BAB 9 - WordPress.comΒ Β· konvergen atau divergen bersama-sama. ii. Jika =0dan Ο π konvergen,...
Transcript of BAB 9 - WordPress.comΒ Β· konvergen atau divergen bersama-sama. ii. Jika =0dan Ο π konvergen,...
BAB 9
DERET TAK HINGGA
9.1 BARISAN TAK HINGGA
Barisan Tak Hingga
Barisan tak hingga adalah fungsi yang domainnyamerupakan himpunan bilangan bulat positif dan rangenya merupakan himpunan bilangan real.
Barisan dinotasikan dengan
π1, π2, β¦ dengan ππ = π(π)
atau ππ π=1β atau ππ
Dalam barisan yang didefinisikan secara rekursif, suku barisan ditentukan oleh suku sebelumnya.
ππ = π(ππβ1)
Contoh
1. ππ = 1 β1
π
2. ππ = 1 β (β1)π1
π
3. ππ = (β1)π+1
π
4. ππ = 0,99
Apa yang terjadi pada suku barisan jika π ββ?
Konvergen atau Divergen?
Barisan {ππ} konvergen ke πΏ jika limπββ
ππ = πΏ.
Definisilimπββ
ππ = πΏ
jika untuk setiap π bilangan positif, terdapat N bilangan positifsehingga
π β₯ π βΉ ππ β πΏ < π
Barisan yang tidak konvergen ke bilangan hingga manapun disebutdivergen.
Contoh.
Tunjukan ππ = 1 β1
πkonvergen ke 1.
Sifat Limit Barisan
Misalkan ππ dan ππ dua barisan konvergen dan πsuatu konstanta.
i. limπββ
π = π
ii. limπββ
πππ = π limπββ
ππ
iii. limπββ
ππ Β± ππ = limπββ
ππ Β± limπββ
ππ
iv. limπββ
ππ. ππ = limπββ
ππ. limπββ
ππ
v. limπββ
ππ
ππ=
limπββ
ππ
limπββ
ππdengan syarat lim
πββππ β 0
Beberapa Sifat Penting
Misalkan ππ = π(π).
Jika limπ₯ββ
π(π₯) = πΏ maka limπββ
ππ = πΏ.
Teorema Apit
Misalkan ππ dan ππ dua barisan yang konvergenke πΏ dan ππ β€ ππ β€ ππ untuk π β₯ πΎ.
Maka ππ juga konvergen ke πΏ
Jika limπββ
|ππ| = 0 maka limπββ
ππ = 0
Contoh
1. Tentukan
a) limπββ
1
ππ, dengan π bilangan bulat positif.
b) limπββ
3π2
7π2+1
c) limπββ
ln π
ππ
d) limπββ
sin3π
π
2. Misalkan β1 < π < 1, tunjukan limπββ
ππ = 0.
Bagaimana jika |π| β₯ 1?
Teorema Barisan Monoton
Jika {ππ} barisan tak turun dan ππ β€ π, untuk π β₯π, maka
limπββ
ππ = π΄, untuk suatu π΄ β€ π.
Jika {ππ} barisan tak naik dan ππ β₯ πΏ, untuk π β₯π, maka
limπββ
ππ = π΅, untuk suatu π΅ β₯ πΏ.
Contoh
Buktikan barisan {ππ} dengan ππ =π2
2πkonvergen.
9.2 Deret Tak Hingga
Deret Tak Hingga
Deret tak hingga adalah jumlahan dari suku-suku barisan tak hingga.
π1 + π2 +β― =
π=1
β
ππ
Jumlah parsial adalah jumlahan sejumlah berhingga suku-suku barisan tak hingga.
ππ = π1 + π2 +β―+ ππ =
π=1
π
ππ
Suatu deret tak hingga konvergen dengan jumlah S, jika barisan jumlah parsialnyajuga konvergen ke S.
π=1
β
ππ = π β limπββ
ππ = π
Jika barisan jumlah parsial divergen, maka deretnya juga divergen. Suatu deretyang divergen tidak memiliki jumlah.
Deret Geometri
π + ππ + ππ2 + ππ3 +β― =
π=1
β
πππβ1
π dinamakan suku pertama dan π rasio (pengali)
Jika π < 1, deret geometri konvergen. Selain itu, deret geometridivergen.
π=1
β
πππβ1 =π
1 β πβΊ π < 1
Contoh.
Tentukan nilai deret4
3+
4
9+
4
27+
4
81+β―
Uji Kedivergenan
HANYA untuk menguji kedivergenan, BUKAN kekonvergenan.
limπββ
ππ β 0 βΉΟπ=1β ππdivergen
Contoh.
Periksa kekonvergenan Οπ=1β π3
2π3+2π
Deret Harmonik
1 +1
2+1
3+1
4+β― =
π=1
β1
π
Apakah Uji Kedivergenan dapat digunakan?
Οπ=1β 1
πdivergen
Deret Kolaps
1
π1β
1
π2+
1
π2β
1
π3+
1
π3β
1
π4+β― =
π=1
β1
ππβ
1
ππ+1
Contoh.
Periksa kekonvergenan deret
π=1
β1
(π + 2)(π + 3)
Sifat
Sifat Linear
Jika Οπ=1β ππ dan Οπ=1
β ππ adalah deret yang konvergen dan π konstanta real, maka:
1. Οπ=1β πππ = πΟπ=1
β ππ2. Οπ=1
β (ππ+ππ) = Οπ=1β ππ + Οπ=1
β ππ
Jika Οπ=1β ππ divergen dan π β 0 konstanta real tak
nol maka Οπ=1β πππ juga divergen.
Pengelompokan Suku-Suku Deret
Bolehkah suku-suku deret dikelompokkan?
Pandang
π=1
β
(β1)πβ1=1 β 1 + 1 β 1 +Β·Β·Β· +(β1)πβ1+Β·Β·Β·
Sifat Deret yang konvergen suku-sukunyadikelompokkan tanpa mengubah jumlahannya.
9.3 Deret Positif: Uji Integral
Uji Jumlah Terbatas
Misalkan Οπ=1β ππ adalah deret dengan
suku-suku tak negatif.
Οπ=1β ππ konvergen jika dan hanya jika
ππ β€ π, untuk π β₯ π.
Contoh
Tunjukkan1
1!+
1
2!+
1
3!+β― konvergen.
Uji Integral
Misalkan π fungsi kontinu, positif, dan tak naik pada selang[1,β).
Misalkan ππ = π(π) untuk semua bilangan bulat positif π.
Maka Οπ=1β ππ konvergen jika dan hanya jika 1
βπ π₯ ππ₯
konvergen
Contoh
1. Tentukan kekonvergenan deret Οπ=2β 1
π ln π
2. Deret Οπ=1β π
ππdiaproksimasi dengan menggunakan 5
suku pertama dari deret. Aproksimasi galat yang terjadidengan menggunakan integral tak wajar.
Deret-π
π=1
β1
ππ=1
1+
1
2π+
1
3π+β―
Deret-π konvergen jika π > 1 dan divergenjika π β€ 1.
Contoh
Tentukan kekonvergenan deret Οπ=1β 1
π0,001.
9.4 Deret Positif: Uji Lainnya
Uji Banding
Misalkan 0 β€ ππ β€ ππ untuk π β₯ π.
i. Jika Οππ konvergen maka Οππ juga konvergen.
ii. Jika Οππ divergen maka Οππ juga divergen.
Contoh Periksa kekonvergenan
1. Οπ=1β π
5π2β4
2. Οπ=1β π
2π(π+1)
3. Οπ=3β 1
(πβ2)2
Uji Banding Limit
Misalkan ππ β₯ 0, ππ > 0, dan limπββ
ππ
ππ= πΏ.
i. Jika 0 < πΏ < β, maka Οππ and Οππ konvergen ataudivergen bersama-sama.
ii. Jika πΏ = 0 dan Οππ konvergen, maka Οππ juga konvergen.
Contoh Periksa kekonvergenan
1. Οπ=1β 3πβ2
π3β2π2+11
2. Οπ=1β 1
π2+19π
3. Οπ=1β ln π
π2
Uji Hasil Bagi
Misalkan Οππ deret positif dan limπββ
ππ+1
ππ= π.
i. Jika π < 1, maka Οππ konvergen.
ii. Jika π > 1, maka Οππ divergen.
iii. Jika π = 1, maka tidak ada kesimpulan.
Contoh Periksa kekonvergenan deret berikut.
1. Οπ=1β 2π
π!
2. Οπ=1β 2π
π100
3. Οπ=1β π!
ππ
Bagaimana MengujiKekonvergenan Deret Positif?
Misalkan Οπ=1β ππderet positif.
1. Jika limπββ
ππ β 0makaΟπ=1β ππ divergen (Uji Kedivergenan
Deret)
2. Jika ππmemuat π!, ππ, atau ππ, gunakan Uji Hasil Bagi.
3. Jika ππ hanya melibatkan pangkat konstan dari π, gunakan Uji Banding Limit.
4. Jika π π₯ ππ₯ diketahui, di mana π π = ππ yang memenuhi
prasyarat Uji Integral, gunakan Uji Integral.
5. Jika uji-uji di atas gagal, cobalah Uji Banding atau Uji JumlahTerbatas.
6. Jika masih gagal, carilah formula untuk ππ dan kemudianhitung limitnya.
9.5 Deret Ganti Tanda, Kekonvergenan Mutlak dan Bersyarat
Uji Deret Ganti Tanda
Misalkan π1 β π2 + π3 β π4 +β― deret ganti tandadengan ππ > ππ+1 > 0.
Jika limπββ
ππ = 0, maka deret tersebut konvergen.
Jika deret tersebut diaproksimasi oleh ππ makagalatnya β€ ππ+1.
Contoh Periksa kekonvergenan deret berikut.
1. Οπ=1β (β1)πβ1
1
π(deret harmonik ganti tanda)
2. Οπ=1β (β1)πβ1
π2
2π
Uji Kekonvergenan Mutlak
Bagaimana kekonvergenan deret berikut?
1 +1
4β1
9+
1
16+
1
25β
1
36+β―
Jika Οπ=1β |ππ| konvergen, maka Οπ=1
β ππ juga konvergen.
Jika Οπ=1β |ππ| konvergen, Οπ=1
β ππ dikatakan konvergen mutlak.
Kekonvergenan Bersyarat
Kekonvergenan TIDAK mengakibatkan kekonvergenan mutlak.
Οπ=1β β1 π 1
πkonvergen, tetapi Οπ=1
β 1
πdivergen.
Dalam kasus seperti ini, Οπ=1β ππ dikatakan konvergen bersyarat.
Contoh. Tentukan apakah deret berikut konvergen multak, konvergen bersyarat, atau divergen.
1. Οπ=1β (β1)πβ1
π2
2π
2. Οπ=1β (β1)π+1
1
π
3. Οπ=1β (β1)π+1
π+1+ π
4. Οπ=1β 4π3+3π
π5β4π2+1
5. Οπ=1β cos(π!)
π2
Uji Rasio Mutlak
Misalkan Οπ=1β ππderet (sebarang) dan lim
πββ
|ππ+1|
|ππ|= π.
i. Jika π < 1, maka Οππ konvergen mutlak.
ii. Jika π > 1, maka Οππ divergen.
iii. Jika π = 1, maka tidak ada kesimpulan.
Contoh. Periksa kekonvergenan deret berikut.
π=1
β
(β1)π+13π
π!
Teorema Penukaran Tempat
Suku-suku dalam deret yang konvergenmutlak boleh ditukar tanpa mengubahkekonvergenan dan jumlahan derettersebut.
9.6 Deret Pangkat
Deret Pangkat
Deret pangkat dalam π₯ adalah
π=0
β
πππ₯π =π0 + π1π₯ + π2π₯
2 + π3π₯3 +β―
Dua pertanyaan:
1. Untuk nilai π₯ berapa saja suatu deret pangkat konvergen?
2. Jika suatu deret pangkat konvergen, berapa jumlahannya?
Contoh.π + ππ₯ + ππ₯2 + ππ₯3 +β―
yang merupakan deret geometri dengan pengali π₯.
Diketahui bahwa
π + ππ₯ + ππ₯2 + ππ₯3 +β― =π
1 β π₯βΊ π₯ < 1
Himpunan Kekonvergenan
Himpunan kekonvergenan adalah himpunan semua nilai π₯ yang mengakibatkan suatu deret pangkat konvergen.
Contoh. Tentukan himpunan kekonvergenan dari deret berikut.
1. Οπ=0β π₯π
(π+1)2π
2. Οπ=0β π₯π
π!
3. Οπ=0β π! π₯π
Himpunan kekonvergenan deret pangkat merupakan salah satu dari:
1. {0} (jari-jari kekonvergenan 0).
2. Selang (βπ , π ) yang dapat ditambah dengan salah satu atau keduatitik ujungnya (jari-jari kekonvergenan π ).
3. Himpunan bilangan real (jari-jari kekonvergenan β).
Deret Pangkat dalam (π₯ β π)
Deret pangkat dalam (π₯ β π) adalah
π=0
β
ππ(π₯ β π)π=π0 + π1(π₯ β π) + π2(π₯ β π)2 + π3(π₯ β π)3+β―
Contoh. Tentukan himpunan dan jari-jari kekonvergenan darideret berikut.
π=0
β(π₯ β 1)π
(π + 1)2
9.7 Operasi pada Deret Pangkat
Turunan dan Integral
Misalkan Οπ=0β πππ₯
π =π0 + π1π₯ + π2π₯2 +β― = π π₯
untuk π₯ di dalam suatu selang πΌ.
Maka, untuk π₯ di dalam selang πΌ berlaku:
i. Οπ=0β π·π₯(πππ₯
π) =Οπ=0β ππππ₯
πβ1 =π1 + 2π2π₯ + 3π3π₯
2 +β― = πβ² π₯
ii. Οπ=0β 0
π₯πππ‘
πππ‘ = Οπ=0β ππ
π+1π₯π+1 =
π0π₯ +π12π₯2 +
π23π₯3 +β― = ΰΆ±
0
π₯
π π‘ ππ‘
Contoh
1. Turunkan dan integralkan deret pangkat
1 + π₯ + π₯2 + π₯3 +β― =1
1 β π₯, untuk β 1 < π₯ < 1,
untuk memperoleh dua deret pangkat baru.
2. Lakukan substitusi π₯ = βπ‘2 pada deret pangkat
dari1
1βπ₯, kemudian integralkan untuk memperoleh
deret pangkat untuk tanβ1π₯.
3. Pandang deret pangkat 1 + π₯ +π₯2
2!+
π₯3
3!+β― = π(π₯)
untuk π₯ β β. Turunkan untuk memperoleh π(π₯).
Operasi Aljabar
Dua deret pangkat yang konvergen dapatdijumlahkan dan dikurangkan suku per suku.
Dua deret pangkat yang konvergen dapatdikalikan dan dibagi, seperti pada perkalian dan pembagian polinom.
9.8 Deret Taylor & Maclaurin
Deret Taylor & Maclaurin
Diberikan fungsi π dan bilangan real π. Akan dicari π0, π1, π2,Β· Β· Β· sehingga:π π₯ = π0 + π1 π₯ β π + π2(π₯ β π)2+ π3(π₯ β π)3+Β· Β· Β·
Teorema Ketunggalan Taylor
Misalkan fungsi π dapat diturunkan secara terus-menerus, maka fungsi
tersebut dapat dinyatakan secara tunggal dalam deret pangkat
π π + πβ² π π₯ β π +πβ²β² π
2!(π₯ β π)2+
πβ²β²β² π
3!(π₯ β π)3+β―
+π(π) π
π!(π₯ β π)π+β―
Deret pangkat tersebut dinamakan Deret Taylor dari π di sekitar π₯ = π.
Dalam hal π = 0 deret dinamakan Deret MacLaurin.
Teorema Taylor
Misalkan π dapat diturunkan terus-menerus pada selang (π β π, π +π). Deret Taylor
π π + πβ² π π₯ β π +πβ²β² π
2!(π₯ β π)2+β―+
π(π) π
π!(π₯ β π)π+β―
merepresentasikan π(π₯) pada selang tersebut tersebut jika dan hanya
jika limπββ
π π π₯ = 0, dengan π π π₯ =π(π+1) π
(π+1)!(π₯ β π)π+1, untuk π β
(π β π, π + π).
Contoh.
1. Tentukan deret Maclaurin dari π(π₯) = sin(π₯) dan tunjukkanhasilnya berlaku untuk semua π₯ β π .
2. Carilah deret Maclaurin untuk ln(π₯ + 1), kemudian gunakan 5
suku pertama deret untuk mengaproksimasi 01ln π₯ + 1 ππ₯.
Beberapa Deret Maclaurin
9.9 Aproksimasi Taylor
Aproksimasi Taylor
Aproksimasi linear untuk π di sekitar π adalahπ(π₯) = π(π) + πβ(π)(π₯ β π)
Untuk memperoleh aproksimasi yang lebihbaik, digunakan polinom dengan derajat yang lebih tinggi. Aproksimasi ini dinamakanpolinom Taylor derajat π di sekitar π.
ππ π₯ = π π + πβ² π π₯ β π +
πβ²β² π
2!(π₯ β π)2+β―+
π(π) π
π!(π₯ β π)π
Contoh
Contoh
Contoh
Contoh
Rumus Sisa Taylor
Misalkan π dapat diturunkan sampai π + 1 kali di sekitar π.
Maka
π π₯ = π π + πβ² π π₯ β π +πβ²β² π
2!(π₯ β π)2+β―+
π π π
π!π₯ β π π + π π π₯ ,
dengan π π π₯ =π(π+1) π
(π+1)!(π₯ β π)π+1, untuk π di antara π₯ dan π.
Contoh.
1. Hampiri nilai ln(0, 9) dengan polinom Taylor derajat empat dan taksirlahbatas galatnya.
2. Tuliskan polinom Maclaurin derajat π dari π(π₯) = ππ₯. Lalu hampiri π0.8
dengan galat tidak melebihi 0,001.
3. Galat suatu hasil perhitungan numerik adalah πΈ =π2βsin π
πdengan 2 β€
π β€ 4. Tentukan maksimum galat tersebut.