ANALISIS VARIABEL KOMPLEK

kg

O l e hDwi Purnomo

Oleh Mahasiswa Program StudiPendidikan Matematika 2009

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAIKIP BUDI UTOMO MALANGTAHUN 2012

DAFTAR ISI

Halaman

Bab I

Bab II

Bab III

Bab IV

Bab V

Bab VI

Halaman 1Bab IBILANGAN KOMPLEK

Sistem Bilangan Real (R)Sistem bilangan seperti yang kita kenal sekarang adalah hasil dari pengembangan secara bertahap seperti yang ditunjukkan dalam daftar berikut.1. Bilangan asli 1, 2, 3, 4,. . , Juga disebut bilangan bulat positip, pertama kali digunakan dalam menghitung. Simbol bervariasi dengan waktu, misalnya yang digunakan bilangan Romawi I, II, III, IV. . ., jika a dan b adalah bilangan asli, jumlah a + b dan perkalian a. b, (a) (b) atau ab juga disebut bilangan asli. Untuk alasan ini himpunan bilangan asli dikatakan tertutup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian atau untuk memenuhi sifat penutupan terhadap operasi ini.2. Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3. . . dan 0 masing-masing, muncul untuk memungkinkan solusi dari persamaan seperti x + b = a. dimana a dan b adalah setiap bilangan asli. Hal ini mengarah pada operasi pengurangan, atau invers penjumlahan, dan kita tulis dengan x = a-b himpunan bilangan bulat positip, negatip dan nol disebut himpunan bilangan bulat dan tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, perkalian, dan pengurangan.3. Bilangan rasional dan pecahan seperti - , - . . . muncul untuk memungkinkan persamaan solusi seperti bx = a untuk semua bilangan bulat a dan b di mana b0ini mengarah ke operasi divisi atau invers perkalian, dan kita tulis dengan x = a/b atau a+b [disebut hasil bagi a dan b] di mana a adalah pembilang dan b adalah penyebut. Himpunan bilangan bulat adalah bagian atau subset dari bilangan rasional, karena bilangan bulat sesuai dengan bilangan rasional a / b dimana b = 1. Himpunan bilangan rasional tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, selama pembagian dengan nol tidak termasuk.4. Bilangan irasional seperti =1.41423. . . dan = 3. 14159. . .adalah bilangan yang tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan dengan a/b dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b0Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan himpunan bilangan ril. diasumsikan bahwa siswa sudah mengetahui dengan berbagai operasi pada bilangan real.

Representasi Bilangan RealBilangan real dapat direpresentasikan oleh titik-titik pada garis yang disebut sumbu real, seperti ditunjukkan pada gambar 1.1 titik yang sesuai dengan nol disebut asal

- atau 1,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Gbr.1.1

sebaliknya untuk setiap titik pada baris ada satu dan hanya satu bilangan real. jika titik A sesuai dengan bilangan real yang terletak di sebelah kanan titik B sesuai dengan b bilangan real, kita katakan bahwa a lebih besar dari b atau kurang dari a dan menulis masing-masing a > b atau b < a.

Halaman 2Susunan dari nilai-nilai x termaksud a < x 0,,untuk a adalah a < 0 dan untuk 0 jika a = 0. Jarak antara dua titik a dan b disumbu yang asli adalah .Sistem Bilangan Komplek (C)Tidak ada bilangan asli x yang memenuhi persamaan untuk memberikan solusisolusi untuk ini dan persamaanpersamaan yang sama susunan dari bilangan komplek telah di perkenalkan. Kita dapat mengangap sebuah bilangan komplek yang mana dengan bentuk a + bi dimana a dan b adalah bilangan asli dan i ,yang mana disebut bilangan imajiner ,mempunyai kelengkapan z = a + bi , kemudian a disebut bilangan asli dari z dan b disebut bagian bilangan imajiner dari z dan didenotasikan oleh Re dan lm berturut-turut, symbol z,yang mana dapat berdiri untuk semua susunan bilangan-bilangan komplek ,disebut variabel komplek.Dua bilangan komplek a + bi dan c + di adalah sama jika dan hanya jika a = c dan b = d. Kita dapat mengangap bilangan asli sebagai sebuah bagian dari susunan bilangan komplek dengan b = 0. Bilangan komplek 0 + 0i dan -3 +0i kembali ditunjukan bilangan asli 0 dan -3 berturut-turut.Jika a = 0 ,bilangan komplek 0 + bi atau disebut bilangan imajiner asli.Konjuget komplek ,atau konjuget singkat , dari sebuah bilangan komplek a + bi adalah a-bi . Konjuget komplek dari sebuah bilangan komplek z sering diindikasikan oleh atau z .Operasi dasar pada bilangan KomplekOperasi yang ditunjukan dengan bilangan komplek kita dapat memprosesnya seperti aljabar dari bilangan bilangan asli ,menganti oleh -1 ketika ini terjadi .1. Penjumlahan 2. Pengurangan3. Perkalian4. PembagianNilai MutlakNilai Mutlak atau modulus dari sebuah bilangan komplek adalah defenisinya adalah sebagai Contoh: Jika ,., adalah bilangan komplek,mengikuti sifat-sifat berikut1. = atau 2. = jika 3. atau 4. atau Halaman 3DASAR SISTEM AXIOMETIC DALAM ANGKA-ANGKA YANG KOMPLEKS Dari suatu segi pandangan yang logis dapat digambarkan angka-angka complex sebagai pasangan ( a,b) dari bilangan riil a dan b menunjuk pada yang definisi yang beragam ternyata sama dengan definisi diatas. Semua definisi yang digambarkan ini, dimana semua angka menggantikan angka-angka riil.a. Persamaan (a,b) = (c,d) jika dan hanya jika a = c, b = db. Penjumlahan (a,b) + (c,d) = (a+ c, b+ d) c. Produk (a, b) (c, d) = (ac-bd, ad + bc)m(a, b) = (ma, mb)Dari ini kita dapat menunjukkan bahwa ( a,b) = a ( 1,0)+ b ( 0,1) dan kita berhubungan dengan ini a + bi di mana lambang untuk ( 0,1) dan mempunyai i2 = (0,1) (0,1) = (-1,0) (yang dipertimbangkan setara dengan bilangan riil - 1) dan ( 1, 0) jadilah setara dengan bilangan riil 1. Pasangan yang diinginkan ( 0,0) sesuai dengan bilangan riil 0.Dari pernyataan di atas kita dapat membuktikan bahwa jika z1, z2, z3, bagian dari S bilangan kompleks : 1. z1 + z2 dan z1 z2tergolongSHukum Tertutupan2. z1 + z2 = z2 +z1Hukum KomutatifPenjumlahaan3. z1 + (z2 + z3)= (z1+z2)+z3 HukumAsociativePenjumlahaan4. z1 z2 = z2 z1Hukum KomutatifPerkalian5. z1 (z2 z3) = (z1z2) z3Hukum AsosiatifPerkalian6. z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1z3Hukum Penyebaran7. z1 + 0 = 0 + z1 = z1, 1.z1 = z1.1 = z1, 0 adalah terpanggilidentitas berkenaandengantambahan, 1adalah terpanggilidentitasberkenaan denganperkalian.8. Untuk apapunbilangan kompleksz1 ada zbilanganunikdalam S seperti z + z1 = 0; zadalah terpilih searahz1 untuk penjumlahanyangditunjukan olehz1.9. Untuk apapun z1 0 adajumlahanuique dalam S sepertiz1z = zz1= 1; zadalah terpilih berlawanan z1berkenaandenganperkaliandan ditunjukan olehz1 -1 atau 1/z1..Penyajian Grafis Dari Bilangan KompleksJika perbandingan riil dipilih pada dua bagian tegak lurus X'OX dan Y'OY yang disebut x dan y bagian berturut-turut seperti 1-2, maka kita dapat menempatkan titik manapun, di dalam bidang yang ditentukan oleh bentuk ini, dengan penghembus yang ditentukan dari bilangan riil (x,y) segi-empat yang disebut koordinat titik. Contoh-contohlokasititikseperti itudiindikasikanoleh P, Q, R, S and T dalam Fig. 1 2.Karena suatu bilangan kompleks x + iy dapat dianggap sebagai suatu pasangan berurutbilangan real, maka kita dapat menjumlahkan angka-angka yang ditunjukan oleh xy yang terhubung pada bidang kompleks atau argand diagram. Bilangan kompleks yang diwakili oleh P, sebagai contoh, kemudian dapat dibaca sebagi ( 3, 4) atau 3+ 4i. Bagi setiap bilangan kompleks disana bersesuaian atau berpasangan satu-satu pada titik didalam bidang, dan sebaliknya bagi masing-masing titik didalam bidang disana bersesuaian satu-satu pada satu bilangan kompleks. Oleh karena itu kita sering mengacu pada bilangan kompleks z sebagai titik z. Kadang-kadang kita melihat x dan y tampak khayal dan riil yang berturut-turut pada bidang yang kompleks ketika z dalam bidang. Jarak antar dua bilangan z1= x1+ iy1 dan z2= x2 + iy2 didalam bidang yang kompleks diberi oleh | z1- z2|= 234Fig. 1-2X03211r(2,5,0)R(-2.5,-1.5)S(2,-2)YP(3,4)Q(-3,3)-4-3-2-11243Halaman 4Kadang-kadang kita menunjuk sumbu x dan y sebagai sumbu real dan imajiner masing-masing untuk bidang kompleks sebagai bidang z. Jarak antara dua titik dan pada bidang kompleks ditentukan oleh . BENTUK POLAR DARI BILANGAN KOMPLEKSJika P adalah titik pada bidang kompleks sama dengan bilangan kompleks (x, y) atau x + iy, maka kita lihat dari Gambar. 1-3 bahwa, Y P(x,y) r yX 0 xX Y (Gambar. 1-3)Dimana disebut nilai modulus atau nilai mutlak dari [dinotasikan dengan z atau ]; dan , disebut amplitude atau argument(penjelasan) dari [dinotasikan dengan arg z], adalah sudut yang membuat garis OP dengan sumbu x positif.Oleh karena itu, (1)Yang disebut bentuk polar dari bilangan kompleks, r dan disebut koordinat polar(kutub). Kadang-kadang mudah untuk menulis singkatan cis untuk .Untuk setiap bilangan kompleks z 0 terdapat hanya satu nilai yang sesuai dengan untuk 0 < 2. Namun, interval lain dari panjang 2, misalnya - < , dapat digunakan. Setiap pilihan utama, diputuskan terlebih dahulu, disebut jarak utama, dan nilai disebut nilai utamanya.THEOREMA DE MOIVRE'S(2)Jikadan kita dapat menunjukkan pada [ lihat halaman 19](3)(5)(4)Sebuah pernyataan dari (2) menyebabkandan jika ini menjadiYang sering disebut Teorema De MoivreAKAR DARI BILANGAN KOMPLEKSSejumlah w disebut akar n dari bilangan kompleks z jika wn=z, dan kita tulis w=z1/n. Dari teorema De Moivre kita dapat menunjukkan bahwa jika n adalah bilangan bulat positif, (6) k = 0,1,2, ........, n-1 Dari yang berikut ini bahwa n adalah nilai yang berbeda untuk , yaitu n akar yg berbeda dari z. asalkan z 0.Halaman 5RUMUS EULERSDi asumsi oleh perluasan deret berhingga hubungan dari kalkulus elementer ketika kita dapat mengambil hasil (7)Yang mana kita sebut rumus Eulers yang sesuai ,bagaimanapun secara sederhana kita mendefinisikan umumnya kita definisikan (8)Misalnya untuk contoh dimana y = 0 turunan dari Dengan catatan bahwa bentuk dari(7) pada dasarnya turunan dari teorema De Moivres untuk PERSAMAAN PANGKAT BANYAK Sering dalam hal-hal praktis kita menemukan solusi persamaan pangkat banyak dengan bentuk umum : (9)Dimana adalah bilangan kompleks dan n pangkat positif di sebut persamaan berpangkat. Sebagaimana solusi juga disebut z0 dari pangkat banyak dar sebelah kiri (9) atau persamaan akar-akar.Teorema ini sangat penting sehingga disebut teorema mendasar dari aljabar ( dapat dibuktikan dalam bab 5 ) bahwa setiap persamaan polynomial dari bentuk (9) mempunyai satu akar kompleks. Dari ini kita menunjukkan bahwa mempunyai factor n dari akar-akar kompleks, beberapa atau semuanya yang mungkin sama.Jika z1,z2,..zn dengan n akar-akar, dapat di tulis a0(z z1)(z z2)(z zn) = 0 (10)yang mana di sebutbentuk pemfaktoran dari persamaan polynomial ,sebaliknya jika kita dapat menulis (9) pada bentuk (10) kita dapat determinankan akar-akarnya dengan muda.AKAR-AKAR DARI N KE UNSUR SATUAN Solusi dari persamaan dimana n adalah pangkat positif di sebut unit akar-akar dan di berikan oleh : (11)Missal jika dimana n akar-akar dari 1, secara geometri menunjukkan bahwa n vertical dari sbuah polygon teratur dimana di samping n di tuliskan pada sebuah lingkaran dari jarak satudengan pusat yang sebenarnya. Lingkaran ini mempunyai persamaan dan sering di sebut kesatuan lingkaran.INTERPRESTASI VEKTOR DARI BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS Bentuk bilangan kompleks z = x + iy dapat dipandang vector OP yang menunjukkan titik asal O dan titik akhir P. dengan titik (x,y) lihat gambar 1.4 kadang-kadang kita sebut OP = x+iy sebagi vector posisi dari P. dua vector ini memiliki panjang sama atau ukuran dan arahnya sama tetapi titik awalnya berbeda, sehingga OP dan AB lihat gambar1.4. hal ini menunjukkan kesamaan sehingga kita dapat menulis OP =AB = x + iy. y B A ( x,y) O X gambar 1.4 Halaman 6Jumlah dari bilangan kompleks berkorespondensi dengan jumlah jajargenjang dari jumlah untuk vector ( lihat gambar. 1-5). Dengan jumlah bilangan kompleks z1 dan z2, kita melengkapi jajargenjang OABC dimana untuk sudut OA dan OC berkorespondensi z1 dan z2. Untuk diagonal OB dari jajargenjang bekorespondensi dengan z1 + z2. Lihat masalah 5. A z2 B Z1 z1+ z2 z1 C Z2 O Gambar. 1-5REPRESENTASI BILANGAN KOMPLEKS SECARA ROYEKSI STEREOGRAPHIC Misalnya P (gambar 1-6) bidang kompleks dan memahami unit bulatan ( jari-jari satu) untuk tangent P di z = 0. Untuk diameter NS tegaklurus dengan P dan titik N dan S kita sebut bagian utara dan bagian selatan dari . Beberapa korenspondensi titik A di P kita dapat membuat garis NA berpotongan dengan pada titik A. setiap titik di bidang bilangan kompleks dimana korespondensi satu-satu dan hanya satu titik dari bulatan ,dan kita dapat menggambarkan beberapa bilangan kompleks oleh bulatan di setiap titik. Kita katakan Untuk melengkapi titik N hal itu berkorespondensi dengan jumlah pada titik dari bidang tersebut. Dari himpunan semua titik-titik termasuk bidang kompleks untuk jumlah pada titik disebut semua bidang kompleks, semua bidang z, atau bidang kompleks secara luas. Cara sulit dari untuk memetakan bidang pada bulatan disebut proyeksi stereographich. Bulatan setiap saat disebut Riemann sphere. NSSssssHASIL KALI TITIK DAN SILANG (DOT AND CROSS PRODUCT) Misalnya z1 = x1+ iy1 dan z2 = x2 + iy2 da bilangan kompleks (vector). Hasil kali titik ( disebut juga hasil kali titik) dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai (12) Dimana adalah sudut diantara z1 dan z2 yang mana terletak antara 0 dan . Hasil kali silang dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai Jika z1 dan z2 bukan nol, maka1. Diperluan dan kondisi yang cukup dalam z1 dan z2 tegak lurus pada 2. Diperlukan dan kondisi yang cukup pada z1 dan z2 sejajar dengan z1 x z2 = 0.3. Jarak proyeksi dari z1 di z2 adalah 4. Bidang pada sebuah jajargenjang ada pada sudut z1 dan z2 adalah Halaman 7KOORDINAT KOMPLEKS SEKAWANSuatu titik di bidang kompleks, dapat diletakkan pada koordinat tegak lurus atau koordinat kutub. Namun banyak juga kemungkinan yang lain. Salah satunya adalah menggunakan kenyataan bahwa , dimana . Koordinat yang menentukan letak suatu titik dinamakan Koordinator Kompleks Sekawan atau disingkat Koordinat Sekawan dari titik tersebut (Perhatikan soal 43 dan 44).HIMPUNAN TITIKSebarang kumpulan titik-titik di bidang kompleks dinamakan suatu himpunan titik berdimensi dua, dan setiap titiknya dinamakan suatu anggota atau unsur himpunan tersebut.Definisi dasar berikut ini diberikan sebagai bahan rujukan.1. Lingkungan (neighbourhoods)Suatu lingkungan delta (atau ) dari titik adalah Himpunan semua titik sehingga < dimana adalah suatu bilangan positif yang diberikan. Suatu lingkungan yang dihilangkan dari adalah Suatu lingkungan dari yang titik nya dibuang, yaitu .2. Titik limit (limit points)Suatu titik disebut titik limit, titik gabung, atau titik kumpul dari himpunan titik . Jika setiap lingkungan yang dihilangkan dari memuat titik di himpunan karena adalah Suatu bilangan positif sebarang, maka himpunan harus memiliki banyak titik yang tak berhingga. Perhatikan bahwa mungkin terletak di dalam atau di luar himpunan .3. Himpunan tertutup (closed sets)Sebuah himpunan disebut tertutup jika setiap titik limit dari termasuk di dalam , yaiut memuat semua titik limitnya. Sebagai contoh, himpunan semua titik sehingga adalah suatu himpunan tertutup.4. Himpunan terbatas (bounded sets)Sebuah himpunan disebut terbatas jika kita dapat menemukan suatu konstata sehingga untuk setiap titik dan . Suatu himpunan tak terbatas adalah himpunan yang tidak memiliki batas. Suatu himpunan yang terbatas dan tetutup dinamakan Kompak.5. Titik dalam, titik luar, dan titik terbatas (interior, exterior, and boundary points)Suatu titik disebut titik dalam dari himpunan jika kita dapat menentukan suatu lingkungan dari yang semua titiknya termasuk pada . Jika setiap lingkungan dari memuat titik di dan juga titik di luar , maka dinamakan titik batas. Jika suatu titik bukan suatu titik dalam atau titik batas dari suatu himpunan , maka titik ini dinamakan titik luar dari .6. Himpunan terbuka (open sets)Suatu himpunan terbuka adalah suatu himpunan yang hanya terdiri dari titik dalam. Sebagai contoh, himpunan titik sehingga adalah suatu himpunan terbuka.7. Himpunan tersambung (connected sets)Suatu himpunan terbuka disebut tersambung jika untuk setiap dua titik di himpunan tersebut dapat dihubungkan oleh suatu lintasan yang berbentuk garis lurus (lintasan segi banyak) yang semua titiknya terletak di dalam .8. Daerah terbuka atau domain (open regions or domains)Suatu himpunan terbuka tersambung dinamakan suatu daerah terbuka atau domain.9. Penutup suatu himpunan (closure of a set)Jika suatu himpunan kita gabungkan semua titik limitnya, maka himpunan baru yang terbentuk disebut penutup himpunan dan merupakan suatu himpunan tertutup.10. Daerah tertutup (closed regions)Penutup suatu daerah terbuka atau domain disebut suatu daerah tertutup.11. Daerah (regions)Jika pada suatu daerah terbuka atau domain kita gabungkan beberapa, semua atau tidak sama sekali titik limitnya, maka kita menemukan suatu himpunan yang disebut daerah. Jika semua titik limitnya digabungkan, maka daerahnya tertutup dan jika tidak digabungkan sama sekali, maka daerahnyaterbuka. Dalam buku ini bilamana kita menggunakan istilah daerah tanpa mengelompokkannya, kita akan mengartikannya sebagai daerah terbuka atau domain.Halaman 812) Gabungan dan irisan dari himpunan. sebuah himpunan terdiri dari semua titik yang tergabung dalam himpunan S1 dan himpunan S2 atau kedua-duanya yang dinamakan union/gabungan dari himpunan S1 dan S2 yang ditandai dengan himpunan S1 + S2 /Suatu himpunan terdiri dari semua titik yang terdapat dalam himpunan S1 dan S2 dinamakan irisan S1 dan S2 yang ditandai dengan S1 , S2 /13) Komplemen sebuah himpunan. Suatu himpunan yang tergabung dari semua titik yang tidak termasuk dalam himpunan S dinamakan komplemen S dan dinyatakan dengan14) Himpunan kosong dari sub himpunan. Menarik untuk memikir sebuah himpuan yag tak bernilai, himpunan ini dinamakan himpunan kosong ( ). Jika dua himpunan S1 dan S2 tidak memiliki nilai (dimana kedua himpunan tersebut dinamakan himpunan yang tak berkaitan/saling keterkaitan), kita dapat menjelaskannya dengan menulis S1 - S2 = . Setiap himpunan yang dibentuk melalui pemilihan semua nilai / tanpa nilai dari sebuah himpunan dinamakan sub himpunan dari S. bila kita menjelaskan himpunan ini dimana semua nilai S telah dipilih maka himpunan itu dinamakan sebuah himpunan yang benar dari S.15) Himpunan tak terhingga. Jika bagian sebuah himpunan dapat ditempatkan dalam sebuah persamaan dengan angka-angka 1,2,3maka himpunan itu dinamakan himpunan yang dapat dihitung, jika tidak dapt dihitung maka himpunan tersebut dinamakan himpunan tak terhingga. Berikut ini ada dua teori penting mengenai nilai-nilai himpunan:1. Welerstrass-Bolzano Theorem. Teori ini menyatakan bahwa setiap himpunan dasar terikat memiliki paling sedikit satu batas nilai.2. Heine-Borel Theorem. Teori ini menyatakn bahwa S merupakan sebuah himpunan terpadu masing-masingnya mengandung satu atau lebih himpunan A1, A2.....( yang kemudian dikatakan meliputi himpunan S tak terhingga). Kemudian akan terjadi sejumlah himpunan dasar A1, A2 yang meliputi S tak terhingga. Soal-soal yang telah dikerjakanPenyelesaian-penyelesaian dasar dengan bilangan kompleks.1. Membuat penyelesaian pada masing-masing bilangan kompleks. (a) ( 3 + 2 i) + (-7- i ) = 3 7 + 2i I = -4 = i(b) (-7- i ) + ( 3 + 2 i) = -7 +3 I + 2i = -4 + iHasil bilangan komleks (a) dan (b) menunjukan penyelesaian yang dapat dimengerti.(c) (8 6i) - (2i - 7) = 8 6i -2i + 7 = 15 8i(d) (5 + 3i) + {( -1 + 2i) + (7 5i)} = (5 + 3i) + {-1 + 2i +7 5i} = (5 + 3i) + (6 3i) = 11(e) {( 5 + 3i) + (-1 + 2i) } + (7 5i) = {5 + 3i -1 + 2i} + (7 5i) = (4 + 5i ) + (7 5i) = 11Hasil (d) dan (e) menunjukan hasil yang berkaitan.(f) (2 3i) (4 + 2i) = 2(4 + 2i) - 3i(4 + 2i) = 8 + 4i -12i - 6i2 = 8 + 4i -12i + 6 = 14 8i(g) (4 + 2i) (2 3i) = 4(2 3i) + 2i(2 3i) = 8 12i + 4i - 6i2 = 8 -12i + 4i + 6 = 14 8iHasil (f) dan (g)menunjukan hasil yang dapat dipahami.(h) (2 i) {(-3 + 2i)(5 - 4i)} = (2 - i){-15 + 12i + 10i 8i2} = (2 - i)(-7 + 22i) = -14 + 44i + 7i 22i2 = 8 + 51i(i) {(2 i) (-3 + 2i)} (5 - 4i) = {-6 + 4i + 3i -21i2} (5 - 4i)= (-4 + 7i) (5 - 4i) = -20 + 16i + 35i 28i2 = 8 + 51iHasil (h) dan (i) menjelaskan hasil perkawinan yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya.Halaman 9(j). Ini memberikan penjelasan pembagian rumus yang lain.(k) (l) (m) 2.jika (b) (c) (d) 3. temukanlah bilangan real x dan y seperti yang Kemudian berikan hubungan persamaan tertulis sebagai berikut kemudian menyamakan bagian bilangan real dan imagenari, kemudian pemecahan secara bersamaan, 4. Buktikan: (a) Misalkan = kemudian (a) (b) dimana kita sudah menggunakan fakta bahwa hasil konjugasi dari dua bilangan kompleks yang sama dengan produk konjugatif yang lain (lihat Soal 55).)Halaman 10ANALISIS VARIABELUNTUK MEMENUHI TUGAS AKHIR SEMESTER VI NAMA : ADRIANA BULU NPM : 2091000210060 JURUSAN : MATEMATIKA 2009 A TUGAS : MENERJEMAHKAN B. INDONESIA HALAMAN 10 BILANGAN KOMPLEKSA.Gambar Grafis Dari Bilangan Kompleks5.Mengerjakan,menunjukan pembedahan, menganalisa dan gambarkan.(3+4)+(5+2),(6-2)-(2-5),(-3+5)+(4+2)+(5-3)+(-4-6)A).Menganalisis (3+4)+(5+2)=3+5+4+2=8+6Menggambarkan grafis dua bilangan komplek nilai P1 dan P2 yang berturutturut seperti gambar dibawah ini 1.7. Sempurnakan garis lintang dengan OP1 dan OP2 seperti berdekatan sisi. Nilai P menggambarkan jumlah 6+8 dari dua bilangan komplek. Catatan persamaan garis lintang untuk penjumlahan dari vektor OP1 dan OP2 memperoleh vektor OP. Pertimbangan ini untuk memudahkan sebuah bilangan kompleks seperti a +b sebuah vektor memperoleh komponen dan b ke arah dari positip x dan y tanpa hubungan berturut. P1 3+4i 8+6i 5+2i P2 Gambar 1.7 O y P2 -2+5i P 4+3i O 6-2i Gambar 1.8 P1 (b) Menganalisa, (6+2)-(2-5)=6-2-2=4+3Grafis, (6-2)-(2-5)=6-2+(-2+5). Menjumlahkan 6-2 dan((-2+5)seperti dibagian (a).Menunjukan hasil untuk OP didalam gambar 1.8 diatas.(C)Menganalisa. Grafis, (-3+5)+(4+2)+(5-3)+(-4-6)=(-3+4+5-4)+(5+2-3-6)=2-2.Menggambarkan bilangan yang ditambah untuk z1, z2, z3, z4 berturut turut. Gambarlah grafis dibawah ini 1.9 untuk memperoleh jumlah yang dibutuhkan bertambah terus seperti bentuk pertama gambar dibawah ini 1.10.Sebagai nilai dari vektor z1 konsepsi vektor z2,vektor z2 konsepsi vektor z3,dan nilai dari z3 konsepsi vektor z4. Pada suatu saat, sebagai hasil dari jumlah yang dibutuhkan adalah memperoleh vektor OP untuk menyusun huruf awal dari nilai z4,i. E. OP = Z1+ Z2 + Z3 + Z4 =Z Z. y z1 z2 O z3 z4 yGambar 1.9 z2 z3 z1z4 O P Gambar 1.10 sHalaman 11Jika dan adalah dua dari Bilangan Kompleks (vektor vektornya) pada gambar 1- 11. Buatlah grafiknya (a) (b) (a) Pada gambar 1-12 disamping, adalah sebuah vektor yang mempunyai panjang 3 kali vektor danadalah sebuah vektor yang mempunyai panjang 2 kali vektor dan Dan vektor y yQ xPx O RGambar 1-11Gambar 1-13yC BA xOGambar 1-12(b) Persamaan vektor (Bilangan kompleks) ditunjukkan oleh OP pada gambar 1-13 diatas7. Buktikan :(a). , (b)., (c). dan gambarkanlah grafiknya (a). Penyelesaian Misal dan kita harus menunjukkan bahwa Kuadaratkan Persamaan kedua diatas, akan benar jika i.e. jika atau jika ( Kuadratkan Kedua persamaan lagi)Atau Tetapi ini sama untuk (jika benar. Balikkan langkah langkah yang reversibel. Buktikan hasilnya.Grafis. Secara grafis hasil dari fakta bahwa ditunjukan panjang dari sisi sisi sebuah segitiga (lihat gambar 1-14) dan jumlah panjang dari 2 sisi dari sebuah segitiga yang lebih besar dari atau sama dengan panjang sisi ketiga.yx0 Gambar 1-14 0 Gambar 1-15(b). Penyelesaian. Bagian (a) Grafis. Hasil dari sebuah kesepakatan fakta geometris bahwa sebuah bidang garis lurus lebih pendek diantara 2 titik O dan P (lihat Gambar 1-15)Halaman 12TERJEMAHAN ANALYSIS VARIABEL COMPLEX 8. Misal diberikan vector posisi dari titik A() dan titik B() yang diwakili oleh dan berturut-turut.(a) gambar vector AB sebagai bilangan kompleks.(b) tentukan jarak antara titik A dan B(a) Dari gambar 1.16 z1 AB z2 (b) Jarak antara titik A dan B dapat di cari dengan rumus 9. misal dan yang diwakili dua vector non kolinear atau vector non parallelJika a dan b adalah bilangan real sedemikian sehingga dengan syarat Diberikan kondisi ekuivalen dengan atau jadi dan persamaan ini akan mempunyai solusi yang simultan .jika vector tersebut adalah vector non kolinear atau vector non parallel.10. buktikan bahwa diagonal jajaran genjang saling membagi duaPada gambar 1.17 OABC akan diberikan jajaran genjang dengan diagonal yang saling berpotongan pada titik PKarena jadi Dengan syarat BKarena dengan syarat tapi , atau karenanya dari masalah 9 , atau dan P adalah titik tengah dari kedua diagonal 11. menemukan persamaan untuk garis lurus yang melewati dua titik dan Misal dan adalah vektor-vektor dari masing-masing titik A dan B.Dari gambar 1.18 atau , atau ,Karena AP dan AB segaris maka atau dimana t adalah bilangan real dan persaman umumnya adalah atau Dengan menggunakan dan , juga dapat ditulis , atau Ada dua bentuk persamaan ,yang pertama disebut persamaan parametrik garis dengan t adalah parameternya.yang kedua disebut persamaan garis bentuk standar.Metode lain. Karena AP dan PB segaris dan m dan n adalah bilangan real maka, atau Penyelesaian atau , Bentuk persamaan di atas disebut bentuk simetris.Halaman 13Dengan menggunakan = + , = dan z =x + dapat di tuliskan x- = t ( - ) , y- = t ( - atau = Dua yang pertma disebut persamaan parametric garis dan t adalah parameter yang ke dua di sebut persamaan dari garis yang pertama mAP=nPB atau m ( z - ) = n ( - z )Dapat di pecahkan z = atau x= , y = Dari persamaan di atas dapat di sebut bentuk simetris12. Misal A ( 1, -2 ), B ( -3 , 4 ), C ( 2 , 2 ) menjadi kesimpulan dari segitiga ABC .Carilah panjang median dari C kesisi AB .Vektor posisi A,B dan C di berikan oleh = 1 2i , = -3 + 4i dan = 2 + 2i masing masing .Kemudian digambarAB = - = 2 + 2i - ( 1 2i ) = 1 + 4i BC = - = 2 + 2i ( -3 + 4i ) =5 -2iAB = - = -3 + 4i ( 1 2i ) = -4 + 6iAD = AB = ( -4 + 6i ) = -2 + 3i dimana D adalah titik tengah ABAC +CD = AD atau CD =AD AC = -2 + 3i ( 1 +4i ) =-3 iMaka panjang rata rata dari CD adalah = = By C D x A13. Tentukan persamaan untuk (a ) lingkran berjari 4 dengan pusat ( -2 , 1 ) , (b), elips dengan sumbu utama yang panjangnya 10dan titik fokusnya di (-3, 0 ) dan ( 3, 0 ).a) dengan di notasikan atau di tuliskan dengan bilangan kompleks -2 + I .Jika z adalah setiap titik pada lingkaran (gambar 1.20) jarak dari z -2 + I adalah =4Kemudian =4 adalah persamaan yang di perlukan dalam bentuk empat persegi panjang di berikan oleh =4,i.e ( x+2)2 + (y -1)2=16 Y y y(-3,0) (3,0)(-2,1) Z zx x b) Jumlah jarak dari setiap z titik pada elips ( gambar 1-2) untuk focus harus sama=10 maka persamaannya adalah ] +[z-3]=10,dalam empat persegi panjang dapat di kurangi untuk /25 +/16=1(lihat soal 74)Aksioma Dasar dari Bilangan Komleks 14. Gunakan defenisi dari sebuah bilangan kompleks sebagai pasangan orderdari bilangan real dan defenisi pada halaman tiga untuk membuktikan bahwa (a,b)=a(1,0),b(0,1)dimana (0,1),(0,1)=(-1,0)=(a,c) + (c,b)=(a,b)Halaman 14BILANGAN KOMPLEKDari defenisi jumlah dan produk atau hasil di halaman 3, kita mendapatkan dimana Dari identifikasi dengan 1 dan dengan , kita melihat bahwa Jika dan , membuktikan hukum persamaan distribusi Kita mendapatkan KOORDINAT POLAR DARI BILANGAN KOMPLEK Nyatakan setiap bilangan komplek berikut dalam bentuk koordinat polara) Nilai penyelesaian atau mutlaknya, Perluasan atau bukti, (radians)Kemudian Hasilnya juga dapat ditulis sebagai atau, menggunakan rumus eulers,yGambar 4600x2b) (radians)Kemudian y55460x-5Gambar c) (radians)Kemudian yx2Gambar d) (radians)Kemudian yx-3Gambar Grafikkan dari setiap bagian berikut:dapat direfresentasikan secara grafik dengan OP di gambar dibawah ini.Jika kita memulai dengan vektor OA yang besaranya adalah 6 dan yang mana arahnya adalah , kita dapat memperoleh OP dengan merotasikan OA berlawanan dengan arah jarum jam melalui sudut 2400. Secara umum sebanding dengan vektor yang diperoleh dengan merotasikan atau memutar vektor yang besaranya r dengan arah axis positif, bergerak berlawanan melalui sudut .Halaman 15 Nama : Leo marwan NPM : 2091000210059 Jurusan: Matematika, 2009. BBILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS y y y 2400 6 p x 4 o 2 A OA 1080 450 p b o x 2 P Gambar 1-26 Gambar. 1-27 Gambar. 1-28(b) Diwakili oleh pada gambar diatas.1 Bilangan kompleks ini dapt dirpesentasikan oleh vector OP pada gambar. Diatas 1-28 vektor ini dapat diperolah dengan memulai dengan vector OA. Yang besarnya adalah 2 dan yang arahnya adalah bahwa dari sumbu X positif, dan memutarnya berlawanan itu memulai sudut -450 (yang sama dengan memutar secara jarum jam melalui sudut 450).18. seorang pria perjalanan 12 mil timur laut, 20 mil barat 300 dari utara, B y dan kemudian 18 mil 600 selatan barat, menentukan (a) secara analitik 60o 20 dan (b) grafis seberapa jauh dan kearah mana ia adalah dari titik tolak 18 30o nya. C 12 A (a). Analitis. Biarakan o menjadi titik awal (lihat gambar 1-29). Maka perp- 45o x Indahan berturut-turut diwakili oleh vector OA,AB dan BC, hasil dari ke- o Tiga perpindahan diwakili oleh vector.Kemudian Sehingga orang itu adalah 14,7 mil dari titik tolaknya dalam arah 135o49,-90o= 45o49, barat utara.(b) grafis , menggunakan unit yang nyaman panjang seperti PQ dalam ambar 1-29 yang mewakili 2 mil, Dan busur derajat untuk mengukur sudut, membangun vektor OA,AB dan BA kemudian dengan menentkan jumlah unit di OC dan sudut yang membuat OC dengan sumbu V, kita memper oleh hasil perkiraan (a)DE MOIVRES TEOREMA Halaman 16(b) Pada syarat-syarat rumus Euler , hasilnya menyatakan bahwa jika maka dan .20. Buktikan teorema De Moivres : dimana adalah bilangan bulat positif.Kita gunakan prinsip induksi matematika. Menganggap bahwa hasilnya benar untuk bilangan bulat positif khusus , yaitu menganggap kemudian kalikan kedua sisi dengan , kita dapatkan menurut soal no.19. Jika benar untuk maka benar untuk Tetapi sejak hasilnya jelas benar untuk , maka pasti benar untuk dan , dst., dan pasti benar untuk semua bilangan bulat positif.21. Buktikan identitas : (a) (b) Kita menggunakan rumus Binomial Dimana koefisien , juga dinyatakan dengan , yang disebut koefisien binomial. Bilangan atau , didefinisikan sebagai hasil dan kita definisikan Dari soal no.20, dengan , dengan rumus binomial, = Maka(a) dan(b) atau dengan 22. Tunjukkan bahwa (a) (b) Kita mempunyai (1) (2) Halaman 17 (a) Tambahkan (1) dan (2) atau (b) Kurangkan (2) dari (1) atau 23. Buktikan identitas (a) ,(b) (a) (b) 24. Diberikan bilangan komplek (vektor) z, mengartikan secara geometri dimana bilangan real. Misal menggambarkan garis vector di gambar 1-30. Kemudian Adalah vector yang diwakili oleh OB. Maka perkalian vector oleh sebesar putaran yang berlawanan dari sudut . Gambar 1-30 Kita dapat mempertimbangkan sebagai penghubung yang bertindak pada untuk menghasilkan rotasi ini. 25. Buktikan : 26. Evaluasi soal-soal berikut : (a) (b) (c) Metode lain : Halaman 1827. Buktikan bahwa (a) (b) menyatakan kondisi yang sesuai validitas. Biarkan, a) Sejak b) Sejak Karena ada nilai yang mungkin banyak , kita hanya dapat mengatakan bahwa kedua belah pihak dalam kesetaraan di atas adalah sama untuk beberapa nilai dari dan mereka tidak dapat memegang bahkan jika nilai-nilai utama yang digunakan. AKAR AKAR BILANGAN KOMPLEKS.28. (a )Temukan semua nilai dari , dimana dan (b) tempatkan atau masukkan nilai ini dalam bidang kompleks.a) Dalam bentuk polar, Biarkan Oleh karena itu, Dengan mempertimbangkan serta nilai-nilai negatif, -1, -2, ..., pengulangan dari lima nilai di atas diperoleh. Oleh karena itu ini adalah satu-satunya solusi atau akar dari persamaan yang diberikan. lima akar ini disebut " lima akar dari 32 dan secara kolektif ditunjukkan dengan Pada umumnya, mewakili Akar ke-" " dari dan . Dan terdapat akar. b) Nilai-nilai z seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 1-31. mencatat bahwa mereka memiliki jarak yang sama disepanjang keliling lingkaran dengan pusatnya di titik pusat dan jari-jari 2. Atau dengan kata lain dapat dikatakan bahwa, akar - akar diwakili oleh titik- titik dari poligon yang beraturan. y Z2Z1 3/5 Z3/5 x7/59/5Z5 Z4 Gambar 1-3129. Temukan akar akarnya dan posisikan akar akar tersebut dalam grafik.a) Semua akar akar ini dapat terlihat pada grafik 1-32. y 11/12Z1 Z2/4 x 19/12 Z3 Gambar 1-32.Halaman 19(b) Hal ini direpresentasikan dan ditunjukkan secara grafis dalam gambar 1-33.y 19/24 7/24 31/24 x 43/24Gambar 1-3330. Menemukan akar kuadrat dari Metode 1. Maka akar kuadrat dari adalah dan Sekarangkarena Q adalah sudut di kuadran ketiga adalah sudut di kuadran kedua. maka dan sebagainya dari (1) dan (2 ) akar kuadrat yang dibutuhkan adalah dan Sebagai catatan untuk pembuktian Metode 2.Jadikan, dimana p dan q adalah bilangan real, dan merupakan akar kuadrat yang diperlukan. Maka; menggantikan dari (4) ke (3), menjadi . Ketika p adalah bilangan real, dari (4) jika , , dan jika , dengan demikian akar akarnya adalah - 1 + 4i dan 1 - 4i. PERSAMAAN POLYNOMIAL .31. Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut : Menukar C dan membaginya dengan Masing masing ruas dijumlahkan dengan (kuadrat sempurna)Sehingga, Menggambil akar kuadrat, Oleh karena itu, 32. Selesaikan persamaan kuadrat berikut : Dari soal nomor 31, diketahui : Sehingga penyelesaiaannya adalah sebagai berikut : Menggunakan fakta bahwa akar kuadrat dari adalah (lihat soal no.30). Ini ditemukan untuk memenuhi persamaan yang diberikan.Halaman 20TUGAS AKHIRNama : Theobaldus B. NdarungKelas : Matematika 2009BFakultas : FPIEK33. Jika bilangan rasional nyata (dimana dan tidak mempunyai faktor umum,kecuali berada dalam batas terenda), persamaan polynomial ordimana adalah bilangan bulat,menunjukan bawah dan harus menjadi faktor dari dan dengan masing-masing Subtitusi dalam pemberian persamaan dan pengalihan oleh dari hasil Pembagian oleh dan memindakan batas akhir Mulai dari sisi kiri adalah billangan bulat,begitu juga pada sisi kanan.tetapi tidak mempunyai faktor umum dengan jadi itu tidak bisah di bagi dan harus dibagi .begitu juga pada pembagian oleh dan perkalian nilai utama,kta menemukan bahwa harus dibagi 34. Selesaikan Faktor integral dari 6 dan -10 adalah masing-masing dan oleh karena itu dengan soal no 33 mungkin penyelesaian bilangan rasional adalah Dengan percobaan kita menemukan bahwa dan adalah penyelesaian,jadi bilangan polynomial merupakan faktor dari ,faktor lain menjadi seperti penemuan pada bagian lama. Oleh karena itu : .Penyelesaiannya dari (lihat no 31).,kemudian penyelesaiannya adalah 35. Buktikan bahwa jumlah dan hasil dari semua akar dari dimana ,jika dan dengan masing-masing.jika merupkan akar.persamaannya dapat dituis dalam bentuk faktor dibawah ini:Persamaan diatas langsung menujukan bawah itu di ikuti bawah dandari sebagai syarat.36. Jika adalah akar dari dimanadan adalah bilangan real,buktian bawah juga merupakan sebuah akar.Misalkan dalam bentuk polar. Ya memenui persamaan ini : ambil konjungsi kedua bagian . Kita lihat bawah juga merupakan sebuah akar yang hasilnya tidak tetap. Jika bukan sebuah bilangan real (lihat no 32).Teorema ini sering dinyatakan dalam bentuk pernyataan; 0 merupakan sebuah polynomial dengan koefisien bilangan real terjadi dalam konjungsi berpasangan.Halaman 21Kristina Nasa Halaman 2242. C(x2,y2)yCarilah luas segitiga yang titik titik sudut di , , dan .Z1Z2A(x1,y1)B(x2,y2)x0Gambar 1-35Vector dari C ke A dan B [ gambar 1-35 ] berturut turut adalah sebagai berikutSejak luas segitiga dengan sisi dan adalah setengah luas jajaran genjang yang sesuai, ini tidak sesuai dengan no 41:Luas dari segitiga dalam bentuk determinan.KOORDINAT KOORDINAT KONJUGAT BILANGAN KOMPLEKS43. Tunjukkan setiap persamaan dalam hal konjugasi koordinat : (a) , (b) .42. Sejak , , , . Sehingga menjadi atau .Persamaan merupakan garis lurus pada bidang .43. Metode 1. Persamaannya adalah atau .Metode 2. Gantikan , pada untuk memperoleh .Persamaan itu merupakan lingkaran pada bidang dari radius 6 dengan pusat pada titik asal.44. Buktikan bahwa persamaan dari setiap lingkaran atau garis pada bidang dapat ditulis sebagai dimana dan adalah konstanta nyata, sementara dapat berupa sebuah konstanta kompleks.Persamaan umum lingkaran pada bidang dapat ditulisyang pada konjugasi koordinat menjadi atau Sebutkan , dan , mengikuti hasilnya.Dalam kasus khusus , lingkaran berubah menjadi garis.HIMPUNAN TITIK45. Diberikan himpunan titik atau secara singkat . (a) Apakah dibatasi? (b) Apakah titik batasnya, jika ad? (c) Apakah tertutup? (d) Apa interior dan titik batas? (e) Apakah terbuka? (f) Apakah tersambung? (g) Apakah daerah terbuka atau daerah asal? (h) Apa penutupan ? (i) Apakah komplemen dari ? (j) Apakah dapat dihitung? (k) Apakah tersusun rapat? (l) apakah akhir tersusun padat?a) dibatasi karena untuk setiap poin in , [sebagai contoh], yaitu semua titik S terletak di dalam lingkaran berjari-jari 2 dengan pusat pada titik asal.b) Karena setiap lingkungan yang dihapus dari berisi titik , titik batasnya adalah . Itu adalah hanya titik batas.Halaman 23Perhatikan bahwa karena S dibatasi dan tak terbatas teorema Weelerstrass-Bolzano memprediksi setidaknya satu titik limit.a) S tidak tertutup karena titik limit z = 0 bukan S.b) Setiap lingkungan dari setiap titik i/n [yaitu setiap lingkaran dari radius dengan pusat di i/n] berisi titik yang termasuk ke S dan titik yang bukan S. Jadi setiap titik S, dan juga titik z = 0, adalah titik batas. S tidak memiliki titik interior.c) S bukan termasuk titik interior. Karena tidak dapat terbuka. Dengan demikian S adalah tidak terbuka atau tertutup.d) Jika kita gabungkan dua titik S melalui jalan poligonal, ada titik pada jalan ini yang bukan S. Jadi S tidak tersambung.e) Karena S bukan himpunan terhubung terbuka, mak S bukan merupakan wilayah terbuka atau domain.f) Yang tertutup dari S termasuk himpunan S bersama dengan limit titik nol, yaitu {0, i, 1/2 i, 1/3 i, ...}.g) Yang komplemen dari S adalah himpunan semua titik yang bukan S, yaitu semua titik z i, 1/2 i, 1/3 i, ...h) Terdapat korespondensi satu-satu antara unsur-unsur dari S dan bilangan asli 1,2,3, ... seperti yang ditunjukkan di bawah ini.a. ....i) j) Maka S dapat dihitung.k) S dibatasi tetapi tidak tertutup. Oleh karena itu tidak kompak.l) Yang tertutup dari S merupakan dibatasi dan ditutup serta kompak juga.46. Diketahui himpunan titik , , . Tentukan (a) A + B atau A B, (b) AB atau A B, (c) AC atau A C, (d) A (B + C) atau A (B C), (e ) AB + AC atau (A B) (A C), (f) atau A (B C).a. A + B = A B terdiri titik-titik yang termasuk salah satu titik dari A dan B atau keduanya dan hasilnya ,b. AB atau A B terdiri titik-titik yang termasuk dari kedua titik A dan titik B dan hasilnya { }.c. AC atau A C = {3}, yang terdiri dari hanya anggota 3.d. atau B .Oleh karena itu A (B + C) atau A (B C) = {3, }, terdiri dari poin milik A dan B + C.a. AB = { }, AC = {3} dari bagian (b) dan (e). Oleh karena itu .Dari hasil ini dan (d) kita ketahui bahwa A (B + C) = AB + AC atau A (B C) = (A B) (A C), yang menggambarkan bahwa A, B, C memenuhi hukum distributif. Kita dapat menunjukkan bahwa himpunan yang menunjukkan banyak sifat-sifat aljabar berlaku dalam bilangan-bilangan. Hal ini sangat penting dalam teori dan aplikasi.b. BC = B C = , himpunan nol, karena tidak ada titik yang sama dari kedua titik B dan titik C. Oleh karena itu A (BC) = juga. MASALAH LAIN-LAIN47. Suatu bilangan disebut bilangan aljabar jika bilangan itu adalah solusi dari persamaan polinomial dimana adalah bilangan bulat. Buktikan bahwa dan adalah bilangan aljabar. atau . Dikuadratkan, atau . Dikuadratkan lagi, or , suatu persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat yang memiliki sebagai akar. Oleh karena itu adalah bilangan aljabar.(b) Misalkan atau . Dipangkat tiga, atau . Dikuadratkan, , suatu persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat yang memiliki sebagai akar. Oleh karena itu adalah bilangan aljabar. Bilangan yang bukan aljabar, i,e. tidak memenuhi setiap persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat, disebut bilangan transendental. Hal ini telah dibuktikan bahwa angka-angka = 3,14159... dan adalah transendental. Namun, masih belum diketahui apakah bilangan seperti e atau e + , contoh transendental atau tidak.Halaman 24BILANGAN KOMPLEKS48. Menyatakan grafik himpunan dari nilai z untuk (a) | | = 2, (b) | < 2(a) Diberikan persamaan ekuivalen dengan atau jika z = x + iy, 2 ekuivalen denganDengan mengkuadratkan dan menyederhanakan, Menjadi menjadi lingkaran berjari-jari 4 dengan pusat di (-5,0) seperti yang ditunjukkan pada gambar, 1 - 36 Gambar 1 - 36Secara geometri, setiap titik P pada lingkaran ini sedemikian sehingga jarak dari P ke titik B (3,0). dua kali jarak dari P ke titik A (-3,0). Metode lain| = 2 adalah ekuivalen dengan Menjadi (z + 5)( + 5) = 16 atau |z + 5 | = 4(b) Diberikan pertidaksamaan ekuivalen dengan |z 3| < 2 |z + 3| atau Dengan mengkuadratkan dan menyederhanakan, menjadi > 0 atau 16 diperoleh |z + 5 | > 4Himpunan yang didapat terdiri dari semua titik eksternal untuk lingkaran Gambar 1-36.49. Diberikan himpunan A dan B yaitu |z - 1 | < 3 dan |z 2i | 4,(d) + < 10.74.menunjukkanbahwaelips+ =10 dapatdinyatakandalampersegipanjangdari + = 1 (lihatmasalah 13(b).AKSIOMA DASAR DARI BILANGAN KOMPLEK75. menggunakandefinisibilangankomplekssebagaipasanganbilangan real untukmembuktikanbahwajikaprodukdariduabilangankompleksadalahnolmakapadaterakhirdarinomorharussamadengan nol.76. buktikanhukumkomutatifberkenaandengan (a) penjumlahan, (b) perkalian.77. buktikanhukumasosiatifberkenaandengan (a) penjumlahan, (b) perkalian.78.(a) caribilangan real x dan y sedemikiansehinga (c,d).(x,y) = (a,b) di mana (c,d) (0,0). (b)bagaimanacara (x,y)terkaitdenganhasilnyauntukpembagianbilangankompleksdiberikan di halaman 2 ?79. buktikanbahwa,sin),sin),sin) = ,)80. (a) bagaimanaandamendefinisikan di mana n adalahbilanganbulatpositif ? (b) tentukandalam bentuk a dan bBENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS81.nyatakansetiapbilangankompleksberikutdalambentuk polar(a) 2-2, (b) -1+, (c) 2 + 2, (d) -, (e) -4, (f) -2, (g) , (h) - .Jawaban. (a) 2 , (b) 2 , (c) 4, (d) , (e) 4, (f) 4 , (g) , (h) 82. tunjukanbahwa 2 + = .83. nyatakandalambentuk polar (a) -3-4, (b) 1-2Jawaban. (a) 5, (b) 84. gambargrafiksetiaphalberikutdantunjukkandalambentukpersegipanjang.(a) 6 (), (b) 12 (c) (d), (e) ), (f) 3.Jawaban.-3 + 3, (b) 12, (c) 2 - 2, (d) -2- 2, (e) -5 + (, (f) -3-85.sebuahperjalananpesawat 150 km sebelahtenggara, 100 km barat, 225km utara 30 timur, dankemudiantimurlaut 323km. tentukan (a) secaraanalitisdan, (b)secaragrafisseberapajauhdankearahmanaitudarititikawal. Jawaban . 375km, 23utaradaritimur (sekitar)86. tigagayasepertipadagambar. 1-41 seumpamasebuahpesawatpadaobjekditempatkan di O. tentukan (a) secaragrafisdan (b) gayasecaraanalitisapa yang dibutuhkanuntukmencegahobjektersebutbergerak. [gayainisering kali disebut equilibrant .]87. buktikanbahwapadalingkaran, = 88. (a)buktikanbahwa + = di mana= ) (b) samaratakan hasil di (a)Halaman 28Nama : Antonius isakNPM : 2091000210062Jurusan : Pendidikan Matematika 2009 BTugas : Analisis Variabel KompleksBILANGAN KOMPLEKS 28TEOREMA DE MOIVRES89. evaluasikan setiap soal dibawah ini: 90. Buktikan bahwa 91. Buktikan bahwa solusi-solusi dari 92. Tunjukan bahwa 93. Buktikan bahwa 94. Buktikan theorema De moivres AKAR-AKAR DARI BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS95. Carilah setiap akar-akar indikasi dan letak grafiknya96. carilah semua akar-akar indikasi dan letaknya dalam bidang kompleks97. Selesaikan persamaan persamaan 98. Carilah akar-akar persegi dari 99. Carilah akar-akar kubus dari -11-2i PERSAMAAN-PERSAMAAN PANGKAT BANYAK100. Selesaikan persamaan-persamaan dibawah ini, berlaku semua akar-akar :101. selesaikan 102. Carilah semua akar-akar dari letaknya dalam bidang kompleks103. Buktikan bahwa jumlah akar-akar dari dimana ambilkan pada perkalian dimana .104. Carilah dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya 4 dan jika dikalikan hasilnya 8.Halaman 29Halaman 30120.Jawablah pertanyaan no 118 jika S adalah himpunan semua titik didalam atau diuar persegi.Jawab. (a) Ya. (b) setiap titik pada S adalah limit point. (c) Ya. (d) Semua titik didalam persegi adalah titik bagian dalam persegi (interior point), ketika semua titik pada batas persegi disebut titik batas (boundary point). (e) tidak. (f) Ya. (g) tidak. (h) S itu sendiri. (i) semuat titik diluar persegi. (j) Tidak. (k) Ya. (l) Ya.121.Diberikan himpunan titik-titik A = {1,i,-i}, B = {2,1,-i}, D = {0,-i,1}.Carilah:(a).A + (B+C) atau A, (b) AC + BD atau ( A (B D),(c) (A + C) (B + D) atau (A C) (B D).Jawab.(a) {2,1,-i,i,1+i}, (b) {1,i,-i}, (c) {1,-i}122.jika A< B< C dan D adalah titik-titik sembatrang, buktikan bahwa: (a) A + B = B + A, (b) AB = BA, (c) A + (B+C) = (A + B) + C, (d) A(BC) = (AB)C. (e) A (B + C) = AB + AC. Gunakan notasi dan untuk notasi-notasi ekuivalen. Diskusikan bagaimana notasi ini bisa digunakan untuk mendefinisikan himpunan-himpunan aljabar.123.Jika A,B dan C adalah himpunan semua didefinisikan sebagai z + i 3, z, z + 1, gambarkan secara grafis masing masing titik berdasarkan(a) A (b) A (C) A, (d) (A (e) AB + AC + CA, (f) A + B + C.124.Buktikan bahwa komplemen dari himpunan S adalah terbuka atau tertutup menurut definisi bahwa S tertutup dan S terbuka.125.Jika , adalah himpunan-himpunan terbuka, buktikan bahwa+ adalah terbuka126.jika sebuah limit point adalah himpunan yang tidak termasuk pada himpunan, buktikan bahwa limit point tersebut haruslah sebuah titik batas dari himpunan.BERBAGAI MACAM PERMASALAHAN127. diberikan sebuah jajar genjang ABCD. Buktikan bahwa + = + + + .128.jelaskan pendapat yang keliru dibawah ini:-1 = = = = 1. Sehingga 1 = -1.129. (a) Tunjukan bahwa persamaan + + z + = 0 dimana adalah konstanta konstanta real yang berbeda tidak 0, akan mempunyai akar akar imajiner jika + = .(b) apakah konvers dari (a) ada ?130. (a) Buktikan bahwa: = Dimana = jika n adalah genap(b) Perolehlah hasil yang sama untuk .131. Jika z = 6, tentukan . Jawab. 132. Tunjukan bahwa untuk setiap bilangan real p dan m, = 1.133. Jika P adalah persamaan polinomial didalam z dan koefisien koefisiennya real134.jika , dan kolinear, buktikan bahwa konstanta bilangan real , , , dan semuanya tidak 0 sedemikian sehingga + + = 0 dimana + + = 0135. Diberikan bilangan kompleks z, gambarkan secara grafis (a) , (b) z, (c) , (d) .135. diberikan dua bilangankompleks yang berbeda dan dan tidak sama dengan 0, tunjukan bagaimana menggambar secara grafis hanya menggunakan penggaris dan busur (a) , (b) , (d) , (e) .137. Buktikan bahwa sebuah persamaan untuk sebuah garis yang melalui titik dan titik adalahArg = 0138. jika z = x + iy, buHalaman 31139 . Apakah sebaliknya untuk pertanyaan 51 benar?jelaskan jawaban Anda?140 . Tunjukan persamaan untuk lingkaran yang melalui titik-titik 1 - i, 2i, 1+ i.Jawaban. 141 . Tunjukkan bahwa lokus dari z sedemikian sehingga a> 0 adalah lemniscate sebagai pertunjukan pada Gambar. 1.43 x Gambar 1.43 142 . Misal pn = a2n b2n, n = 1,2,3, ... di mana an dan bn adalah bilangan bulat positif. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif M kita akan dapat menunjukan bilangan bulat positif A dan B yang seperti p1p2 ... pM = B2 + A2. (Contoh: Jika ) 143 . Buktikan bahwacossin 144 . Buktikan bahwa (a) Re {z}> 0 dan (b) adalah pernyataan yang setara!145 . Sebuah roda dengan jari-jari 1,2 meter (Gambar 1,44) yang berputar berlawanan terhadap suatu sumbu melalui pusat di 30 putaran per menit.(a) Tunjukkan bahwa posisi dan kecepatan dari setiap titik P pada waktu dalam detik pada saat P pada sumbu x positif.(b) Cari posisi dan kecepatan saat t = 2/3 dan t = 15/4 y1.2m Px Gambar 1.44146 . Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan bulat, } merupakan hasil dari faktor-faktor dari k = 1 untuk m-1147 . Jika titik-titik P1 dan P2, yang diwakili oleh z1 dan z2 masing-masing adalah seperti Buktikan bahwa (a) z1/z2 adalah bilangan imajiner sejati, (b) 148 . Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat m> 1, 149 . Buktikan dan generalisasi:150 . Jika massa m1, m2, m3 berada pada titik masing-masing z1,z2,z3 ,buktikan bahwa pusat massa diberikan oleh = Generalisasikan untuk massa n.151 . Cari titik pada garis yang menghubungkan titik z1 dan z2 yang membaginya dalam rasio p:qJawaban. 152 . Tunjukkan bahwa persamaan untuk lingkaran yang melewati 3 titik, diberikan olehHalaman 32SOAL HALAMAN : 32BILANGAN KOMPLEKS153. Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dengan simpul di berpotongan dititik 154. Buktikan bahwa bilangan rasional antara 0 dan 1 dapat di hitung (hint. Susunan angkanya sebagai berikut )155. Buktikan bahwa semua bilangan rasional dapat dihitung.156. Buktikan bahwa bilangan irasional antara 0 dan 1 tidak dapat dihitung.157. Mewakili secara grafis nilai z, yang mana untuk (a) (b) 158. Tunjukan bahwa (a) dan (b) bilangan aljabar159. Buktikan bahwa adalah bilangan irasional160. ABCD....PQ merupakan poligon reguler sisi n inseribed dalam lingkaran berjari jari satuan. Buktikan bahwa produk dari panjang diagonal AC, AD,.....AP adalah 161. Buktikan bahwa sin (a)(b) 162. Buktikan 163. Jika produk dari dua bilangan kompleks adalah bilangan real dan tidak sama dengan nol, buktikan bahwa p bilangan real sehinga164. Jika z adalah setiap titik pada lingkaran . buktikan bahwa arg dan berikan interprestasi geometris.165. Buktikan bahwa dibawah pembatasan cocok (a) (b) 166. Buktikan (a) (b) 167. temukan bidang poligon dengan simpul Ans. 168. beberapa bilangan kompleks. Buktikan ketidaksamaan Schwarz `sHalaman 33BAB 2FUNGSI, LIMIT, dan KONTINUITASVARIABEL DAN FUNGSILambang z, yang dapat menjelaskan sembarang himpunan bilangan kompleks disebut variabel kompleks.Jika setiap nilai variabel kompleks z berpasangan satu atau lebih nilai variabel kompleks w, dapat dikatakan w adalah fungsi z dan ditulis w = f(z) atau w = G(z), dan lainnya. Variabel z terkadang disebut variabel bebas, sedangkan w disebut variabel terikat. Nilai fungsi pada z = a sering dituliskan f(a). Demikian jika f(z) = z2, kemudian f(2i) = (2i)2 = -4.FUNGSI TUNGGAL DAN GANDAJika hanya satu nilai w berpasangan pada setiap nilai z, dapat dikatakan w merupakan fungsi tunggal z atau f(z) merupakan fungsi tunggal. Jika lebih dari satu nilai w berpasangan pada setiap nilai z, dapat dikatakan w merupakan fungsi ganda z.Fungsi ganda dapat diartikan sebagai kumpulan fungsi tunggal, setiap anggotanya disebut cabang fungsi. Ini lazim untuk mengartikan satu anggota bagian sebagai cabang utama fungsi ganda dan nilai fungsi memasangkan ke cabang sebagai nilai utama.Contoh 1 :Jika w = z2, kemudian setiap nilai z hanya ada satu nilai w. Maka w = f(z) = z2 merupakan fungsi tunggal z.Contoh 2 :Jika w = z1/2, kemudian setiap nilai z terdapat dua nilai w. Maka w = f(z) = z1/2 merupakan fungsi ganda z (terdapat dua nilai).Sewaktu-waktu kita berbicara fungsi yang kita dapat, kecuali sebaliknya, menganggap fungsi tunggal.FUNGSI INVERSJika w = f(z), kemudian dapat juga diartikan z sebagai fungsi w, dituliskan z = g(w) = f -1 (w). Fungsi f -1 sering disebut invers fungsi memasangkan ke f. Demikian w = f(z) dan w = f -1 (z) merupakan fungsi invers yang lainnya.TRANSFORMASIJika w = u + iv (dimana u dan v real) merupakan fungsi tunggal z = x + iy (dimana x dan y real), dapat ditulis u + iv = f(x +iy). Dengan menyamakan bagian real dan imajiner agar menjadi ekuivalen padau = u(x, y), v = v(x, y)(1)Demikian diberikan titik (x, y) pada bidang z, misal P pada gambar 2-1 di bawah ini, berpasangan titik (u, v) pada bidang w, yaitu P pada gambar 2-2 di bawah ini. Himpunan persamaan (1) [atau ekuivalen, w = f(z)] disebut transformasi. Kita dapat katakan bahwa titik P dipetakan ke titik P dengan transformasi dan P bayang-bayang P.Halaman 34FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUANContoh: jika dan transformasi adalah . Bayangan adalah d pada bidang .YYQQPPXX Gbr.2-1Gbr.2-2Secara umum, transformasi dibawah satu titik seperti pada kurva dari Gbr.2-1 dipetakan ke dalam korepondensi satu-satu, seperti pada kurva di Gbr.2-2. Karakteristik tertentu dari gambar atau tergantung pada jenis fungsi yang terkadang disebut fungsi pemetaan. Jika adalah fungsi banyak, titik (atau kurva) di bidang dipetakan dari titik (atau kurva) di bidang KOORDINAT KURVA LINEARMengingat transformasi atau, sama kita sebut pada koordinat persegi panjang sesuai dengan Point di bidang koordinat kurva linear . p V=q1W planev.PU Kurva dimana dan adalah konstanta, disebut [lihat Gbr.2-3] dan setiap pasangan kurva ini memotong di suatu titik. Kurva ini memetakan ke lini saling ortogonal pada bidang w [lihat Gbr. 2-4].Halaman 35FUNGSI, LIMIT DAN CONTINUITY (35) Fungsi al jabar rasional di artikan (3)Dimana P(z) dan Q(z) adalah polynomial.kita kadang menyebut(s) sebuah rasional transformasi.Bentuk aslinya dimana ad-bc0 sering di sebut liniar atau fransional liniar transformasi. Fungsi al jabar di difisinikan sebagai (4)Dimana e=2.71828..bentuk asli dari logaritme.jika a nyata dan positof,kita membagi dimana di dalam logaritme dari a.menghasilkan untuk (4)jika a=eFungsi al jabar complek mempunyai kesamaan properties/sifat dengan fungsi al jabar nyata, Fungsi trigonometri.kita mengartikan trigonometri/fungsi circular sin z,cos z, sebangaimana fungsi al jabar berikut Banyak kemiripan sifat dalam bentuk trigonometri nyata juga mengandung persamaan fungsi dengan trigonometri complek. contoh kita miliki Fungsi hyperbolic di artikan sebagai berikut Sifat berikut properties NAMA: SALIMNPM: 2091000210038JURUSAN: PEND.MATEMATIKAANGKATAN: 2009Halaman 36FUNGSI,LIMIT-LIMIT DAN KONTINUANBerikut ini relasi relasi di luar antara trigonometri atau fungsi lingkaran dan fungsi hiperbolik.6. fungsi logaritmaJika ,kemudian kita tulis ,disebut logaritma biasa dari z. fungsi logaritma natural adalah invers dari fungsi eksponensial dan dapat di defenisikan sebagai invers dari pada fungsi eksponensial dan dapat kita defenisikan sebagai: Dimana . Bahwa ln z adalah sebuah fungsi nilai banyak.itu nilai terpenting atau cabang terpenting dari ln z adalah waktu sementara dengan defenisi ln r + i dimana . Fungsi logaritma dapat kita defenisikan sebagai dasar yang nyata daripada e. jika kemudian dimana dan . Sejauh ini kotak dan /(ln ).7. fungsi trigonometri invers Jika z =sin w dimana w =sin adalah Invers sinus (sine) dari z atau arc sin dari z.kita dapat mendefenisikan bahwa invers trigonometri atau fungsi lingkaran cosdan seterusnya. kemudian fungsi,akan mempunyai nilai banyak, dapat di sebut di dalam fungsi logaritma berikutnya. Di dalam semua kita menyebutkan konteks penjumlahan di dalam logaritma.sin z = ln ( iz + = ln ) cosz = ln ( z +) secz = ln ( ) tanz = ln ) cotz = ln8. fungsi hiperbola inversJika z = sinh dimana = sinh adalah mendefenisikan hiperbola invers dari sinus (sine) z. kita defenisikan semua fungsi hiperbola invers cosh-1z, tanh-1z dan seterusnya.kemudian fungsi akan memiliki nilai banyak, dapat di sebut di dalam logaritma biasa sebagai berikut. Di dalam semua kotak kita menghilangkan konteks penjumlahan di dalam logaritma. Sinh z = ln ( z +) cschz = ln () Cosh z = ln ( z +) sechz = ln ( ) Tanh z = ln ) coth z = ln ) 9 fungsi z dimana bilangan komplek,adalah defenisi daripada e .jika f (z) dan g (z) memberikan dua fungsi dari z ,kita dapat mendefenisikan bahwa f (z) = e . sacara umum bahwa fungsi mempunyai nilai banyak . 10. aljabar dan fungsi transsendentalJika w adalah sebuah solusi dari pertayaan dari polonomial maka: .dimana dimana polonomial-polonomial di dalam z dan n adalah hitungan positif kemudian adalah mendefenisikan fungsi aljabar dari z.Misalkan: adalah sebuah solusi dari pertanyaan w2-z = 0. Dan ini adalah fungsi aljabar dari zHalaman 37FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUANSetiap fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai sebuah penyelesaian dari (6) disebut sebagai fungsi transedental. Fungsi logaritma, trigonometri dan hiperbola dan invers korespondensi adalah contoh dari fungsi transedental.Fungsi-fungsi yang disebutkan pada 1-9 diatas, bersamaan dengan fungsi-fungsi turunannya oleh bilangan berhingga dengan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan akar disebut sebagai fungsi dasar.TITIK CABANG DAN GARIS CABANGMisal kita diberikan fungsi . Misalkan lebih jauh lagi kita memperbolehkan untuk membuat suatu lintasan yang lengkap (berlawanan arah jarum jam) di sekitar titik asal A . Kita mempunyai jadi A, dan . Setelah lintasannya lengkap kembali pada A dan . Maka kita tidak dapat Bagaimanapun, dengan membuat lintasan terhadap kedua kembali ke A, misalnya . dan kemudian kita memperoleh nilai yang sama dengan apa yang ada pada awal kita mulai.Kita dapat mendeskripsikan hal diatas dengan menyatakan bahwa kita berada pada satu cabang dari fungsi nilai ganda , sementara jika kita berada pada cabang fungsi yang lain.Ini jelas bahwa setiap cabang dari fungsi tersebut bernilai tunggal. Untuk menjaga fungsi bernilai tunggal, kita mengadakan sebuah rintangan buatan seperti halnya OB dimana B adalah pada tidak terbatas [meskipun beberapa garis lain dari O dapat digunakan] yang mana kita setujui untuk tidak melaluinya . Rintangan ini [digambarkan tebal dalam gambar] disebut garis cabang atau potongan cabang dan titik O disebut titik cabang. Perlu dicatat bahwa sebuah lintasan disekitar semua titik kecuali tidaklah menuju ke nilai yang berbeda; maka adalah satu-satunya titik cabang yang terbatas. bidang z 0 A B Gambar 2.5BIDANG RIEMANNAda cara lain untuk mencapai tujuan dari garis cabang yang digambarkan diatas, untuk melihat ini kita bayangkan bahwa seperti bidang yang terdiri dari dua lembaran yang diletakkan diatas satu sama lain. Kita sekarang memotong lembaran tersebut sepanjang OB dan bayangkan bahwa ujung lebih rendah dari dasar lembaran digabung dengan yang paling atas dari lembaran tersebut. Kemudian dimulai di dasar lembaran dan buat satu lintasan yang lengkap sekitar O kita sampai pada lintasan teratas. Sekarang kita bayangkan ujung potongan lainnya yang digabung bersamaan sehingga dengan melanjutkan lintasan tersebut kita pergi dari lembaran teratas menuju lembaran dasar.Kumpulan dari 2 lembaran yang disebut bidang Riemann menyesuaikan dengan fungsi . Setiap lembaran menyesuaikan ke sebuah cabang fungsi dan setiap lembaran fungsi adalah nilai-tunggal.Konsep bidang Riemann memiliki keuntungan dimana berbagai macam nilai dari fungsi bernilai-ganda diperoleh dari sebuah bentuk berkesinambungan/berkelanjutan.Gagasan tersebut nudah dikembangkan. Sebagai contoh, untuk fungsi bidang Riemann mempunyai 3 lembaran, untuk ln bidang Riemann mempunyai banyak lembaran tak terhingga.LIMITBiarkan dibatasi dan benilai tunggal disekitarnya dari dengan kemungkinan pengecualiaan dari sendiri (misalnya dalam penghapusan sekitar pada ). Kita menyatakan bahwa jumlahHalaman 38Kita lihat bahwa jumlah adalah limit dari f(z) dengan z pendekatan z0 dan di tulis jika untuk bilangan positif ( namun kecil) kita dapat menemukan beberapa bilangan positif (biasanya bergantung pada) sedemikian sehingga Dengan demikian kita juga mengatakan bahwa f(z) mendekati sebagai z pendekatan z0 dan di tulis f(z) sebagai zLimit tersebut harus independen dari cara dimana z mendekati z0Secara geometris, jika Z0 adalah titikpada bidangkompleks,darijika perbedaandalamnilai absolutantara f(z) danldapat dibuatsekecilkami berharapdengan memilihtitik-titk zcukupdekat denganz0(tidak termasukz =z0 ).Contoh:Misalkan f(z) ketika zsemakin dekat dengani (yaitu mendekatii), f (z)semakin dekatdengan .Dengan demikian kitamemperkirakan . Untuk membuktikanini kita harusmelihat apakahdefinisi di atas benar .Untukbukti inilihat masalah23.Perhatikan bahwa yaitu limitdari f (z) dengan zi adalahtidak sama dengannilaidari f (z) di z= i, karenaf(i) = 0 dengan definisi.Limit tersebutsebenarnya akanmenjadi-1bahkanjika f(z) tidak didefinisikandi z= iKetika limit dari suatu fungsi adalah unik,yakniadalah satu dan hanya satunya(lihatmasalah26).Jika f(z) adalahbeberapa-nilai, limit zz0mungkin tergantung padacabang tertentu.TEOREMA TEOREMA LIMIT Jika maka 1. 2. 3. 4. jika TAKTERHINGGAMelaluitransformasiw= 1 /ztitikz=0 (yaituasal)dipetakanke w=, disebut titikdi tak terhinggapada bidangw.Demikian pula kitamenunjukkandengan z=titikdi tak terhinggapada bidangz.Untuk mempertimbangkanperilakudari f (z) di z=, cukup dengan membiarkans =1 /w danmengkaji perilakuf(1 / (w)) di w= 0.Kita mengatakan bahwa atau f(z)mendekatitak terhinggaz, jika untuk setiapN >0 kitadapat menemukanm > 0 sehingga|f (z)-l| < setiap kali|z|>M.Kita katakan bahwadari f (z) mendekati tak terhinggasebagaizpendekatanz0, jika untuk setiapN >0 kitadapat menemukan > 0 sehingga|f (z) |>N dimana 0 0 seprti |f(z1) f(z2)|< yang mana z1 z2 < dimana z1 dan z2 mempunyai dua poin dari daerah.Teorema. Jika f(z) berada pada daerah tertutup, penggunaannya yaitu berlangsung di sana.URUTANFungsi dari sebuah integral variabel positif di tandai dengan f(n) atau un dimana n =1, 2, 3....disebut sebuah urutan. Urutan seperti itu merupakan pasangan dari angka-angka u1, u2, u3. . . Dalam sebuah batas pesanan dari pengaturan dan di bentuk menurut batas aturan. Masing-masing nomor pada urutan di sebut batas dan un disebut batas ke n. Urutan u1, u2, u3. . .juga ditandai dengan singkatan (un). Pada urutan disebut terbatas atau tidak terbatas sesuai dengan adanya batas angka atau tidak. Kecuali jika cara lainnya telah di tetapkan kita akan menganggap hanya batas urutan.Contoh 1: pasangan dari angka-angka i, i2, i3i100 merupakan sebuah batas urutan; pada istilah batas ke n. Yaitu pemberian dengan un = in, n=1, 2, ...100.Contoh 2 : pasangan dari angka-angka 1 + i, , merupakan sebuah batas urutan; pada istilah batas ke n. Yaitu pemberian dengan un = (1+i)n/n!, n =1, 2, 3, . . .BATAS DARI URUTANAngka l di sebut limit dari batas urutan u1, u2, u3. . . jika untuk angka yang positif kita dapat menemukan sebuah angka positif tergantung pada N seperti itu | untuk semua n > N. Seperti dalam kurung kita menulis jika limit dari sebuah urutan ada,pada urutan di sebut konvergen; atau cara lainnya itu di sebut divergen. Sebuah urutan dapat konvergen hanya untuk satu limit jika sebuah limit itu tidak berbanding.Suatu yang lebih intiutif hanyalah cara unrigorous dari gambaran konsep ini pada limit menyatakan bahwa sebuah urutan u1, u2, u3. . . mempunyai sebuah limit l jika memperoleh batas-batas urutansemakin dekat dan semakin dekat untuk l. Ini sering digunakan untuk menyiapkan sebuahkemungkinan sebagai nilai dari limit, yang mana pada devinisi telah diterapkan untuk melihat jika kemungkinan benar.TEOREMA PADA LIMIT DAN URUTANSelanjutnya diskusikan salah satu urutan pada BAB 6Jika = A dan Jika = B, lalu1. + bn = = A + B2. - bn = = A - B3. . bn = = A B4. = = jika B # 0RANGKAIAN TAK TERHINGGAmisalkan u1, u2, u3. . . .menjadi salah satu urutan.Bentuk urutan baru , , dibatasi oleh = = + , = + + . . . , = + + . . . ,+ Dimana disebut batas bagian penjumlahan, pada penjumlahan dari n batas pertama dari urutan{ un}.Halaman 41Tugas UAS Menerjemah Hal. 41Urutan disimbolkan dengan Yang disebut dengan urutan tak tentu apabila maka disebut dengan Konvergan dan S sebagai jumlah. Maka urutan-urutan sebaliknya disebut Divergan. Suatu keadaan dimana suatu urutan berkumpul adalah Namun pembahasan ini belum lengkap (lihat hal.40 & 150)Pembahasan selanjutnya dari urutan tak tentu ini disajikan pada bab 6.Sontoh Soal (Pemecahan Masalah)Fungsi dan transformasi1. Jika . carilah nilai W yang cocok dengan (a) dan (b) serta tunjukan korespondensinya ke dalam bentuk grafik.(a) (b) 3i)=(1-3iTitik , dicerminkan oleh titik P pada bidang z.Mempunyai titik gambar yang digambarkan dengan P.Pada bidang W dari gambar 2.7 anggap saja bahwa P dipetakan pada P dengan cara pemetaan fungsi atau transformasi Sama halnya dengan (titik Q pada gambar 2.6) dipetakan pada (titik Q pada gambar 2.7). untuk masing-masing titik pada bidang z hanya terdapat satu korespondensi pada bidang w, sehingga w adalah satu fungsi z tunggal yang terukur.2. Buktikan bahwa garis yang mengikuti titik P dan Q pada bidang z yang terdapat pada gambar 2.6 dipetakan oleh terhadap titik P Q pada gambar 2.7 serta tentukan persamaannya? Titik P dan Q mempunyai kordinat (-2,1) dan (1,-3) kemudian persamaanya adalahPersamaan P dan Q adalah Sedangkan Karena w=x+iy maka persamaannya adalah..Sehingga bisa di grafikkanHalaman 42BelumHalaman 43a. Daerah asal di z berinduksi dari sebagian bayangan di PQRS terdapat pada gambar 2-10. Daerah yang memetakan kedalam daerah yang berada pada pada P Q R S yang menunjukkan bayangan terdapat pada gambar 2-11. Yang akan ditulis pada kurva PQRSP yang dipindahkan searah jarum jam dan kurva gambar P Q R S P yang juga dipindahkan searah jarum jam.b. Daerah asal di z menunjukkan bahwa sebagian bayangan PTUVWXYZ terdapat pada gambar 2-10. Daerah yang memetakan daerah yang berada pada daerah gambar P T U V terlihat bayangan seperti terdapat pada gambar 2-11.Hal itu menarik untuk ditulis, ketika berbatasan dengan daerah PTUVWXYZ yang dipindahkan hanya sekali, batasan dari daerah pada gambar P T U V dipindahkan dua kali. Daerah itu harus dikembalikan faktanya ada delapan titik P dan W, T dan X, U dan Z di daerah asal z memetakan kedalam empat titik P atau W. T atau X, U atau Y, V atau Z berkesinambungan.Walaupun ketika batasan pada daerah PQRS dipindahkan hanya sekali , batasan dari daerah pada gambar itu juga dipindahkan hanya sekali. Berbeda jika dikembalikan faktanya pada pemindahan kurva PTUVWXYZ melingkari daerah asal z = 0. Sedangkan ketika kita memindahkan kurva PQRSP kita tidak dapat melingkari daerah asalnya.c. FUNGSI NILAI PERKALIAN6. Diberikan dan tujuannya berkorespondensi khusus titik kita mempunyai .a. Jika kita memulai dari titik ketitik sumbu z ( Lihat gambar 2-12). Membuat kelengkapan satu keliling searah jarum jam dengan daerah asalnya. Lihat nilai pada w dikembalikan pada adalah .b. Apakah nilai di w jika dikembalikan ke , setelah 2, 3,....lengkapi lintasan disekitar daerah asalnya.c. Diskusikan bagian a dan b jika dengan cara satu satunya tidak dapat menemukan daerah asalnya. a. Kita dapatkan , jadi . Jika , kemudian .Seperti menambahkan dari . Yang mana terjadi ketika kelengkapan satu keliling disekitar daerah asal yang diputar searah jarum jam, kita temukanb. Setelah lintasan disekitar daerah asal 2 lengkap, kita temukanSetelah lintasan disekitar daerah asal 3 dan 4 lengkap, kita temukanSetelah lintasan disekitar daerah asal 5 w lengkap nilai yang diperoleh adalah , jadi nilai dari daerah asal w adalah diperoleh setelah daerah asal disekitar 5 berubah. Setelah itu lingkaran diulang ( Lihat gambar 2-13 ).Cara Lain. Dimulai , kita mempunyai arg z = arg w berubah dari .Selanjutnya jika arg z ditambah tunjukkan hasil yang diperoleh sama dengan (a) dan (b).c.Jika dengan cara lain tidak dapat menemukan daerah asal, selanjutnya ditambah dengan arg z dengan 0 dan penambahan arg w selalu 0. Dalam hal ini dari w adalah . Maka pembuat angka dilintasan tidak diperoleh.Halaman 44FUNGSI, LIMIT, dan KONTINUITAS7.a) di soal sebelumnya telah dijelaskan tentang alasan mengapa kita dapat menganggap w sebagai kumpulan dari nilai tunggal dari fungsi z.b) jelaskan secara geometris tentang hubungan antara fungsi-fungsi dari nilai tunggal tersebut.c) tunjukkan secara geometris bagaimana kita dapat membatasi diri kita dengan fungsi dari nilai-nilai tunggal tertentu.(a) karena w3= rei= re (i + 2k) dimana k adalah bilangan bulat, kita memilikiDan karena w memiliki 5 nilai fungsi dari z, maka 5 nilai tersebut diberikan oleh k= 0,1,2,3,4Kita juga dapat menganggap w sebagai sebuah kumpulan dari 5 nilai fungsi yang disebut cabang dari banyak nilai fungsi, dengan cara membatasi . Oleh karena itu, contohnya, kita dapat menulisDimana kita dapat mengambil 5 kemungkinan interval untuk yang diberikan oleh ,Interval pertama adalah, yang biasanya disebut dengan jarak utama dari dan sama dengan cabang pokok dari banyak nilai fungsi.Interval lain untuk dari panjang 2 juga dapat diambil; misalnya etc, pertama-tama persamaan ini dapat diambil sebagai jarak pokok/utama.(b) kita mulai dengan cabang (utama) yang asliSetelah 1 putaran mengenai asal dari garis z telah lengkap, ditingkatkan oleh 2 untuk memberi fungsi bagi cabang lain. Setelah putaran yang lain lengkap, cabang fungsi lain masih didapatkan sampai semua dari 5 cabang tersebut telah ditemukan, setelah kita kembali pada cabang (utama) yang asli.karena nilai yang berbeda dari f(z) diperoleh dengan berturut-turut mengelilingi z=0 kita sebut z = 0 titik cabang(c) kita dapat membatasai diri kita dalam fungsi nilai tunggal tertentu, biasanya pada cabang utama, dengan menjamin bahwa tidak lebih dari 1 putaran lengkap yang dibuat, conth: membatasi dengan tepat.Dalam kasus jarak utama dengan persamaan persamaan ini telah telah diselesaikan dengan menyusun sebuah potongan yang diindikasikan dengan OA pada gambar 2-14 dibawah ini, yang disebut sebuah potongan cabang/garis cabang, pada poros posotif yang benar, maksut dari gambar ini adalah kita tidak boleh melewati garis pemotong tersebut (jika kita melewatinya, maka akan didapatkan fungsi cabang lain).Jika interval yang lain untuk telah dipilih, maka garis cabang / garis pemotong tersebut akan ditarik garis lain dalam garis bujur z yang berasal dari titik pusat.yyAOxUntuk tujuan tertentu, sebagaimana yang akan kita lihat selanjtnya, bahwa kita dapat melihat kurva dalam gambar 2-15 yang mana pada gambar 2-14 adalah merupakan sebuah kasus yang langka/jarang terjadi.HEIFGDABxCGambar 2-15JGambar 2-14Fungsi Dasar8. buktikan bahwa (a) , (b) , (c) a)dengan definisi dimana z = x+iy. maka jika Halaman 45BelumHalaman 46FUNGSI, LIMIT, dan KONTINUITAS12. buktikan: a) 1- c) cos iz = cosh zb) sin iz = i sinh z d) sin ( x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh ya) dengan definisi, cosh z = kemudian dibagi dengan b) c) d) dari soal nomor 9 (a) dan bagian (b) dan (c), kita memiliki13. a) jika dimana dan b)tentukan nilai dari apa yang dimaksud dengan nilai utama?a) Karena Kita memiliki persamaan riil dan baian bayangan(1) (2)Dengan menaruh (1) dan (2) dalam tanda kurung dan menambahkannya, maka kita menemukan dan u = ln r. kemudian dari (1) dan (2) yang mana dari maka Jika kita menyebut bahwakemudian kita melihat bahwa Sebuah cara yang sama dalam menyebut persamaan yang sama adalah dengan menulis dimana dapat dianggap memiliki banyak nilai yang berbeda dari 2.Ingat bahwa secara formal menggunakan hokum logaritma yang mirip dengan matematika dasar.b) Karena , kita memiliki Nilai utamanya adalah yang diperoleh dari persamaan k=0.14. buktikan bahwa mempunyai titik pusat pada z = 0.Kita memiliki persamaan . Andaikan kita mulai pada beberapa titik z10 dalam bujur yang rumit untuk maka (lihat gambar 2-16). Kemudian setelah mebuat 1 putaran lengkap mengenai asal persamaan tersebut dengan searah jarum jam atau melawan arah jarum jam, kita menemukan arah kembali pada z1, yang mana , maka . Oleh karena itu kita berada pada fungsi cabang yang lain, dan z=0 adalah titik pusat.r11z1yxGambar 2-16Putaran lengkap selanjutnya tetntang arah awal yang berubah/berpindah ke cabang lain dan (tidak seperti persamaan fungsi lain, misalnya ) kita tidak akan pernah kembali pada cabang yang sama.Hal ini mengikuti bahwa adalah sebuah fungsi yang memiliki banyak nilai dari z yang memiliki banyak cabang. Cabang tertentu dari z adalah riil dan positif maka disebut dengan cabang utama. Untuk memperoleh cabang ini maka kita membutuhkan =0 ketika z> 0.Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan persamaan dimana dipilih, maka , dst.Sebagai sebuah generalisasi, kita mengingatkan/menekankan bahwa ln (z-a) memiliki sebuah titik cabang pada z=a.Halaman 4715.Pertimbangkan transformasi w = ln z. Tunjukkan bahwa (a) melingkar dengan pusat pada titik asal bidang z yang dipetakan ke dalam garis paralel sumbu v pada bidang w, (b) garis atau sinar keluar dari titik asal bidang z yang dipetakan ke dalam garis paralel sumbu u pada bidang w, (c) bidang z dipetakan pada lebar pada bidang w. Ilustrasi hasil grafik.Kita mempunyai w = u + iv = ln z = ln r + i sedemikian sehingga u = In r, v = .Pilih cabang utama w = ln r + i dimana 0(a) melingkar dengan pusat pada titik asal dan jari-jari a dengan persamaan . Ini dipetakan ke dalam garis bidang w dengan persamaan a. Gambar 2-17 dan 2-18 lingkaran dan garis yang memetakan a = 1/2, 1, 3/2, 2 yang tertandai.(b) garis atau sinar keluar dari titik asal bidang z (lihat gambar 2-17) mempunyai persamaan . Ini dipetakan ke dalam garis bidang w (lihat gambar 2-18) dengan persamaan . Kita sudah menunjukkan pemetaan garis untuk .(c) memetakan titik P pada bidang yang digambarkan oleh dan mempunyai koordinat kutub dimana ada P dengan lebar yang ditunjukkan gambar 2-20. Kemudian bidang z dipetakan ke dalam titik potong. Titik dipetakan ke dalam titik potong sering disebut titik pada ketidakterbatasan. Jika sedemikian hingga, bidang z dipetakan pada titik potong pada gambar 2-20. Dengan cara yang sama, kita memperoleh titik potong lain yang ditunjukkan gambar 2-20. Di bawah ini diberikan titik z0 pada bidang z, ada tidak terbatas titik gambar pada bidang w memetakan titik gambar.`Yang harus dicatat bahwa jika kita yang telah mengambil seperti , dll, titik potong gambar 2-20 akan digeser tegak lurus sejauh .Halaman 48. Jika kita memilih cabang utama dari sin-1z sehingga sin-1,buktikan bahwasin-1z = ln (iz + )jika w = sin-1z, maka z =sin w = sehingga atau Selesaian, = Karena digantkan dengan sekarang sehingga atau w + ln (iz + )Sehingga cabang bilamana diperoleh dengan mengambil k=0 dari sini didapat w = sin-1z = ln (iz + ) seperti yang diinginkan17.jika kita memilih cabang utama dari tanh-1z sehingga tanh-1,buktikan bahwatanh-1z = ln jika w = tanh-1z , maka z = tanh w = sehinggaKarena maka kita memperoleh atau w = kln Cabang utama untuk memberikan hasil yang diinginkan.18.(a) Jika buktikan bahwa di mana (b) Jika z adalah suatu titik pada lingkaran satan yang berpusat di O,buktikan bahwa menyatakan tak berhingga banyaknya bilangan riil dan tentukan nilai utamanya.(c) Tentukan nilai utama dari (a) Menurut definisinya Nilai utama fungsi bernilai banyak diperoleh dengan mengambil dan ditentukan oleh di mana kita memilih sehingga (b) Jika adalah suatu titik pada lingkaran satuan yang bepusat di ,maka .Karena itu menutut ,karena ln ,maka yang menyatakan tak berhingga banyaknya bilangan riil.Nilai utamanya adalah di mana kita memilih sehingga (c) Menurut definisinya karena dan . Metode lain. Menurut bagian (b), karena terletak pada lingkaran satuan yang berpusat di titik dan karena ,maka nilai utamanya adalah .TITIK CABANG,GARIS CABANG DAB PERMUKAAN RIEMANN19. Misalkan . (a) Tunjukan bahwa adalh titik cabang dari . (b) Tunjukan bahwa suatu lintasan lengkap di sekeliling kedua titik cabangnya tdak menghasilkan perubahan dalam cabang dari (a) Kita mempunyai . Maka sehingga Perubahan dalam Halaman 49Fungsi, Limit dan KekontinuanMisal C (gambar 2.21) menjadi kurva tertutup yang memuat titik i tapi bukan titik i. Kemudian titik z adalah suatu kejadian melawan arah jarum jam disekitar C.Ubah dalam arg ( z - i ) = 2 Ubah dalam arg ( z +i ) = 0 Kemudian Ubah dalam arg w = Oleh karena itu w tidak boleh kembali ke nilai aslinya. Perubahan ke cabang mengkin terjadi. Sejak sirkuit komplit tentang z=i merubah cabang dari fungsi, menjadi cabang fungsi z=i. Dengan cara yang sama jika C adalah kurva tertutup yang mendekati titik i tapi bukan i, kita dapat melihat z=i sebagai titik cabangx-izy Z PlaneiGambar 2.21Metode lain :Misal makaJika kita mulai dengan fakta-fakta bahwa nilai dari hubungan Maka . Selama z melawan arah jarum jam disekitar i , diperluas ke . Saat tinggal serupa. . Oleh karena ituPerhatikan jika kita tidak mendapatkan nilai asli dari w, perubahan dari cabang terjadi, lihat z i adalah titik cabang.(b) Jika C menyertakan kedua titik cabang z=sebagaimana gambar 2.22 kemudian titik z menuju melawan arah jarum jam disekitar C.Ubah dalam arg ( z i ) = 2Ubah dalam arg ( z + i ) = 2KemudianUbah arg w = 2Oleh karena itu sirkuit komplit disekitar kedua titik cabang hasil tidak dapat diubah ke cabang.Metode lainDalam hal ini, menunjuk cara kedua dari bagian (a) meningkat dari ke saat meningkat dari ke .Demikian dan tidak dapat diubah dalam cabang seperti yang diamati. Z PlaneCzy-ixiGambar 2.2320. Menentukan Garis Cabang untuk Permasalahan Fungsi 19Garis cabang dapat mengakibatkan Menandai salah satu gambar 2.23-2.24. dalam kejadian ini, dari tidak memotong salah satu garis ini, kita dapat memastikan nilai tunggal dari fungsi.xy-iix-iyi Gambar 2.23 Halaman 50FUNGSI, LIMIT, DAN KONTINUITAS21. Selidikilah permukaan Riemen untuk fungsi pada masalah 19Kita mempunyai permukaan Riemann yang berbeda dan berkorespondensi untuk gambar 2-23 atau 2-24 dari masalah pada nomor 20. Dengan mengganti gambar 2-23, sebagai contoh kita bayangkan bahwa bidang z terdiri dari dua lembar lapisan yang lain dan memotong sepanjang garis cabang. Sebaliknya tepi dari potongan itu digunakan, dibentuk permukaan Riemenn . Pada pembuatan salah satu sirkuit yang lengkap sekitar z=i , kita mulai pada salah satu cabang dan kehabisan yang lain. Bagaimana pun, jika kita membuat salah satu sirkuit mengenai keduanya z = i dan z = -i, kita tidak dapat mengubah semua cabang. Ini sesuai dengan hasil pada permasalahn 19.22. Selidikilah permukaan Riemann untuk fungsi f= ln z ( perhatikan masalah 14 )Dalam hal ini kita membayangkan bahwa sumbu z terdiri dari lapisan banyak helai yang tidak terbatas terhadap yang lain. dan memotong sepanjang garis cabang yang berasal dari pusat z=0 keluar dari z=0. Kemudian kita menghubungkan setiap potongan tepi atau pinggir untuk berhadapan dengan potongan pinggir dari sebuah pinggir yang berhadapan. Kemudian setiap kali kita membuat sirkuit z=0 adalah pada korespodensi lembar lain untuk sebuah turunan fungsi cabang. Kumpulan dari lembaran lembaran itu disebut survei Riemmann. Kenyataan ini masalah yang tidak suka pada 6 dan 7, sirkut berturut-berturut membawa kita kembali cabang yang asli.LIMIT23. If f=Z, akar dari b). temukan f(z) = { . Kita harus tunjukkan bahwa diberikan sembarang > 0 kita dapat menemukan ( tergantung pada hal-hal umum) sedemikiansehingga Jika 1 dan o < menyatakan bahwa Ambilah = 1 atau yang terkecil. Kemudian kita mempunyai , dan hasil yang kita cari dapat dibuktikan. Tidak terdapat perbedaan di antara masalah ini dan pada bagian , karena kedua kasus ini kita dapat menyimpulkan z = z kembali ke bentuk semula. Karena ,dengan catatan bahwa limit dari f(z) dimana , tidak memiliki nilai apapun yang diperoleh dari nilai f(z) pada 24. tafsirkanlah secara geometris dari masalah pada nomor 23a). Persamaan didefenisikan sebagai sebuah transformasi atau pemetaan pada bidang z yang ditunjuk menuju bidang w. berdasarkan keterangan,kita dapat menyimpulkan bahwa titik dipetakan kedalam z v .z0 uDalam masalah pada nomor 23 (a) kita membuktikan hasil yang diberikan, speperti kita dapat menemukan sedemikian sehingga bilamana,. Secara geometri ini mengartikan bahwa, jika kita menginginkan w berada didalam jari-jari lingkaran, (lihat gambar 2-26) kita harus memilih sehinga z berada didalam jari-jari lingkaran . Menurut masalah pada nomor 23 (b) ini tentu bagus,jika dan b) . Pada masalah nomor 23 (a) adalah bayangan dari z = z. Bagaimanapun, dalam masalah 23(b), w=0 adalah bayangan dari z = z. Kecuali untuk hal ini, penafsiran geometrik adalah serupa dengan yang diberikan pada bagian ( a )Halaman 51 FUNGSI ,BATAS DAN URUTAN25 .membuktikan bahwa . kita harus menunjukkanbahwa untuk setiap kita dapat menemukan . .. Sehingga . ketika 0.. karena kita dapat menulis . untuk membatalkan faktor umum maka kita harus menunjukkan bahwa untuk seti