BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Dasar Teori

2.1.1 Integral

Integral merupakan invers atau kebalikan dari differensial. Integral terdiri

dari dua macam yakni integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu

merupakan suatu integral yang dibatasi oleh suatu nilai tertentu yang sering

disebut batas atas dan batas bawah. Sedangkan integral tak tentu digunakan untuk

mencari fungsi asal dari turunan suatu fungsi (Purcell & Verberg, 2010).

Integral tentu dinyatakan seperti pada Persamaan (1).

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎. (1)

Integrasi tentu sama dengan menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y

=f(x), dengan batas x=a dan x=b (Munir, 2015).

Integral ganda merupakan perhitungan volume ruang di bawah permukaan kurva

f(x,y) yang alasnya berupa bidang yang dibatasi oleh garis x=a, x=b, y=c, y=d.

Volume benda berdimensi tiga dihitung seperti pada Persamaan (2).

𝐼 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥]𝑑𝑦𝑏

𝑎

𝑑

𝑐

𝑑

𝑐

𝑏

𝑎 (2)

Volume = Luas Alas x tinggi

Solusi integral ganda adalah dengan melakukan integrasi dua kali dalam

arah x menghitung luas alas, dan arah y menghitung tinggi (Munir R, 2015)

2.1.2 Integrasi Numerik

Integrasi Numerik merupakan cara perhitungan yang digunakan apabila

kondisi dalam perhitungan analitik dirasa sulit atau bahkan tidak mungkin untuk

memperoleh hasil integral. Dengan kata lain, integrasi numerik dilakukan ketika

perhitungan integral secara eksak sulit dilakukan (Munir, 2015). Hasil

penyelesaian metode numerik berupa nilai hampiran (approximation), sehingga

timbul kesalahan (error). Pada penyelesaian secara numerik diusahakan

menghasilkan error sekecil mungkin untuk memperoleh hasil yang lebih baik

5

(Munir, 2015) Ada beberapa metode dalam perhitungan integral secara numerik.

Diantaranya metode Trapesium, Simpson, Romberg, hingga Monte Carlo.

2.1.2.1 Metode Trapesium

Metode Trapesium atau trapezoidal rule merupakan metode integrasi

numerik yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk

Trapesium (Munir, 2015). Sebuah pias berbentuk Trapesium dari x = x0 sampai x

= x1. Perhatikan Gambar 2.1 dibawah ini.

Gambar 2.1 Metode Trapesium (Munir, 2015)

Secara umum aturan Trapesium diperoleh dari Persamaan (3).

𝐼 = ℎ

2 (𝑓(𝑥0) + 2 ∑ 𝑓𝑖

𝑛−1`𝑖=1 + 𝑓(𝑥𝑛)) (3)

dengan :

n = jumlah upselang

h = jarak antar titik ( ℎ =(𝑏−𝑎)

𝑛 )

a,b = batas kurva

f(x) = fungsi

2.1.2.2 Metode 1/3 Simpson

Kaidah Simpson merupakan turunan dari metode Newton-Cotes. Metode

atau kaidah ini dikenalkan oleh seorang ahli matematika bernama Thomas

Simpson (1710-1761) dari Leicestershire, England.

Metode 1/3 Simpson dapat didefinisikan sebagai luas daerah yang dibatasi

oleh hampiran fungsi parabola. Gambar 2.2 menunjukkan metode 1/3 Simpson.

Gambar 2.2 Metode 1/3 Simpson (Munir, 2015)

Integral 1/3 Simpson secara numerik didefinisikan seperti pada Persamaan

(4) di bawah ini.

: 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏

𝑎≈ 𝐼 =

ℎ

3 (𝑓(𝑥0) + 4 ∑ 𝑓

𝑖𝑛−1𝑖=1,3,5 + 2 ∑ 𝑓

𝑖𝑛−2𝑖=2,4,6 + 𝑓(𝑥𝑛)) (4)

Dengan

n = jumlah upselang

h = jarak antar titik ( ℎ =(𝑏−𝑎)

𝑛 )

a,b = batas kurva

f(x)` = fungsi integral

Penggunaan metode 1/3 Simpson ini mensyaratkan bahwa jumlah upselang (n)

harus genap (Munir, 2015).

2.1.2.3 Metode 3/8 Simpson

Metode 3/8 Simpson dapat didefinisikan sebagai luas daerah yang dibatasi

oleh fungsi kubik. Dimana metode 3/8 Simpson ini mensyaratkan jumlah

upselang (n) harus kelipatan 3 (Munir, 2015). Gambar 2.3 menunjukkan metode

3/8 Simpson.

Gambar 2.3 Metode 3/8 Simpson (Munir, 2015)

Secara umum aturan 3/8 Simpson dapat dilihat pada Persamaan (5).

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

≈ 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ 𝐼 = ∫ 𝑝3(𝑥) 𝑑𝑥 3ℎ

0

3ℎ

0

𝐼 = 3ℎ

8 (𝑓(𝑥0) + 3 ∑ 𝑓𝑖

𝑛−1𝑖≠3,6,9 + 2 ∑ 𝑓𝑖

𝑛−3𝑖=3,6,9 + 𝑓(𝑥𝑛)) .....................(5)

n = jumlah upselang

h = jarak antar titik ( ℎ =(𝑏−𝑎)

𝑛 )

a,b = batas kurva

f(x) = fungsi integral

2.1.2.4 Metode Romberg

Metode Romberg didasarkan pada ekstrapolasi Richardson. Setiap

penerapan ekstrapolasi Richarson akan menaikkan orde galat pada hasil solusinya

sebesar dua. Hal ini akan mengakibatkan nilai galat semakin kecil dan solusi

numeriknya mendekati nilai sejati (nilai eksak). Pada integrasi Romberg, mula-

mula menghitung kuadratur dengan lebar interval h dan 2h untuk menurunkan

galat hampiran integral dari O(h2n

) menjadi O(h2n+2

) dengan menggunakan

ekstrapolasi Richardson. Dimana untuk n=1 berhubungan dengan nilai dasar dari

hasil perhitungan rumus metode Trapesium, n=2 berhubungan dengan nilai dasar

dari hasil perhitungan rumus Simpson atau O(h4 ) , n=3 berhubungan dengan nilai

dasar dari perhitungan rumus Boole atau O(h6 ) , jadi untuk n berhubungan

dengan O(h2n

) (Munif & Hidayatullah, 2003).

Persamaan (6) berikut ini merupakan ekstrapolasi Richardson:

𝐽 = 𝐼(ℎ) + 𝐼(ℎ)−𝐼(2ℎ)

2𝑞−1 (6)

Misalkan I adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakan sebagai

I = Ak + Ch2 + Dh

4 +Eh

6 +...

Dimana h = (b-a)/n dan Ak = perkiraan nilai integrasi dengan kaidah

Trapesium dan jumlah pias n = 2k. Orde Galat Ak adalah O(h

2). A0 adalah

taksiran integrasi I = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎 dengan kaidah Trapesium dengan pembagian

daerah integrasi n= 20 = 1 pias. A1 adalah taksiran integrasi I = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎 dengan

kaidah Trapesium dengan pembagian daerah integrasi n= 21 = 2 pias.

Gunakan runtutan A0, A1, A2,.. untuk mendapatkan B1, B2, B3 . Nilai B1,

B2, B3 dapat dilihat pada Persamaan (7).

𝐵𝑘 = 𝐴𝑘 + 𝐴𝑘− 𝐴𝑘−1

22−1 (7)

Jadi, nilai I sekarang adalah I = Bk + D’h4 + E’h

6+.... dengan orde galat Bk

adalah O(h4) (Munir, 2015). Begitu seterusnya hingga didapatkan seperti Tabel

2.1 di bawah ini.

Tabel 2.1 Tabel Romberg

O(h2 ) O(h

4 ) O(h

6) O(h

8) O(h

10) O(h

12)

A0

A1 B1

A2 B2 C2

A3 B3 C3 D3

A4 B4 C4 D4 E4

2.1.2.5 Metode Monte Carlo

Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang

digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat terdiri dari banyak

variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode

numerik lainnya. Salah satu penggunaan penting metode Monte Carlo adalah

untuk menghitung integral suatu fungsi. Ide dasarnya adalah dengan mengambil

sejumlah titik acak pada sumbu absis yang berada pada batas integrasi, kemudian

dihitung nilai fungsinya dan dijumlahkan. Pengambilan jumlah titik sampel dapat

dipilih sembarang sesuai dengan kebutuhan. Formulasi integrasi Monte Carlo

untuk satu dimensi dinyatakan seperti pada Persamaan (8) (Gunarto, 1992).

𝐼 = (𝑏−𝑎)

𝑛 ∑ 𝑓(𝑥𝑖)

𝑖=𝑛𝑖=1 (8)

2.1.3 Kesalahan (Error)

Error atau yang sering disebut galat merupakan salah satu bentuk

kesalahan yang terjadi karena adanya ketidaksamaan anatara solusi analitik dan

solusi numerik. Pada perhitungan integral, error merupakan standar mutlak antara

selisih nilai analitik (nilai eksak) dan nilai hampiran (Munir, 2015).

Error dinyatakan dalam persamaan (9) :

𝐸 = 𝑥 − �̅� (9)

dimana

E = error atau galat

x = nilai analitik (eksak)

�̅� = nilai hampiran

Sebagai contoh, jika �̅� = 8.5 merupakan nilai hampiran x = 8.35, maka

galatnya adalah 𝐸 = -0.15 . Tanda galat (positif atau negatif) tidak

dipertimbangkan, sehingga galat mutlak atau galat absolut dapat didefinisikan

sebagai

|𝐸| = |𝑥 − �̅�|.........................................................................................(10)

Panjang sebuah kayu berdasarkan hasil pengukuran yang dilakukan oleh

orang A adalah 88 cm, padahal panjang kayu sebenarnya adalah 90 cm. Galatnya

90-88 = 1 cm. Sementara hasil pengukuran orang B terhadap panjang buku adalah

9 cm, padahal panjang buku sebenarnya adalah 10 cm. Galatnya adalah 10 – 9 = 1

cm. Galat dari kedua pengukuran tersebut sama sama bernilai 1 cm, namaun galat

1 cm pada pengukuran buku lebih berarti daripada galat 1 cm pada pengukuran

panjang kayu. Apabila tidak terdapat informasi mengenai panjang sesungguhnya,

mungkin kedua galat tersebut dianggap sama saja. Untuk mengatasi interpretasi

nilai galat tersebut, maka muncul sebuah galat relatif. Galat relatif didefinisikan

seperti pada persamaan (10) :

𝐸𝑅 = 𝐸

𝑥 x 100 %.......................................................................................(11)

dimana

ER = error relatif

E = nilai error

x = nilai eksak

persamaan diatas merupakan persamaan galat yang telah dinormalkan terhadap

nilai eksak yang dinamakan galat relatif (Munir, 2015).

2.1.4 Unified Modelling Language (UML)

Unified Modelling Language (UML) merupakan sebuah bahasa yang telah

menjadi standar untuk visualisasi, perancangan dan pendokumentasian sistem

piranti lunak. UML merupakan sebuah standar dalam perancangan model sebuah

sistem (Dharwiyanti, 2003).

2.1.4.1 Use Case

Use Case merupakan sebuah pemodelan yang menggambarkan perilaku

sistem informasi tersebut. Use Case Diagram merupakan pemodelan perilaku

(behavior) sistem informasi yang akan dibuat (Rosa & Shalahuddin, 2011). Use

Case digunakan untuk mengetahui fungsi apa saja yang ada di dalam sebuah

sistem informasi dan siapa saja yang berhak untuk menggunakan fungsi- fungsi

tersebut. Berikut adalah simbol-simbol yang ada pada use case diagram yang

dapat dilihat pada Tabel 2.2.

Tabel 2.2 Simbol Use Case Diagram (Dennis, Haley W, & M. Roth, 2012)

2.1.4.2 Sequence Diagram

Sequence Diagram menunjukkan interaksi antar objek, diagram ini

merupakan pandangan dinamis terhadap sistem. Diagram ini menekankan

pada basis keberurutan waktu dari pesan-pesan yang terjadi. Sequence

diagram mendeskripsikan bagaimana entitas berinteraksi, termasuk message

yang digunakan ketika berinteraksi. Semua message digambarkan dalam

urutan eksekusi. (Dennis, Haley W, & M. Roth, 2012)

Berikut ini adalah simbol-simbol yang ada pada sequence diagram yang dapat

dilihat pada Tabel 2.3.

Tabel 2.3 Simbol Sequence Diagram (Dennis, Haley W, & M. Roth, 2012)

2.2 Penelitian Terkait

Penelitian yang dilakukan Ubay pada tahun 2013 tentang Penyelesaian

Numerik Integral Lipat Tiga dengan Menggunakan Integrasi Romberg

menjelaskan tentang hasil implementasi metode Romberg dalam penyelesaian

kasus integral lipat tiga dapat dilakukan lebih cepat daripada perhitungan secara

analitik. Objek yang digunakan adalah contoh soal integral lipat tiga yang wajar

dan memiliki batas konstan. Penelitian ini dijelaskan dalam Tabel 2.1 pada nomor

1.

Penelitian yang dilakukan Royani pada tahun 2015 yang berjudul

perbandingan metode pecahan dan aturan Simpson dalam menghitung luas daerah

kurva menunjukkan bahwa penerapan aturan Simpson pada perhitungan luas

daerah kurva memberikan hasil yang lebih baik dengan galat lebih kecil daripada

metode pecahan. Penelitian ini ditunjukkan dalam Tabel 2.1 pada nomor 2.

Penelitian Mulia yang berjudul Studi dan implementasi Monte Carlo

menunjukkan bahwa hasil keakuratan implementasi metode Monte Carlo dalam

kasus integral lebih rendah dibandingkan dengan metode lain dikarenakan dimensi

yang digunakan pada percobaan terlalu kecil. Penelitian ini dijelaskan dalam

Tabel 2.1 pada nomor 3.

Penelitian dengan judul Penyelesaian Integral Lipat Menggunakan Metode

Monte Carlo dilakukan oleh Haryono pada tahun 2009 menjelaskan tentang

penerapan metode Monte Carlo untuk penyelesaian kasus integral lipat dengan

pendekatan perhitungan volume prisma dibawah kurva. Contoh yang digunakan

adalah integral lipat dua dengan daerah atas berbentuk persegi. Hasilnya nilai

hampiran mendekati nilai sebenarnya dengan jumlah titik random diatas 1000.

Penelitian ini dijelaskan pada Tabel 2.1 nomor 4.

Penelitian yang dilakukan oleh Haryadi pada tahun 2013 yang berjudul

Pengukuran Luas Daun dengan Metode Simpson menjelaskan tentang

implementasi metode Simpson pada pengukuran luas daun mangga, daun sawi,

daun jambu biji dan daun pisang. Hasil penelitian menunjukkan bahwa

perhitungan luas daun dengan metode Simpson memiliki kesalahan baku lebih

kecil dibanding hasil pengukuran dengan metode Gravimetric yang dilakukan

peneliti sebelumnya. Penelitian ini dijelaskan pada Tabel 2.1 nomor 5.

No Penulis Judul Tujuan Metode Hasil Kelebihan Kelemahan

1 Dillah,U

bay.2013

.

“Penyelesaian

Numerik

Integral Lipat

Tiga dengan

Menggunakan

Integrasi

Romberg”

Penyelesaikan

kasus integral

lipat tiga dengan

metode

Romberg

Integrasi

Romberg

Perhitungan

integral lipat tiga

dapat dilakukan

lebih cepat

menggunakan

metode integrasi

Romberg

Perhitungan

integral fungsi

aljabar dan

transenden

dapat

diselesaikan

dengan metode

Romberg.

Batas integralnya

konstan antara 1

sampai 10. Masih

ada selisih antara

perhitungan

numerik secara

manual dengan

hasil simulasi

matlab.

2 Royani,

Evi.

2015

“Perbandingan

metode pecahan

dan aturan

Simpson pada

perhitungan luas

daerah kurva

Menghitung luas

daerah kurva

dengan metode

pecahan dan

aturan Simpson

Metode

pecahan

dan aturan

Simpson

Aturan Simpson

memeiliki galat

yang lebih kecil

daripada metode

pecahan

Perhitungan

luas daerah

kurva dapat

diselesaikan

lebih tepat

dengan aturan

Simpson

Hanya

menggunakan 1

sampel yang

mudah dan

memiliki batas

konstan. Belum

ada perbandingan

dengan metode

yang lainnya.

Tabel 2.1 Penelitian Terkait

No Penulis Judul Tujuan Metode Hasil Kelebihan Kelemahan

3 Mulia,

Firdi.

2011

“ Studi dan

Implementasi

Monte Carlo “

Implementasi

metode Monte

Carlo pada

kasus integral

Metode

Monte

Carlo

Keakuratannya

lebih rendah

dibanding metode

yang lain karena

dimensi yang

digunakan kecil.

Metode ini

cocok untuk

menangani

kasus dengan

jumlah data

yang cukup

banyak.

Dimensi dan

jumlah data yang

kecil

mengakibatkan

keakuratannya

lebih rendah

dibandingkan

dengan metode

lain.

4 Haryono,

Agus

Nugroho.

2009

“ Perhitungan

Integral Lipat

menggunakan

Metode Monte

Carlo”

Penerapan

metode Monte

Carlo dalam

perhitungan

kasus integral

lipat

Metode

Monte

Carlo

Metode Monte

Carlo

memberikan hasil

yang mendekati

nilai sebenarnya

untuk jumlah titik

random diatas

1000

Hasil yang

didapatkan

mendekati

nilai

sebenarnya

(nilai analitis)

Hanya

menggunakan

contoh integral

lipat dua dengan

daerah atas

berbentuk persegi

serta batas yang

digunakan masih

wajar.

Tabel 2.1 Penelitian Terkait Lanjutan

No Penulis Judul Tujuan Metode Hasil Kelebihan Kelemahan

5 Haryadi.

2013.

”Pengukuran

Luas Daun

dengan Metode

Simpson”

Mengimplement

asikan metode

Simpson untuk

menghitung luas

daun mangga,

sawi, jambu biji,

dan pisang.

Simpson

(1/3 dan

3/8

Simpson)

Penerapan metode

Simpson

menghasilkan

kesalahan baku

lebih kecil

dibandingkan

hasil pengukuran

dengan metode

Gravimetric

Kesalahan

baku yang

dihasilkan

lebih kecil dari

penelitian yang

telah dilakukan

sebelumnya

(menggunakan

metode

Gravimetric)

Tidak ada

penjelasan

perhitungan dan

tidak adanya

perbandingan

dengan metode

integrasi numerik

lainnya seperti

metode

Trapesium

ataupun

Romberg.

Tabel 2.1 Penelitian Terkait Lanjutan

2.3 Rencana Penelitian

Penelitian ini akan membuat sebuah program kalkulator integrasi numerik

dengan penerapan metode Trapezium, metode 1/3 Simpson, metode 3/8 Simpson,

metode Romberg, dan metode Monte Carlo untuk menyelesaikan kasus integral

tunggal dan integral ganda. Hasil keluaran program kemudian dianalisis sehingga

diketahui metode mana yang paling baik dengan memiliki galat kecil.