurutkan : 30, 35, 40,45, 50, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 95

Q1 = data ke -1(12 1)

4+ = data ke- 13

4 = data ke- 13

4

= data ke-3 + 14

(data ke-4 data ke-3 = 40 + 14

(45 40) = 40 + 54

= 40 + 1,25 = 41,25

Q2 = data ke -2(12 1)

4+ = data ke- 25

4 = data ke- 16

4

= data ke-6 + 14

(data ke-7 data ke-6) = 55 + 14

(60 55) = 55 + 54

= 55 + 1,25 = 56,25

Q3 = data ke -3(12 1)

4+ = data ke- 39

4 = data ke- 39

4

= data ke-9 + 34

(data ke-10 data ke-9) = 70 + 34

(80 70) = 70 + 304

= 70 + 7,5 = 77,5

Kuartil Dari Data Berkelompok Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, kuartil akan membagi data terurut ke dalam empat bagian yang sama ukurannya. Nilai Q1, Q2 dan Q3 masing-masing menjadi pembatas akhir bagian pertama, kedua dan ketiga. Khusus untuk Q2, yang menjadi pembatas akhir bagian kedua dari data, nilainya akan sama dengan nilai tengah data atau median. Karena itu, cara menentukan Q2 untuk data berkelompok sama dengan cara menentukan median, yaitu menggunakan rumus :

12 k

Me

n fMe Tb p

f

= +

Dengan melakukan sedikit modifikasi pada rumus di atas, akan diperoleh rumus umum menentu-kan kuartil untuk data berkelompok, yaitu :

4 , dim 1,2,3.k

i iQ

i n fQ Tb p ana i

f

= + =

Pada rumus di atas, Qi menyatakan nilai kuartil ke-i, Tbi menyatakan tepi bawah kelas yang memuat kuartil ke-i, n menyatakan ukuran data, fk menyatakan frekuensi kumulatif kelas-kelas sebelum kelas kuartil ke-i, fQ menyatakan frekuensi kelas quartil ke-i dan p menyatakan panjang kelas.

Penentukan kelas kuartil, baik untuk kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2) maupun kuartil ketiga (Q3), dilakukan dengan menghitung posisi dari masing-masing kuartil, dimana Q1 berada pada

posisi ke- 14

n , Q2 berada pada posisi ke- 12

n , dan Q3 berada pada posisi ke- 34

n .

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 3

STATISTIKA I

Contoh 3.

Daya tinggi badan 50 orang siswa suatu sekolah tersaji sebagai berikut :

Hasil Pengukuran (kg)

Frekuensi (f)

140 143

144 147

148 151

152 155

156 159

160 163

164 167

5

7

5

7

10

7

9

Tentukan kuartil pertama, kuartil kedua dan kuartil ketiga dari data di atas !

Penyelesaian :

Hasil Pengukuran (kg)

Frekuensi ( f )

Dari tabel distribusi frekuensi disamping ini, diperioleh :

Jumlah frekuensi = 50

Posisi kuartil ke-1 = data ke- 1 (50)4

= data ke-12,5

Diperkirakan berada di kelas ke-3 Tb1 = 147,5

Posisi kuartil ke-2 = data ke- 1 (50)2

= data ke-25

Diperkirakan berada di kelas ke-5 Tb2 = 155,5

Posisi kuartil ke-2 = data ke- 3 (50)4

= data ke-37,5

Diperkirakan berada di kelas ke-6 Tb3 = 159.5

Lebar kelas : p = 4

140 143

144 147

148 151

152 155

156 159

160 163

164 167

5

7

5

7

10

7

9

Jumlah 50

Q1 = 147,5 +

1 (50) 124 4

5

= 147,5 + 0,5 45

= 147,5 + 0,4 = 147,9

Q2 = 155,5 +

2 (50) 244 4

10

= 155,5 + 1 4

10

= 155,5 + 0,4 = 155,9

Q3 = 159,5 +

3 (50) 344 4

7

= 159,5 + 3,5 47

= 159,5 + 2 = 161,5

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 4

STATISTIKA I

Soal Latihan

1. Tentukan Q1, Q2 dan Q3 dari data berikut :

a. 5, 15, 9, 8, 10, 12, 14, 17, 16, 11, 20, 6

b. 8, 9, 13, 6, 11, 11, 13, 8, 6, 7, 9, 10

c. x 7 8 9 10 11 12 13

f 4 2 3 5 6 6 4

2. Tentukan kuartil atas, kuartil tengah dan kuartil bawah dari data berikut :

a. Nilai f b. Waktu (menit) f 5 6 10 10

6 9 20 16

7 10 30 39

8 14 40 27

9 16 50 8

10 4 60 4

3. Hitunglah selisih quartil atas dan kuartil bawah dari data berikut.

a. Panjang (cm) Frekuensi b. Waktu (menit) Frekuensi

100 104 2 31 35 15

105 109 8 36 40 10

110 114 15 41 45 13

115 119 27 46 50 17

120 124 18 51 55 14

125 129 7 56 60 11

130 134 3

4. Tentukan Q1, Q2 dan Q3 dari data berikut

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 5