4/29/2015 Mat2-Unpad 1

Integral Lipat Dua

Integral Lipat Dua

Integral lipat dua pada persegi panjang

Integral lipat dua pada daerah sembarang

Perubahan urutan pengintegralan

Integral lipat dua dalam koordinat polar

4/29/2015 Mat2-Unpad 2

Integral Lipat Dua

1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.

2. Pilih pada setiap sub interval pada

[xi, xi-1] dan [yi, yi-1]

1. Bentuk jumlah Riemann.

2. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann.

Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis

4/29/2015 Mat2-Unpad 3

Z=f(x,y)

x

y

z

b

a

R

c d

xk yk

)y,x( kk

1 1

( , )n n

k k k

i i

f x y A

1 1

lim ( , )n n

k k kn

i i

f x y A

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d}

1 1

( , ) lim ( , )n n

k k kn

i iR

f x y dA f x y A

)y,x( kk

Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang

terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.

4/29/2015 Mat2-Unpad 4

n

k

kkkP

Ayxf

10

),(limJika ada, kita katakan f dapat

diintegralkan pada R. Lebih lanjut ( , ) ( , )R R

f x y dA f x y dxdy

R

dAyxf ),(

n

k

kkkP

Ayxf

10

),(lim

yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh :

( , )R

f x y dx dy 01

lim ( , )n

k k k kP

k

f x y x y

atau

ANIMASI

Arti Geometri Integral Lipat Dua

4/29/2015 Mat2-Unpad 5

Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegpanjang R,

maka ( , )R

f x y dA menyatakan volume benda padat yang

terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan

di atas R.

Menghitung Integral Lipat Dua Jika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu: (i) Sejajar bidang XOZ

4/29/2015 Mat2-Unpad 6

y

x

z z= f(x,y)

c a

b

d

a b

z

x

A(y)

( ) ( , )

b

a

A y f x y dx

A(y)

4/29/2015 Mat2-Unpad 7

( , ) ( )

d

R c

f x y dA A y dy

( , )

d b

c a

f x y dx dy

( , )

d b

c a

f x y dx dy

Maka

( , )R

f x y dA ( , )d b

c a

f x y dx dy

(ii) Sejajar bidang YOZ

4/29/2015 Mat2-Unpad 8

y

x

z z= f(x,y)

c a

b

d

c d

z

y

A(x)

( ) ( , )

d

c

A x f x y dy

A(x)

4/29/2015 Mat2-Unpad 9

( , ) ( )

b

R a

f x y dA A x dx

( , )

b d

a c

f x y dy dx

( , )

b d

a c

f x y dy dx

Maka

( , )R

f x y dA ( , )b d

a c

f x y dy dx

Contoh

4/29/2015 Mat2-Unpad 10

1. Hitung integral lipat dua berikut ini : 2 22R

x y dA

dimana R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y 4}

Jawab:

2 22R

x y dA 6 4

2 2

0 0

2x y dy dx

6 4

2 3

00

2

3x y y dx

6

2

0

1284

3x dx

6

3

0

4 128

3 3x x 288 256 544

R

6

4

y

x

Contoh

4/29/2015 Mat2-Unpad 11

2. Hitung integral lipat dua berikut ini : sinR

x y dA

dimana R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y /2}

R

/2

/2

y

x

Jawab:

sinR

x y dA / 2 / 2

0 0

sin x y dy dx

/ 2 / 2

00

cos( )x y dx

6

0

cos cos2

y y dx

/ 2

/ 2

0

0

sin sin2

y y

sin sin sin 22 2

Latihan

4/29/2015 Mat2-Unpad 12

2 21 1

0 0

. x ya xy e dy dx

2 1

2

0 1

.b xy dy dx

1 2

2

0 0

.1

yc dy dx

x

1. Hitung

2. ,R

f x y dx dy untuk

2 2. ( ) , [0,1] [0,1]a f x x y R

2. ( ) ( 2 ) , [ 1,2] [0,2]b f x x y R

Sifat Integral Lipat Dua

4/29/2015 Mat2-Unpad 13

Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R

1. , ,R R

k f x y dA k f x y dA

2. , , , ,R R R

f x y g x y dA f x y dA g x y dA

3. Jika

1 2

, , ,R R R

f x y dA f x y dA f x y dA

4. Jika f(x,y) g(x,y), maka

, ,R R

f x y dA g x y dA

1 2R R R maka

Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang

4/29/2015 Mat2-Unpad 14

D

a b x

y

Definisikan

DRyxjika

Dyxjikayxfyxg

),(,0

),(),,(),(

D R

dAyxgdAyxf ),(),(Maka

4/29/2015 Mat2-Unpad 15

Ada dua jenis daerah

1. Jenis 1 ( x konstan )

)()(,|),( 21 xgyxgbxayxD

2. Daerah jenis 2 ( y konstan )

dycyhxyhyxD ,)()(,|),( 21

Jenis 1

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

4/29/2015 Mat2-Unpad 16

D

a b x

q(x)

p(x)

y

b

a

xq

xpD

dxdyyxfdAyxf

)(

)(

),(),(

x

y

)()(,|),( 21 xgyxgbxayxD

Jenis 2

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

4/29/2015 Mat2-Unpad 17

( )

( )

( , ) ( , )

s yd

D c r y

f x y dA f x y dx dy

x

y

D

c

d

r (y) s (y)

x

dycyhxyhyxD ,)()(,|),( 21

Aturan Integrasi

Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).

Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.

Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.

4/29/2015 Mat2-Unpad 18

ANIMASI

Contoh

4/29/2015 Mat2-Unpad 19

1. Hitung 2 xR

y e dA ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y

x R

2 xR

y e dA 2

1

0 0

2

y

xy e dx dy 21

00

2y

xy e dy

2

1

0

2 1yy e dy

2

12

0

1 1 2ye y e e

x

y

x = y2

1

1

R = {(x,y)| 0 x y2, 0 y 1}

Contoh

4/29/2015 Mat2-Unpad 20

Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:

R

2 xR

y e dA 1 1

0

2 x

x

y e dy dx

11

2

0

x

xe y dx

1

0

x xe xe dy

1

0

x x xe xe e

R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1}

y x

y

x = y2

1

1

2 (1 1) 2e e e

4/29/2015 Mat2-Unpad 21

2

2

4 2

0

2.x

ye dy dx

Daerah integrasinya

Jawab:

x R

x

y

y = x/2

4

2

y

Diubah urutan pengintegralannya, yaitu: x=2y

( , ) |0 4, 22

xR x y x y

( , ) |0 2 ,0 2D x y x y y

4/29/2015 Mat2-Unpad 22

2

2

4 2

0 x

ye dy dx 2

22

0 0

y

ye dx dy

22

2

0

0

yye x dy

22

0

2 yy e dy

2 2 4

01ye e

Sehingga

Latihan

4/29/2015 Mat2-Unpad 23

3

33

1

1.

y

y

y

xe dx dy

2

0 0

sin

2. cos

x

y x dy dx

21 1

0

3. y

x

e dy dx

34 1

0

4. x

y

e dx dy

2

0 0

cos

5. sin

x

y x dy dx

A

4/29/2015 Mat2-Unpad 24

B

1.Hitung integral berikut

2. ( 2 ) ,S

a x y dA S daerah antara 2y x dan y x

. ,S

b xdA S daerah di kuadran I antara 3y x dan y x

2. Tulis integral lipat berikut dengan urutan berbeda

1

0 0

. ( , )

x

a f x y dydx 1

0

. ( , )

y

y

b f x y dxdy

C. Dengan menggunakan integral lipat dua

1. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y2 = 4 X dan Y2 = 4

4X

2. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y = 2X X2 dan Y = 3X2 6X

3. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh X + Y = 2 dan 2Y = X + 4 , Y = 0

4. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh X2 = 4Y , 8Y = X2 + 16

5. Hitunglah volume benda pejal di oktan pertama, di bawah permukaan x + 2y + z = 4

6. Hitunglah volume benda pejal di bawah paraboloida z = x2 + y2 dan di atas persegi panjang [-2 , 2] x [-3 , 3]

7. Hitung volume tetrahedron 2z + 3x + y = 6 berikut.

4/29/2015 Mat2-Unpad 25