www.belajar-matematika.com - 1

BAB XI. LINGKARAN

Pengertian : Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak konstan/sama terhadap sebuah titik tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan titik-titik yang berjarak sama itu disebut jari-jari (r). r 0 A Persamaan lingkaran: 1. Berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r ( x – 0) 2 + ( y – 0 ) 2 = r 2 ⇒ x 2 + y 2 = r 2 Suatu titik A (a,b) dikatakan terletak : a. pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 ⇔ a 2 + b 2 = r 2 b. di dalam lingkaran x 2 + y 2 = r 2 ⇔ a 2 + b 2 < r 2 c. di luar lingkaran x 2 + y 2 = r 2 ⇔ a 2 + b 2 > r 2 2. Berpusat di A(a,b) dan berjari-jari r (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 jika lingkaran berpusat di (a,b) : a. Menyinggung sumbu X, maka r = |b| b. Menyinggung sumbu Y, maka r = |a| c. menyinggung garis Ax + By + C, maka

r = 22 BACBbAa

+

++

3. 2 titik ujung diameternya diketahui (x1 ,y1 ) dan (x 2 ,y 2 ), maka persamaannya adalah :

(x- x1 ) (x- x 2 ) + (y- y1 ) (y- y 2 ) = 0 Contoh soal: 1. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari jari 2 adalah …. jawab:

( x – 0) 2 + ( y – 0 ) 2 = r 2 ⇒ x 2 + y 2 = r 2 x 2 + y 2 = 2 2 ⇔ x 2 + y 2 = 4 Persamaan lingkarannya adalah: x 2 + y 2 = 4

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (5,2) dan berjari-jari 4 adalah…. jawab:

(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 (x – 5) 2 + (y – 2) 2 = 4 2 ⇔ x 2 - 10x + 25 + y 2 - 4y + 4 = 16 ⇔ x 2 + y 2 - 10x - 4y + 25 + 4- 16 = 0 ⇔ x 2 + y 2 - 10x - 4y + 13 = 0 Jadi persamaan lingkarannya adalah: x 2 + y 2 - 10x - 4y + 13 = 0 3. Persamaan lingkaran yang berpusat di (3,4) dan melalui titik (6,8) adalah…. jawab: Diketahui a = 3 dan b = 4 (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 (x – 3) 2 + (y – 4) 2 = r 2 lingkaran melalui titik (5,2), maka titik tersebut berada pada lingkaran. Maukkan titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran :

www.matematika-sma.com 1

11. SOAL-SOAL LINGKARAN

EBTANAS1999 1. Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2px +10y + 9 = 0 mempunyai jari-jari 5 dan menyinggung sumbu x. Pusat lingkaran tersebut adalah… A. (-5,-3) C.(6,-5) E. ((3,-5) B. (-5,3) D. (-6,-5) jawab: Persamaan lingkaran: x 2 + y 2 + 2px +10y + 9 = 0 A = 2p: B = 10 : C =9 Menyinggung sumbu x maka r = |b| = 5

Pusat lingkaran = (- 21 A, -

21 B)

r = CBA −+ 22

41

41

5 = 9)10(41)2(

41 22 −+p = 9100.

414.

41 2 −+p

= 9252 −+p = 162 +p 25 = p 2 + 16 p 2 = 9 p = ± 3 Pusat lingkaran:

jika p = 3 (- 21 .6, -

21 .10) = (-3,-5)

jika p = -3 (- 21 .-6, -

21 .10) = (3,-5)

maka jawaban yang ada adalah (3,-5) E UN2005 2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 3x-4y – 2 = 0 adalah… A. x 2 + y 2 + 3x -4y -2 = 0 B. x 2 + y 2 + 4x -6y -3 = 0 C. x 2 + y 2 + 2x +8y -8 = 0 D. x 2 + y 2 -2x -8y +8 = 0 E. x 2 + y 2 + 2x +8y -16 = 0

Jawab: (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 a = 1 ; b = 4 ; r = ? Apabila menyinggung garis Ax + By + c, maka

r = 22 BACBbAa

+

++

Ax + By + C ⇔ 3x-4y – 2 = 0 A = 3; B = -4 ; C = -2

r = 22 )4(3

)2(4).4(1.3−+

−+−+

= 169

2163+−− =

16915+

− = 5

15 = 3

Persamaan lingkaran : (x – 1) 2 + (y – 4) 2 = 3 2 x 2 -2x + 1 + y 2 - 8y + 16 = 9 x 2 + y 2 -2x - 8y + 17 – 9 = 0 x 2 + y 2 -2x - 8y + 8 = 0 Jawabannya adalah D UAN2002 3. Jarak antara titik pusat lingkaran x 2 -4x + y 2 + 4 = 0 dari sumbu Y adalah….

A. 3 B. 2 21 C. 2 D. 1

21 E.1

jawab:

Pusat lingkaran = (- 21 A, -

21 B)

A = -4 ; B = 0

Pusat lingkaran = (- 21 .-4, -

21 .0) = (2,0)

Y jaraknya adalah 2 2 Jawabannya adalah C (2,0)

www.matematika-sma.com 2

UMPTN1998 4. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 + 2x -5y -21 = 0, maka nilai k adalah.. A. -1 atau -2 C. -1 atau 6 E. 1 atau 6 B. 2 atau 4 D. 0 atau 3 Jawab: masukkan nilai (-5, k) ke dalam persamaan lingkaran: (-5) 2 + k 2 + 2.(-5) – 5.k – 21 = 0 25 + k 2 - 10 – 5.k -21 = 0 k 2 - 5 k – 6 = 0 (k + 1) (k – 6) = 0 k = -1 atau k = 6 jawabannya adalah C EBTANAS1991 5. Lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 - 4x + 2y + c = 0 melalui titik (0,-1), Jari-jarinya …. A. 1 B.2 C. 5 D. 10 E. 5 jawab: Masukkan nilai (0,-1) ke dalam persamaan: 0 + (-1) 2 - 0 + 2(-1) + c = 0 1 – 2 + c = 0 c = 2 – 1 = 1 , sehingga persamaan lingkarannya menjadi x 2 + y 2 - 4x + 2y +1 = 0 didapat A = -4 : B = 2 dan C = 1

r = CBA −+ 22

41

41

= 1)2(41)4(

41 22 −+− = 114 −+ = 4

= 2 Jawabannya adalah B UN2005 6. Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 +10x -12y +20 = 0 yang melalui titik (-9,1) adalah. A. 4x – 5y + 31 = 0 D. 4x + 5y + 31 = 0 B. 4x – 5y + 41 = 0 E. 4x + 5y + 42 = 0 C. 4x – 5y - 31 = 0

jawab:

x . x1 + y. y1 + 21 A (x + x1 ) +

21 B ( y + y1 ) + C =0

x1 = -9 ; y1 = 1: A = 10: B = -12 ; C = 20

x. -9 + y.1 + 21 . 10 (x -9) +

21 .(-12) (y+1) + 20 = 0

-9x + y + 5x -45 -6y -6 + 20 = 0 -4x – 5y -31 = 0 ⇔ 4x + 5y + 31 = 0 jawabannya adalah D UN2006 7. Persamaan lingkaran dengan pusat P (3,1) dan menyinggung garis 3x +4y + 7 = 0 adalah… A. x 2 + y 2 - 6x - 2y + 6 = 0 B. x 2 + y 2 - 6x - 2y + 9 = 0 C. x 2 + y 2 - 6x - 2y - 6 = 0 D. x 2 + y 2 + 6x - 2y -9 = 0 E. x 2 + y 2 + 6x + 2y + 6 = 0 jawab: persamaan lingkaran dengan pusat (3,1) : (x-3) 2 + (y-1) 2 = r 2 a = 3 ; b = 1 menyinggung garis : 3x +4y + 7 = 0 identik dengan Ax + By + C = 0 A = 3; B = 4 dan C = 7

r = 22 BACBbAa

+

++

= 22 43

71.43.3+

++ = 25

20 = 520 = 4

sehingga persamaan lingkarannya: (x-3) 2 + (y-1) 2 = r 2 x 2 - 6x + 9 + y 2 - 2y + 1 = 4 2 x 2 + y 2 - 6x - 2y + 9 + 1- 16 = 0 x 2 + y 2 - 6x - 2y - 6 = 0 jawabannya adalah C

www.matematika-sma.com 3

UN2007 8. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 2 ) 2 + (y + 1 ) 2 = 13 di titik yang berabsis -1 adalah…

A. 3x – 2y – 3 = 0 D. 3x + 2y + 9 = 0 B. 3x – 2y – 5 = 0 E. 3x + 2y + 5 = 0 C. 3x + 2y – 9 = 0 jawab: Titik berabsis -1 berarti x = -1 masukkan ke dalam persamaan: (-1 – 2) 2 + (y+1) 2 = 13 (-3) 2 + (y+1) 2 = 13 9 + (y+1) 2 = 13

(y+1) 2 = 13 – 9 (y+1) 2 = 4 y + 1 = 4 y + 1 = ± 2 y = -1 ± 2 y = 1 atau y =-3 jadi titiknya adalah (-1,1 ) dan (-1, -3) Persamaan garis singgung melalui titik (a,b) adalah ( x- a) ( x1 -a) + (y-b)(y1 -b) = r 2 a = 2 ; b = -1 ; melalui titik (-1,1) x1 = -1 dan y1 = 1: (x – 2) (-1-2) + (y+1) (1 + 1) = 13 -3x + 6 + 2y + 2 - 13 = 0 - 3x + 2y – 5 = 0 di jawaban tidak ada melalui titik (-1,-3) x1 = -1 dan y1 = -3 (x – 2) (-1-2) + (y+1) (-3 + 1) = 13 -3x + 6 -2y -2 - 13 = 0 - 3x -2y – 9 = 0 ⇔ 3x +2y + 9 = 0 jawabannya adalah D UN2004 9. Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 -2x -6y +1 = 0 yang tegak lurus garis 3x-y = 0 adalah…

A. y – 3 = -3 (x-1) ± 3 10 B. y – 3 = -3 (x-1) ± 10

C. y – 3 = -31 (x-1) ± 10

D. y – 3 = -31 (x-1) ± 3 10

E y – 3 = -31 (x-1) ± 9 10

jawab: y – b = m( x – a ) ± r 21 m+ x 2 + y 2 -2x -6y +1 = 0 A = -2; B = -6 ; C = 1

Pusat (- 21 A, -

21 B) dan r = CBA −+ 22

41

41

Pusat = (- 21 .-2, -

21 .-6) ) = (1, 3) a = 1; b= 3

r = 1)6.(41)2.(

41 22 −−+−

= 191 −+ = 9 persamaan garis 3x-y = 0 y = 3x m = 3 misal m ini adalah m a misal m b = gradient garis singgung karena tegak lurus maka : m a . m b = -1

3. m b = -1 m b = - 31

Maka persamaan garis singgung lingkarannya adalah: y – b = m( x – a ) ± r 21 m+

y – 3 = - 31 (x -1) ± 9 2)

31(1 −+

y – 3 = - 31 (x - 1) ± 9

911+

y – 3 = - 31 (x - 1) ± 9

910

y – 3 = - 31 (x - 1) ±

990

www.matematika-sma.com 4

y – 3 = - 31 (x - 1) ± 10

jawabannya adalah C EBTANAS2000 10. Garis singgung dititik (12,-5) pada lingkaran x 2 + y 2 =169 menyinggung lingkaran (x-5) 2 + (y-12) 2 = p. Nilai p=…. A. 207 B. 169 C. 117 D. 19 E. 13 jawab: Persamaan garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x 2 + y 2 =169 adalah:

x . x1 + y. y1 = r 2 x1 = 12 ; y1 = -5 12x - 5 y = 169 ⇔ 12x – 5 y – 169 = 0 Ax + By + C A = 12 ; B = -5 dan C = -169 lingkaran (x-5) 2 + (y-12) 2 = p a = 5; b = 12 jika lingkaran berpusat di (a,b) menyinggung garis Ax + By + C, maka

r = 22 BACBbAa

+

++

p = r 2

r = 22 )5(12

16912).5(5.12

−+

−−+

=169169− =

13169 = 13

p = r 2 = 13 2 = 169 Jawabannya adalah B EBTANAS2001 11. Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,4) pada lingkaran x 2 + y 2 = 4 adalah.. A. y = x + 4 C. y = -x + 4 E. y = -x 2 + 4 B. y = 2x + 4 D. y = -x 3 + 4

Jawab: titik (0,4) berada di luar lingkaran : karena 0 2 + 4 2 > 4 persamaan garis singgung melalui titik (0,4): y = mx +c x1 = 0; y1 = 4 y - y1 = m ( x - x1 ) ; y – 4 = m(x-0) y = mx+4 maka c = 4 cari nilai m y1 - b = m (x 1 - a) + c ; dimana c = r 21 m+

c = r 21 m+ ⇔ c 2 = r 2 (1 + m 2 ) 16 = 4 (1+ m 2 ) 16 = 4 + 4m 2 12 = 4m 2 m 2 = 3 m = ± 3 masukkan ke dalam persamaan y = mx+4. jika m= 3 y = 3 x +4 jika m = - 3 y = - 3 x + 4 Jawabannya adalah D

www.belajar-matematika.com - 2

(x – 3) 2 + (y – 4) 2 = r 2 (6 – 3) 2 + (8 – 4) 2 = r 2 3 2 + (-4) 2 = r 2 9 + 16 = r 2 25 = r 2 r = 25 = 5 r diketahui maka persamaan lingkarannya: (x – 3) 2 + (y – 4) 2 = r 2 ⇔ (x – 3) 2 + (y – 4) 2 = 5 2 ⇔ x 2 - 6x + 9 + y 2 - 8y + 16 = 25 ⇔ x 2 + y 2 - 6x - 8y + 9 + 16 = 25 ⇔ x 2 + y 2 - 6x - 8y + 25 - 25 = 0 ⇔ x 2 + y 2 - 6x - 8y = 0 Jadi persamaan lingkarannya adalah: x 2 + y 2 - 6x - 8y = 0 4. Persamaan lingkaran berpusat di (3,5) dan menyinggung sumbu x adalah…. jawab: diketahui a = 3 dan b= 5 Menyinggung sumbu x maka r = |b| = 5 (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 ⇔ (x – 3) 2 + (y – 5) 2 = 5 2 ⇔ x 2 - 6x + 9 + y 2 - 10y + 25 = 25 ⇔ x 2 + y 2 - 6x - 10y + 9 + 25 - 25 = 0 ⇔ x 2 + y 2 - 6x - 10y + 9 = 0 maka persamaan lingkarannya adalah: x 2 + y 2 - 6x - 10y + 9 = 0 Persamaan Umum Lingkaran : Lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r adalah (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 apabila dijabarkan diperoleh : ⇔ x 2 - 2ax + a 2 + y 2 - 2by + b 2 = r 2

⇔ x 2 + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b 2 - r 2 = 0 persamaan terakhir dapat disempurnakan menjadi persamaan berikut: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

dengan A = -2a a = - 21 A

B = -2b b = - 21 B

C = a 2 + b 2 - r 2 r 2 = a 2 + b 2 - C r = Cba −+ 22

= CBA −+ 22

41

41

Persamaan umum lingkaran adalah: Pusat (a,b) dan jari-jari r atau

Pusat (- 21 A, -

21 B) dan r = CBA −+ 22

41

41

contoh soal: 1. Pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + 4x - 6y + 13 = 0 adalah….. jawab:

Pusat (- 21 A, -

21 B) dan r = CBA −+ 22

41

41

x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 → persamaan umum lingkaran x 2 + y 2 + 4x - 6y + 13 = 0 → persamaan lingkaran soal maka diketahui A = 4, B = -6 dan C = 13 sehingga,

pusat = (- 21 A, -

21 B) = (-

21 .4, -

21 .-6) = (-2,3)

www.belajar-matematika.com - 3

r = CBA −+ 22

41

41

= 13)6(414.

41 22 −−+

= 1394 −+ = 0 Perpotongan Garis dan Lingkaran: persamaan umum lingkaran: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 garis g dengan persamaan:

y = mx + n

jika persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan lingkaran diperoleh: x 2 + (mx + n) 2 + Ax + B (mx + n) + C = 0 ⇔ x 2 + m 2 x 2 + 2mnx + n 2 + Ax + Bmx + Bn + C = 0 ⇔ (1 + m 2 ) x 2 + (2mn +A+Bm)x + n 2 +Bn +C = 0 Diskriminan: D = b 2 - 4ac Dimana b = 2mn +A+Bm a = 1 + m 2 c = n 2 +Bn +C Ada 3 kemungkinan perpotongan garis g dengan lingkaran:

1. Apabila D>0 garis g memotong lingkaran garis g

2. Apabila D=0 Garis g menyinggung lingkaran garis g 3. Apabila D<0 Garis g tidak memotong dan menyinggung lingkaran

garis g

contoh soal: Diketahui sebuah lingkaran x 2 + y 2 = 25 akan menyinggung garis y = x + p apabila nilai p = …. jawab: cara 1: Persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 25 …(1) Persamaan garis y = x + p …(2) substitusi (2) ke (1) : x 2 + (x+p) 2 = 25 ⇔ x 2 + x 2 + 2xp + p 2 = 25 ⇔ 2x 2 + 2xp + p 2 -25 = 0 ….(3) garis akan menyinggung lingkaran apabila diskriminan (D) persamaan (3)= 0 D = b 2 - 4ac = 0 = (2p) 2 - 4.2. (p 2 -25) = 0 4 p 2 - 8 p 2 + 200 = 0

www.belajar-matematika.com - 4

- 4 p 2 + 200 = 0 4 p 2 = 200 p 2 = 50 p = 50 = ± 5 2 Garis y = x + p akan menyingung lingkaran apabila p = ± 5 2 Cara 2 : garis Ax + By + C akan menyinggung lingkaran maka

r = 22 BACBbAa

+

++

persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 25 ( x – 0) 2 + ( y – 0 ) 2 = 5 2 a = 0, b= 0 dan r =5 persamaan garis y = x + p

x - y + p = 0 A = 1 ; B= -1 dan C = p

r = 22 BACBbAa

+

++

5 = 22 )1(1

0).1(0.1−+

+−+ p

5 = 2p ;

karena nilai p adalah nilai mutlak maka ada 2 nilai :

5 = 2p− p = - 5 2 atau 5 =

2p p = 5 2

maka nilai yang memenuhi adalah: p = ± 5 2

Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1. Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik yang diketahui pada lingkaran a. Persamaan garis singgung melalui titik (x1 , y1 ) pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 adalah : x . x1 + y. y1 = r 2 b. Persamaan garis singgung melalui titik (x1 , y1 ) pada lingkaran (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 adalah :

( x- a) ( x 1 -a) + (y-b)(y1 -b) = r 2 c. Persamaan garis singgung melalui titik (x1 , y1 ) pada lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah:

x . x1 + y. y1 + 21 A (x + x1 ) +

21 B ( y + y1 ) + C =0

dari mana 21 A dan

21 B ?

-awal dari persamaan lingkaran adalah Ax dan By - karena ada tambahan menjadi x + x1 sehinga menjadi

2 kali maka A nya menjadi 21 A demikian juga

dengan B contoh soal: 1. Persamaan garis singgung di titik (3,2) pada lingkaran x 2 + y 2 = 13 adalah….. jawab: x . x1 + y. y1 = r 2 . x1 = 3 ; y1 = 2 ; r 2 = 13 maka persamaan garis singgungnya adalah : x . 3 + y . 2 = 13 ⇔ 3.x + 2.y = 13

www.belajar-matematika.com - 5

2. Persamaan garis singgung melalui titik (5,1) pada lingkaran x 2 + y 2 - 4x + 6y -12 = 0 adalah…. jawab:

Cara 1: Diketahui x1 = 5 ; y1 = 1; A = -4 ; B=6; C = -12

x . x1 + y. y1 + 21 A (x + x1 ) +

21 B ( y + y1 ) + C =0

5.x + y + 21 . (-4) (x + 5) +

21 .6 (y+1) – 12 = 0

5x + y -2x -10 + 3y + 3 – 12 = 0 3x + 4y -19 = 0 Persamaan garis singgungnya adalah = 3x + 4y -19 = 0

Cara 2 :

x 2 + y 2 - 4x + 6y -12 = 0 cari pusat dan r: (x-2) 2 - 4 + (y+3) 2 - 9 – 12 = 0 (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 (x-2) 2 + (y+3) 2 = 25

atau :

Pusat (- 21 A, -

21 B) dan r = CBA −+ 22

41

41

A = -4; B = 6 ; C = -12

Pusat (- 21 .-4, -

21 .6) = (2, -3) a = 2; b = -3

r = )12()6(41)4(

41 22 −−+− = 1294 ++

r = 25 ⇒ r 2 = 25 persamaan garis singgung: ( x- a) ( x1 -a) + (y-b)(y1 -b) = r 2 diketahui a = 2 ; b = -3 ; r 2 = 25 ; x1 =5; y1 = 1 ( x- 2) ( 5 - 2) + (y + 3)(1+3) = 25 ( x- 2) .3 + (y + 3)(4) = 25 3x – 6 +4y +12 -25 = 0 3x + 4y -19 = 0

2. Garis singgung dengan gradien yang diketahui a. jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 maka persamaan garis singgungnya adalah : Lingkaran adalah berpusat di (0,0) sehingga persamaan garis singgungnya adalah: y – 0 = m (x – 0) ± r 21 m+ ⇔ y = mx ± r 21 m+ b. jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran

(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 , maka persamaan garis singgungnya adalah: y – b = m( x – a ) ± r 21 m+ Contoh soal : Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 - 6x + 4y + 8 = 0 dan sejajar garis 4x – 2y + 11 =0 adalah…. Jawab: y – b = m( x – a ) ± r 21 m+ persamaan lingkaran : x 2 + y 2 - 6x + 4y + 8 = 0 A = -6; B= 4 ; C = 8

Pusat (- 21 A, -

21 B) dan r = CBA −+ 22

41

41

Pusat (- 21 .-6, -

21 .4 )= (3,-2) a = 3; b=-2

r = CBA −+ 22

41

41 = 8)4(

41)6(

41 22 −+−

= 849 −+ = 5

www.belajar-matematika.com - 6

Persamaan garis 4x – 2y + 11 =0

4x + 11 = 2y ⇔ 2y = 4x+11 ⇔ y = 2x + 2

11

misal garis tersebut adalah a, maka didapat Gradient garis a = m a = 2, Misal gradient garis singgung pada lingkaran = m b Karena sejajar maka m a = m b catatan : m a . m b = -1 tegak lurus y – b = m( x – a ) ± r 21 m+

y – (-2) = 2 (x-3) ± 5 221+ y + 2 = 2x – 6 ± 5 . 5 y = 2x – 6 -2 ± 5 y = 2x – 8 ± 5 maka persamaan garis singgung pada lingkarannya adalah : y = 2x – 8 + 5 = 2x – 3 dan y = 2x – 8 - 5 = 2x – 13

3. Garis singgung melalui sebuah titik yang berada di luar lingkaran. misal: nilai koordinat titik tersebut adalah (x1 , y1 ) dan menyinggung lingkaran ( x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 , maka persamaan garis singgungnya adalah: y - y1 = m ( x - x1 ) nilai m dan c didapat dari : y1 - b = m (x1 - a) + c ; dimana c = r 21 m+

r 0 (x1 , y1 ) r

Contoh soal: Persamaan garis singgung melalu titik ( 0,5) pada lingkaran x 2 + y 2 = 20 adalah… jawab: titik (0,5) berada di luar lingkaran : karena 0 2 + 5 2 > 20 persamaan garis singgung melalui titik (0,5): y = mx +c x1 = 0; y1 = 5 y - y1 = m ( x - x1 ) ; y – 5 = m(x-0) y = mx+5 maka c = 5 cari nilai m y1 - b = m (x 1 - a) + c ; dimana c = r 21 m+

c = r 21 m+ ⇔ c 2 = r 2 (1 + m 2 ) 25 = 20 (1+ m 2 ) 25 = 20 + 20m 2 5 = 20m 2

m 2 = 41

m = ± 21

masukkan ke dalam persamaan y = mx+5.

jika m= 21 y =

21 x + 5 ⇔ 2y = x + 10⇔ x – 2y = -10

jika m = - 21 y = -

21 x + 5⇔ 2y =- x + 10⇔ x + 2y = 10