Bab 7CENTROID, MOMEN INERSIA, DAN PRODUK

INERSIA LUASAN

Tinjauan Instruksional Khusus:

Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar centroid, momen inersia

dan produk inersia luasan; mampu menghitung dan menentukan centroid suatu luasan

serta mampu melakuka analisis terhadap momen insersia dan produk inersia suatu

luasan.

Momen pertama luasan elemenMomen pertama suatu luasan elemen terhadap suatu sumbu didalam bidang luasan

diberikan dengan produk luasan elemen dan jarak tegaklurus antara elemen dengan

sumbu. Misalnya, pada Gb. 7-1 momen pertama dQx elemen da terhadap sumbu-x

diberikan dengan:

Momen terhadap sumbu-y adalah:

Gb. 7-1

Momen pertama luasan terhinggaMomen pertama luasan terhingga terhadap suatu sumbu didalam bidang luasan

diberikan dengan jumlah momen pertama terhadap sumbu yang sama dari semua elemen

luasan yang terdapat dalam luasan. Ini sering dievaluasi dengan cara integral. Jika

momen pertama suatu luasan terhingga dinyatakan dengan Qx, maka

Centroid luasanCentroid atau pusat suatu luasan didefinisikan dengan persamaan-persamaan

dimana A menyatakan luasan. Untuk luasan bidang yang tersusun atas N sub-luasan Ai

dengan masing-masing centroidnya dan diketahui, maka integral digantikan dengan

39

da

x

yx

y

penjumlahan

(7.1)

(7.2)

Centroid suatu luasan adalah suatu titik dimana luasan terkonsentrasi dan tetap

meninggalkan momen yang tidak berubah terhadap sembarang sumbu. Misalnya, suatu plat

logam tipis tetap dalam kondisi setimbang dalam suatu bidang horisontal jika plat tersebut

disangga pada tepat titik pusat gravitasinya.

Pada umumnya untuk menyatakan jarak centroid digunakan tanda “bar” atau garis

diatas simbol jarak koordinat. Jadi berarti koordinat-x dari centroid.

Letak centroid beberapa penampang melintang bidang ditinjukkan pada Tabel 7-1 berikut ini.

Tabel 7.1Tipe bidang Ukuran Luas Lokasi centroid

Empat persegi panjang Panjang : hLebar : b

bh Titik pusat(½h,½b)

Segi tiga Alas : bTinggi : h

½bh

Lingkaran Jari-jari : RDiameter :D

ΠR2 atau π/4D2 Titik pusat

Setengah lingkaran Jari-jari : RDiameter :D

½ΠR2 atau π/8D2

Seperempat lingkaran Jari-jari : R ¼ΠR2

Momen kedua, atau momen inersia, suatu luasan elemenMomen kedua, atau momen dari inersia, suatu luasan elemen terhadap suatu sumbu

didalam bidang luasan diberikan dengan produk luasan elemen dan kuadrat jarak (tegaklurus)

antara elemen dengan sumbu. Untuk Gb. 7-1, momen inersia dIx elemen terhadap sumbu-x

adalah dan momen inersia terhadap sumbu-y adalah

Momen kedua, atau momen inersia, suatu luasan terhinggaMomen kedua, atau momen inersia, suatu luasan terhingga terhadap suatu sumbu

didalam bidang luasan diberikan dengan jumlah momen inersia terhadap sumbu yang

sama dari seluruh elemen yang ada pada luasan terhingga tersebut; biasanya dinyatakan

dalam bentuk integral. Jika momen inersia suatu luasan terhingga terhadap sumbu-x

diberi simbol Ix, maka

(7.3)

40

(7.4)Untuk suatu bidang yang tersusun atas N sub-bidang Ai dimana masing-masing momen

inersianya terhadap sumbu-x dan sumbu-y diketahui, maka bentuk integral dapat diganti

dengan bentuk penjumlahan:

SatuanSatuan untuk momen inersia adalah pangkat empat dari satuan panjang, misalnya

m4.

Teorema sumbu sejajar untuk momen inersia luasan terhinggaTeorema sumbu sejajar (paralel) momen inersia luasan terhingga menyatakan

bahwa momen inersia suatu luasan terhadap suatu sumbu adalah sama dengan momen

inersia terhadap sumbu sejajar yang melalui centroid luasan ditambah produk luasan dan

kuadrat jarak tegaklurus diantara kedua sumbu. Untuk luasan seperti yang ditunjukkan

pada Gb. 7-2, sumbu xG dan yG melalui pusat atau centroid luasan bidang. Sumbu-x dan

sumbu-y terletak sejajar dengan sumbu-sumbu xG dan yG pada jarak x1 dan y1. Jika IxG dan

IyG masing-masing adalah momen inersia terhadap sumbu yang melewati centroid, dan Ix

dan Iy masing-masing adalah momen inersia terhadap sumbu-x dan sumbu-y, maka:

(7-5)

(7.6)

Gb. 7-2

Jari-jari putaranJika momen inersia luasan A terhadap sumbu-x dinyatakan dengan Ix, maka jari-jari

putaran (radius of gyration) rx dapat didefinisikan dengan:

(7.7)

Dan dengan cara yang sama, jari-jari putaran terhadap sumbu-y adalah:

41

x

yx1

O

yG

xG

y1

(7.8)

Karena I adalah dalam satuan pangkat empat dari panjang, dan A adalah satuan

pangkat dua dari panjang, maka jari-jari putaran mempunyai satuan panjang, misal m.

Produk inersia elemen luasanProduk inersia suatu elemen luasan terhadap sumbu-x dan sumbu-y didalam bidang

luasan diberikan dengan:

dimana x dan y adalah koordinat elemen seperti ditunjukkan pada Gb. 7-1.

Produk inersia luasan terhinggaProduk inersia suatu luasan terhingga terhadap sumbu-x dan sumbu-y didalam

bidang luasan diberikan dengan jumlah produk inersia elemen-elemen luasan yang

terdapat dalam luasan terhingga, yaitu:

(7.9)

Dari persamaan ini maka Ixy dapat bernilai positip, negatip atau nol. Untuk suatu luasan

yang terdiri atas N buah sub-luasan Ai dimana masing-masing produk inersianya terhadap

sumbu-x dan sumbu-y diketahui, maka bentuk integral dapat diganti dengan bentuk

penjumlahan:

(7.10)

Teorema sumbu sejajar untuk produk inersia luasan terhinggaTeorema sumbu sejajar (paralel) produk inersia luasan terhingga menyatakan

bahwa produk inersia suatu luasan terhadap sumbu-x dan sumbu-y adalah sama dengan

produk inersia terhadap gabungan sumbu sejajar yang melalui centroid luasan ditambah

produk luasan dan jarak tegaklurus kedua sumbu dari titik centroid ke sumbu-x dan

sumbu-y. Untuk luasan seperti yang ditunjukkan pada Gb. 7-2, sumbu xG dan yG melalui

pusat atau centroid luasan bidang. Sumbu-x dan sumbu-y terletak sejajar dengan sumbu-

sumbu xG dan yG pada jarak x1 dan y1. Jika IxGyG adalah produk inersia terhadap sumbu

yang melewati centroid, maka:

(7-11)

42

Momen inersia utamaPada suatu titik didalam bidang suatu luasan, terdapat dua sumbu tegaklurus

dimana momen inersianya terhadap titik tersebut adalah maksimum atau minimum. Nilai-

nilai maksimum dan minimum dari momen inersia ini disebut momen inersia utama

(principal moments of inertia) dan diberikan dengan:

(7.11)

(7.12)

Sumbu utamaPasangan sumbu yang saling tegaklurus yang melalui titik terpilih dimana momen

inersia luasannya adalah maksimum atau minimum disebut sumbu utama (principal axes).

Produk inersia suatu luasan adalah nol (menghilang) jika sumbunya merupakan

sumbu utama. Juga, dari bentuk integral yang menjabarkan produk inersia dari suatu

lauasan terhingga, dapat diketahui bahwa jika salah satu sumbu-x atau sumbu-y, atau

keduanya adalah sumbu simetri maka produk inersia juga lenyap. Jadi sumbu simetri

merupakan sumbu utama.

Contoh 1.Tentukan momen inersia suatu empat persegi panjang terhadap sumbu yang melalui centroid dan sejajar dengan sisi dasarnya (lihat gambar disamping)

Momen inersia IxG terhadap sumbu-x yang melalui centroid diberikan dengan

Kita pilih suatu elemen sedemikian sehingga nilai y adalah konstan diseluruh titik pada elemen; misalnya elemen yang diarsir pada gambar diatas. Dari sini dapat kita rumuskan

Kuantitas ini mempunyai satuan pangkat empat dari panjang, misal m4.

Contoh 2.Tentukan produk inersia suatu empat persegi panjang terhadap sumbu-x dan sumbu-y seperti ditunjukkan pada gambar disamping

43

xG

yGb

h/2

h/2

dy

y

x

ydx

h

dy

y

x

b

Kita gunakan definisi: dan dengan mengambil referensi pada elemen yang diarsir pada gambar diatas kita peroleh:

Contoh 3.Jabarkan Ixy untuk bangun seperti diilustrasikan pada Gb. (a), kemudian jabarkan juga produk inersianya terhadap sumbu-sumbu yang sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y melalui centroid; (Gb.( b).

Luasan mungkin akan lebih mudah dengan dibagi menjadi dua. Untuk empat persegi panjang pertama, kita dapatkan

Untuk empat persegi panjang kedua, produk inersianya terhadap sumbu yang melalui centroid dan paralel terhadap sumbu-x dan sumbu-y adalah nol karena sumbu ini merupakan sumbu simetri. Dengan demikian untuk empat persegi panjang kedua, IxG = 0. Untuk itu berdasarkan teorema sumbu sejajar diperoleh:

Untuk keseluruhan bangun diperoleh:

Untuk menentukan produk inersia bangun tersebut, pertama perlu ditentukan posisi centroidnya. Disini kita dapatkan:

Dengan menggunakan teorema sumbu-sejajar kita peroleh

44

10 mm

10 mm

125 mm

75 mm

x

y

1

2 10 mm

10 mm

125 mm

75 mm

x

y

1

2

GxG

yG

y

x