1DERET TAK HINGGA

Barisan Tak hingga

Barisan tak hingga: fungsi yang daerah asalnya himpunan bilangan asli atau susunan bilangan yang terurut sesuai dengan urutan bilangan asli.

Barisan a1,a2,a3, dapat ditulis sebagai

=

1

}

{

n

n

a

atau {an} saja.

Barisan {an} dinamakan konvergen menuju L atau berlimit L dan ditulis

L

a

n

n

=

lim

apabila untuk setiap >0 ada bilangan positif N sehingga untuk nN an-L < .

Suatu barisan yang tak konvergen ke suatu bilangan L disebut divergen.

Teorema A

Andaikan {an} dan {bn} barisan barisan yang konvergen dan k sebuah konstan maka

(i).

k

k

n

=

lim

(ii).

=

n

n

ka

lim

k

n

n

a

lim

(iii)

=

)

(

lim

n

n

n

b

a

n

n

a

lim

n

n

b

lim

(iv).

=

)

.

(

lim

n

n

n

b

a

n

n

a

lim

.

n

n

b

lim

(v).

=

)

(

lim

n

n

n

b

a

n

n

a

lim

/

n

n

b

lim

, asalkan

n

n

b

lim

0.

Teorema B (teorema apit):

Andaikan {an} dan {cn} barisan yang konvergen ke L dan andaikan anbncn untuk nK (K bilangan asli yang tetap), maka {bn} juga konvergen ke L.

Teorema C:

Apabila

|

|

lim

n

n

a

=0 maka

n

n

a

lim

=0.

Teorema D (Teorema barisan monoton):

Apabila U suatu batas atas untuk suatu barisan tak turun {an}, maka barisan itu konvergen menuju A yang kurang dari atau sama dengan U. Sebaliknya, Apabila L suatu batas bawah untuk suatu barisan tak naik {bn}, maka barisan itu konvergen menuju B yang lebih dari atau sama dengan L.

Deret tak hingga

Deret tak hingga a1+a2+a3+ dapat ditulis sebagai

=

1

k

k

a

atau

k

a

. Jumlah parsial ke-n dari barisan ditulis Sn= a1+a2+a3++an =

=

n

k

k

a

1

.

Deret tak hingga

=

1

k

k

a

konvergen dan memmiliki jumlah S apabila barisan jumlah parsial {Sn} konvergen menuju S. Apabila barisan jumlah parsial {Sn} divergen, maka deret divergen.

Deret Geometri

Deret geometri memiliki bentuk

=

-

n

k

k

ar

1

1

, dengan a 0.

Suatu deret geometri konvergen dengan jumlah S = a/(1-r) apabila |r|0, dan

L

b

a

n

n

n

=

lim

. Apabila 0an+1>0. Apabila

n

n

a

lim

=0, maka deret konvergen. Jika S diaproksimasi dengan jumlah n suku pertama Sn, maka kesalahannya tidak akan melebihi an+1.

Teorema B (Uji kekonvergenan Mutlak).

Apabila

|

|

n

u

konvergen maka

n

u

juga konvergen (disebut konvergen mutlak).

Teorema C (uji pembanding mutlak)

Andaikan

n

u

sebuah deret yang suku-sukunya tak nol dan andaikan

r

=

+

|

|

|

|

lim

1

n

n

n

u

u

.

(i). Jika r < 1, deret konvergen mutlak

(ii). Jika r > 1 deret divergen

(iii). Jika r = 1, pengujian tidak dapat memberikan kepastian.

Teorema D (Penukaran tempat)

Suku-suku suatu deret yang konvergen mutlak dapat diubah-ubah kedudukannya tanpa mempengaruhi kekonvergenan atau jumlahnya.

Deret pangkat (kuasa)

Ingin diketahui untuk nilai-nilai x yang mana saja deret fungsi

)

(

x

u

n

konvergen serta ke fungsi apakah deret tersebut konvergen. Pada khususnya dipelajari untuk deret pangkat (kuasa) yakni deret berbentuk

n

n

x

a

. Himpunan bilangan riil yang anggota-anggotanya membentuk sebuah deret kuasa yang konvergen disebut himpunan kekonvergenan.

Teorema A

Himpunan kekonvergenan deret kuasa

n

n

x

a

selalu berbentuk selang (interval) yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:

(i). Satu titik x=0

(ii). Selang (-R,R) yang mungkin mencakup salah satu titik ujungnya atau kedua ujungnya.

(iii). Seluruh himpunan bilangan riil.

Teorema B

Deret kuasa

n

n

x

a

konvergen mutlak pada bagian dalam selang kekonvergenannya.

Sebuah deret kuasa berbentuk

-

n

n

a

x

a

)

(

dinamakan deret kuasa dalam x-a. Himpunan kekonvergenan deret ini adalah salah satu dari:

(i). Satu titik x=a

(ii). Selang (a-R, a+R) yang mungkin mencakup salah satu titik ujungnya atau kedua ujungnya.

(iii). Seluruh himpunan bilangan riil.

Operasi-operasi deret kuasa

1.6.1 Pendifferensialan dan Pengintegralan suku demi suku

Teorema A

Andaikan S(x)=

=

0

n

n

n

x

a

adalah jumlah sebuah deret kuasa pada sebuah selang I. Maka, apabila x ada dalam I, berlakulah:

(i). S(x)=

=

-

1

1

n

n

n

x

na

(ii).

x

dt

t

S

0

)

(

=

=

+

+

0

1

1

n

n

n

x

n

a

Operasi-operasi aljabar

Teorema B

Andaikan f(x) =

=

0

n

n

n

x

a

dan g(x) =

=

0

n

n

n

x

b

, yang masing-masing konvergen untuk x