BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakangrepository.ump.ac.id/4748/2/Riyan Emmy Trihastuti_BAB I.pdf ·...
4
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matriks merupakan sebuah cabang dari ilmu Aljabar Linear, yang mana merupakan salah satu bahasan penting dalam matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi matriks banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang matematika sendiri maupun bagi disiplin ilmu yang lain. Penggunaan tersebut banyak dimanfaatkan dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari, misalnya pada aplikasi perbankan, dalam dunia olahraga, dan dalam bidang ekonomi. Sedangkan dalam matematika, matriks dapat digunakan untuk menangani model-model linear, seperti mencari penyelesaian sistem persamaan linear. Di sisi lain, banyak juga permasalahan yang sering muncul berkaitan dengan masalah matriks itu sendiri, diantaranya adalah bagaimana cara menentukan invers suatu matriks, yang dikenal juga sebagai kebalikan dari suatu matriks. Sedangkan masalah yang sering muncul dalam mencari invers matriks yaitu apabila matriks tersebut tidak persegi maupun singular. Padahal suatu matriks dikatakan mempunyai invers jika dan hanya jika matriks tersebut merupakan matriks persegi dan non singular. Invers Moore Penrose merupakan perluasan dari konsep invers matriks. Invers Moore Penrose ada untuk setiap matriks persegi yang singular Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
Transcript of BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakangrepository.ump.ac.id/4748/2/Riyan Emmy Trihastuti_BAB I.pdf ·...
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matriks merupakan sebuah cabang dari ilmu Aljabar Linear, yang
mana merupakan salah satu bahasan penting dalam matematika. Sejalan
dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi matriks banyak dijumpai
dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang matematika sendiri maupun
bagi disiplin ilmu yang lain. Penggunaan tersebut banyak dimanfaatkan
dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan kehidupan
sehari-hari, misalnya pada aplikasi perbankan, dalam dunia olahraga, dan
dalam bidang ekonomi. Sedangkan dalam matematika, matriks dapat
digunakan untuk menangani model-model linear, seperti mencari
penyelesaian sistem persamaan linear.
Di sisi lain, banyak juga permasalahan yang sering muncul berkaitan
dengan masalah matriks itu sendiri, diantaranya adalah bagaimana cara
menentukan invers suatu matriks, yang dikenal juga sebagai kebalikan dari
suatu matriks. Sedangkan masalah yang sering muncul dalam mencari invers
matriks yaitu apabila matriks tersebut tidak persegi maupun singular. Padahal
suatu matriks dikatakan mempunyai invers jika dan hanya jika matriks
tersebut merupakan matriks persegi dan non singular.
Invers Moore Penrose merupakan perluasan dari konsep invers
matriks. Invers Moore Penrose ada untuk setiap matriks persegi yang singular
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
2
dan bahkan untuk matriks yang tidak persegi. Invers Moore Penrose adalah
invers dari matriks berukuran yang dinotasikan dengan , jika
memenuhi kondisi
( )
( )
dengan adalah transpose konjugat dari matriks A.
Ada beberapa metode untuk menentukan Invers Moore Penrose, yaitu
dengan Dekomposisi Nilai Singular (Singular Value Decomposition),
Pendiagonalan Matriks (Matrix Diagonalization) dan Dekomposisi Matriks
Segitiga Terpotong (Truncated Triangular Decomposition). Ketiga metode
tersebut telah dibahas sebelumnya untuk menentukan Invers Moore Penrose.
Tetapi pada metode Pendiagonalan Matriks (Matrix Diagonalization) yang
telah dibahas hanya dapat digunakan pada matriks yang dapat didiagonalisasi.
Pada kenyataannya tidak semua matriks persegi dapat didiagonalisasi.
Matriks yang berukuran dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika
matriks tersebut mempunyai buah vektor eigen yang bebas linear. Apabila
terdapat kurang dari buah vektor eigen yang bebas linear pada suatu
matriks, maka matriks tersebut tidak dapat didiagonalisasi. Matriks yang
tidak dapat didiagonalisasi selalu dapat dibuat similar dengan matriks yang
hampir diagonal.
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
3
Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari matriks blok Jordan.
Suatu blok Jordan ( ) adalah matriks segitiga atas dengan bentuk
( )
[
]
Terdapat angka “1” pada superdiagonal dan muncul kali pada
diagonal utama. Elemen yang lainnya nol, dan ( ) , -. Matriks Jordan
adalah jumlahan langsung dari blok Jordan sehingga dapat
dituliskan sebagai berikut
[
( )
( )
( )]
dengan .
Suatu matriks Jordan merupakan matriks yang hampir diagonal yang
similar dengan matriks persegi non singular disebut dengan bentuk Normal
Jordan. Berdasarkan hal ini, bentuk Normal Jordan diharapkan dapat
digunakan untuk menentukan Invers Moore Penrose pada suatu matriks non
singular yang tidak dapat didiagonalisasi. Sehingga perlu dikaji lebih lanjut
mengenai penggunaan bentuk Normal Jordan untuk menentukan Invers
Moore Penrose.
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
4
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka pokok permasalahan yang
akan dikaji dalam penelitian ini adalah bagaimanakah penggunaan bentuk
Normal Jordan untuk menentukan Invers Moore Penrose.
C. Batasan Masalah
Permasalahan hanya dibatasi pada konsep Invers Moore Penrose pada
matriks berukuran , bilangan real.
D. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini yaitu mengetahui penggunaan Bentuk Normal
Jordan untuk menentukan Invers Moore Penrose.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini antara lain:
1. Mengetahui penggunaan Bentuk Normal Jordan yang tepat untuk
menentukan Invers Moore Penrose dari suatu matriks.
2. Mendapatkan tambahan referensi tentang Invers Moore Penrose.
3. Memberi masukan bagi peneliti yang ingin mengkaji lebih lanjut tentang
Invers Moore Penrose.
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
