11. Malcheski, R. Malcheska, V. - Matematika 4 - Kalkulus (Vtor Del)

8/16/2019 11. Malcheski, R. Malcheska, V. - Matematika 4 - Kalkulus (Vtor Del)

1/15

Ристо Малчески Вера Малческа

МАТЕМАТИКА 4

КАЛКУЛУС (ВТОР ДЕЛ)

Скопје, 2011


2/15

ii

Рецензенти:

Д- р Марија Оровчанец, ред. проф. на Природно-математички факултет, Скопје

Д- р Алекса Малчески, вон. проф. на Машински факултет, Скопје

Издавач: ФОН универзитет, Скопје

Компјутерска обработка: Ристо Малчески

Тираж: 200 примероци

Ниту еден дел на оваа книга не смее да се умножува, фотокопира, ниту на

било кој друг начин да се репродуцира без писмено одобрување на издавачот или

авторот.

Печати: **********, Скопје


3/15

iii

СОДРЖИНА

ПРЕДГОВОР vii

XVIII глава ВЕКТОРСКИ ФУНКЦИИ ОД ЕДНА РЕАЛНА ПРОМЕНЛИВА

1.

Поим за векторска функција. Основни својства 1

2.

Извод и диференцијал на векторска функција 4

3. Интеграл од векторска функција 11

4.

Поим за крива во R n 13

5. Ориентација на крива 16

6. Сингуларни точки. Глатка и глатка по делови крива 19

7. Должина на крива 20

8.

Тангента на крива. Природен параметар на крива 22

9. Природен триедар на крива 28

10.

Формули на Френе. Кривина и торзија на крива 31Задачи 36

XIX глава ФУНКЦИИ ОД ПОВЕЌЕ РЕАЛНИ ПРОМЕНЛИВИ

1. Сферна и правоаголна околина на точка 41

2. Отворени и затворени множества 43

3. Област во R n 45

4.

Низи точки во R n 46

5.

Граница на функција од повеќе променливи 51

6.

Непрекинати функции 60

7. Функции непрекинати на ограничени

и затворени множества 64Задачи 69

XX глава ДИФЕРЕНЦИЈАЛНО СМЕТАЊЕ НА ФУНКЦИИ ОД ПОВЕЌЕ РЕАЛНИ ПРОМЕНЛИВИ

1.

Извод по правец. Парцијални изводи 73

2.

Диференцијабилни функции 77


4/15

iv

3. Тангентна рамнина и нормална права 85

4.

Диференцирање на сложена функција 88

5. Инваријантна форма на првиот диференцијал во

однос на изборот на променливите 91

6.

Изводи и диференцијали од повисок ред 947.

Тајлорова формула 101

8. Екстремни вредности на реална функција

од повеќе променливи 105

9.

Доволен услов за локален екстрем 107

10.

Имплицитни функции. Основни својства 113

11. Имплицитни функции зададени со системи равенки 119

12. Диференцијабилни пресликувања 123

13.

Зависни функции 126

14.

Замена на променливите 128

15. Условни екстреми 133

Задачи 139

XXI глава ОБИЧНИ ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАВЕНКИ

1. Воведни поими 151

2. Теорема за егзистенција и единственост на решението

за задачата на Коши за равенката ' ( , ) y f x y 152

3. Линеарна диференцијална равенка

со разделувачки променливи 1564. Хомогена диференцијална равенка 158

5.

Линеарна диференцијална равенка од прв ред 161

6. Бернулиева диференцијална равенка 163

7. Интегрирање на тотален диференцијал 165

8. Рикатиева диференцијална равенка 168

9.

Диференцијални равенки кои не се решени по извод 170

10. Лагранжова и Клерова диференцијална равенка 173

11. Задача на Коши за диференцијални

равенки од повисок ред 175

12.

Равенки од повисок ред кои допуштаат

снижување на редот 17713. Линеарна диференцијална равенка од n ти ред 180

14. Линеарно зависни и линеарно

независни системи функции 183

15.

Структура на општото решение на линеарна

хомогена диференцијална равенка 186

16. Линеарна хомогена диференцијална равенка

со константни коефициенти 190

17.

Линеарни нехомогени диференцијални равенки 196

18.

Интегрирање на линеарни нехомогени диференцијални

равенки со метод на варијација на константите 198


5/15

v

19. Ојлерова диференцијална равенка од втор ред 202

20.

Системи диференцијални равенки. Основни поими 204

21. Методи на интегрирање системи

диференцијални равенки 206

22.

Системи линеарни диференцијални равенки 21023.

Системи линеарни диференцијални равенки со

константни коефициенти 215

Задачи 218

XXII глава ИНТЕГРАЛНО СМЕТАЊЕ НА ФУНКЦИИ ОД ПОВЕЌЕ РЕАЛНИ ПРОМЕНЛИВИ

1. Мера на Жордан 223

2.

Множества со мера нула 232

3. Риманов интеграл од функција од повеќе променливи 234

4. Својства на Римановиот интеграл од функција

од повеќе променливи 238

5.

Сведување на повеќекратен интеграл

на повторен интеграл 244

6. Линиски интеграл од прв вид 251

7. Линиски интеграл од втор вид 256

8.

Векторско поле. Потенцијал 261

9. Гринова формула 263

10.

Замена на променливи во повеќекратен интеграл 26911. Примена на повеќекратните интеграли 276

Задачи 280

Литература 291

Индекс 293

За авторот 299


6/15

vi


7/15

vii

ПРЕДГОВОР КОН ТРЕТОТО ИЗДАНИЕ

Ниедно истражување на човекот не мо-

же да се нарече вистинска наука, ако истото

не е поткрепено со математички доказ.Проблематична е веродостојноста на

тврдењата во науките, каде нема примена на

ниту една математичка дисциплина, т.е. кои

не се поврзани со математиката.

Леонардо да Винчи

Оваа книга е продолжение на книгата Математика 3 – калкулус (прв дел)

и содржи дел од предавањата по предметот Калкулус 2 за студентите по информа-

тика на ФОН универзитетот во Скопје. За разлика од второто издание, во ова

издание се изоставени содржините од линеарната алгебра, но е вклучена нова

глава: векторски функции од една реална променлива. Материјалот во книгата е

поделен на пет глави и тоа:

1. Векторски функции од една реална променлива

2. Функции од повеќе реални променливи

3.

Диференцијално сметање на реални функции од повеќе променливи,

4. Обични диференцијални равенки.

5. Интегрално сметање на функции од повеќе реални променливи,

Содржините кои се разработени во петте глави во целост кореспондираат со насловите. Имајќи ја предвид тежината на материјалот, но и студентите за кои

е наменета оваа книга, дел од теоремите се дадени без доказ и примената на

истите е илустрирана преку примери. Притоа, во втората глава се разгледувани

низите точки, отворените и затворените множества во реалната рамнина и тоа во

обем кој е доволен за усвојување на непрекинатоста, диференцијабилноста и

интеграбилноста на функциите од повеќе реални променливи. Во споредба со

претходните изданија петтата глава е целосно преработена, така да во неа детално

се разработени мерата на Жордан, линиските интеграли од прв и втор вид, Гри-

новата формула, векторското поле и потенцијалот на векторско поле, како и

примената на двојниот и тројниот интеграл во геометријата.


8/15

viii

Како што веќе рековме мал дел од разгледаните 186 теореми, леми и

последици не се докажани, и ова посебно се однесува на теоремите за егзистен-

ција на повеќекратните интеграли, чии докази се изоставени заради тежината на

истите. Понатаму, заради подобрување на нагледноста книгата содржи 51 цртеж,

поголемиот дел од кои се поместени во последната глава. Изучувањето на која било математичка дисциплина не е можно без систематско самостојно решавање

на задачи. Токму затоа при изложувањето на материјалот целосно се разработени

154 примери со кои се појаснуваат воведените поими и презентираните тврдења и

на крајот од секоја глава се дадени задачи, вкупно 265, дел од кои, како и приме-

рите содржат и по неколку подзадачи, па така бројот на решените примери и зада-

чи за самостојна работа е значително поголем. Примерите и задачите се така из-

брани, што дел од нив се во функција на усвојување на презентираниот материјал,

а дел се наменети за утврдување на усвоените знаења.

На крајот е даден индекс на поими, кој се надеваме ќе го олесни користе-

њето на оваа книга. Исто така е даден список на користената литература, при што

сакаме да напоменеме дека книгите [3], [8], [11], [14] и [27] имаа посебно влијание

при оформувањето на овој ракопис.

Пријатна должност и особено задоволство ни е да им искажеме благодар-

ност на рецензентите проф. д- р Марија Оровчанец и проф. д- р Алекса Малчески

кои со своите забелешки и сугестии придонесоа за подобрување на содржината на

оваа книга, како и на асс. м- р Емилија Камчева која детално го провери овој ра-

копис и со своите забелешки придонесе да се отстранат некои технички пропусти,

но е да се подобри самото изложување на разработуваниот материјал.

И покрај вложениот напор, не можаме да се ослободиме од впечатокот

дека се можни значителни подобрувања на оваа книга, па затоа сме однапред бла-

годарни на секоја добронамерна критика и сугестија.

Септември, 2011 Авторите

Скопје


9/15

291

ЛИТЕРАТУРА

1.

Adnadjević, S., Kadelburg, Z.: Matematič ka analiza II, Nauka, Beograd, 19932.

Budinčević, M.; Marić, V.: Obič ne diferencijalne jednač ine ( problemi i zadaci) , Naučna knjiga, Beograd, 1978

3. Chakrabarti, A.: Elements of Ordinary Differential Equations and Special Functions,

New Age International Limited, New Delhi, 19964.

Dragičević, V.; Fatkić, H.: Određ eni i višestruki integrali ( zbirka zadataka),Svijetlost, Sarajevo, 1987

5. Greenspan, H. P.; Benney, D. J.; Turner, J. E.: Calkulus: An Introduction to

Applied Mathematics, McGraw-Hill, Toronto, 1987

6.

Kurepa, S.: Matematič ka analiza I, Školska knjiga, Zagreb, 19977.

Kurepa, S.: Matematič ka analiza II, Školska knjiga, Zagreb, 19978.

Malik, S. C.: Principles of Real Analysis, New Age International Limited, New Delhi,1982

9. Maron, I. A.: Problems in Calculus of One Variable, Mir, Moscow, 198810.

Miličić, P. M.: Kurs diferencijalne geometrije, Gnosos, Beograd, 200511.

Mitrinović, D. S.; Vasić, P. M.: Diferencijalne jednač ine ( zbornik zadataka i problema) , Naučna knjiga, Beograd, 1979

12. Perić, V.; Tomić, M.; Karačić, P.: Zbirka rešenih zadataka – matematika II ,

Svjetlost, Sarajevo, 1987

13.

Radenković, S.: Matematič ka analiza II ( zbirka zadataka sa rešenjima), Круг,Београд, 1999

14. Ungar, Š.: Matematič ka analiza u R n , Tehnička knjiga, Zagreb, 200515.

Uščumlić, M. P.; Miličić, P. M.: Zbirka zadataka iz više matematike I, 1994, Nauka,Beograd

16. Uščumlić, M. P.; Miličić, P. M.: Zbirka zadataka iz više matematike II, 1989, Nauka,

Beograd17.

Берман, Г. Н.: Сборник задач по курсу математического анализа , Наука,Москва, 1969

18. Демидович, Б. П.: Сборник задач и упражнений по математическому анализу ,Наука, Москва, 1984

19.

Дойчинов, Д.: Математически анализ , Наука и изкуство, София, 198320.

Дороговцев, А. Я.: Математический анализ , Вища школа, Киев, 198521.

Ефимов, Н. В.: Краткий курс аналитической геометрии, Наука, Москва, 197522. Ивановски, Н.; Речковски, Н.: Математика III, Унив. Св. Кирил и Методиј,

Скопје, 199323. Илин, В. А.; Садовничи, В. А.; Сендов, Б. Х.: Математически анализ , II,

Наука и изкуство, София, 198924.

Каплан, И. А.: Практические занятия по высшей математике, I, 1970, II, 1970,III, 1965 Вища школа, Харьков, 1970

25.

Карташев, А. П., Рождественский, Б. Л.: Математический анализ , Наука,

Москва, 1984


10/15

292

26. Краснов, М. Л.: Обйкновенные диференциальные уравнения , Высшая школа,Москва, 1983

27. Кудрявцев, Л. Д.: Курс математического анализа , I, II, III, Высшая школа,Москва, 1988

28.

Любенова, Е., Недевски, П., Николов, К., Николова, Л., Попов, В.: Рько-водство по математически анализ , I, II, Унив. изд. Св. Климент Охридски,София, 1991

29. Малчески, Р.: Математичка анализа 1, ПМФ, Скопје, 200230.

Малчески, Р.: Математичка анализа 2, ФОН универзитет, Скопје, 201131.

Малчески, Р.: Основи на математичка анализа, Унив. Св. Кирил и Методиј,Скопје, 2001

32. Малчески, Р.; Малческа, В.: Математика 1 – алгебарски структури, ФОН универзитет, Скопје, 2011

33. Малчески, Р.; Малческа, В.: Математика 2 – векторска и линеарна алгебра,ФОН универзитет, Скопје, 2011

34.

Малчески, Р.; Малческа, В.: Математика 3 – калкулус (прв дел), ФОН универзитет, Скопје, 2011

35.

Манолов, С.; Петрова-Данева, А.; Генов, А.; Шополов, Н.: Висша матема-тика , II, III, Техника, София, 1977

36.

Никольский, С. М.: Курс математического анализа, I, II, Наука, Москва, 198337.

Смирнов, В. И.: Курс высшей математики I, II, III, IV, V , Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1961

38. Толстов, Г. П.: Курс математического анализа, I, II, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1957

39. Тонков, Т. Т.: Диференциални уравнения ,, Издателска фирма Тонко Тонков,София, 2002

40.

Фихтенгольц, Г. М.: Курс дифференциального и интегрального исчисления , I, II,III, Наука, Москва, 1969

41.

Целакоски, Н.: Диференцијални равенки I, II , Унив. Св. Кирил и Методиј,Скопје, 1986


11/15

293

ИНДЕКС НА ПОИМИ

А

Апсолутен максимум, 105

Апсолутен минимум, 105

Б

Бернулиева диференцијална

равенка, 163

Беселови функции, 170

Бесконечно мала векторска функција, 5Бесконечно непрекинато

диференцијабилна на множество, 102

Бинормала на крива, 29

Бирегуларна крива во точка, 25

В

Вектор на бинормала на крива, 28

Вектор на главна нормала на крива, 28

Векторска функција, 1

Векторска функција диференцијабилна

во точка, 6

Векторска функција непрекината во

точка, 3

Векторско поле, 261

Векторско претставување на крива, 15

Внатрешна точка на множество, 43Внатрешност на множество, 43Волумен (мера) на коцка, 223

Волумен (мера) на множество, 224

Г

Главна нормала на крива, 28

Глатка крива, 19

Глатка по делови граница, 264

Горна (надворешна) мера на

Жордан, 225Горна сума на Дарбу, 236

Градиент на функција, 83

Граница на векторска функција, 1

Граница на низа, 46

Граница на функција во точка, 52, 53, 55

Граница на функција во точка по

правец на вектор, 56График на функција, 51

Д

Двапати непрекинато диференцијабилна

функција на множество, 96Детерминанта на Вронски, 184, 211

Дефинициона област на оператор, 181

Диференцијал на векторска функција, 6Диференцијал од втор ред на функција

во точка, 97Диференцијал од n ред

на функција, 99

Диференцијал од n ред

на функција во точка, 100

Диференцијал од n ред

на функција, 99Диференцијална равенка интеграбилна

во квадратури, 156

Должина на крива, 20

Долна (внатрешна) мера на Жордан, 225Долна сума на Дарбу, 236

Допустлива трансформација на

параметар, 15

Е

Еволвента, 36

Еднакво ориентирани патиша, 17

Еквивалентни патишта, 15

Еквивалентни точки, 16

Елементарна област, 264Елиптични координати, 287

околина на точка, 41

З

Зависни функции, 126

Задача на Коши, 152

Затворен пат, 14

Затворена контура, 14

Затворена област, 46

Затворено множество, 42


12/15

294

И

Извод на векторска функција, 4

Извод на функција во точка

по правец, 73

Извод на функција по правец на множество, 73

Извод од втор ред на функција

во точка, 97

Извод од втор ред на функција по

правци, 95

Извод од n ти ред на функција во

точка, 99

Извод од n ти ред на функција во

точка по правци, 99Имплицитна функција, 121

Имплицитно зададена крива, 18

Инваријантна форма на прв диференција, 93

Индикатриса на извод по правец на

функција во точка, 85

Интеграл за висен од параметар, 245

Интегрален множител, 167

Интегрална Риманова сума, 235

Интегрирање на диференцијална

равенка, 151

Ј

Јакобијан, 123

К

Каноничен систем диференцијални равенки, 205

Карактеристичен полином, 190

Карактеристична равенка, 190, 216

Квадратна околина, 42

Клерова диференцијална равенка, 175

Крива во R n , 15

Крај на пат, 14

Кратни точки на пат, 14

Кривина на крива, 32

Конвексна област, 46

Конвергентна низа, 47

Конечно разбивање на област, 267Коцки од ранг k, 223

Кошиева (фундаментална) низа, 50

k

ти парцијален извод во точка, 75Крива на Вивијани, 259

Критична (стационарна) точка, 106

Л

Лагранжива диференцијална

равенка, 173Лагранжов метод на варијација на

константи, 198, 214

Лак на крива, 17

Лема за адитивност на интегралот, 239

Лема за интегрирање на

неравенства, 240Лема за линеарност на интегралот, 240

Лема за монотоност на интегралот, 241

Линеарен диференцијален оператор, 181Линеарен систем диференцијални

равенки, 210Линеарна векторска функција, 5

Линеарна диференцијална равенка од

n-ти ред, 180

Линеарна диференцијална равенка од

прв ред, 161

Линеарна функција, 77

Линеарно зависен систем функции, 183

Линеарно зависни вектори, 211

Линеарно независен систем

функции, 183Линеарно независни вектори, 211

Линиски интеграл од втор вид, 256

Линиски интеграл од прв вид, 251Линиски сврзано множество, 45

Локален максимум, 105

Локален минимум, 105

М

Маклоренова формула за функција од

повеќе променливи, 102

Матрица на Јакоби, 123Матрица на Коши, 213

Мера на Жордан, 225

Метод на интеграбилни функции, 208Метод на исклучување, 206

Метод на множители на Лагранж, 136

Множество измерливо по Жордан, 225

Н

Надворешна точка за множество, 43

Нараснување на функција во точка, 60Негативна ориентација, 263, 264


13/15

295

Неограничено множество, 48

Непрекинато диференцијабилна

функција на множество, 82

Непрекинато диференцијабилно

пресликување, 123

Несингуларна точка на крива, 19Нехомогена линеарна диференцијална

равенка од прв ред, 161

Ниво линија на функција, 51

Низа тежи кон бесконечност, 49

Низа точки во рамнина, 46Нормален систем диференцијални

равенки, 205Нормална права (нормала), 87

Нормална рамнина на крива, 24

Носител на крива, 15

Носител на пат, 14

n-димензионална отворена топка, 41

n-пати непрекинато диференцијабилен

пат, 14

n-пати непрекинато диференцијабилни

еквивалентни пата, 16

n пати непрекинато диференцијабилна

функција на множество, 98

О

Обична диференцијална равенка, 151

Област, 46

Ограничена низа, 48

Ограничено множество, 48

Ојлерова линеарна диференцијална равенка од втор ред, 202

Оператор, 182

Оператор на Лаплас, 129Определен интеграл од векторска

функција, 11

Општ интеграл, 155Општо решение на диференцијална

равенка, 154

Ориентирана крива, 17

Оскулаторна рамнина на крива, 25

Остаточен член на Тајлоровата формула

во вид на Лагранж, 102

Отворен n-димензионален

парелелопипед, 41

Отворена n-димензионална коцка, 41

Отворено множество, 43

П

Параметар на пат, 14

Партикуларно решение на

диференцијална равенка, 154

Парцијален извод на функција во точка, 75

Парцијални изводи од втор ред на


Парцијален извод од n-ти ред на


Пат во просторот R n, 14По делови глатка крива, 19

По делови непрекинато

диференцијабилна крива, 18Повторен интеграл, 245

Повторна (последователна) граница на функција, 57

Поделба впишана во поделба, 234

Поделба ( разбивање) на множество, 234

Подниза на низа, 46

Позитивна ориентација, 263, 264

Поларни координати, 130, 273

Полиноми на Чебишев од прв ред, 195

Потенцијал на векторско поле, 261

Потребен услов за линеарна

зависност, 184Потребен услов за линеарно независни

решенија, 185

Почетен услов, 152, 176Почеток на пат, 14

Прв диференцијал на функција

во точка, 78

Природен параметар, 25

Природен триедар на крива, 28

Природна параметризација на крива, 25

Правоаголна околина, 42

Прост лак, 14Проста затворена контура, 14

Просторен пат, 14

Р

Раб (контура) на множество, 43

Рабна (контурна) точка

на множество, 43Равенка на тотален диференцијал, 165

Равенка на Чебишев, 195

Равенка со разделувачки променливи, 156


14/15

296

Равенки на врски, 133

Радиус вектор, 1

Радиус на кривина на крива, 32

Радиус на торзија на крива, 32

Разбивање од ранг k, 223

Рамнински пат, 14Рамномерно непрекината векторска


Рамномерно непрекината функција, 67

Ред на диференцијална равенка, 151

Ректификациона рамнина на крива, 29Решение на диференцијална

равенка, 151Решение на нормален систем

диференцијални равенки, 205

Рикатиева диференцијална равенка, 168

Риман интеграбилна функција, 235

Риманов интеграл, 236

С

Сверна околина на точка, 41

Симбол на Кронекер, 124

Симетричен систем, 209

Симетрична форма, 209

Сингуларна интегрална крива, 155

Сингуларна точка на крива, 19Сингуларно решение, 155

Систем диференцијални равенки, 205

Скаларна функција, 1Спротивен пат, 17

Спротивно ориентирана крива, 17

Стационарни точки при равенки на

врски, 136

Строг апсолутен максимум, 104

Строг апсолутен миниму, 104

Строг локален максимум, 104

Строг локален минимум, 104Сферни координати, 274

Т

Тајлоров полином, 102Тајлоров ред, 103

Тајлорова формула за векторска

функција, 8Тајлорова функција за векторкса

функција со остаточен член во

интегрална форма, 13Тајлорова формула за функција од

повеќе променливи, 102

Тангента на крива, 22

Тангентна рамнина, 85

Теорема за диференцирање на

сложена функција, 88

Теорема за потребен услов за локален екстрем, 106

Теорема за доволен услов за локален

екстрем, 107

Теорема за запазување на знакот, 55

Теорема за конечна адитивност на мерата, 230

Теорема за монотоност на внатрешна и надворешна мера, 226

Теорема за монотоност на мерата, 226

Теорема за непрекинатост на сложена


Теорема за полуадитивност на

надворешната мера, 229

Теорема за потполна адитивност на и

нтегралот, 242

Теорема за средна вредност, 242Теорема на Болцано-Ваерштрас, 49

Теорема на Ваерштрас, 66

Теорема на Грин, 264, 267Теорема на Коши, 50, 66

Торзија на крива, 32Точка на прекин на функција, 61Точка на локален екстрем, 105

Точка на условен максимум (минимум)

на функција, 133

У

Унија на криви, 18

Условен екстрем, 133

Ф

Формула за конечно нараснување на

Лагранж, 104

Формули на Френе, 31

Фундаментален систем решенија, 187, 212

Фундаментална матрица, 213

Функција бесконечно мала во околина на точка, 55

Функција бесконечно непрекинато



15/15

297

Функција диференцијабилна

во точка, 78

Функција непрекината во точка, 60, 61

Функција непрекината на множество, 63

Функција непрекинато


Функција примитивна на векторска


Х

Хиперрамнина, 213

Ходограф на векторска функција, 14

Хомоген систем диференцијални равенки, 211

Хомогена диференцијална равенка, 158Хомогена линеарна диференцијална

равенка од прв ред, 161

Хомогена функција, 158

Ц

Центар на кривина на крива, 35

Цилиндар во просторот R 3, 113

Цилиндар со основа и генератриса, 231

Цилиндрични координати, 275

11. Malcheski, R. Malcheska, V. - Matematika 4 - Kalkulus (Vtor Del)

Documents

Transcript of 11. Malcheski, R. Malcheska, V. - Matematika 4 - Kalkulus (Vtor Del)