3. DETERMINAN - faculty.petra.ac.idfaculty.petra.ac.id/sianah/Aljabar Linear/bab 3.pdf · A adalah...
4
Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Determinan Determinan Determinan Determinan Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 11 3. DETERMINAN 3.1. PENGANTAR DEFINISI 3.1 Misalkan A adalah matriks bujur sangkar. Fungsi determinan dinyatakan oleh Det(A), dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A. Jumlah det(A) disebut sebagai determinan A. Det(A) sering pula dinotasikan dengan |A| CONTOH 3.2 1. det 22 21 12 11 22 21 12 11 a a a a a a a a = = a 11 a 22 – a 12 a 21 2. det 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 ) – (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 11 a 23 a 32 ) DEFINISI 3.3 : ATURAN SARUS Aturan ini hanya berlaku untuk matriks berukuran 3x3 saja !!! a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 - + 3.2. MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS TEOREMA 3.4 Jika A adalah sebarang matriks bujur sangkar yang mengandung sebaris bilangan nol, maka |A| = 0 TEOREMA 3.5 Jika A adalah matriks segitiga, baik matriks segitiga atas maupun bawah berukuran nxn, maka Det (A) = ∏ = n i ii a 1 (3.1) Misal : A = 33 23 22 13 12 11 0 0 0 a a a a a a B = 33 32 31 22 21 11 0 0 0 a a a a a a A adalah matriks segitiga atas sedangkan B adalah matriks segitiga bawah.
Transcript of 3. DETERMINAN - faculty.petra.ac.idfaculty.petra.ac.id/sianah/Aljabar Linear/bab 3.pdf · A adalah...
Diktat Aljabar LinearDiktat Aljabar LinearDiktat Aljabar LinearDiktat Aljabar Linear Determinan Determinan Determinan Determinan
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 11
3. DETERMINAN
3.1. PENGANTAR DEFINISI 3.1 Misalkan A adalah matriks bujur sangkar. Fungsi determinan dinyatakan oleh Det(A), dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A. Jumlah det(A) disebut sebagai determinan A. Det(A) sering pula dinotasikan dengan |A| CONTOH 3.2
1. det 2221
1211
2221
1211
aaaa
aaaa
=
= a11 a22 – a12 a21
2. det 333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
=
= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – (a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32) DEFINISI 3.3 : ATURAN SARUS Aturan ini hanya berlaku untuk matriks berukuran 3x3 saja !!! a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
- +
3.2. MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS TEOREMA 3.4 Jika A adalah sebarang matriks bujur sangkar yang mengandung sebaris bilangan nol, maka |A| = 0 TEOREMA 3.5 Jika A adalah matriks segitiga, baik matriks segitiga atas maupun bawah berukuran nxn, maka
Det (A) = ∏=
n
iiia
1
(3.1)
Misal : A =
33
2322
131211
000
aaaaaa
B =
333231
2221
11
000
aaaaa
a
A adalah matriks segitiga atas sedangkan B adalah matriks segitiga bawah.
DeterminanDeterminanDeterminanDeterminan Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear
12 Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra
TEOREMA 3.6:
1. 333231
232221
131211
aaaaaa
KaKaKa = K
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
2. 333231
131211
232221
aaaaaaaaa
= - 333231
232221
131211
aaaaaaaaa
3. 333231
132312221121
131211
aaaKaaKaaKaa
aaa+++ =
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
+ K 333231
131211
131211
aaaaaaaaa
= 0
= 333231
232221
131211
aaaaaaaaa
CATATAN – CATATAN 3.7: 1. Dengan Teorema 3.6 maka det (A) dapat ditransformasikan menjadi det (A’), dimana
A’ adalah matriks segitiga. Transformasi ini dapat dilakukan dengan menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE).
2. Gunakan Teorema 3.5 untuk menghitung nilai det (A) PROPOSISI 3.8: SIFAT-SIFAT FUNGSI DETERMINAN 1. det(A) = det (At ) 2. det(k A) = kn det(A) 3. det(A+B) ≠ det(A) + det(B) 4. det(AB) = det(A) det(B)
5. 333231
323222121
131211
aaabababa
aaa+++ =
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
+ 333231
321
131211
aaabbbaaa
TEOREMA 3.9: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka A dapat diinverskan jika dan hanya jika det(A) ≠0 COROLLARY 3.10 Jika A dapat diinverkan maka
det (A-1 ) = )det(
1A
(3.2)
Bukti: A-1A = I ⇒ det(A-1A) = det(I) det(A-1) det(A) = 1
karena det(A) ≠ 0 ⇒ det (A-1 ) = )det(
1A
Diktat Aljabar LinearDiktat Aljabar LinearDiktat Aljabar LinearDiktat Aljabar Linear Determinan Determinan Determinan Determinan
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 13
DEFINISI 3.11 Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)i+j Mij dinyatakan dengan Cij dinamakan sebagai kofaktor entri aij. CONTOH 3.12
A =
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
M11 = 3332
2322
aaaa M32 =
2321
1311
aaaa
C11 = (-1)1+1 M11 = M11 C32 = (-1)3+2 M32 = -M32 Dengan melihat letaknya maka nilai +/- dari kofaktor dapat ditentukan sebagai berikut :
+−+−+−+−+−+−+−+
!!!!!!
"
"
"
PROPORSISI 3.13:EKSPANSI KOFAKTOR 1. Sepanjang kolom j
Det(A) = a1j C1j + a2j C2j + .. + anj Cnj 2. Sepanjang baris i
Det(A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + .. + ain Cin
DEFINISI 3.14: MATRIKS KOFAKTOR DAN ADJOIN A Jika A adalah sebarang matriks bujur sangkar dan Cij adalah kofaktor aij , maka matriks
nnnn
n
n
CCC
CCCCCC
"
!!
"
"
21
22221
11211
dinamakan matriks kofaktor dari A. Transpose dari matriks ini dinamakan Adjoin A dan dinyatakan sebagai adj(A). TEOREMA 3.15: Jika A adalah matriks yang dapat diinverskan , maka
A-1 = )det(
1A
adj(A) (3.3)
TEOREMA 3.16: ATURAN CRAMER Jika Ax = b adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui sehingga det (A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang tunggal. Pemecahan ini adalah :
DeterminanDeterminanDeterminanDeterminan Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear
14 Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra
x1 = )det()det( 1
AA , x2 =
)det()det( 2
AA , …, xn =
)det()det(
AAn (3.4)
dimana Aj adalah matriks yang didapatkan dengan menggantikan elemen-elemen dari
kolom ke-j dari A dengan elemen-elemen dari vektor b, yaitu b =
nb
bb
!2
1
CATATAN 3.17 Perhitungan dengan determinan memerlukan memori yang besar. Demikian juga dengan invers matriks.
