Bab 2 Tinjauan Pustaka - Perpustakaan Digital · PDF file2.2 Bunga Majemuk Jenis bunga yang...

Bab 2

Tinjauan Pustaka

2.1 Pendahuluan

Sebelum melakukan penganalisisan untuk pemodelan matematika aktuaria yang

mengarah ke reversionary anuities maka kita perlu memperkaya diri dengan teori-

teori pendukungnya sehingga apa yang kita hendak tuju dalam penulisan tesis ini

dapat diperoleh.

2.2 Bunga Majemuk

Jenis bunga yang digunakan adalah bunga majemuk. Didefinisikan sebagai suatu

perhitungan bunga yang besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar

pokok sebelumnya ditambah dengan besar bunga yang diperoleh. Besarnya pen-

dapatan bunga tergantung pada besar pokok, jangka waktu investasi dan tingkat

bunga.

Dalam bunga majemuk didefinisikan fungsi sebagai faktor diskonto (v) :

v =1

1 + i(2.1)

Sedangkan untuk tingkat diskonto (d) didefinisikan , sebagai berikut :

d = 1− v =i

1 + i= i.v (2.2)

4

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 5

Definisi 2.2.1 (the force of interest) :

The force of interest didefinisikan oleh

δ = limm→∞

i(m) = limm→∞

(1 + i) (2.3)

maka diperoleh

eδ = (1 + i) atau δ = ln (1 + i) (2.4)

2.3 Mortalitas

Mortalitas diungkapkan dengan variabel acak T (x). Misalkan seseorang beru-

sia x tahun, dinotasikan sebagai (x), maka sisa umurnya (future lifetime), T (x) =

X−x|X > x, artinya variabel acak yang menyatakan (x) akan meninggal sesudah

mencapai usia x tahun, bila diketahui ia masih hidup pada usia x tahun. Dapat

dituliskan variabel acak dari sisa kehidupan (x) adalah X − x = T (x). Dengan

demikian X = T (x) + x. Jadi T (x) adalah periode (x) akan meninggal.

Fungsi distribusi (d.f.) dari variabel acak T (x) = X − x|X > x yang kontinu

adalah

F (t) = Pr ((x) akan meninggal dalam periode t tahun)

= Pr (T (x) ≤ t|X > x) , t ≥ 0

F (t) = tqx (2.5)

dan fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak T (x) dinyatakan dengan

f (t) = Pr (t < T (x) < t+∆t) =d

dtF (t) .

Dari persamaan (2.10) akan diperoleh hubungan sebagai berikut

tpx + tqx = 1

dimana notasi tpx menyatakan peluang bahwa (x) hidup paling sedikit t tahun

lagi atau akan meninggal setelah t tahun, yang biasanya disebut sebagai fungsi

survival dari variabel acak T (x), yaitu

s (t) = Pr (T (x) > t|X > x) .


Bila x = 0 maka tp0 menyatakan peluang bayi yang baru lahir bisa mencapai

usia t tahun, yaitu suatu fungsi survival yang dinyatakan dengan notasi s (t) = tp0.

Bila t = x maka diperoleh peluang bayi baru lahir bisa mencapai usia x.

s (x) = xp0.

Misalkan lx menyatakan banyaknya orang berusia x tahun yang hidup dari

sejumlah l0 yang lahir, maka akan diperoleh beberapa hubungan sebagai berikut

lx = l0.s (x) = l0.xp0 (2.6)

tpx =lx+tlx

tqx = 1−t px = 1−lx+tlx

=lx − lx+t

lx=

dxlx

dimana dx menyatakan banyaknya orang berusia x tahun yang mati sebelum men-

capai usia (x+ 1) tahun.

Definisi 2.3.1 (the force of mortality) :

The force of mortality dari (x) pada usia x+ t didefinisikan dengan

μx+t =f (t)

1− F (t). (2.7)

Definisi diatas dapat diturunkan lagi menjadi

μx+t = −dtpxdt

.1

tpx= − d

dtln (tpx) (2.8)

dan

tpx = exp

⎛⎝− tZ0

μx+s ds

⎞⎠ (2.9)

sehingga diperoleh fungsi kepadatan peluang dari T (x), yaitu

f (t) = tpx.μx+t (2.10)

sedangkan fungsi distribusi dari T (x) adalah

F (t) = tqx = 1− tpx = 1− exp

⎛⎝− tZ0

μx+s ds

⎞⎠ . (2.11)

Di dalam matematika aktuaria terdapat berbagai notasi yang sering digunakan

untuk menyatakan peluang (bersyarat), antara lain


1. upx+t adalah peluang bersyarat (x) akan mencapai usia x+ t+u tahun atau

akan meninggal setelah x+t+u tahun bila ia bisa mencapai usia x+t tahun,

yang dinyatakan dengan

upx+t = Pr (T (x) > t+ u|T (x) > t)

=t+upx

upx(2.12)

dimana t+upx adalah peluang tidak bersyarat bahwa (x) akan mencapai usia

x+ t+ u.

2. uqx+t adalah peluang bersyarat bahwa (x) akan meninggal sebelum usia x+

t+ u tahun bila ia bisa mencapai usia x+ t tahun, yang dinyatakan dengan

uqx+t = 1− upx =t+uqx − tqx

tpx. (2.13)

3. t|uqx adalah peluang bahwa (x) akan meninggal antara usia x+ t tahun dan

x+ t+ u tahun, yang dinyatakan dengan

t|uqx = Pr (t < T (x) ≤ t+ u)

= Pr (T (x) ≤ t+ u)− Pr (T (x) ≤ t)

t|uqx = t+uqx − tqx (2.14)

= (1− t+upx)− (1− tpx)

= tpx − t+upx

= tpx (1− upx+t)

t|uqx = tpx.uqx+t (2.15)

untuk u = 1, maka

t|qx = tpx.qx+t. (2.16)

Pada kasus diskrit, sisa umur seseorang dinyatakan oleh variabel acak K (x)

yang didefinisikan denganK (x) = [T (x)] dengan notasi [T (x)] menyatakan bilan-

gan bulat terbesar yang lebih kecil dari T (x). Fungsi distribusi (d.f.) dari variabel


acak K (x) adalah

F (k) = Pr (K (x) ≤ k) = Pr (T (x) ≤ k + 1)

= k+1qx.

Sedangkan fungsi kepadatan peluang dari K (x) adalah

f (k) = Pr (K (x) = k) , k = 0, 1, 2, ...

= Pr ([T (x)] = k)

= Pr (k < T (x) ≤ k + 1)

= kpx − k+1px

= kpx.qx+k

= k|qx. (2.17)

Beberapa ilmuan telah melakukan penelitian untuk mencari distribusi T (x)

yang pada akhirnya menghasilkan beberapa macam hukummortalitas, yaituHukum

De Moivre, Hukum Gompertz, dan Hukum Makeham. Dalam tesis ini, Hukum

Gompertz akan dipakai untuk menentukan distribusi dari T (x).

Bila the force of mortality mengikuti Hukum Gompertz maka μx+t dapat dit-

uliskan dengan

μx+t = Bcx+t, B > 0, c > 0, t > 0

jika nilai B dan C sudah tertentu maka tpx dapat dituliskan sebagai fungsi dari

B, C, x, dan t

tpx = exp

⎛⎝− tZ0

Bcx+s ds

⎞⎠= exp

µ−Bcx. 1

ln c

¡ct − 1

¢¶= exp

¡−mcx

¡ct − 1

¢¢(2.18)

dimana

m =B

ln c

jika t = x dan x = 0 diperoleh fungsi survival bagi (x) sebagai berikut :

s (x) = xp0 = exp (−m (cx − 1)) . (2.19)


2.4 Anuitas (Annuity)

Anuitas didefinisikan sebagai suatu rangkaian pembayaran dalam jumlah ter-

tentu, yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu secara berkelanju-

tan. Suatu anuitas yang pasti dilakukan dalam jangka pembayaran disebut anuitas

pasti.

2.4.1 Anuitas Pasti (Pembayaran Tahunan)

Anuitas yang dibayarkan di awal jangka waktu pembayaran anuitas disebut anuitas

awal (annuity-due) sedang bila di akhir jangka waktu pembayaran disebut anuitas

akhir (annuity-immediate).

Total nilai sekarang dari anuitas akhir yang dapat dinotasikan sebagai ane

(annuity-immediate) adalah :

PV = ane = v + v2 + v3 + ...+ vn−1 + vn

dengan menggunakan rumus deret geometri, maka :

ane = v¡1 + v2 + v3 + ...+ vn−2 + vn−1

¢= v

µ1− vn

1− v

¶, dari persamaan (2.2) , maka

= v

µ1− vn

iv

¶ane =

1− vn

i(2.20)

Sedangkan anuitas awal yang dinotasikan sebagai ane (annuity-due) :

ane = 1 + v2 + v3 + ...+ vn−2 + vn−1

= v

µ1− vn

1− v

¶,

ane =1− vn

d(2.21)

2.4.2 Anuitas Pasti (Pembayaran m-kali setahun)

Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan m-kali dalam setahun dengan

selang pembayaran setiap 1/m tahun dan total pembayarannya dalam satu tahun


sebesar 1.

Maka total nilai sekarang dari anuitas tersebut yang dinotasikan, a(m)ne adalah :

a(m)ne =

1

m

¡v1/m + v2/m + v3/m + ...+ vn−1/m + vn

¢=

1

m

µv1/m − vn+1/m

1− v1/m

¶=

1− vn

mh(1 + i)1/m − 1

i ,a(m)ne =

1− vn

i(m)(2.22)

Sedangkan untuk anuitas awal yang dinotasikan a(m)ne :

a(m)ne =

1

m

¡1 + v1/m + v2/m + v3/m + ...+ vn−1/m

¢=

1

m

µ1− vn

1− v1/m

¶=

1− vn

mh1− (1− d)1/m

i ,a(m)ne =

1− vn

d(m)(2.23)

2.4.3 Anuitas Pasti (Pembayaran Kontinu)

Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan m kali dalam setahun dengan

m → ∞, atau dengan kata lain pembayarannya dilakukan setiap saat. Notasi

anuitas tersebut adalah ane

ane = limm→∞

a(m)ne = lim

m→∞

1− vn

i(m)

=1− vn

δ(2.24)

2.5 Anuitas Hidup (Life Annuity)

Anuitas hidup (Life Annuity) adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan

selama seseorang tertentu masih hidup. Besarnya pembayaran bisa tetap atau

berubah-ubah.


Jenis anuitas yang digunakan adalah anuitas seumur hidup (Whole Life Insur-

ance).

2.5.1 Anuitas Hidup Kontinu (Continuous Life Annuities)

Anuitas seumur hidup sebesar 1 per akhir tahun dengan pembayaran kontinu atau

setiap saat. Nilai sekarang dari pembayaran anuitas tersebut variabel acak Y

adalah

Y = aT e, T ≥ 0

dari persamaan (2.24) didapat

aT e =1− vT

δ

Actuarial Present Value (APV ) dari anuitas tersebut adalah

ax = E [Y ] = E£aT e¤

=

∞Z0

ate.g (t) dt

dengan menggunakan pengintegralan parsial integral tentu :bZa

u dv = [uv]ab −bZa

v du

Andaikan : u = aTe ⇒du

dt=

d

dt

µ1− vt

δ

¶=

d

dt

µ−v

t

δ

¶= −1

δ

dvt

dt

= −1δ.vt. ln v =

1

δ.vt. ln (1 + i)−1 =

1

δ.vt.δ

= vt ⇒ du = vt.dt

dv = g (t) dt

dv = tpx.μx+t dt → v = −tpx

sehingga :

ax =

∞Z0

ate.g (t) dt

= ate.tpx¯∞0−

∞Z0

−tpx.vt dt


jika : t =∞ → tpx = 0 ; ate =1− v∞

δ=1

δ

t = 0 → tpx = 1 ; ate =1− v0

δ= 0

Maka :

ax = E£aTe¤=

∞Z0

vt.tpx dt (2.25)

Hubungan antara anuitas seumur hidup dengan asuransi seumur hidup yang

kontinu :

E£aT e¤= E

∙1− vT

δ

¸=

∞Z0

1− vT

δ.g (t) dt

=1

δ− 1

δ

∞Z0

vt.g (t) dt

maka :

ax =1

δ− 1

δAx =

1− Ax

δ

δax = 1− Ax ⇒ Ax + δax = 1 (2.26)

2.5.2 Anuitas Hidup Diskrit (Discrete Life Annuities)

Anuitas hidup diskrit menggunakan anuitas awal (annuity-due) yang pembayaran-

nya setiap awal tahun. Nilai sekarang dari pembayaran anuitas tersebut yang

merupakan variabel acak dari Y adalah :

Y = aK+1|, K ≥ 0

dari persamaan (2.21) akan didapat :

aK+1| =1− vK+1

d


APV dari anuitas tersebut, ax :

ax = E [Y ] = EhaK+1|

i=

∞Xk=0

ak+1|.Pr (K = k)

=∞Xk=0

ak+1|.kpx.qx+k

=∞Xk=0

vk.kpx (2.27)

Hubungan anuitas dengan asuransi adalah :

ax = EhaK+1|

i= E

∙1− vK+1

d

¸maka akan didapat :

ax =1−E

£vK+1

¤d

=1−Ax

d(2.28)

2.5.3 Anuitas Hidup dengan m-kali Pembayaran

APV dari anuitas hidup sebesar 1 pertahun, yang dibayarkan 1/m pada awal

setiap 1/m tahun selama orang berusia (x) tersebut hidup hingga K+(J + 1) /m.

Variabel acak Y adalah :

Y =

mk+jXj=0

1

mvj/m

= a(m)

K+(J+1)/m|

=1− vk+(j+1)/m

d(m)(2.29)

APV dari anuitas :

a(m)x = E [Y ] = Eha(m)

K+(J+1)/m|

i=

∞Xk=0

a(m)

k+(j+1)/m|.Pr (K = k)

=1

m

∞Xk=0

vk/m.k/mpx (2.30)


Hubungan anuitas dengan asuransi adalah :

a(m)x = Eha(m)

K+(J+1)/m|

i= E

∙1− vK+(J+1)/m

d(m)

¸(2.31)

maka akan didapat :

a(m)x =1− E

£vK+(J+1)/m

¤d(m)

=1−A

(m)x

d(m)(2.32)

2.6 Anuitas Survivor, Anuitas Reversionary

Anuitas yang dibayarkan kepada istri pada waktu suaminya meninggal disebut

Anuitas Janda, jika anuitas dibayarkan dengan syarat orangtuanya meninggal

disebut anuitas yatim (orphans annuity). Dalam istilah umum disebut Sur-

vivor Annuity, dalam bagian ini dibahas perhitungan-perhitungannya.

Pada anuitas ini dimulai pada waktu suami atau orangtuanyameninggal kepada

isteri atau anak akan dibayarkan sejumlah anuitas, pada anuitas yang jatuh waktu,

nilai sekarang pembayaran anuitas di waktu yang akan datang pada waktu kontrak

dimulai perhitungan premi tunggalnya bisa dilakukan (nilai sekarang dari survivor

annuity). Dari (x) , (y) , pada waktu (x) meninggal dunia dimulai pada akhir

tahun polis setiap tahun dilakukan pembayaran anuitas hidup sebesar 1 sejauh

(y) hidup, pembayaran terakhir dilakukan pada akhir tahun ke−n, nilai sekarang

anuitas tersebut dinyatakan dalam ax|y:n| dengan menggunakan nilai kemungkinan,

maka


ax|y:ne = qx py v ay+1:ne + 1|qx 2py v2 ay+2:n−1|

+ 2|qx 3py v3 ay+3:n−2| + ...+ n−1|qx npy v

n ay+n:1| (2.33)

= qx (pyv)¡1 + py+1 v + ...+ n−1py+1 v

n−1¢+ 1|qx

¡2pyv

2¢ ¡1 + py+2 v + ...+ n−2py+2 v

n−2¢+ 2|qx

¡3pyv

3¢ ¡1 + py+3 v + ...+ n−3py+3 v

n−3¢+.....

+ n−1|qx (npyvn)

= (pyv) qx +¡2pyv

2¢ ¡

qx + 1|qx¢+¡3pyv

3¢ ¡

qx + 1|qx + 2|qx¢

+....+ (npyvn)¡qx + 1|qx + ...+ n−1|qx

¢=

nXt=1

tpy vttqx =

nXt=1

vt (1− tpx) tpy (2.34)

Rumus pada (2.34) bisa diinterpretasikan sebagai syarat berikut. Pada saat pem-

bayaran anuitas satu demi satu, pada saat itu syarat pembayarannya adalah

digambarkan pada nilai kemungkinannya, pada saat itu nilai sekarang pemba-

yarannya anuitas dikalikan dengan vt jumlah totalnya digambarkan pada (2.34).

Dalam hal pembuatan formula reversionary annuity seperti dijelaskan dalam bagian

ini, untuk memperkenalkan akan lebih mudah bila menggunakan cara berpikir yang

demikian. Dari ruas kanan (2.34) dari bentukP−Pdidapatkan

ax|y:n| = ay:n| − axy:n| (2.35)

ruas kanan menggambarkan pembayaran anuitas hidup dari (y), dikurangi pem-

bayaran anuitas hidup (x) , (y) , sesudah (x) meninggal menggambarkan besarnya

pembayaran anuitas hidup kepada (y). Perhitungan menggunakan (2.35), menjadi

sederhana. Benefit anuitas seumur hidup kepada (y) dinyatakan untuk n → ∞,

seperti rumus berikut ini:

ax|y = ay − axy (2.36)


Berikut ini anuitas dalam setahun dibayarkan sebanyak k kali, setelah (x) mening-

gal, pembayaran anuitasnya berikutnya kepada (y) yang berupa anuitas hidup be-

sarnya adalah 1k−nya, n tahun kemudian pembayaran anuitas selesai, nilai sekarangnya

adalah

a(k)

x|y:n| =nkXt=1

³t−1kpx − t

kpx´

tkpy v

tk a

y+ tk:n− t−1

k| (2.37)

bentuk ini adalah similar dengan (2.33) , atau menggunakan cara yang pada (2.34) .

a(k)

x|y:n| = a(k)

y:n| − a(k)

xy:n| (2.38)

Jika k →∞, didapatkan

ax|y:n| = ay:n| − axy:n| (2.39)

(2.33) atau (2.36) , single life x atau y diganti dengan xy atau yang paling akhir

hidup xy dimasukkan pada rumus tersebut akan didapatkan suatu formula. Jika

persyaratan anuitasnya ditambahkan beberapa kondisi, aplikasi menjadi lebih luas

dari pada survivor annuity. Berikut ini diperlihatkan reversionary annuity (dan

juga survivor annuity).

1. (y) diganti dengan (y) dan (z) yang hidup bersamaan dimulai pada akhir

tahun polis pada waktu (x)meninggal, yang masih hidup (y) dan (z) , sampai

pada akhir tahun polis ke−n, setiap tahun dibayarkan anuitas hidup sebesar

1, similar dengan (2.33) nilai sekarangnya adalah:

ax|yz:n| =nXt=1

t−1|qx vt tpyz ay+t,z+t:n−t+1| (2.40)

dalam bentuk lain menjadi

ax|yz:n| =nXt=1

vt tqx tpyz =nXt=1

vt (1− tpx) tpyz (2.41)

atau juga

ax|yz:n| = ayz:n| − axyz:n| (2.42)


Jika dalam 1 tahun anuitasnya dibayarkan k kali, maka a diganti dengan

a(k) jika dibayarkan secara kontinu digunakan a, formulanya mirip dengan

(2.42) .

2. (x) diganti dengan (x) dan (y) yang hidup bersamaan, penerimaan anu-

itasnya adalah (z) , jika di antara (x) dan (y) ada yang meninggal (yang

manapun juga), pada akhir tahun polis tersebut jatuh tempo anuitas untuk

(z), dengan menggunakan t|qxy nilai sekarang anuitasnya

axy|z:n| =nXt=1

t−1|qxy vttpz az+t:n−t+1| (2.43)

Dengan menggunakan hubungan yang ada, didapatkan perubahan bentuk

seperti yang ada pada (2.33)

axy|z:n| =nXt=1

vt tqxy tpz =nXt=1

vt (1− tpxy) tpz (2.44)

juga didapatkan rumus berikut ini :

axy|z:n| = az:n| − axyz:n| (2.45)

3. (y) diganti dengan yang terakhir hidup di antara (y) dan (z) , dimulai pada

akhir tahun polis di mana (x) meninggal, nilai sekarang anuitas yang dibayar

sejauh (y) atau (z) hidup adalah:

ax|yz:n| =nXt=1

t−1|qxvt[tpy tqz ay+t:n−t+1| + tqy tpz az+t:n−t+1|

+ tpy tpz ay+t,z+t:n−t+1|] (2.46)

dalam hubungan ini didapatkan juga:

ax|yz:n| = ayz:n| − ax,yz:n| (2.47)

Suku ketiga a yang terdapat dalam [...] pada (2.46)

ax|yz:n| =nXt=1

t−1|qxvt[tpy ay+t:n−t+1| + tpz az+t:n−t+1|

+ tpyz ay+t,z+t:n−t+1|]


Dari yang ada dalam kurung, (2.33) , (2.40) didapatkan

ax|yz:n| = ax|y:n| + ax:z:n| − ax|yz:n| (2.48)

Dari hasil ini dengan menggunakan (2.35) dan (2.42) maka

ax|yz:n| =³ay:n| + az:n| − ayz:n|

´−³axy:n| + axz:n| − axyz:n|

´Suku pertamanya sama dengan ayz:n|, suku keduanya hasilnya sama dengan

ax,yz:n|, dari sinar (2.47) bisa dibuktikan. Jika menggunakan (2.34) , maka

ax|yz:n| =nXt=1

vt (1− tpx) tpyz (2.49)

ruas kanannya bisa dinyatakan dalamP−P, dan didapatkan (2.47) .

4. (x) diganti dengan yang hidup paling akhir di antara (x) dan (y) sebagai

penerima anuitas adalah (z) , dimulai pada akhir tahun pada waktu yang

hidup paling akhir di antara (x) dan (y) meninggal dimulai pembayaran

reversionary annuity kepada (z), dengan menggunakan t−1|qxy , maka nilai

sekarangnya

axy|z:n| =nXt=1

t−1|qxy vttpz az+t:n−t+1| (2.50)

Perubahan bentuk seperti (2.33) dapat dilakukan

axy|z:n| =nXt=1

vt tqxy tpz =nXt=1

vt (1− tpxy) tpz (2.51)

bisa didapatkan juga hubungan seperti di bawah ini:

axy|z:n| = az:n| − axy,z:n| (2.52)

Dengan melihat pengaruh yang ada pada point 1-4, berapapun jumlah ter-

tanggung secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut:

aX|Y :n| = aY :n| − aXY :n| (2.53)


sedang yang dimaksud dengan X adalah xyz..... atau xyz....., Y adalah

abc..... atau abc......

Pada reversionary annuity, premi tahunan dibayar sampai tahun di mana

pembayaran anuitasnya dimulai pada akhir tahun, (x) , (y) , (z) meninggal

secara berurutan, benefitnya jatuh tempo secara berurutan, atau sebelum

jatuh tempo kontraknya putus, akan diperhitungkan besar pendapatan premi.

Sebagai contoh premi tahunan untuk anuitas sebesar 1.

ax|y:n|axy:n|

,ax|yz:n|axyz:n|

,ax|yz:n|ax,yz:n|

Terakhir, bentuk dasar reversionary annuity, bentuknya dapat diubah dalam

2 macam seperti pada (1) .

5. m < n, dalam jangka waktum tahun yang dimulai pada saat kontrak dibuat

(x)meninggal dunia, dari akhir tahun polis tersebut, ataum tahun kemudian

(x) tetap hidup, dari akhir tahun polis tersebut, setiap tahun dibayarkan

kepada (y) anuitas sebesar 1, anuitas tersebut dibayarkan sampai akhir tahun

polis ke n, nilai sekarangnya dinotasikan dengan ax:m||y:n|

Dari (2.34) pembayaranmasing-masing anuitas dilakukan sampai akhir tahun

polis kem−1, sampai saat pembayaran masing-masing (x) meninggal dunia,

pada saat tersebut (y) tetap hidup, pada dan sesudah akhir tahun polis ke-m

tidak ada lagi hubungannya dengan kematian (x) karena (y) tetap hidup

ax:m||y:n| =m−1Xt=1

vt (1− tpx) tpy +nX

t=m

vt tpy

=nXt=1

vt tpy −m−1Xt=1

vt tpxy

= ay:n| − axy:m−1| (2.54)

Untuk mendapatkan premi tahunan dibagi dengan axy:m|.

6. Dewasa ini persoalan yang ada pada reversionary annuity, tanpa menunggu

akhir tahun polis kematian (x) , jika pada waktu (x) meninggal, (y) tetap


hidup, pada saat itu anuitasnya dimulai reversionary annuity yang diba-

yarkan segera dinotasikan dengan bax|y. Sekarang anuitasnya terhadap (y),dan anuitasnya sampai tahun polis ke n. Kematian (x) rata-rata terjadi pada

pertengahan tahun polis, sebagai ganti (2.33), didapatkan

ax|y:n| =nXt=1

t−1|q1xy v

t−12 ay+t− 1

2:n−t+1| (2.55)

maka

ax|y:n| =nXt=1

t−1|qx t− 12py v

t− 12 ay+t−1

2:n−t+1| (2.56)

Perhitungan menjadi

ay+t−12:n−t+1| =

ay+t−1:n−t+1| + ay+t:n−t+1|2

Jadi, kita bisa sedikit ambil penjelasan anuitas reversionary itu anuitas yang

dialihkan. Sebagai contoh jika status x jatuh, dialihkan ke y. Dan lagi jika sta-

tus x dan y jatuh maka dialihkan ke z itu jg dengan persyaratan yang telah

diatur/ditentukan. Untuk kasus pensiun, anuitas reversionary di jelaskan pada

penetapan anutias janda dan anuitas yatim. Sehingga kelak jika dilibatkan dalam

perhitungan normal cost, anuitas reversionary berperan dalam perhitungan PV

(present value) untuk pensiun janda dan pensiun yatim.

2.7 Compound Survivorship Annuity

Sebagai contoh axy|z:n| dan axy|z:n| persoalannya adalah (x) dan (y) dalam keadaan

hidup bersamaan atau yang paling akhir hidup, sebagai contoh anuitasnya dimu-

lai pada saat (x) meninggal paling awal, atau anuitasnya dimulai pada waktu (y)

meninggal pada urutan ke-2, jika persoalannya adalah urutan kematian disebut

Compound Survivorship Annuity. Pada permasalahan ini digunakan Com-

pound Contingent Function tersebut di pembahasan Probabilitas Joint Condi-

tional Life. Berikut ini diberikan 2 hal yang mendasar.


1. (x) meninggal duluan dari (y) dimulai pada akhir tahun polis kepada (z)

dibayarkan anuitas tahunan sebesar 1 sampai akhir tahun polis ke n, nilai

sekarangnya dituliskan dalam bentuk a1xy|z:n|. Penggambaran x ini meny-

atakan dimulainya anuitas setelah x meninggal. Dengan menggunakan t|q1xy

, maka

a1xy|z:n| =

nXt=1

t−1|q1xy v

ttpz az+t:n−t+1| (2.57)

Pembuktian menggunakan proses yang sama seperti pada (2.34) , maka

a1xy|z:n| =

nXt=1

vt tq1xy tpz (2.58)

Dari (2.34), memperlihatkan saat pembayaranmasing-masing, dan juga mem-

perhatikan fungsi kondisi pembayaran, dari rumus tersebut bisa dituliskan

ruas kanannya. Perhatikan anuitasnya dihitung t|q1xy, dihitung tq

1xy, dima-

sukkan pada ruas kanannya.

Jika dimasukkan pada 2.43 didapatkan rumus berikut ini:

axy|z:n| = a1xy|z:n| + a 1

xy|z:n| (2.59)

2. (y) meninggal duluan dari (y) dimulai pada akhir tahun polis pada waktu

(x) meninggal, dimulai anuitasnya (z) , menggunakan t|q2xy , maka

a2xy|z:n| =

nXt=1

t−1|q2xy v

ttpz az+t:n−t+1| (2.60)

Pembuktiannya menggunakan proses yang ada pada (2.34), maka

a2xy|z:n| =

nXt=1

vt tq2xy tpz (2.61)

Menggunakan hubungan yang ada pada (2.60) , maka

a1xy|z:n| + a2

xy|z:n| = ax|z:n| (2.62)

Membandingkan a1xy|z:n| dan a 2

xy|z:n| dengan kondisi (x) yang lebih cepat

meninggal daripada (y) , perbedaannya ada pada dimulainya anuitas jatuh


tempo, yang pertama setelah kematian (x) , yang lain setelah kematian (y).

Dengan menggunakan (2.62) dan (2.59) perbedaan keduanya

a1xy|z:n| − a 2

xy|z:n| = a1xy|z:n| −

³ay|z:n| − a 1

xy|z:n|

´= axy|z:n| − ay|z:n| (2.63)

Dengan menggunakan (2.45) dan (2.35) didapatkan

a1xy|z:n| − a 2

xy|z:n| = ayz:n| − axyz:n|

dari ruas kanan (2.42) didapatkan rumus berikut ini

a1xy|z:n| − a 2

xy|z:n| = ax|yz:n| (2.64)

Compound Survivorship Annuity, premi tahunan, benefitnya dimulai pada

akhir tahun polis. Keadaannya sama dengan survivor annuity, benefitnya

dimulai berdasarkan urutan yang mati, dalam hubungannya dengan pemu-

tusan kontrak, sampai kapan pembayarannya dilakukan. Besarnya anuitas

1, premi tahunan, dinyatakan dalam rumus berikut ini.

a1xy|z:n|

axyz:n|,a2xy|z:n|

axz:n|

Pada Compound Survivorship Annuity, anuitasnya dimulai pada akhir tahun

polis, ada juga dimulainya pada saat kejadian. Perhitungannya menggu-

nakan dan berdasarkan rumus (2.55) , (2.56) . Sebagai contoh dalam keadaan

(2.57) , didapatkan rumus berikut ini:

a1xy|z:n| =

nXt=1

t−1|q1xy v

t−12t− 1

2pz az+t− 1

2:n−t+1| (2.65)

Bab 2 Tinjauan Pustaka - Perpustakaan Digital · PDF file2.2 Bunga Majemuk Jenis bunga yang...

Documents

Transcript of Bab 2 Tinjauan Pustaka - Perpustakaan Digital · PDF file2.2 Bunga Majemuk Jenis bunga yang...