JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1

Abstrak- Epidemik adalah kejadian penyebaran suatu

penyakit menular pada manusia yang disebabkan oleh banyak

faktor dan dapat menyebabkan banyak kerugian. Secara lebih

spesifiknya, terdapat suatu penyebaran penyakit menular yang

disebabkan oleh bakteri dan juga dipengaruhi peran serta

hospes sebagai suatu inang pembawa bakteri tersebut yang

kemudian akan disebarluaskan pada populasi manusia.

Misalnya saja, pada beberapa penyakit seperti disentri, kolera

dan demam tifoid itu penyebaran penyakitnya ditularkan

melalui makanan atau air yang ditransmisikan dalam populasi

manusia oleh lalat yang membawa bakteri penyakit ini.

Dengan demikian, kepadatan hospes yang dapat tumbuh

bersama dengan kepadatan populasi manusia terkait dengan

sanitasi di lingkungan sangat berperan penting dalam

penyebaran beberapa penyakit menular. Oleh kareni itu, akan

dianalisis titik kesetimbangan dan kestabilan dari model

penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan hospes,

untuk mengetahui arah pertumbuhan penyakit dan pola

penyebaran penyakit sehingga dapat dilakukan suatu tindakan

preventif terutama yang berhubungan dengan migrasi bakteri

dan hospes di lingkungan.

Kata kunci: Epidemik, Bakteri, Hospes, Model SIS,

Kesetimbangan, Kestabilan.

I. PENDAHULUAN

enyebaran penyakit menular dengan mempertimbangkan

kontak langsung antara individu yang rentan terinfeksi

penyakit dengan mempertimbangkan kontak langsung

antara individu yang rentan terinfeksi penyakit (susceptible)

dan individu yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit

(infected), namun tidak mempertimbangkan peran bakteri

yang ada di lingkungan telah dimodelkan dan dianalisis oleh

Anderson, dkk [1]. Padahal, sebenarnya terdapat penyakit

menular yang disebabkan bakteri dan penyebarannya

dipengaruhi oleh faktor dari lingkungan, misalnya adalah

typus [2]. Kurangnya sanitasi dan munculnya berbagai

macam hospes (sering disebut sebagai carriers), misalnya

lalat, kutu, tungau yang berada di lingkungan menjadi faktor

penting dalam penyebaran penyakit menular. Hospes

mengangkut bakteri penyakit menular seperti demam tifoid,

kusta, kolera, konjungtivitis, TBC, disentri, diare, dari

lingkungan untuk ditularkan pada susceptible sehingga

menyebabkan penyakit tersebut tersebar pada populasi

manusia. Beberapa penyakit seperti disentri, kolera, dan

demam tifoid merupakan beberapa contoh penyakit yang

ditularkan melalui makanan atau air dan ditransmisikan

dalam populasi manusia oleh lalat yang membawa bakteri

penyakit ini. Dengan demikian kepadatan hospes, yang

dapat tumbuh bersama dengan faktor kepadatan populasi

manusia terkait dengan sanitasi di lingkungan, memainkan

peran penting dalam penyebaran beberapa penyakit menular.

Seperti disebutkan di atas, meskipun pemodelan dan

analisis penyakit menular telah dilakukan oleh beberapa

peneliti [1-2], efek dari adanya bakteri dan hospes di

lingkungan pada penyebaran penyakit menular belum diteliti

dengan menggunakan model matematika [2]. Hethcote [3]

membahas model epidemik di mana populasi hospes

diasumsikan konstan. Tapi, secara umum, ukuran populasi

hospes tidak konstan dan tergantung pada kondisi habitat di

lingkungan. Ghosh dkk [4] telah mempertimbangkan

pertumbuhan populasi hospes yang tergantung pada sampah

rumah tangga dan faktor kepadatan populasi lainnya yang

terkait dalam model tersebut. Mereka menunjukkan bahwa

penyebaran penyakit menular meningkat karena mobilitas

bakteri oleh hospes tetapi mereka mengabaikan interaksi

bakteri dengan susceptible serta mereka juga mengabaikan

interaksi antara bakteri dengan hospes di lingkungan. Begitu

juga dengan, Ghosh dkk. [5,6] yang telah mempelajari

penyebaran penyakit menular dengan bakteri di lingkungan

tetapi mereka mengabaikan peran keberadaan hospes di

lingkungan.

Hingga akhirnya pada tahun 2011, J.B Shukla, dkk [7]

mempublikasikan jurnalnya dan membahas model SIS

dengan imigrasi untuk penyebaran penyakit menular yang

disebabkan oleh debit bakteri dalam lingkungan dengan

infected dan interaksi bakteri dengan susceptible. Selain itu

juga diasumsikan bahwa penyakit menyebar dengan kontak

langsung antara susceptible dan infected serta dipengaruhi

juga oleh bakteri yang diangkut oleh hospes untuk

susceptible.

Oleh karena itu, berikut ini akan dibahas tentang analisis

dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan

hospes, yang ditemukan oleh J.B Shukla dkk [7] untuk

mendapatkan titik kesetimbangan dan kestabilan dari model

epidemik tersebut, sehingga dapat diketahui arah

pertumbuhan penyakit, pola penyebaran penyakit dan dapat

dilakukan suatu tindakan preventif terutama yang

berhubungan dengan migrasi bakteri dan hospes di

lingkungan.

II. METODE PENELITIAN

A. Tahap Telaah/Studi Literatur

Dari permasalahan dan tujuan yang telah dirumuskan

selanjutnya dilakukan studi literatur untuk memberi acuan

pemecahan permasalahan. Studi literatur dilakukan terhadap

jurnal-jurnal ilmiah, tugas akhir, dan buku-buku yang

berhubungan dengan model penyebaran penyakit menular

Analisis Model Penyebaran Penyakit Menular

Dengan Bakteri dan Hospes

Desy Khoirun Nisa, dan Drs. Kamiran, M.Si

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)

Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

E-mail: kamiran@matematika.its.ac.id

P

JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 2

dengan bakteri dan hospes.

B. Pengkajian Model Penyebaran Penyakit Meular dengan

Bakteri dan Hospes

Pada tahap ini, model penyebaran penyakit menular

dengan bakteri dan hospes akan dikaji terlebih dahulu

dengan menyusun asumsi-asumsi tertentu sehingga mudah

untuk memahaminya.

C. Analisis Titik Kesetimbangan dan Kestabilan

Dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri

dan hospes akan didapatkan 4 macam titik kesetimbangan

yang meliputi: titik kesetimbangan bebas penyakit dan bebas

hospes/ disease and carrier free equilibrium (DCFE), titik

kesetimbangan bebas penyakit/ disease free equilibrium

(DFE), titik kesetimbangan bebas hospes/ carrier free

equilibrium (CFE), dan titik kesetimbangan endemik/

endemic equilibrium (EE). Kemudian dari titik-titik

kesetimbangan yang didapatkan tersebut akan digunakan

acuan untuk menganalisis kestabilannya.

D. Simulasi Model

Dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri

dan hospes akan dibuat suatu simulasi modelnya dengan

menggunakan softwere MATLAB untuk mengetahui bentuk

grafik yang terbentuk.

E. Kesimpulan dan Saran

Setelah dilakukan analisa dan pembahasan pada model

penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan hospes

maka akan diambil suatu kesimpulan dan saran yang

berfungsi sebagai masukan untuk pengembangan penelitian

lebih lanjut.

III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

A. Model Penyebaran Penyakit Menular Dengan Bakteri

dan Hospes

Model penyebaran penyakit menular dan hospes adalah

sebagai berikut:

Dengan: dan

Model (1) mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut :

a. adalah jumlah total populasi manusia yang terbagi

menjadi 2 kelompok yaitu:

merupakan jumlah populasi susceptible yaitu individu-

individu yang rentan terhadap penyakit.

merupakan jumlah populasi infected yaitu individu-

individu yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit.

b. adalah jumlah populasi bakteri yang terdapat pada

lingkungan yang dapat menyebabkan infeksi.

c. adalah jumlah dari populasi bakteri yang diangkut ke

susceptible oleh hospes.

d. adalah jumlah dari populasi hospes yang ada pada

lingkungan.

e. Diasumsikan jumlah bakteri yang diangkut oleh

hospes sebanding dengan jumlah dari bakteri dan hospes,

yaitu sebagai .

f. Diasumsikan konstanta adalah jumlah imigrasi dari

populasi susceptible, dan juga diasumsikan susceptible

terinfeksi secara kontak langsung dengan infected

dengan tingkat kontak sehingga disebut sebagai .

Susceptible juga mengalami kontak dengan hospes yang

membawa bakteri secara langsung sebesar , sehingga

disebut sebagai . Susceptible juga terinfeksi secara

kontak langsung dengan bakteri karena adanya interaksi

dengan lingkungan yang penuh dengan bakteri sebesar ,

sehingga disebut sebagai .

g. Laju kematian alami pada manusia yaitu itu

proporsional dengan tingkat kesembuhan, yang lebih

lanjut diasumsikan bahwa adalah tingkat kematian

alami pada susceptible dan adalah tingkat kematian

alami pada infected sedangkan adalah tingkat

kematian pada infected yang disebakan oleh penyakit.

Dengan asumsi beberapa infected akan sembuh dan

bergabung pada susceptible dengan tingkat pemulihan

sebesar pada infected maka disebut sebagai .

h. Tingkat penurunan populasi bakteri akibat tindakan

pengendalian sebesar disebut sebagai ,

sedangkan laju peluruhan bakteri sebesar dalam

lingkungan akibat transportasi oleh hospes dianggap

proporsional dengan jumlah populasi hospes dan jumlah

populasi bakteri yang kemudian disebut sebagai .

Sedangkan banyaknya populasi bakteri yang dipancarkan

oleh individu infected diasumsikan sebagai .

i. Dengan adanya interaksi susceptible pada lingkungan

yang penuh bakteri maka, tingkat peluruhan bakteri

sebesar karena terbawa oleh susceptible dianggap

proporsional dengan jumlah populasi susceptible dan

bakteri sehingga disebut sebagai .

j. Diasumsikan konstanta adalah jumlah populasi bakteri

dari lingkungan yang akan dibawa hospes untuk

ditularkan pada susceptible sehingga disebut sebagai

, konstanta adalah laju deplesi dari di

lingkungan karena adanya suatu tindakan pengendalian.

k. Diasumsikan jumlah hospes mengikuti model logistik

dengan tingkat pertumbuhan intrinsik dan kapasitas

lingkungan sebesar sehingga disebut sebagai

dan laju pertumbuhan populasi hospes sebesar

meningkat seiring dengan faktor kondusif kepadatan

manusia yang terkait sehingga disebut sebagai .

Sedangkan konstanta adalah laju deplesi pada hospes

karena adanya suatu tindakan pengendalian sehingga

disebut sebagai . Yang perlu dijadikan catatan bahwa

.

Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut maka dapat

disusun diagram kompartemen sebagai berikut:

JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 3

Gambar 1. Diagaram kompartemen model penyebaran

penyakit menular dengan bakteri dan hospes

Dengan menggunakan asumsi bahwa atau

dengan kata lain maka model (1) dapat direduksi

menjadi sebagai berikut:

Didapatkan daerah penyelesaian dari model (2) sebagai

berikut,

Dari daerah penyelesaian yang didapatkan pada

persamaan (3) maka dapat diketahui bahwa model (2)

memiliki jumlah populasi yang terbatas.

B. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit dan Bebas Hospes

Kesetimbangan Bebas Penyakit dan Bebas Hospes/

Disease and Carrier Free Equilibrium (DCFE) adalah suatu

keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular

dan hospes dalam populasi. Titik tersebut didapatkan pada

saat dan . Maka untuk mendapatkan titik

kesetimbangan bebas penyakit dan hospes, dilakukan penghitungan sebagai berikut:

a. Mendapatkan titik kesetimbangan dari

dilakukan substitusi sehingga,

b. Mendapatkan titik kesetimbangan dari

substitusi , dan (4) pada (5) sehingga

didapatkan,

c. Mendapatkan titik kesetimbangan dari

Substitusi (6) dan pada (7) sehingga didapatkan,

Jadi, dari hasil (4), (6), (8), dan didapatkan

titik kesetimbangan bebas penyakit dan hospes/DCFE, yaitu:

C. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

Kesetimbangan Bebas Penyakit/Disease Free Equilibrium

(DFE) adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran

penyakit menular dalam populasi. Titik tersebut didapatkan

pada saat dan . Maka untuk mendapatkan titik

kesetimbangan bebas penyakit, , dilakukan langkah penghitungan sebagai berikut

dan

sehingga

didapatkan,

D. Titik Kesetimbangan Bebas Hospes

Kesetimbangan Bebas Hospes/Carriers Free Equilibrium

(CFE) adalah suatu keadaan dimana terjadi penyebaran

penyakit menular dalam populasi namun tidak ada campur

tangan dari hospes. Titik tersebut didapatkan pada saat

dan . Maka untuk mendapatkan titik

kesetimbangan bebas hospes, dilakukan penghitungan sebagai berikut:

Dari persamaan (11) didapatkan;

Dengan substitusi pada (15) sehingga didapatkan,

Dari persaamaan (12) didapatkan,

Dari substitusi pada (13) didapatkan,

JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 4

Dari substitusi (17), (18) pada (14) didapatkan,

Karena maka persamaan (17) dapat direduksi

menjadi sebagai berikut,

Dari persamaan (20) didapatkan 3 asumsi sebagai berikut:

a. akan bernilai positif jika

b.

c. pada

Dengan demikian, maka dari akan memiliki

sebuah nilai positif dari , kita sebut sebagai yang

terletak pada

dengan syarat . Dengan

substitusi nilai pada (17) dan (18) maka didapatkan,

Jadi, (16), (21), (22), dan adalah titik

kesetimbangan bebas hospes/CFE, yaitu:

Kesetimbangan bebas hospes ini ada jika memenuhi

syarat , didefinisikan nilai sebagai berikut;

E. Titik Kesetimbangan Endemik

Titik kesetimbangan endemik didapatkan pada saat

dan . Maka untuk mendapatkan titik kesetimbangan

endemik yaitu, dilakukan

penghitungan sebagai berikut;

Dari persamaan (24) didapatkan;

Dari persamaan (25) didapatkan;

Karena terdapat syarat , maka persamaan (31) dapat

direduksi menjadi,

Dari substitusi (30) pada (32) didapatkan,

Dari substitusi (30) dan (33) pada (26) dan jika

didefinisikan

, didapatkan;

Dari substitusi (33) dan (34) pada (27) didapatkan;

Dari substitusi (30), (34), (35) pada (28) didapatkan;

Karena maka persamaan (36) dapat direduksi

menjadi sebagai berikut,

Dari persamaan (37) didapatkan 3 asumsi sebagai berikut:

a. akan bernilai positif

jika

b.

c. pada

Dengan demikian, maka dari akan memiliki

sebuah nilai positif dari , kita sebut sebagai yang

terletak pada

dengan syarat . Dengan

substitusi nilai pada persamaan (30), (33), (34) dan

(35) sehingga didapatkan,

Dengan

Jadi, (38), (39), (40), (41) dan adalah titik

kesetimbangan endemik, yaitu:

Syarat kesetimbangan endemik ini ada ketika memenuhi

syarat

JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 5

Didefinisikan:

dan

F. Kestabilan Lokal pada dan

Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotis/lokal jika

dan hanya jika nilai eigen dari matriks Jacobiannya bernilai

negatif dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai

eigennya mempunyai nilai positif.

Adapun bentuk matriks Jacobiannya didapatkan

dari model (2) yang dimisalkan sebagai berikut,

Bentuk matriks Jacobian dari model (43) adalah sebagai

berikut;

(44)

Dan didefinisikan,

Dengan mendapatkan nilai eigen dari , dimana titik-titik kesetimbangan yang akan

dicari kestabilannya disubstitusikan pada matriks umum

pada persamaan (44), maka jika nanti ditemukan paling

sedikit satu saja nilai eigen yang bernilai positif maka sudah

dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan tersebut tidak

stabil.

Pada dan didapatkan hasil analisis sebagai

berikut:

a. Pada

Pada hasil perhitungan terdapat nilai

eigen yang bernilai positif yaitu:

Jadi dapat disimpulkan bahwa tidak stabil lokal.

b. Pada

Pada hasil perhitungan terdapat nilai

eigen yang bernilai positif yaitu:

Jadi dapat disimpulkan bahwa tidak stabil lokal.

c. Pada

Pada hasil perhitungan terdapat nilai

eigen yang bernilai positif yaitu:

Jadi dapat disimpulkan bahwa tidak stabil lokal.

G. Kestabilan Lokal Pada

Karena bentuk dari akan

menghasilkan persamaan karakteristik yang sangat

kompleks dan rumit maka nilai eigennya tidak dapat

ditemukan. Oleh karena itu, untuk menentukan titik

kestabilan lokal dari titik kesetimbangan endemik, maka

dengan mengikuti fungsi definit positif pada fungsi

Lyapunov yang berhubungan dengan linearisasi sistem pada

model (2) dengan titik kesetimbangan

sehingga didapatkan suatu fungsi

Lyapunov yang memenuhi syarat definit positif sebagai

berikut:

Dengan koefisien adalah sutau konstanta

positif sedangkan adalah perturbasi kecil

disekeliling titik kesetimbangan endemik , dengan kata

lain

.

Differensiasi persamaan (45) terhadap waktu yang

mengikuti linearisasi model (2) dengan pemilihan nilai

maka didapatkan,

Dengan menggunakan subtitusi teorema dari [7] sebagai

berikut:

Dengan dan mengikuti pertidaksamaan sebagai

berikut:

Dengan

dan

Adapun nilai dan memenuhi persamaan:

dan

JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 6

Maka didapatkan

akan bernilai definit negatif. Karena

sudah memenuhi definit positif dan

memenuhi definit

negatif maka dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan

adalah stabil lokal.

H. Simulasi Model

Dalam simulasi model berikut ini digunakan parameter

sebagai berikut:

Dengan nilai awal sebagai berikut:

Sehingga diperoleh grafik di bawah ini,

a. Grafik terhadap t

Gambar 2. Grafik terhadap t

Pada gambar 2 grafik warna hijau menunjukkan bahwa

populasi mengalami penurunan dan mendekati nol pada

minggu kedua sehingga menunjukkan suatu kondisi stabil.

Pada grafik warrna biru menunjukkan populasi

mengalami kenaikan sehingga mencapai suatu titik konstan

yang stabil.

Pada grafik warna magenta menunjukkan populasi

yang semula mengalami kenaikan kemudian mengalami

penurunan, berarti populasi bakteri yang ada pada

lingkungan mulai berkurang bisa dikarenakan adanya

tindakan pengendalian sehingga bakteri mengalami

penurunan populasi.

Pada grafik warna hitam menunjukkan populasi juga

mengalami penurunan dikarenakan ketersediaan bakteri

yang ada di lingkungan (yaitu populasi ) juga mengalami

penurunan sehingga populasi bakteri yang bisa diangkut

oleh hospes untuk disebarkan pada populasi susceptible

juga mengalami penurunan.

Pada grafik putus titik warna merah menunjukkan

populasi hospes yaitu C semakin meningkat bisa

dikarenakan kurang berpengaruhnya kontrol lingkungan

terhadap pengendalian populasi hospes.

Oleh karena itu, suatu kontrol lingkungan bisa berupa

tindakan sanitasi lingkungan yang dapat menekan laju

populasi bakteri dan juga hospes sangat diperlukan agar

dapat mengurangi populasi bakteri yang diangkut ke

susceptible oleh hospes sehingga bisa menurunkan populasi

infected.

IV. KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan keseluruhan hasil analisis yang telah

dilakukan di atas, maka dapat diambil kesimpulan bahwa:

1. Pada model penyebaran penyakit menular dengan bakteri

dan hospes di lingkungan ini memiliki empat macam titik

kesetimbangan dengan asumsi kestabilan lokal sebagai

berikut:

a. Titik kesetimbangan bebas penyakit dan bebas

hospes/ disease and carrier free equilibrium(DCFE),

selalu ada dan bersifat tidak stabil.

b. Titik kesetimbangan bebas penyakit/disease free

equilibrium(DFE), selalu ada dan bersifat tidak stabil.

c. Titik kesetimbangan bebas hospes/carrier free

equilibrium(DCE), ada jika memenuhi syarat

dan bersifat tidak stabil.

d. Titik kesetimbangan endemik/endemic equilibrium

ada jika memenuhi syarat dan bersifat

stabil maka akan terjadi penyebaran penyakit.

2. Dengan adanya hospes yang bisa mengangkut bakteri dari

lingkungan untuk ditularkan pada susceptible sehingga

dapat menyebabkan terjadi peningkatan populasi infected.

Maka dibutuhkan suatu tindakan sanitasi lingkungan agar

dapat menekan laju populasi hospes dan populasi bakteri

di lingkungan. Dengan tujuan agar dapat mengurangi

populasi bakteri yang diangkut ke susceptible oleh hospes

dan juga untuk mengurangi populasi bakteri yang dapat

menyebar secara langsung dari lingkungan kepada

susceptible agar terjadi penurunan populasi infected.

Adapun untuk penelitian selanjutnya dapat dilakukan

analisis kestabilan dari titik kesetimbangan endemiknya baik

lokal maupun global dengan menggunakan metode

Lyapunov.

V. DAFTAR PUSTAKA

[1] R.M.Anderson, R.M.May.(1979).“Population Biology of Infectious

Diseases Part-I”.Nature Vol 280.Hal 361-367.

[2] J.Gonzalez-Guzmem.(1989).”An Epidemiological Model for Direct

and Indirect Transmission of Typhoid Fever”.Math-Biosci Vol 96.Hal 33-46.

[3] H.W.Hetchote.(1976).”Qualitative Analysis of Communicable

Disease Models”.Math-Biosci Vol 28.Hal 335-356. [4] M.Ghosh, P.Chandra, P.Sinha, J.B.Shukla.(2004). ”Modelling The

Spread of Carrier-Dependent Infectious Diseases With Environmental

Effect”.Elsevier-Appl.Math.Comput.Vol 152.Hal 385-402. [5] M.Ghosh, P.Chandra, P.Sinha, J.B.Shukla.(2005). “Modelling The

Spread of Bacterial Disease: Effect of Service Providers From An

Environmentally Degraded Region”.Elsevier-Appl.Math.Comput.

Volume 160.Hal 615-647.

[6] M.Ghosh, P.Chandra, P.Sinha, J.B.Shukla.(2006). ”Modelling The

Spread of Bacterial Infectious Disease with Environmental Effect in A Logistically Growing Human Population”.Nonlinear Analysis. Real

Word Application Vol 7.Hal 341-363.

[7] J.B. Shukla, V. Singh, A.K. Misra.(2011). ”Modelling The Spread of An Infectious Disease With Bacteria and Carriers in The

Environment”.Nonlinear Analysis. Real Word Application Vol

12.Hal 2541-2551. [8] Finizio N, Landas G.(1998).”Ordinary Differential Equation With

Modern Application”. California: Wasdsworth Publishing Company.

[9] Dinita,R.(2010).”Pemodelan Matematika dan Analisis Stabilitas Dari Penyebaran Penyakit Flu Burung”. Institut Teknologi Sepuluh

Nopember, Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS. Surabaya.

[10]P.B Khan.(1989).”Mathematical Methods for Scientist and Engineers”.New York: A Wiley Interscience Publication.

[11]google.1 Juni 2013. Lyapunov Stability Theory. <URL:

http://lyapunov-stability-theory/RM_Murray> [12]google.1 Juni 2013. Notes on Lyapunov Theorema.

<URL:http://control.ee.ethz.ch~ifalst/docs/lyapunov.pdf >

[13]M.Vidyasagar.(1978).”Nonlinear System Analysis”. New Jersey: Prentice Hall Inc.