12 algo persamaanaljabarlinier

Algoritma PersamaanAljabar LinierArif Rahman, ST MT

1

Persamaan Aljabar

LinierPersamaan aljabar linier dipergunakan untuk memperoleh harga variabel x1, x2,…, xn dari fungsi persamaan linier f1(x1, x2,…, xn), f2(x1, x2,…, xn),…, fm(x1, x2,…, xn), di mana m n dengan menggunakan matriks m x n

SubstitusiEliminasiEliminasi GaussGauss JordanMatriks InverseGauss SeidelJacobi

2

Contoh Persamaan

LinierPersamaan Linier :

0,3 x1 + 0,52 x2 + x3 = -0,01

0,5 x1 + x2 + 1,9 x3 = 0,67

0,1 x1 + 0,3 x2 + 0,5x3 = -0,44

3

Metode Substitusi

Metode Substitusi adalah metode mencari harga variabel dengan mensubtitusikan variabel-variabel lainnya berdasarkan persamaan-persamaan lainnya.

4

Metode Substitusi

Algoritma :1. Pilih salah satu persamaan (misalnya persamaan

pertama), gunakan untuk mendapatkan taksiran satu harga variabel (misalnya variabel terakhir) dalam bentuk persamaan :xn = (c1 – a11.x1 – a12.x2 – … – a1,n-1.xn-1 ) /anPilih persamaan berikutnya, ganti/ substitusi variabel dengan persamaan taksiran variabel, gunakan untuk mendapatkan taksiran satu harga variabel berikutnya dalam bentuk persamaan. c2 = a21.x1 + a22.x2 + … + a2n.xnUlangi langkah 2 hingga tersisa satu variabel dalam persamaan.Cari nilai variabel dari persamaan dengan satu variabel, secara bertahap variabel berikutnya dari persamaan dengan suku variabel lebih banyak

5

Metode Substitusi

Persamaan pertama : 0,3 x1 + 0,52 x2 + x3 = -0,01

x3 = -0,01 – 0,3 x1 – 0,52 x2

Persamaan kedua : 0,5 x1 + x2 + 1,9 x3 = 0,67

0,5 x1 + x2 + 1,9 x (-0,01 – 0,3 x1 – 0,52 x2) = 0,67

-0,07 x1 + 0,012 x2 = 0,689

0,012 x2 = 0,689 + 0,07 x1

x2 = 57,417 + 5,833 x1

Persamaan ketiga : 0,1 x1 + 0,3 x2 + 0,5x3 = -0,44

0,1 x1 + 0,3 x2 + 0,5 x (-0,01 – 0,3 x1 – 0,52 x2) = -0,44

-0,05 x1 + 0,04 x2 = -0,435

-0,05 x1 + 0,04 x (57,417 + 5,833 x1) = -0,435

0,183 x1 = -2,732

Penyelesaian :x1 = -14,9 ; x2 = -29,5 ; x3 = 19,8

6

Metode Elim

inasiMetode Eliminasi adalah metode mencari harga variabel dengan mengeliminasikan satu persatu variabel lainnya melalui pengurangan antar persamaan.

7

Metode Elim

inasiAlgoritma :1. Pilih dua persamaan (misalnya persamaan

pertama dan kedua), kurangkan satu persamaan dengan persamaan lainnya untuk menghilangkan satu variabel (misalnya variabel terakhir) :c1 = a11.x1 + a12.x2 + … + a1n.xn | x a2n

c2 = a21.x1 + a22.x2 + … + a2n.xn | x a1n

Ulangi langkah 1 untuk mendapatkan minimal (n-1) persamaan baru hasil eliminasi.Ulangi langkah 2 dengan mengurangkan pasangan persamaan hasil eliminasi.Cari nilai variabel dari persamaan dengan satu variabel, secara bertahap variabel berikutnya dari persamaan dengan suku variabel lebih banyak

8

Metode Elim

inasiPersamaan pertama dan kedua:0,3 x1 + 0,52 x2 + x3 = -0,01 |x1,9 | 0,57 x1 + 0,988 x2 + 1,9 x3 = -0,019

0,5 x1 + x2 + 1,9 x3 = 0,67 |x1 | 0,5 x1 + x2 + 1,9 x3 = 0,67 .

0,07 x1 – 0,012 x2 = -0,689

Persamaan pertama dan ketiga :0,3 x1 + 0,52 x2 + x3 = -0,01 |x0,5 | 0,15 x1 + 0,26 x2 + 0,5 x3 = -0,005

0,1 x1 + 0,3 x2 + 0,5x3 = -0,44 |x1 | 0,1 x1 + 0,3 x2 + 0,5 x3 = -0,44 .

0,05 x1 – 0,04 x2 = 0,435

Hasil eliminasi pertama dan kedua :0,07 x1 – 0,012 x2 = -0,689 |x4 | 0,28 x1 + 0,048 x2 = -2,756

0,05 x1 – 0,04 x2 = 0,435 |x1,2 | 0,06 x1 + 0,048 x2 = 0,522 .

0,22 x1 = -3,278


9

Metode Elim

inasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss adalah metode mencari harga variabel dengan transformasi matriks koefisien persamaan linier menjadi matriks segitiga atas melalui operasi baris elementer.

10

mmnmm

n

n

c

cc

aaa

aaaaaa

2

1

21

22221

11211

)1(

2

1

)1(

222

11211

'

00

''0

mm

mmn

n

n

c

cc

a

aaaaa

Metode Elim

inasi Gauss


13,01,0

3

13,05,0

2

44,067,001,0

5,03,01,09,115,0

152,03,0BBBB

21 3 3,0

1 2 7,03

437,0687,0

01,0

167,0127,00233,0133,00152,03,0

BB

089,1687,0

01,0

055,000233,0133,00152,03,0

11

Metode Gauss

JordanMetode Gauss Jordan adalah metode mencari harga variabel dengan transformasi matriks koefisien persamaan linier menjadi matriks identitas melalui operasi baris elementer.

12

mmnmm

n

n

c

cc

aaa

aaaaaa

2

1

21

22221

11211

)(

2

1

"'

100

010001

mmc

cc

Metode Gauss

Jordan


13,01

13,01,0

3

13,05,0

2

44,067,001,0

5,03,01,09,115,0

152,03,0BBBBB

21 33,01

213 3,012 7,0

3

21 3 3,073 3,1

1

437,0687,0033,0

167,0127,00233,0133,00333,3733,11

BBBBB

305 5,01

305 5,075,1

2

305 5,03,0

1

089,115,596,8

055,00075,1103,001

BBBBB

8,195,299,14

100010001

13

Metode M

atriks Inverse

Metode Matriks Inverse adalah metode mencari harga variabel dengan transformasi matriks koefisien persamaan linier menjadi matriks identitas melalui operasi baris elementer, sehingga matriks identitas menjadi matriks inverse.

14

100

010001

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

mnmm

n

n

bbb

bbbbbb

21

22221

11211

100

010001

Metode M

atriks Inverse


13,01

13,01,0

3

13,05,0

2

100010001

5,03,01,09,115,0

152,03,0BBBBB

21 3 3,01

21 33,01 2 7,0

3

21 33,07 33,1

1

10333,001667,100333,3

167,0127,00233,0133,00333,3733,11

BBBBB

30 55,01

30 5 5,07 5,1

2

30 5 5,03,0

1

195,025,105,75,1201325

055,00075,1103,001

BBBBB

182,18273,17727,22818,31727,22273,27455,5182,18818,31

100010001

44,067,001,0

15

Metode Determ

inan M

atriksMetode Determinan Matriks adalah metode mencari harga variabel dengan membagi determinan matriks substitusi dengan determinan matriks koefisien persamaan linier. Kolom ke-i

16mnmm

n

n

mnmm

n

n

aaa

aaaaaaaac

aacaac

x

21

22221

11211

2

2222

1121

1

mnmm

n

n

mnmm

n

n

i

aaa

aaaaaaaaa

aaaaaa

x

21

22221

11211

21

22221

11211

mc

cc

2

1

Metode Determ

inan M

atriks


5,03,01,09,115,0

152,03,05,03,044,09,1167,0

152,001,0

1

x

5,03,01,09,115,0

152,03,05,044,01,09,167,05,0

101,03,0

2

x

5,03,01,09,115,0

152,03,044,03,01,0

67,015,001,052,03,0

3

x

17

Metode Gauss

SeidelMetode Gauss Seidel adalah metode mencari harga variabel dengan menggunakan taksiran variabel-variabel lainnya.

18

Metode Gauss

SeidelAlgoritma :1. Dengan mengasumsikan taksiran awal dari

variabel x2, x3,…, xn bernilai sama dengan nol, hitung taksiran variabel x1 dengan :

2. Secara berurutan hitung taksiran variabel x2, x3,…, xn dengan :

3. Ulangi langkah 2 mulai dari menghitung taksiran variabel x1, x2,…, xn kembali, hingga penyimpangan atau kesalahan taksiran iterasi ke- k dari variabel xi kurang dari batas toleransi.

19

11

121211

..a

xaxacx nn

ii

n

ijj

jiji

i a

xac

x

1

.

toleransibatas%1001

ki

ki

ki

xxx

Metode Gauss

Seidel

Iterasi x1 x2 x3

0 0 0 0

1

2

: : : :

j20

3,0.1.52,001,0 32

1xxx

1.9,1.5,067,0 31

2xxx

5,0.3,0.1,044,0 21

3xxx

Metode Jacobi

Metode Jacobi adalah metode mencari harga variabel dengan menggunakan taksiran variabel-variabel lainnya dari iterasi sebelumnya.

21

Metode Jacobi

Algoritma :1. Dengan mengasumsikan taksiran awal dari

variabel x1, x2,…, xn bernilai sama dengan nol.

Secara berurutan hitung taksiran variabel x'1, x'2,…, x'n dengan :

Hitung penyimpangan atau kesalahan taksiran dari variabel xi .

1. Jika kurang dari batas toleransi, hentikan.2. Ubah xi = x'i untuk variabel x1, x2,…, xn. Ulangi

langkah 222

ii

n

ijj

jiji

i a

xac

x

1

.

'

toleransibatas%100'

i

ii

xxx

Metode Jacobi

Iterasi x1 x2 x3

0 0 0 0

1

2

: : : :

j23

3,0.1.52,001,0 32

1xxx

1.9,1.5,067,0 31

2xxx

5,0.3,0.1,044,0 21

3xxx

Permasalahan

Koefisien pada baris ke-i dan kolom ke-i bernilai 0

Iterasi pencarian divergen atau tidak konvergen sehingga bergerak menjauhi harga sebenarnya

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bbb

bbbbbb

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

21

22221

11211Pivoting parsial

Konvergensi

24

Akhir Perkuliahan…Akhir Perkuliahan…

… … Ada Yang DitanyakanAda Yang Ditanyakan25

12 algo persamaanaljabarlinier

Engineering

Transcript of 12 algo persamaanaljabarlinier