ObjektifMenerangkan logik disebalik penggunaan ANOVAMenjalankan ANOVA satu faktor atau sehalaMenjalankan ANOVA dua faktor

Contoh situasi ANOVASubjek : 25 orang yang melecur akibat terperangkap di dalam satu kebakaranRawatan : ubat A, ubat B, ubat CPengukuran : bilangan hari sembuh Data dan purataUbat A: 5,6,6,7,7,8,9,10 [7.26]Ubat B:7,7,8,9,9,10,10,11 [8.875]Ubat C:7,9,9,10,10,10,11,12,13[10.11]Persoalannya: Adakah bilangan hari sembuh berbeza mengikut jenis ubat?

IstilahFaktor atau rawatan pembolehubah bebas.berdasarkan contoh jenis ubatAras bilangan kategori faktor atau rawatan. Contoh 3 jenis ubat, A, B dan CPembolehubah bersandar bilangan hari untuk sembuh.

KENAPA GUNA ANOVA??Remeh dan memerlukan banyak masaBoleh menyebabkan peningkatan kebarangkalian ralat jenis 1.Andaikan ingin menguji kesamaan 4 min dgn mgunakan perbandingan pasangan demi pasangan.Terdapat 6 pasangan, jika kb(ralat jenis I) bagi setiap pengujian hipotesis = 0.05 maka kb tidak mlakukan ralat jenis I ialah 1- = 0.95 Andaikan X bil. Ujian melakukan ralat jenis 1P(X=0)= 6C0 x (0.05)0 x (0.95)6 = 0.7351 Ini bermakna kb mlakukan sekurang-kurangnya satu ralat jenis I dalam keenam-enam pengujian ialah P(X 1) = 1 - P(X=0) = 1-0.7351 = 0.2349

ANOVA satu faktor

Membandingkan min bagi satu kumpulan atau lebih berdasarkan satu pembolehubah tidak bersandar (faktor/rawatan). Andaian-andaianSemua populasi kajian tertabur secara normal dengan varians seragamSemua sampel diambil secara rawakPemilihan sampel adalah merdekaHipotesis yang ingin diuji Ho : 1= 2 = 3 = = k (tidak terdapat perbezaan min di antara populasi yang dikaji) H1 : Terdapat perbezaan min di antara populasi yang dikaji.

Statistik ujian

a = bilangan aras bg p.u bebasn = bilangan semua cerapan SS(Rawatan) ukuran bagi variasi di antara sampelSS(Ralat) ukuran bagi variasi dalam sampelNilai kritikal, F,a-1,n-aTolak Ho jika F > F,a-1,n-a

LOGIKSebab ianya membandingkan kumpulan dengan menganalisis perbandingan anggaran variansANOVA mengukur 2 sumber variasi di dalam data dan membandingkan saiz di antaranya.Variasi antara sampel : variasi yang disebabkan oleh perbezaan di antara min sampel dan min keseluruhan cerapan.Variasi dalam sampel: variasi yang disebabkan oleh perbezaan di antara nilai satu cerapan dan min dalam kumpul sampel tersebut.

Samb.Dua jenis variasi ini digabungkan bagi menghasilkan statistik ujian ANOVA F. iaitu nisbah variasi antara sampel dan variasi dalam sampel.

Sekiranya nilai F menghampiri 1 menunjukkan dua varians sama dan kita boleh membuat kesimpulan bahawa tiada perbezaan yang bererti antara min.

Sebaliknya, sekiranya nilai F > 1, kita membuat kesimpulan bahawa variasi di antara sampel adalah tidak sama dan ini menunjukkan min-min adalh tidak sama.

Contoh proses ANOVA dijalankan Pertimbangkan contoh di slide ke-3.Variasi dalam sampelVariasi dalam sampel7.258.8810.11Variasi di antarasampel

Ubat AUbat BUbat C56677891077899101011799101010111213

Pemecahan VariansJumlah variasi SS(Jumlah) dalam semua sampel dipecahkan kepada dua bahagian

Ketiga-tiga komponen ini boleh dikaitkan dengan hubungan berikut:SS(Jumlah) = SS(Rawatan) + SS(Ralat)

n = bil semua cerapan a = bil aras bagi p.u tidak bersandarDi manaxij = cerapan j dalam rawatan-i

Ti. = jumlah nilai cerapan dalam rawatan-i

Min kuasadua bagi setiap punca variasi diperolehi seperti berikut

MS(Rawatan) =

MS(Ralat) =

Jika hipotesis nol benar, maka kedua-dua MS(Rawatan) dan MS(Ralat) adalah penganggar yang baik bagi varians Keseluruhan. Ini bermakna MS(Rawatan ) dan MS(Ralat)hampir sama.

Ringkasan keputusan : Jadual ANOVA

Contoh 1

Data berikut merupakan markah ujian kefahaman bagi sampel rawak murid darjah 6 dari 4 buah sekolah.

Uji pada aras keertian 0.05 sama ada min markah ujian kefahaman murid berbeza di antara 4 buah sekolah tersebut.

Penyelesaian Pembentukan hipotesisHo: A = B = C = DmelawanH1: Sekurang-kurangnya satu min markah tidak sama 2.Penentuan statistik ujian

PengiraanSS(Jumlah) = = (872 + 702 + + 752) 12(69.67)2= 60638 58246.91 = 2391.09

SS(Rawatan) =

== 1220.42

SS(Ralat) = SS(Jumlah) SS(Rawatan) = 2391.09 1220.42 = 1170.67

Jadual ANOVA

Nilai kritikal dan petua kesimpulan Oleh kerana yang ditetapkan ialah 0.05 dan darjah kebebasan v1 = 3 dan v2 = 8, maka daripada jadual taburan F, nilai kritikal F0.05, 3, 8 = 4.07.

P.K : Tolak Ho jika F > F0.05, 3, 8.

Nilai statistik ujian F = 2.78 < nilai kritikal F0.05, 3, 8 = 4.07 maka kita gagal menolak Ho Keputusan ujianBila hipotesis nol tidak ditolak, maka kita tidak mempunyai cukup bukti untuk mengatakan bahawa sekolah yang berbeza menghasilkan min markah ujian kefahaman yang berbeza. Kesimpulan

LatihanData berikut mewakili berat yang hilang bagi tiga jenisprogram latihan yang berbeza. Sampel diambil dari populasiyang mempunyai min yang sama. Andaikan populasi tertabursecara normal dengan varians yang sama Pada aras keertian 1% , adakah wujud perbezaan dalam purataberat yang hilang bagi ketiga-tiga jenis program latihan yangdiikuti.

Latihan ALatihan BLatihan C2.58.87.39.85.15.84.91.17.81.24.36.25.88.17.9

JawapanF = 1.491. Nilai kritikal = 6.93Gagal menolak H0. Data tidak memberi cukup bukti untuk membuat kesimpulan bahawa terdapat perbezaan kehilangan berat badan yang dihasilkan dari ketiga-tiga jenis program latihan yang berbeza.

LatihanDi bawah adalah Jadual ANOVA yang tidak lengkap hasil daripada satu analisis.

1. Lengkapkan Jadual ANOVA di atas. 2. Berapa rawatan yang terlibat di dalam ujikaji ini? 3.Adakah data cukup untuk menunjukkan wujud perbezaan di antara min populasi? Guna =0.01.

LatihanSatu kumpulan pengguna ingin menguji perbezaan jangka hayat bateri bagi tiga jenis jenama yang berbeza. Enam biji bateri diambil sebagai sampel daripada setiap jenama bateri kemudian digunakan pada satu alat elektronik yang sama. Jangka hayat(jam) bateri itu dicatat. Keputusan adalah seperti di bawah. Jenama A115.76107.92103.73114.14113.51110.87Jenama B121.82127.45122.24125.74124.02113.39Jenama C106.99107.78103.78112.32106.46120.77

Uji hipotesis bahawa min jangka hayat bateri adalah berbeza mengikut jenama. Guna aras keertian 5% .

LatihanSyarikat motor ANA menerima aduan bahawa harga jualan kereta HERO adalah berbeza-beza di empat buah bandar yang berbeza iaitu A, B, C, D. Satu kajian dijalankan bagi menguji kebenaran ini. ANA menggunakan 25 buah kereta yang terjual bagi setiap bandar sebagai sampel. MS(Ralat) daripada analisis ialah 69,374. Purata jualan di A : 21,864, B:21,567, C:22,007 dan D:21,745. Guna alpha =0.05 untuk menguji purata harga kereta adalah berbeza bagi bandar-bandar yang berbeza.

2 faktor yg dikaji.Rekabentuk blok rawak lengkap digunakan.Lengkap menandakan bahawa setiap blok mengandungi semua rawatanMatlamat rekabentuk ini ialah untuk mengurangkan varians ralat bagi meningkatkan ketepatan ujikaji Varians ralat adalah varians dalam pembolehubah bersandar yang berpunca daripada faktor yang tidak diambil kira dalam rekabentuk rawak lengkap

ANOVA Dua Faktor

Data yang terhasil daripada ujikaji ini boleh disusun ke dalam jadual dua faktor/hala dengan setiap sel akan mengandungi hanya satu unit ujikaji seperti yang dipaparkan dalam Jadual berikut. Unsur xij dalam baris ke-i dan lajur ke-j ialah pembolehubah bersandar yang dicerap daripada unit ujikaji yang berada dalam blok ke-j dan menerima rawatan ke-i.

Blok j

Rawatan i

1

2

b

Jumlah

Min

1

X11

X12

X1b

T1.

1.

2

X21

X22

X2b

T2.

2.

3

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

a

Xa1

Xa2

:

:

Ta.

a.

Jumlah

T.1

T.2

Min

.1

.2

.b

_1072506172.unknown

_1072506427.unknown

Dalam ujikaji rekabentuk blok rawak lengkap, variasi keseluruhan bagi pembolehubah bersandar dibahagikan kepada 3 komponen iaitu

variasi yang dihasilkan oleh perbezaan rawatan variasi yang dihasilkan daripada perbezaan aras dalam blok dan variasi yang dihasilkan oleh faktor ralat

Secara umumnya hubungan ini boleh ditulis seperti berikut:

SS(Jumlah) = SS(Rawatan) + SS(Blok) + SS(Ralat)

SS(Jumlah) = =

SS(Rawatan) = =

SS(Blok) = =

SS(Ralat) =

Atau SS(Ralat) = SS(Jumlah) SS(Rawatan) SS(Blok)

a ialah aras bagi faktor pertama (rawatan) , b ialah aras bagi faktor kedua (blok).

1. Untuk setiap sel, nilai cerapan diambil daripada populasi yang bertaburan hampir normal.2. Varians populasi adalah sama3. Sampel yang diambil adalah sampel rawak mudah dan saling tidak bersandar.

Andaian andaian bagi ANOVA dua faktor

Terdapat dua hipotesis yang diuji :i): Semua rawatan yang berbeza mempunyai min yang sama : Tidak semua rawatan mempunyai min yang samaii): Semua blok yang berbeza mempunyai min yang sama

: Tidak semua blok mempunyai min yang sama

Statistik Ujian H0 ditolak pada jika F > F,,(a-1), (a-1)(b-1)H0 ditolak pada jika F > F,,(b-1), (a-1)(b-1)

Sumber Variasi

Darjah Kebebasan

Hasiltambah kuasadua

SS

Min Kuasadua MS

F

Rawatan

a-1

SS(Rawatan)

EMBED Equation.3

Blok

b-1

SS(Blok)

Ralat

(a-1)(b-1)

SS(Ralat)

Jumlah

ab - 1

SS(Jumlah)

_1072610293.unknown

_1072610418.unknown

_1072610450.unknown

_1072610510.unknown

_1072610333.unknown

_1072514914.unknown

Contoh : Berikut adalah markah ujian kefahaman bagi 4 buah sekolah mengikut tahap keupayaan. Pada aras keertian 5%, ujisama ada i.Semua sekolah merekodkan markah ujian kefahaman yang samaii. Sekolah dengan tahap keupayaan yang berbeza mencatatkan Markah ujian kefahaman yang berbeza.

Dua set hipotesis yang boleh diuji ialah: Semua sekolah merekodkan min markah yang sama : Tidak semua sekolah merekodkan min markah yang samadan: Tahap keupayaan merekodkan min markah yang sama: Tidak semua tahap keupayaan merekodkan min markah yang sama.

Statistik Ujian

Ini menghasilkan

MS(Rawatan) =

MS(Blok) =

MS(Ralat)=

_1073976712.unknown

_1080984386.unknown

_1073976653.unknown

Seterusnya

F1=

Dan

F2=

_1073976797.unknown

_1073976879.unknown

Punca variasi

Darjah Kebebasan

Jumlah Kuasadua

Min Kuasadua

F

Sekolah

3

1260

420

7.51

Tahap Keupayaan

2

1326.5

663.25

11.86

Ralat

6

335.5

55.92

Jumlah

11

2922

Nilai Kritikal

Dengan merujuk jadual taburan F, nilai kritikal untuk hipotesis pertama ialahF0.05, 3, 6 = 4.76 ( Rantau penolakan ?)Dan nilai kritikal bagi hipotesis kedua ialahF0.05, 2, 6 = 5.14 ( Rantau penolakan ?)

Keputusan ujian

Oleh kerana nilai statistik ujian F1 > 4.76, maka hipotesis nol pertama ditolak. Hipotesis nol kedua juga ditolak kerana nilai statistik ujian F2 > 5.14. Kesimpulankita membuat kesimpulan bahawa min markah ujian kefahaman bagi 4 buah sekolah adalah tidak semuanya sama dan min markah ujian kefahaman yang dicatatkan berasaskan kepada tahap keupayaan pelajar juga tidak semuanya sama. Oleh itu kita boleh katakan bahwa faktor sekolah dan tahap keupayaan pelajar memberikan kesan yang berbeza terhadap min markah ujian kefahaman.

Empat orang pelanggan telah diminta menguji rasa tiga minuman ringan berdasarkan kepada sistem pemarkahan tertentu dan menghasilkan skor seperti dalam jadual berikut Latihana. Dapatkan jadual ANOVA dua halab. Adakah kita cukup bukti untuk mengatakan bahawa wujud perbezaan purata skor penilaian untuk para pelanggan yang berlainan pada aras keertian 5%.c. Adakah kita cukup bukti untuk mengatakan bahawa wujud perbezaan purata skor penilaian untuk jenis minuman yang berlainan pada aras keertian 5%.

Pelanggan

Minuman

A

B

C

1

2

3

4

19

20

22

27

23

25

27

25

18

21

20

17

LatihanEmpat orang pelajar telah mengikuti 3 kaedah pengajaran yang berbeza iaitu kuliah shj, tutorial shj dan kuliah & tutorial. Di akhir semester skor markah mereka dicatat seperti berikut:

Berikut adalah jadual ANOVA yang tidak lengkap hasil analisis di atas.

PelajarKaedah pengajaran K T KT119 23 18 220 25 21322 27 20427 25 17

Lengkapkan jadual ANOVA di atas.Pada aras keertian 5% ,uji sama ada wujud perbezaan markah di antara pelajar.Adakah wujud perbezaan markah di antara kaedah pengajaran yang berbeza pada aras keertian 5%.

variasi

Darjah Kebebasan

Jumlah Kuasadua

Min Kuasadua

F

Pelajar

3

6

Kaedah pengajaran

72

Ralat

6.33

Jumlah

128

Salingtindak

Untuk mengecam ANOVA tanpa salingtindak, data adalah dalam bentuk satu cerapan bagi satu sel. Oleh itu tidak perlu lakukan ujian hipotesis untuk menentukan wujud salingtindak atau tidak.

Apabila perbezaan sambutan di antara aras satu faktor adalah tidak sama pada semua aras faktor yang satu lagi.

Are results influenced by 2 experimental factors?

e.g.

Raise rats (male and female) on diets that are / not supplemented with B vitamins.

Questions: Is body weight affect by: Gender - Factor 1 Vitamins - Factor 2Use all combinations of the two factors.

Faktor, Aras & Sel

Berat badan tikus (g)

235 305 225 295 215 280 230 320 240 325

220 305 210 300 210 275 220 275 210 285

Tiada Vit Dgn Vit

jantan

Betina

Faktor 1Jantina

Faktor 2 Vitamins

Arass

Sel

Replika

Lebih daripada satu cerapan dalam setiap sel.

Purata Baris, lajur & Sel

229 305

214 288

Tiada Vit Dengan Vit

jantan

betina

267

251

221.5 296.5

Purata lajur

purata baris

Purata sel

Perlukan ANOVA Dua Faktor

Baris dan lajur mencadangkan kedua-dua gender dan vitamins mempengaruhi berat badan, tetapi perlu diuji.

Salingtindak?

Betina Jantan Jantina

Berat

300

280

260

240

220

200

Dengan vits

Tanpa vits

Kesan daripada vitamin hampir sama bagi kedua-dua jantina. Tiada salingtindak

Jantina Betina

Berat

Berat

Berat

Betina

Salintindak?

Tiada

Ada

Ada

Ada

Jantan Betina

Jantan Betina

Jantan Betina

Pentafsiran

Selari: Tiada Salingtindak. Tak-Selari: Wujud salingtindak.

Ujian terhadap ...

1 Kesan disebabkan jantina2 Kesan disebabkan vitamin3 Salingtindak di antara jantina dan vitamin