Kekonvergenan dalam Sebaran dan Peluangdan PeluangDr. Kusman Sadik, M.Si

Departemen Statistika IPB, 2016

1

Kekonvergenan dalam Sebaran dan Peluang Misalkan X1, X2, ..., Xn merupakan peubah acak yang menyebar bebas dan identik, baik diskret maupun kontinu. Di dalam aplikasi, peubah acak ini merepresentasikan n

2

observasi bebas dari suatu peubah acak X. Namun pada kenyataannya, sebaran X ini tidak diketahui sehingga diperlukan adanya pendekatan atau aproksimasi untuk sebaran tersebut.

Definisi 1 Misalkan Y1, Y2, ..., Yn merupakan peubah acak yang masing-masing memilki fungsi sebaran (distribution function) F1, F2, ..., Fn. Peubah acak tersebut bisa diskrit maupun kontinu, serta bersifat bebas dan identik. Misalkan juga bahwa Yadalah peubah acak dengan fungsi sebaran G. Kita katakan

3

adalah peubah acak dengan fungsi sebaran G. Kita katakan bahwa barisan (sequence) peubah acak {Yn}, n ≥ 1, konvergen dalam sebaran (converges in distribution) ke peubah acak Y untuk n dan ditulis →

, jika → untuk semua titik x yang kontinu pada G.

Kasus 1 Misalkan untuk n ≥ 1, fungsi sebaran Fn dan G adalah sebagai berikut:

112

1 11

, dan

4

Berdasarkan fungsi tersebut dapat diketahui bahwa G tidak kontinu pada x = 1. Dapat dibuktikan juga bahwa untuk x 1,

→ .

Definisi 2 Barisan (sequence) peubah acak {Yn}, n ≥ 1, konvergen dalam peluang (converges in probability) ke peubah acak Y untuk n , jika untuk setiap ε > 0, → , yang ekuivalen dengan → . Notasi yang

5

→ekuivalen dengan → . Notasi yang digunakan adalah : →

.

Teorema 1 Misalkan {Yn}, n ≥ 1, adalah barisan (sequence) peubah acak, dan misalkan Y adalah peubah acak, maka:

1. ( → ) ( →

) 2. ( →

) ( → ) , c adalah konstanta

6

→ →2. ( →

) ( → ) , c adalah konstanta

Pembuktian Teorema 1 disediakan sebagai latihan.

Teorema 2 Hukum Bilangan Besar Lemah (Weak Law of Large Numbers, WLLN). Misalkan X1, X2, ... adalah peubah acak yang menyebar bebas dan identik dengan nilai harapan µ, dan misalkan juga adalah nilai tengah contoh (sample mean)

7

misalkan juga adalah nilai tengah contoh (sample mean) dari X1, X2, ..., Xn, maka konvergen dalam sebaran ke µ, yaitu →

µ.

Pembuktian Teorema 2 ini dapat menggunakan pertidaksamaan Tchebichev, yaitu:

22 2

8

22 2

22 2

Pada Teorema 2 di atas, E( = µ dan V( = 2, sehingga berdasarkan pertidaksamaan Tchebichev:

22 2 µ 2

222

9

2 2

µ µ 22

22

µ →∞ Sehingga →

µ, yang berimplikasi bahwa → µ (sesuai

Teorema 1).

Teorema 3 Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem, CLT). Misalkan X1, X2, ... adalah peubah acak yang menyebar bebas dan identik dengan nilai harapan µ dan ragam positif 2, dan

10

misalkan juga adalah nilai tengah contoh (sample mean) dari X1, X2, ..., Xn. Maka:

→

Tugas Akhir Dikumpulkan pada hari Kamis (9 Mei 2016) paling lambat pada pukul 13.00 WIB di TU Dept STK (via Ibu Markonah). 1. Chapter 6, Exercises 2.3, Roussas : p. 183

2. Chapter 6, Exercises 2.6, Roussas : p. 184 3. Chapter 6, Exercises 5.1, Roussas : p. 199 4. Chapter 6, Exercises 5.4, Roussas : p. 200

11

4. Chapter 6, Exercises 5.4, Roussas : p. 200 5. Chapter 7, Exercises 1.4, Roussas : p. 207 6. Chapter 7, Exercises 2.4, Roussas : p. 218

Pada lembar terakhir kertas jawaban WAJIB dituliskan: “Tugas ini saya kerjakan secara mandiri, dan tidak men-share tugas ini kepada orang lain”, dan ditandatangani.

th

12

th

th

Bisa di-download di

13

http://www.stat.ipb.ac.id/en/index.php?page=dr-kusman-sadik

14