BBBAAABBB 111

DDDIIISSSTTTRRRIIIBBBUUUSSSIII PPPEEELLLUUUAAANNNGGGD

DDAAALLLAAAMMM EEEVVVAAALLLUUUAAASSSIII

KKKEEEAAANNNDDDAAALLLAAANNN SSSIIISSSTTTEEEMMM 1.1 Konsep Distribusi

ada bab sebelumnya telah beberapa konsep tentang

distribusi peluang (probability distribution) seperti probability

mass function, probability density function, cummulative

distribution function, expected value, variance, standard

distribution dan konsep-konsep lainnya. Pada bab ini akan diuraikan teknik

memanfaatkan distribusi peluang dalam melakukan evaluasi keandalan.

P Seperti telah dijelaskan pada bab – bab sebelumnya, parameter-parameter yang

dipergunakan dalam evaluasi keandalan adalah parameter-parameter distribusi

peluang. Nilai dari parameter-parameter ini sangat tergantung pada waktu

kegagalan, waktu perawatan dsb. Dengan kata lain, komponen-komponen di

dalam sistem akan gagal tidak pada waktu yang sama, dan juga akan diperbaiki

tidak pada waktu yang sama pula. Dengan demikian maka time to failure (TTF)

komponen pun akan berbeda satu sama lain. Perbedaan TTF ini akan

mempengaruhi karakter sebaran data kegagalannya yang direpresentasikan

dengan perbedaan nilai parameter distribusinya.

TTF komponen tertentu mungkin diwakili oleh distribusi peluang yang sama,

namun memiliki nilai paramterer yang berbeda. TTF komponen juga sangat

mungkin diwakili oleh jenis distribusi yang berbeda, sehingga parameter yang

mewakili masing-masing distribusi tersebut juga berbeda.

1

Komponen yang TTF nya diwakili oleh distribusi Weibull akan memiliki jenis

parameter distribusi β (shape parameter), γ (location parameter) dan η(scale

parameter). Sementara itu TTF yang terdistribusi eksponensial akan diwakili oleh

parameter distribusi λ (failure rate) dan TTF yang terdistribusi normal akan

diwakili oleh jenis parameter σ (standard deviation) dan μ (mean).

Pada bab sebelumnya jenis distribusi juga dikelompokkan menjadi dua kelompok

utama yakni distribusi diskrit dan distribusi kontinyu. Yang termasuk kedalam

kelompok distribusi diskrit adalah distribusi Poisson, distribusi hypergeometric,

dan distribusi binomial. Sementara yang termasuk kelompok distribusi kontinyu

adalah distribusi eksponensial, distribusi normal, distribusi Weibull dsb.

1.2 Terminologi Distribusi

Terminologi dan signifikansi dari distribusi peluang telah sebagian dijelaskan

pada bab-bab sebelumnya. Properti seperti probability density (mass) function,

expected value, mean, variance dan standard deviation telah pula dijelaskan

pada bab sebelumnya. Pada evaluasi keandalan, properti tersebut sering

diistilahkan berbeda menyesuaikan dengan properti keandalan. Pada bab ini

akan dijelaskan terlebih dahulu terminologi distribusi yang akan dipergunakan di

dalam evaluasi keandalan.

Cummulative distribution function memiliki nilai mulai dari 0 (nol) hingga 1 (unity).

Pada data diskrit, pertambahannya terjadi secara diskrit dan pada data kontinyu

pertambahan diwakili oleh sebuah fungsi kontinyu. Pada evaluasi keandalan,

random variabel yang umum dipergunakan adalah waktu (t). Saat t=0 maka

diasumsikan komponen mulai beroperasi dan peluang kegagalannya adalah 0.

Dengan bertambahnya waktu operasi maka pada waktu t=∞ peluang kegagalan

komponen adalah 1. Karakteristik ini sesuai dengan konsep cummulative

distribution function dan merupakan peluang kegagalan komponen sebagai

fungsi waktu. Pada terminologi keandalan, cummulative distribution function lebih

dikenal dengan sebutan cummulative failure distribution function atau lebih

sederhana sering disebut dengan cummulative failure distribution (Q(t)).

2

Pada kasus praktis akan lebih menguntungkan jika kita menghitung peluang

sukses pada waktu tertentu (R(t)), bukan peluang gagalnya (Q(t)). Peluang

sukses merupakan komplemen dari peluang gagal sehingga:

R(t) = 1 – Q(t)......................................................................

Turunan pertama dari cummulative distribution function sebuah random varaibel

kontinyu akan menhasilkan probability density function. Pada evaluasi keandalan

turunan pertama dari cummulative distribution function sebuah random varaibel

kontinyu akan menghasilkan fungsi yang kurang lebih sama dengan probability

density function, dan sering disebut dengan failure density function, dimana:

f(t) = dQ(t)/dt = -dR(t)/dt ......................................................

sehingga

∫=t

dttftQ0

)()( .......................................................................

Dengan demikian

∫−=t

dttftR0

)(1)( ...................................................................

f(t)

time

Q(t) R(t)

Gambar 1.2-1 Failure density function

Karena luasan total dibawah kurva failure density function adalah satu, maka

persamaan diatas dapat ditulis sebagai:

∫∞

−=t

dttftR )(1)( ...................................................................

3

Selain konsep cummulative distribution function dan failure density function,

terdapat konsep-konsep lainnya yang sangat sering dipergunakan dalam

evaluasi keandalan yakni hazard rate, failure rate, repair rate, force of mortality,

age specific failure rate, dsb. Pada bab ini hanya akan dijelaskan tentang hazard

rate. Konsep lainnya akan dibahas pada bab VI tentang metode Markov.

Hazard rate adalah ukuran laju kegagalan pada waktu tertentu. Ini berbeda

dengan failure rate, yang memiliki makna jumlah kegagalan dalam rentang waktu

tertentu. Hazard rate sangat tergantung dengan jumlah sampel yang dianalisa.

Sebagai contoh, jumlah kegagalan pada komponen tertentu dan pada rentang

waktu tertentu antara sampel yang berjumlah 100 akan lebih kecil dari jumlah

kegagalan dari sampel sejumlah 1000, sekalipun hazard rate nya adalah sama.

Sama halnya juga, jumlah kegagalan antara sampel sejumlah 100 dan 1000

akan sama jika komponennya berbeda dan rentang waktu operasinya juga

berbeda. Dalam hal ini komponen pada sampel yang pertama akan memiliki

hazard rate yang lebih besar dibandingkan dengan sampel yang kedua.

Dengan demikian hazad rate λ(t) sangat tergantung pada jumlah kegagalan

dalam satuan waktu tertentu dan jumlah komponen yang dijadikan obyek analisa.

Dengan demikian

λ(t) = jml gagal per unit waktu/jml obyek yang dianalisa ....

1.3 Fungsi Umum Keandalan

Jika sejumlah No buah komponen diuji, dan Ns(t) adalah jumlah komponen

sukses (survive) dan Nf(t) jumlah komponen gagal dan No = Nf(t) + Ns(t)

Keandalan atau peluang sukses dari komponen tertentu sebagai fungsi waktu

akan menjadi:

NotNf

NotNfNo

tNotNstR )(1)()()()( −=

−== ........................................

Peluang gagalnya komponen atau cummulative failure distribution Q(t) akan

menjadi:

4

NotNf

tQ)(

)( = ..........................................................................

Dari kedua persamaan diatas diperoleh

)()(.1)()(

tdtdNf

NodttdQ

dttdR −

=−

= ..................................................

Jika dt 0, maka

)()(.1)(

tdtdNf

Notf = ..................................................................

Dengan demikian ekspresi hazard rate akan menjadi:

)()(.1

)()()(.

)(1

)()(.

)(1)(

tdtdNf

NotNsNo

tdtdNf

tNsNoNo

tdtdNf

tNst ===λ ........

dttdR

tRtf

tRt )(.

)(1)(.

)(1)( −==λ ................................................

Dari ekspresi diatas diketahui bahwa saat t=0, maka f(0) = 0 karena R(0) = 1.

Disamping itu juga terlihat baha hazard rate fungsi yang tergantung pada failure

density function. Dalam konteks phisik dapat diterjemahkan bahwa failure density

function memungkinkan peluang gagal dihitung disetiap waktu pada masa yang

akan datang, sementara hazard rate memungkinkan peluang kegagalan dihitung

pada masa yang akan datang dimana diketahui bahwa sistem/komponen dalam

kondisi sukses sampai waktu t.

Dari persamaan diatas diperoleh:

∫∫ −=t

o

tR

dtttdRtR

)()(.)(

1)(

1

λ .....................................................

................................................................ ∫ −=t

o

dtttR )()(ln λ

........................................................................... tetR λ−=)(

5

1.4 Evaluasi Fungsi Keandalan

Guna memberikan ilustrasi prosedur dalam melakukan evaluasi berbagai fungsi

keandalan, contoh berikut akan dievaluasi. 1000 buah komponen yang identik

dievaluasi . Diperoleh hasil evaluasi seperti pada tabel berikut: 1 2 3 4 5 6 7 8

time interval jumlah l

cummulative Jumlah failure density cummulative survivor Hazard dalam 100 jam gagal failures Sukses function failure dist. function Rate

(1000-‘2’) ‘2’/1000 1-‘6’ ‘2’/ave’4’ Nf Ns f Q R λ 0 140 0 1000 0,14 0 1 0,151 1 85 140 860 0,085 0,14 0,86 0,104 2 75 225 775 0,075 0,225 0,775 0,102 3 68 300 700 0,068 0,3 0,7 0,102 4 60 368 632 0,06 0,368 0,632 0,100 5 53 428 572 0,053 0,428 0,572 0,097 6 48 481 519 0,048 0,481 0,519 0,097 7 43 529 471 0,043 0,529 0,471 0,096 8 38 572 428 0,038 0,572 0,428 0,093 9 34 610 390 0,034 0,61 0,39 0,091 10 31 644 356 0,031 0,644 0,356 0,091 11 28 675 325 0,028 0,675 0,325 0,090 12 40 703 297 0,04 0,703 0,297 0,144 13 60 743 257 0,06 0,743 0,257 0,264 14 75 803 197 0,075 0,803 0,197 0,470 15 60 878 122 0,06 0,878 0,122 0,652 16 42 938 62 0,042 0,938 0,062 1,024 17 15 980 20 0,015 0,98 0,02 1,200 18 5 995 5 0,005 0,995 0,005 2,000 19 1000 0 0 1 0

Hazard rate sebagai fungsi waktu

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

interval waktu

haz

ard

rat

e

III III

Gambar 1.4-2 Hazard Rate sebagai fungsi interval waktu

6

Keandalan

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

waktu interval

indeks

kea

ndal

an

Gambar 1.4-3 Keandalan sebagai fungsi interval waktu

fa i l ure dens i ty functi on

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

interval

f(t)

III

III

Gambar 1.4-4 Failure Density Function

Cummulati ve Fa i l ure Di s tri bution

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

interval

Q(t

)

Gambar 1.4-4 Cummulative Failure Distribution

7

Hazard rate seperti terlihat pada gambar 2 menunjukkan bentuk umum dari

komponen non-elektronik yang sering dikenal dengan istilah ”bath-tub curve”.

Kurva ini dibedakan menjadi 3 periode; periode I, periode II dan periode III.

Periode I sering dikenal dengan istilah burn in period atau infant mortality period

ataupun debugging period, yang ditunjukkan dengan penurunan hazard rate

sebagai fungsi usia komponen atau waktu operasi. Tingginya hazard rate pada

awal periode ini sering disebabkan karena kesalahan produksi, kesalahan disain

ataupun kesalaham assembly. Periode II dikenal dengan istilah useful life period

yang ditandai dengan nilai hazard rate yang konstan. Hanya distribusi

eksponensial yang berlaku pada periode II ini. Periode ke III merepresentasikan

daerah dimana keausan komponen sudah mulai terjadi. Periode ini dikenal

dengan istilah wear-out period yang ditandai dengan peningkatan hazard rate

sebagai fungsi waktu. Ketiga periode ini juga dapat terlhat pada gambar 4 yang

menunjukkan failure density function. Pada gambar ini terlihat bahwa periode II

tepat mewakili kurva negatif eksponensial. Periode III dapat diwakili oleh

distribusi normal, Weibull ataupun Gamma.

Secara umum bath-tub curve dapat digambarkan untuk komponen elektronik dan

mekanik. Komponen elektronik umumnya diwakili oleh useful life period yang

agak panjang, sementara komponen mekanik memiliki useful life period yang

relatif pendek.

1.5 Distribusi Poisson

Sebuah random variabel x dikatakan memiliki distribusi poisson jika probability

mass function dari x adalah:

!);(

xexp

xλλλ−

= dimana x = 0,1,2....... untuk λ>0

Poison distribution (sama seperti eksponential distribution) hanya berlaku jika λ

(dalam konteks reliability sering disebut dengan hazard rate atau failure rate)

adalah konstan di sepanjang waktu. λ disini bisa laju per unit waktu atau per unit

luas, miss: laju kegagalan komponen pada sistem mekanik, dsb. ”e” adalah nilai

dasar logaritmik natural yang besarnya adalah 2.71828.

8

Jika dt adalah interval yang cukup kecil, dimana probabilitas terjadinya lebih dari

satu kejadian (kegagalan) adalah nol (0) maka

λdt = probability of failure dalam interval dt, i.e. dalam periode (t, t+dt)

Kasus zero failure

Jika Px(t) adalah probabilitas terjadinya kegagalan sejumlah x kali dalam interval

(0,t) , maka probability of zero failure dalam rentang (0, t+dt) adalah probability

of zero failure dalam interval (0,t) x probability of zero failure dalam interval (t,

t+dt)

Po(t + dt) =Po(t) . (1 - λdt)

Jika kedua kejadian tersebut adalah bebas satu sama lain (independent) maka

[ Po(t + dt) - Po(t) ] / dt = -λPo(t)

Jika dt 0, atau interval menjadi sangat kecil dan mendekati nol (0), maka

dPo(t)/dt = -λPo(t) jika di integralkan akan menjadi ln Po(t) = -λt + C

Pada t=0, di asumsikan bahwa komponen dalam keadaan beroperasi, sehingga

pada t=0 Po(0) = 1, Ln Po(t) = 0 dan ini memberikan nilai C = 0, sehingga :

Po(t) = e-λ t ...................................................................................

Rumus diatas adalan ekspresi pertama dari poisson distribution yang

menunjukkan probability of zero failures dalam rentang waktu t. Dalam konteks

reliability, maka:

Keandalan sebagai fungsi waktu adalah R(t) = e-λ t

Ketidakhandalannya adalah Q(t) = 1- R(t) = 1- e-λ t

Probability of failure density function-nya adalah f(t) = -dR(t)/dt = λe-λ t

Kasus multiple failure

Jika Px(t) adalah peluang/probabilitas kegagalan terjadi x kali dalam interval (0, t),

maka:

9

Px (t+dt) = Px(t) . [ P(zero failure pada interval t, t+dt ) ] +

Px-1(t) . [ P(one failure pada interval t, t+dt ) ] +

Px-2(t) . [ P(two failure pada interval t, t+dt ) ] + .....

P0(t) . [ P(x failure pada interval t, t+dt ) ]

Akan tetapi karena dt adalah interval yang sangat kecil sehingga peluang

terjadinya kegagalan lebih dari satu adalah nol (0), maka:

Px (t+dt) = Px(t) . [ P(zero failure pada interval t, t+dt ) ] +

Px-1(t) . [ P(one failure pada interval t, t+dt ) ]

= Px (t)(1-λ dt) + Px-1(t)( λ dt)

= Px (t) - λ dt [ Px (t) - Px-1(t) ]

Dengan demikian, maka:

Px (t)=[ (λt)x . e-λ t ]/ x! ................................................................

Ekspresi λt diatas sering disimbolkan dengan μ yang tidak lain adalah expected

value (E(x) (nilai harapan).

Contoh 6.1:

Jika x adalah jumlah retak pada permukaan boiler yang dipilih secara acak dan

terdistribusi poisson dengan λ = 5, maka berapakah probabilitas boiler yang

secara acak dipilih akan memiliki retak sejumlah 2.

P(X=2) = [e-5 . (5)2] / 2! = 0.084

Peluang boiler memiliki paling banyak 2 retak adalah:

P(XO2) = ∑=

−−

=++=2

0

55

125.0)!2

2551(!5

x

xe

xe

Pada beberapa buku statistik, distribusi Poisson dipergunakan sebagai

pendekatan terhadap distribusi binomial. Hubungan antara distribusi Poisson dan

binomial dapat diuraikan sebagai berikut:

10

Peluang sebuah kejadian sukses sejumlah r kali dalam n kali eksperimen

dirumuskan dengan:

rnr qprnr

n −

−=

)!(!!Pr ............................................................

Jika n >> r, maka:

rnrnnnnrn

n≅+−−−=

−)1)......(2)(1(

)!(!

Sehingga, rnrr

qprn −=

!Pr

Demikian juga halnya jika nilai p adalah sangat kecil dan r relatif kecil jika

dibandingkan dengan n, maka

qn-r ≈ (1-p)n, sehingga akan memberikan

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−

+−=−= .....)(!2

)1(1!)()1(

!)(Pr 2pnnnp

rnpp

rnp r

nr

Jika nilai n adalah besar, maka n(n-1) ≈ n2, sehingga akan menghasilkan

nprr

er

npnpnpr

np −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−=

!)(.....

!2)(1

!)(Pr

2

Persamaan diatas terlihat identik dengan persamaan 412, dimana np = λt dan r =

x.

Harus diingat bahwa kesetaraan ini hanya berlaku jika nilai n relatif besar, n>>r

dan p sangat kecil. Acuan yang biasa dipergunakan adalah jika nilai n >20 dan

p<0.05. Harus juga diingat bahwa expected value untuk distribusi binomial

adalah (np) atau (λt) dalam distribusi Poisson. Standar deviasi untuk distribusi

binomial adalah σ = (npq)1/2 atau nilainya setara dengan (λt)1/2 pada distribusi

Poisson.

Contoh 6.2:

11

Peluang sukses dari satu eksperimen adalah 0.1, berapakah peluang dalam 10

kali eksperimen akan diperoleh 2 sukses dengan distribusi binomial dan

Poisson?

Dengan distribusi binomial diperoleh:

P(2) = 10C2 0.12 x 0.98 = 10!/(2!. 8!) x 0.12 x 0.98 = 0.1937

Dengan distribusi Poisson diperoleh:

np = 10 x 0.1 = 1.0

P(2) = 1.02/2! e-1.0 = 0.1839

Contoh 6.3:

Ulangi soal 6.2 diatas dengan jumlah eksperimen adalah 20 serta peluang

sukses satu eksperimen adalah 0.005.

Dengan distribusi binomial diperoleh:

P(2) = 10C2 0.12 x 0.98 = 20!/(2!. 18!) x 0.0052 x 0.99518 = 0.0043

Dengan distribusi Poisson diperoleh:

np = 20 x 0.005 = 0.1

P(2) = 0.12/2! e-0.1 = 0.0045

1.6 Distribusi Normal

Distribusi normal sering disebut dengan distribusi Gaussian adalah salah satu

jenis distribusi yang paling sering digunakan dalam menjelaskan sebaran data.

Probability density function dari distribusi normal adalah simetris terhadap nilai

rata-rata (mean) dan dispersi terhadap nilai rata-ratanya diukur dengan nilai

standard deviasi. Dengan kata lain parameter distribusi normal adalah mean dan

standard deviation.

12

Probability density function dari distribusi normal dapat ditulis dengan:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

2

2

2)(exp

21)(

βα

πβxxf

.......................................................

Jika mean (μ) dan standard deviasi (σ), maka ekspresi diatas dapat ditulis:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

2

2

2)(

exp2

1)(σ

μπσ

xxf

.......................................................

σ=3

0.399/σ

μ

σ=1

σ=2

f(x)

x

Gambar 1.4-5 Probability density function distribution normal

Q(x)

x0

10.841

0.5

0.159

μ μ + σμ - σ

λ(x)

x0

0.798/σ

μ

Gambar 1.4-6 Cummulative distribution function dan Hazard rate

Terlihat bahwa kurva melewati titik dengan probabilitas 0.5 jika random variabel x

memiliki nilai μ. (expected value). Ini adalah karakteristik khusus dari distribusi

normal yang menunjukkan bahwa distribusi normal sangat simetris terhadap nilai

rata-rata.

13

Nilai μ menunjukan posisi dari kurva dan sering disebut dengan istilah location

parameter. Nilai σ menunjukkan derajat kemencengan (dispersi) dan sering

dikenal dengan istilah scale parameter.

Luar daerah dibawah p.d.f adalah sama dengan satu (unity), dengan demikian

maka:

12

)(exp2

12

2=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−∫

∞

∞−

dxxσ

μπσ

Persamaan diatas berarti bahwa luasan daerah dibawah kurva density function

antara dua titik tidak terbatas harus mencakup semua random variable x yang

mungkin dan harus sama dengan satu.

Akan tetapi hitungan integral ini sangat kompleks. Karena itu, dalam kasus

distribusi normal umum digunakan teknik pendekatan dengan hitungan manual,

dengan konversi sebagai berikut:

z = (x-μ)/σ, yang akan menyederhanakan persamaan failure density function

menjadi:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

2exp

21)(

2zzfπ , ................................................................

dimana random variabel sekarang adalah z, nilai rata-rata (mean) nya adalah 0

(nol) dan standar deviasinya adalah 1 (unity). Substitusi ini menghasilkan kurva

standard dimana deviasi dari random variabel terhadap mean diekspresikan

dalam parameter z. (lihat tabel z pada buku-buku statistik). Pada tabel ini luasan

daerah dibawah kurva density function dapat dicari berdasarkan nilai μ dan nilai

σ.

Dari gambar 1.4-7 terlihat bahwa total luas dalam interval ± 3σ adalah 0.9972

atau mendekati 1 (unity). Dengan demikian nilai ± 3σ sering dipergunakan

sebagai confidence limit dari distribusi normal.

14

0.02140.0214

0.13590.1359

0.34130.3413

0-1 1 2-2 3-3

Gambar 1.4-7 Standard normal density function

Kasus: PLN memasang 2000 lampu yang memiliki usia rata-rata 1000 jam

pemakaian dengan standard deviasi 200 jam. Berapa lampu yang diharapkan

gagal setelah 700 jam operasi?

0 1.5 -1.5 1000 1300700

x

zxx

μ = 1000 dan σ = 200 z = (700-1000)/200

= -1.5, Dari tabel didapat luasannya

adalah:

0.5 – 0.4332 = 0.0668, sehingga:

Q(1.5) = 0.0668 , Q(-1.5) = 0.0668

E(x) = 2000x0.0668 = 134 lampu

Berapa lampukah diharapkan akan gagal dalam interval waktu 900 dan 1300 jam.

A1: z = (900-1000)/200 = -0.5

0 1.5 -0.51000 1300900

x

z

A1

A2 A2: z = (1300-1000)/200 = 1.5

Dari tabel A1 = 0.1915 A2 = 0.4332

Total area adalah = 0.1915+0.4332 =

0.6247

E(x) = 2000 x 0.6247 = 1250 lampu

Dalam berapa waktukah diperkirakan

15

bahwa 10% dari lampu akan mengalami

kegagalan:

0

10%

-1.2817 1000 744

x

z

harus dicari nilai z yang memberikan

luasan 10% seperti pada gambar

disamping.

0.5 - 0.1= 0.400, dimana z = -1,2817

Jadi (x-1000)/200 = -1.2817

X = 744 jam.

1.7 Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial, atau distribusi negatif eksponensial merupakan salah

satu distribusi yang paling sering muncul dalam konteks evaluasi keandalan.

Pada distribusi ini, laju kegagalan adalah konstan (λ = C). Distribusi

eksponensial adalah kasus khusus dari distribusi Poisson jika hanya kegagalan

yang pertama saja yang diperhitungkan. Distribusi eksponensial hanya berlaku

pada useful life period saja pada bath-tub curve.

Pada penjelesan sebelumnya telah diuraikan bahwa peluang sebuah komponen

sukses daram rentang waktu t jika hazard rate nya konstan adalah:

R(t) = e-λt ......................................................................................

Dengan demikian, failure density function nya adalah: f(t) = -dR(t)/dt =λe-λt ....................................................................

Density function (a) diwakili oleh cummulative failure distribution (Qt) dan survivor

function (Rt). Dua area ini dapt dihitung dengan:

∫ −− −==t

tt edtetQ0

.. 1.)( λλλ dan ∫∞

−− ==−=t

tt edtetQtR ...)(1)( λλλ

16

λ

t

f(t)

λ

0.368λ

1/λ

λ f(t)

0 t time

1.0

0.632

f(t) λ (t)

t t

(a)

(b) (c) (d)

Q(t)R(t)

1/λ

Gambar 1.4-8 (a) Q(t) dan (R(t), (b) failure d.f, (c) cum. Fail. Dist., (d) hazard rate

Nilai harapan (expected value (E(x)) untuk distribusi eksponensial dan standard

deviation-nya adalah 1/λ . Expected value ini berkorespondensi dengan Mean

Time To Failure (MTTF) yang merupakan kebalikan dari nilai failure rate (λ).

MTTF dan MTBF (Mean Time Between Failure) adalah dua hal yang berbeda.

MTTF akan relatif sama dengan MTBF jika repair time (pada kasus repairable

component) adalah sangat kecil jika dibandingkan dengan waktu operasi.

1.8 Distribusi Weibull

Distribuisi weibull juga merupakan salah satu jenis distribusi kontinyu yang sering

digunakan, khususnya dalam bidang keandalan dan statistik karena

kemamapuannya untuk mendekati berbagai jenis sebaran data.

Failure density function: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

− β

β

β

ααβ tttf exp)(

1 dimana t>=0 dan β>0, α>0

17

αt

f(t)

1/α

0.368/αλ

α

1.0

0.632

Q(t) λ (t)

tt

β=1

(b) (c)

β=0.5

β=4 β=1

β=4

β=0.5 1/α β=1

β=4

β=0.5

(a)

Gambar 1.4-9 Weibull reliability function. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail.

Dist. (c) hazard rate

Survivor function : ∫∞

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==

t

tdttftRβ

αexp)()(

Cummulative faiure distribution: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=−=

β

αttRtQ exp1)(1)(

Hazard rate: β

β

αβλ

1.)()()(

−

==t

tRtft

Dimana β = shape parameter, α = η= scale patameter, γ = location parameter

β < 1 decreasing hazard rate (burn-in period)

β = 1 constant hazard rate (normal life period)

β > 1 increasing hazard rate (wear-out period)

Untuk weibull 3 parameter, variabel (t ) dikurangi dengan location parameter (γ)

Ada dua kasus khusus berkaitan dengan distribusi Weibull. Kasus yang pertama

adalah saat β = 1 dan yang kedua adalah saat β = 2.

Saat β = 1, maka failure density function nya adalah:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ααttf exp1)( .................................................................

18

Dan

αλ 1

)()()( ==

tRtft ...........................................................................

Kedua persamaan diatas adalah identik dengan persamaan yang bersesuaian

pada distribusi eksponensial dengan α = 1/λ sebagai MTTF.

Saat β = 2, maka failure density function nya adalah:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

2

2exp2)(

ααtttf ...............................................................

Dan

22

)()()(

αλ t

tRtft == ...........................................................................

Kedua persamaan diatas adalah identik dengan persamaan yang bersesuaian

pada distribusi Rayleigh dengan α = 1/λ sebagai MTTF.

Nilai harapan (expected value) dari distribusi Weibull diekspresikan dengan:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Γ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∫

∞ −

11exp.)(0

1

βα

ααβ β

β

βdtttttE ..................................

Dimana Γ adalah fungsi Gamma yang didifinisikan sebagai:

∫∞

−−=Γ0

1)( dtet tγγ ..........................................................................

Standar deviasi distribusi Weibull adalah:

)(exp. 2

0

122 tEdtttt −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∫

∞ − β

β

β

ααβσ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Γ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Γ= 1121 222

ββασ .....................................................

19

1.9 Distribusi Gamma

Distribusi Gamma memiliki karakter yang hampir mirip dengan distribusi Weibull

dengan shape parameter β dan scale parameter α. Dengan memvariasikan nilai

kedua parameter tersebut maka ada banyak jenis sebaran data yang dapat

diwakili oleh distribusi Gamma.

Failure density function: ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Γ=

−

αβα β

β tttf exp)(1

dimana t>=0 dan β>0, α>0

Survivor function : ( )

dtttdttftRt t∫ ∫∞ ∞ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Γ==

αβα β

βexp)()(

1

Cummulative faiure distribution: ( )

dttttRtQt

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Γ=−=

−

∫ αβα β

βexp)(1)(

1

0

Jika z=t/α dan αdz = dt, maka:

( ) ( )[ ]dzzztQt

−Γ

= ∫ − exp1)(/

0

1α

β

β.....................................................

Ada dua kasus khusus berkaitan dengan distribusi Gamma. Kasus yang pertama

adalah saat β = 1 dan yang kedua adalah saat β = integer.

Saat β = 1, maka failure density function nya adalah:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ααttf exp1)( .................................................................

Persamaan diatas adalah identik dengan persamaan yang bersesuaian pada

distribusi eksponensial dengan α = 1/λ sebagai MTTF.

20

Saat β = integer, maka failure density function nya adalah:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

−

αβα β

β tttf exp)1(

)(1

.......................................................

Berturut-turut expected value dan standar deviasi untuk distribusi Gamma adalah

E(t) = βα dan σ2 = βα2

α

β=1

αt

f(t)

1/α

0.368/α

α

1.0

0.632

Q(t) λ (t)

tt

β=1

(b) (c)

β=0.5

β=3 β=3

β=0.5

1/αβ=1

β=3

β=0.5

(a)

Gambar 1.4-10 Gamma reliability function. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail.

Dist. (c) hazard rate

1.10 Distribusi Rayleigh

Distribusi Rayleigh adalah kasus spesial dari distribusi Weibull. Distribusi ini

ditentukan oleh satu parameter sama seperti pada distribusi eksponensial.

Failure density function: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2exp)(

2ktkttf dimana k adalah parameter tunggal

yang ekuivalen dengan kasus khusus distribusi Weibull saat β=2 dan k=2/α2

Survivor / reliability function : ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

2exp)(

2kttR

Cummulative faiure distribution: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=−=

2exp1)(1)(

2kttRtQ

Hazard rate : λ(t) = kt

21

t

f(t) (k/c)1/2

0.368/α

1/(k)1/2

1.0

0.393

Q(t) λ (t)

tt

(b) (c)

K1/2

(a)

1/(k)1/2 1/(k)1/2

Gambar 1.4-11 Rayleigh reliability function. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail. Dist. (c) hazard rate

1.11 Distribusi Lognormal

Distribusi lognormal sama seperti distribusi normal memiliki 2 distribusi

parameter.

Probability density function dari distribusi normal dapat ditulis dengan:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

2

2

2)(lnexp

21)(

σμ

πσt

ttf untuk tP0

Dengan demikian maka random variabel X memiliki distribusi lognormal dengan

parameter σ dan μ jika ln X terdistribusi normal dengan parameter σ dan μ.

Namun perlu dicatat bahwa sekalipun σ dan μ adalah standar deviasi dan nilai

rata-rata dari ln X, kedua parameter tersebut bukanlah standar deviasi dan nilai

rata-rata dari X.

Cummulative failure distribution: ( ) dttt

tQt

∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

02

2

2lnexp

21)(

σμ

πσ

Jika z = (ln t - μ)/σ dan dz = dt/σt, maka:

( ) dzztQt

∫−

∞− ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

σμ

π

/)(ln 2

2exp

21)(

...............................................

Persamaan tersebut diatas identik dengan cummulative failure distribution

distribusi nornmal.

22

Expected value dan standar deviasi distribusi lognormal adalah:

E(t) = exp(μ+0.5σ2)......................................................................

σ = [exp(2μ+2σ2)- exp(2μ+σ2)]1/2...............................................

t

f(t)

eμ

1.0

0.5

Q(t) λ (t)

tt

1.5

(b) (c)

1.0

0.3 0.3

1.5

1.0

1.0

0.3

1.5

(a)

eμ eμ

Gambar 1.4-12 Lognormal reliability function. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail.

Dist. (c) hazard rate

23