Bahan Ajar Matek I v1.4

BAHAN AJARMATEMATIKA TEKNIK I (TKE 072012)

PROGRAM S1 TEKNIK ELEKTRO

Oleh:Agung Mubyarto, S.T. M.T.

Ari Fadli, S.T.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONALUNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

FAKULTAS SAINS DAN TEKNIKJURUSAN TEKNIK

PURWOKERTO2010

PRAKATA

Dengan mengucapkan syukur kehadirat Alloh SWT, Bahan Ajar mata kuliah

Matematika Teknik I sebagai salah satu dharma dalam tridharma Perguruan

Tinggi, telah dapat diselesaikan oleh tim pengajar dari Program Studi Teknik

Elektro Universitas Jenderal Soedirman.

Kegiatan penyusunan Bahan Ajar ini yang bertujuan untuk menyelenggarakan

kegiatan pengajaran interaktif yang berbasis pada kemandirian mahasiswa

(student center learning). Selain itu juga dapat mengembangkan ketrampilan

dosen dan meningkatkan kemampuan dosen dalam hal pengajaran.

Atas terlaksananya kegiatan ini, Tim pengajar mengucapkan terima kasih

kepada semua pihak yang telah membantu hingga tersusunnya materi ajar

Matematika Teknik I.

Akhirnya semoga Bahan Ajar Matematika Teknik I ini bermanfaat bagi

masyarakat umum dan khususnya bagi peserta mata kuliah Sistem

Telekomuniakasi. Semoga semua yang telah diperoleh dapat dimanfaatkan

untuk menambah kelancaran perkuliahan secara umum.

Purwokerto, Januari 2008

Agung Mubyarto, ST.,MT.

NIP

PRAKATA Halaman

Program Studi Teknik ElektroFakultas Sains dan Teknik

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL............................................................................................i

PRAKATA..........................................................................................................ii

DAFTAR ISI......................................................................................................iii

DAFTAR GAMBAR.........................................................................................vi

DAFTAR PERSAMAAN.................................................................................vii

BAB 1 VEKTOR................................................................................................8

1.1 Pengertian............................................................................................8

1.2 Aljabar Vektor...................................................................................10

Ini sesuai dengan teorema 1 vektor yaitu :.......................................11

1.3 Operasi Vektor...................................................................................12

1.4 Hukum – hukum Aljabar Vektor.......................................................18

1.5 Susunan Koordinat Ruang-n..............................................................18

1.6 Vektor dalam ruang Rn.......................................................................20

1.7 Persamaan Garis Lurus......................................................................21

1.8 Evaluasi..............................................................................................24

BAB 2 RUANG VEKTOR...............................................................................25

2.1 Ruang Vektor Umum......................................................................25

2.1.1. SubRuang (subspace)..............................................................26

2.2 Vektor yang Bebas Linier dan Tak Bebas Linier............................26

2.3 Kombinasi Linier............................................................................27

2.4 Arti Kombinasi Linier Secara Ilmu Ukur.......................................27

PRAKATA Halaman


2.5 Dimensi dan Basis...........................................................................28

BAB 3 SISTEM PERSAMAAN LINIER.........................................................30

3.1 Pendahuluan.......................................................................................30

3.2 Susunan Persamaan Linier.................................................................32

3.3 Menyatakan Bentuk SPL...................................................................32

3.4 Penyelesaian SPL Dengan Metode Substitusi...................................34

3.5 Penyelesaian SPL Dengan Metode Eliminasi....................................35

3.6 Penyelesaian SPL Dengan Determinan.............................................35

3.7 Susunan Persamaan Linier Homogen................................................36

3.8 Peninjauan Secara Baris.....................................................................37

3.9 Susunan Persamaan Linier Non Homogen........................................40

3.10 Aturan Crammer..............................................................................42

3.11 Pertanyaan........................................................................................45

BAB 4 MATRIKS.............................................................................................47

4.1 Definisi Matriks.................................................................................47

4.2 Jenis Matriks......................................................................................48

4.3 Operasi Matriks..................................................................................50

4.4 Transpose Matriks..............................................................................55

4.5 Transformasi (Operasi) elementer pada baris dan kolom matrik......56

4.6 Mencari solusi dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan..........56

4.7 Invers.................................................................................................58

4.8 Gauss Jordan......................................................................................61

4.9 Evaluasi..............................................................................................64

PRAKATA Halaman


BAB 5 DETERMINAN....................................................................................67

5.1 Pengertian Dasar................................................................................67

5.2 Sifat – Sifat Determinan....................................................................68

5.3 Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris................................68

5.4 Minor dan Kofaktor...........................................................................70

5.5 Aturan Cramer...................................................................................72

BAB 6 NILAI EIGEN.......................................................................................74

6.1 Definisi...............................................................................................74

6.2 Evaluasi..............................................................................................82

BIODATA PENYUSUN...................................Error! Bookmark not defined.

DAFTAR PUSTAKA........................................Error! Bookmark not defined.

PRAKATA Halaman


DAFTAR GAMBAR

gambar 1-0 Vektor dalam bentuk diagram............................................8

gambar 1-1 Pergeseran vektor dalam diagram....................................10

gambar 1.2 Vektor dengan besar dan arah sama.................................10

gambar 1.3 Vektor dengan besar sama dan ararh berbeda..................11

gambar 1.4 Metode jajaran genjang....................................................12

gambar 1.5 Metode segitiga................................................................12

gambar 1.6 Pengurangan Vektor.........................................................13

gambar 1.7 Perkalian titik antar vektor...............................................14

gambar 1-8 A×B mengarah keluar bidang kertas,..............................17

gambar 1.9 Ruang dimensi satu..........................................................18

gambar 1.10 Ruang dimensi dua.........................................................19

gambar 1.11 Ruang dimensi tiga.........................................................19

gambar 1.12 Ruang.............................................................................20

gambar 1.13 Persamaan garis lurus.....................................................21

gambar 1.14 Persamaan bidang rata....................................................23

gambar 3-0 Susunan persamaan linier................................................32

gambar 3-1 Matriks persamaan linier.................................................32

PRAKATA Halaman


DAFTAR PERSAMAAN

Persamaan 1.0 Normal Vektor..............................................................9

Persamaan 1-1 Norma vektor ruang 3...................................................9

Persamaan 1-2 Persamaan translasi....................................................10

persamaan (1.3) Perkalian titik antar vektor.......................................14

Persamaan 1-4 Perkalian titik antar vektor.........................................14

Persamaan 1-5 Hukum cosinus perkalian titik antar vektor................14

persamaan 1.6 Perkalian Silang antar vektor......................................16

persamaan 1.7 Crosss product.............Error! Bookmark not defined.

persamaan 1.8 Crosss product dalam notasi dterminan...............Error!

Bookmark not defined.

persamaan 1-9 Persamaan vektoris garis lurus...................................22

persamaan 1-10 Persamaan parameter garis lurus....Error! Bookmark

not defined.

persamaan 1-11 Persamaan garis lurus melalui titik dan arah............22

persamaan 4..0 Bentuk umum matriks................................................47

Persamaan 6.0 disebut persamaan karakteristik A.............................74

PRAKATA Halaman


BAB 1 VEKTOR

1.1 Pengertian

Banyak kuantitas fisik, seperti luas, panjang, massa dan temperatur, dapat

dijelaskan secara lengkap apabila besaran kuantitas tersebut telah diberikan.

Kuantitas seperti ini dinamakan skalar. Kualitas fisik lainnya disebut vektor,

penjelasannya tidak begitu lengkap sehingga baik besarannya maupun arahnya

dapat dispesifikasikan. Sebagai contoh, angin yang bergerak pada umumnya

digambarkan dengan memberikan kecepatan dan arahnya, misalnya mendekati

20 mil / jam.

Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen –

segmen garis terarah ataupun panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah

menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah

disebut titik awal (initial point) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik

terminal (terminal point).

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, contohnya:

perpindahan, kecepatan , gaya dan percepatan. Vektor dinotasikan dengan

sebuah huruf dengan anak panah diatasnya misal A, atau dicetak dengan huruf

tebal misal A atau yang lain sesuai perjanjian (pada tulisan ini digunakan huruf

biasa tanpa anak panah dan tidak dicetak tebal). Besar vektor A dinyatakan

dengan |A| atau A. Vektor A dapat pula dinyatakan dengan OP dan besarnya

adalah |OP|, seperti tampak pada gambar 1-0 dibawah ini :

8

gambar 1-0 Vektor dalam bentuk diagram

Pada gambar 1.1a, titik awal vector v adalah A da titik terminalnya adalah

B, maka dituliskan v = AB−→

Sedangkan Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah.

Contoh besaran adalah: massa, panjang, waktu, suhu, dan sebarang bilangan

riil. Skalar dinyatakan dengan huruf biasa seperti dalam aljabar elementer.

Operasi-operasi pada skalar mengikuti aturan-aturan yang sama seperti halnya

dalam aljabar elementer.

Seperti tampak pada gambar 1-0 diatas dalam diagram, vektor biasanya

dinyatakan dengan panah. Panjang dari panah sebanding dengan besar vektor

dan kepala panah menyatakan arah dari vektor tersebut. Minus A⃗ (yaitu - A⃗ )

adalah sebuah vektor dengan besar yang sama seperti A⃗, tetapi pada arah

sebaliknya (gambar 1). Perhatikan bahwa vektor memiliki besar dan arah,

tetapi tidak mutlak menyatakan lokasi. Sebagai contoh, sebuah perpindahan

sejauh 4 km ke arah utara dari Bandung direpresentasikan dengan vektor yang

sama pada perpindahan sejauh 4 km ke utara Padang (kelengkungan Bumi

diabaikan).

Dengan demikian vektor dapat digeser sesuka hati selama besar dan arahnya

tidak diubah. Norma vektor (panjang vektor) adalah besarnya vektor dan

dinyatakan dengan 1.0 berikut ini :

|v|2=v12+v2

21.0 Normal Vektor

Dalam menentukan pada persamaan 1-0 diatas dicontohkan pada vektor-

vektor yang berada diruang 2, sedangkan untuk vektor – vektor yang berada

diruang 3 ditunjukan oleh Error: Reference source not founddibawah ini :

|v|2=v12+v2

2+v32vektor ruang 3

Dalam melakukan pemecahan banyak soal dapat disederhanakan dengan

langkah mentraslasikan sumbu koordinat untuk mendapatkan sumbu koordinat

PRAKATA Halaman


yang baru yang sejajar dengan sumbu aslinya, perhatikan ilustrasinya pada

gambar 1-1 berikut.

gambar 1-1 Pergeseran vektor dalam diagram

Berdasarkan gambar 1-1 diatas diperoleh persamaan translasi seperti

persamaan 1-2 dibawah ini

x’ = x – k dan y’ = y – l ……………………………………….. (1-2)

Persamaan 1-1 Persamaan translasi

1.2 Aljabar Vektor

Definisi yang mendasar pada vektor adalah sebagai berikut.

a. Duah buah vektor A dan B sama jika memiliki besar dan arah yang sama.

gambar 1.2 Vektor dengan besar dan arah sama

b. Sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor A, tetapi belawanan arah

dengan vector A dinyatakan dengan vektor –A.

PRAKATA Halaman


x,y O x

y

k,lO’ x’

y’

gambar 1.3 Vektor dengan besar sama dan ararh berbeda

c. Jumlah atau resultan dari vektor A dan B adalah vektor yang didefinisikan

dengan vektor C.

d. Vektor yang memiliki panjang sama dengan nol disebut sebagai vektor nol.

e. Selisih dari vektor A dan B diyatakan dengan A - B, adalah sebuah vektor

C. Jika A = B maka A - B adalah vektor nol (0). Untuk vector tak nol

disebut dengan vector sejati (proper vektor).

f. Jika v adalah vektor taknol dan k adalah bilangan ril tak nol (skalar), maka

hasil kali, kv didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang |k| kali

panjang v dan yang arahnya sama seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan

dengan v jika k < 0

g. Jika ada sebuah koordinat vektor v = (a, b, c) maka a, b, c disebut sebagai

komponen vektor

Ini sesuai dengan teorema 1 vektor yaitu :

Jika u, v ,w adalah vektor-vektor diruang 2 dan ruang 3 dan k adalah

sebuah skalar maka hubungan ini akan berlaku

(a) v + u = u + v

(b) (u + v) + w = u + (v + w)

(c) u + 0 = 0 + u

(d) u + (-u) = 0

(e) k(lu) = (kl)u

(f) k (u + v) = ku + kv

(g) k (u + v) = ku = kv

(h) (k + l) u = ku + lu

PRAKATA Halaman


1.3 Operasi Vektor

Operasi vektor dibagi menjadi empat kelompok yaitu sebagai berikut :

1.3.1. Penjumlahan dua vektor

Ada 2 metode yang dapat digunakan untuk menjumlahkan 2 buah vektor

1. Metode Jajaran Genjang

Metode pertama yang dapat digunakan untuk menjumlahkan vektor adalah

metode jajaran genjang, perhatikan gambar 1.4 dibawah ini :

gambar 1.4 Metode jajaran genjang

Vektor hasil (resultant) yaitu a + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang

yang dibentuk oleh vektor a dan b setelah titik awal dan titik akhir ditempatkan

berimpit.

2. Metode SegitigaMetode pertama yang dapat digunakan untuk menjumlahkan vektor adalah

metode segitiga, perhatikan gambar 1.5 dibawah ini :

gambar 1.5 Metode segitiga

PRAKATA Halaman


Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada

titik ujung vektor yang lain, maka resultannya adalah vektor bertitik awal di

titik awal a dan bertitik ujung di titik ujung b

Catatan :

1. Penjumlahan vektor bersifat komutatif, a + b = b + a

2. Metode Segitiga baik sekali digunakan untuk menjumlahkan lebih dari 2

vektor. Misalnya a + b + c + d + e , maka resultannya adalah vektor dengan

titik awal di titik awal vektor a dan bertitik ujung di titik ujung vektor e

3. Pengurangan vektor a dan b adalah a – b = a + (-b)

Perhatikan ilustrasinya sebagai berikut :

Jika diketahui :

v = (1, -2) dan w = (7, 6) maka

- w + v = (7, 6) + (1, -2) = 7 + 1, -2 + 6 = (8, 4)

1.3.2. Perkalian vektor dengan skalar

Jika k adalah suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor, maka perkalian

skalar ka menghasilkan suatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang a dan

arahnya sama dengan arah a Bila k = 0 maka ka =0 disebut vektor nol, yaitu

vektor yang titik awal dan titik ujungnya berimpit (gambar 1.6), namun jika k

negatif, arah vektor berubah menjadi sebaliknya.

gambar 1.6 Pengurangan Vektor

v = (1, -2) dan w = (7, 6) dan sebuah skalar 4 maka

- 4w + 4v = 4(7, 6) + 4(1, -2) = 28 + 4, -8 + 24 = (32, 16)PRAKATA

Halaman Program Studi Teknik Elektro

Fakultas Sains dan Teknik

1.3.3. Perkalian titik antar vektor

Perkalian titik antar vektor dinyatakan oleh, persamaan 1-3 berikut ini

A⃗ . B⃗ = A B Cos ………… (1-3)persamaan (1.2) Perkalian titik antar vektor

Perkalian titik antar vektor ini dapat didefinisikan sebagai berikut Bila v

dan w adalah vektor, dan adalah sudut antara v dan w (0 ) Maka hasil

kali titik (dot product) v. w didefinisikan dengan :

v.w = {|v||w| cos θ

0

jika v≠0 dan w≠0jika v=0 atau w=0

Persamaan 1-3 Perkalian titik antar vektor

gambar 1.7 Perkalian titik antar vektor

Dengan adalah sudut antara vektor-vektor tersebut ketika kedua ekornya

saling bertemu (gambar 1-7). Perhatikan bahwa A⃗ . B⃗ menghasilkan sebuah

skalar sehingga perkalian titik ini sering juga disebut perkalian skalar.

Perkalian ini bersifat komutatif yaitu A⃗ . B⃗=B⃗ . A⃗ dan juga distributif

A⃗ . (B⃗+ C⃗ )=A⃗ . B⃗+ A⃗ . C⃗

Perhatikan gambar 1.7 di atas. Jika v =(v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3)

adalah 2 vektor tak nol. Dan adalah sudut antara v dan w , maka hokum

cosinus menghasilkan :

|PQ−→

|2 = |v|2 + |w|2 – 2|v||w| cos …………………………..(1.5)

Persamaan 1-4 Hukum cosinus perkalian titik antar vektor

PRAKATA Halaman


Karena PQ−→

= w – v maka dapat (1.5) dapat dituliskan kembali sebagai :

2|v||w| cos = |v|2 + |w|2 - |w – v|2

|v||w| cos = 12 (|v|2 + |w|2 - |w – v|2)

Atau

v . w = 12 (|v|2 + |w|2 - |w – v|2)

Dengan mensubstitusikan

|v|2 = v12

+ v22

+ v32

dan |w|2 = w12 + w2

2 + w3

2

dan

|w – v|2 = (w1−v1 )2 + (w2−v2 )

2 + (w3−v3 )

2

Maka setelah disederhanakan akan diperoleh :

v. w = v1w1 + v2w2 + v3w3

Jika v dan w bukan vektor nol, maka persamaan (1.1) dapat ditulis dengan

Cos =

v . w|v||w|

Contoh 1.1

Diketahui vektor v = (2, -1, 1) dan w=(1, 1, 2)

Carilah v.w dan tentukan sudut antara v dan w.

Jawab :

v. w = (2).(1) + (-1).(1) + (1)(2) = 2 – 1 + 2 = 3

|v| = √4+1+1 = √6

|w| = √1+1+4 = √6

Jadi Cos =

36 =

12 , maka sudut antara v dan w adalah 60o

PRAKATA Halaman


1.3.4. Perkalian Silang antar vektor

Dalam banyak penerapan vektor pada bidang geometri, fisika, dan teknik,

kita perlu membentuk vektor di ruang 3 yang tegak lurus dengan 2 vektor lain

yang diberikan.

Perkalian titik antar vektor dinyatakan oleh, persamaan 1-6 berikut ini

A⃗ x B⃗ = A B Sin ………… (1-6)persamaan 1.5 Perkalian Silang antar vektor

Dalam perkalian silang antar vektor ini dikenal adanya dua arah yang

tegak lurus bidang tersebut, yaitu “masuk” dan “keluar”. Untuk mengatasi

masalah ini, digunakanlah kesepakatan aturan tangan kanan: jadikan keempat

jari selain ibu jari agar menunjuk pada vektor pertama (dengan ibu jari tegak

lurus keempat jari), kemudian putar keempatnya (pada sudut terkecil) ke arah

vektor kedua, maka ibu jari menandakan arah dari perkalian silang kedua

vektor tersebut.

Perkalian silang antar dua buah vektor tersebut didefinisikan sebagai

berikut jika v =(v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah vektor – vektor di Ruang

3, maka hasil kali silang (cross product) v x w adalah vektor yang didefinisikan

oleh persamaan 1-7 dibawah ini :

v x w = (v2w3 – v3w2, v3w1 – v1w3, v1w2 – v2w1) ……………………. (1-7)

Dapat pula ditulis dalam notasi determinan, seperti persamaan 1-8 dibawah ini:

v x w = (|v2 v3

w2 w3

|,−|v1 v3

w1 w3

|,|v1 v2

w1 w2

|) ……………………. (1-8)

Perhatikan contoh dibawah ini :

Carilah u x v dimana u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1)

Jawab :

[1 2 −23 0 1 ]

PRAKATA Halaman


u x v = (|2 −2

0 1|,−|1 −2

3 1|,|1 2

3 0|)

= (2 , −7 ,−6 )

Perhatikan gambar 1-8 dibawah ini terlihat bahwa A⃗ x B⃗ akan

menghasilkan sebuah vektor sehingga perkalian silang sering disebut dengan

perkalian vektor.

gambar 1-8 A⃗×B⃗ mengarah keluar bidang kertas,

B⃗× A⃗ mengarah masuk bidang kertas.

Perkalian ini bersifat distributif yaitu A⃗ x ( B⃗+C⃗ )= ( A⃗ x B⃗ )+( A⃗ x C⃗) Tetapi

tidak komutatif B⃗=−( B⃗ x A⃗ ) dan secara geometri, adalah luas daerah jajaran

genjang yang dibentuk oleh A⃗ dan B⃗ (gambar 1-8). Jika kedua vektor saling

sejajar, maka perkalian silangnya nol dan secara khusus A⃗ x A⃗ = 0 untuk

sembarang vektor A⃗.

Teorema

Jika v dan w adalah vector dalam Ruang-3, maka

1. v. (v x w) = 0

2. v. (v x w) = 0

3. |v x w|2 = |v|2 |w|2 – (v.w)2 (Identitas Lagrange)

Jika adalah sudut di antara v dan w , maka v.w = |v| |w| cos , sehingga

Identitas Lagrange dapat dituliskan kembali sebagai :

|v x w|2 = |v|2 |w|2 – (v.w)2

= |v|2 |w|2 - (|v| |w| cos )2

= |v|2 |w|2 - |v|2 |w|2 cos2

= |v|2 |w|2 (1 - cos2 )PRAKATA



= |v|2 |w|2 sin2

Jadi

|v x w| = |v| |w| sin

Jadi luas A dari jajaran genjang di atas diberikan oleh

A = |v| |w| sin = |v x w|

1.4 Hukum – hukum Aljabar Vektor

Jika A, B, dan C adalah vector-vektor dan m, n adalah skalar-skalar maka:

a. A + B : B + A Hukum komutatif untuk penjumlahan

b. A + (B + C) : (A + B) + C Hukum assosiatif untuk penjumlahan

c. mA : Am Hukum komutatif untuk perkalian

d. m(nA) : (mn)A Hukum assosiatif untuk perkalian

e. (m + n)A : mA + nA Hukum distributif

f. m(A + B) : mA + mB Hukum distributif

g. A + B : C jika dan hanya jika B = C – A

h. A + 0 : A dan A – A = 0

Susunan Koordinat Ruang-n

1. Ruang dimensi satu (R 1 )

gambar 1.9 Ruang dimensi satu

Titik O mewakili bilangan nol, titik E mewakili bilangan 1. Ditulis O(0),

E(1), P(2

5 ) artinya P mewkili bilangan 2

5 dan kita letakkan P sehingga OP = 2

5 satuan ke arah E (arah positif).

2. Ruang dimensi dua (R 2 )

PRAKATA Halaman


Setiap pasangan bilangan riil (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah

titik pada suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di dalam

ruang dimensi dua, ditulis R2.

gambar 1.10 Ruang dimensi dua

3. Ruang dimensi tiga (R 3 )

Setiap pasangan bilangan riil (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah

titik pada suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di dalam

ruang dimensi tiga, ditulis R3

gambar 1.11 Ruang dimensi tiga

4. Ruang dimensi n (R n )

PRAKATA Halaman


Secara umum untuk Rn dimana n adalah bilangan bulat positif, suatu titik

di dalam Rn dinyatakan sebagai n-tupel bilangan riil. Misalnya titik X(x1,

x2, ...,xn)

1.5 Vektor dalam ruang Rn

Lebih dahulu kita pandang suatu susunan koordinat di R2. Suatu vektor

disebut satuan bila panjangnya = 1. Kita ambil sekarang vektor satuan :

e1 = OE1 yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E1(1,0)

e2 = OE2 yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E2(0,1)

Kemudian kita tulis

e1 = 1e1 + 0 e2

e2 = 0e1 + 1 e2

Yang selanjutnya penulisan itu disingkat dengan

e1 = [1,0]

e2 = [0,1]

Sekarang pandang vektor a yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya

titik A(a1, a2). Vektor a disebut vektor posisi dari titik A.

gambar 1.12 Ruang

Bilangan – bilangan a1, a2 disebut komponen – komponen dari a maka

Panjang vektor a adalah √a12 + a2

2

Secara umum untuk vektor p yang titik awalnya P(p1, p2) dan titik ujungnya di

Q(q1, q2) :

PRAKATA Halaman


PQ = (q1 – p1) e1 + (q2 – p2) e2

= [(q1 – p1), (q2 – p2)]

Kesimpulan (untuk Rn):

1. Vektor posisi dari titik A(a1, a2, …, an) adalah OA = [a1, a2, …, an]\

2. Vektor bertitik awal di P(p1, p2, …, pn) dan bertitik ujung di Q(q1, q2, …, qn)

adalah PQ = [q1 – p1, q2 – p2, … , qn – pn ]

3. Panjang vektor a = [a1, a2, …, an] adalah |a| = √a12 + a2

2+. .. .+an2

Jarak 2 titik P(p1, p2, …, pn) dan Q(q1, q2, …, qn) adalah panjang vektor PQ

yaitu :

|PQ| = √(q1−p1)2 + ( p2−q2 )

2+. .. .+ ( pn−qn )2

4. Vektor – vektor satuan dari susunan koordinat adalah

e1 = [1,0,0,…,0],

e2 = [0,1,0,…,0],

e3 = [0,0,1,0…,0], dst.

1.6 Persamaan Garis Lurus

1.7.1. Garis Lurus

Misalkan titik A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3), perhatikan gambar 1-13

dibawah ini :

gambar 1.13 Persamaan garis lurus

PRAKATA Halaman


Maka OA−→

= [a1, a2, a3]

OB−→

= [b1, b2, b3]

AB−→

= [b1- a1, b2-a2, b3-a3]

Untuk setiap titik sebarang pada g berlaku AX = AB.

Jelas OX−→

= OA−→

+ AX−→

= OA−→

+ AB−→

Atau

[x1, x2, x3] = [a1, a2, a3] + [b1- a1, b2-a2, b3-a3] ………(1-9)

Persamaan 1-9 di atas disebut persamaan vektoris garis lurus yang melalui

2 titik A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3). Vektor AB−→

(atau vektor lain yang terletak

pada g, dengan kata lain, kelipatan dari AB−→

) disebut vector arah garis lurus

tersebut.

Jadi bila garis lurus melalui titik A(a1, a2, a3) dengan vektor arah a¿

= [a, b,

c], maka persamaannya adalah :

[x1, x2, x3] = [a1, a2, a3] + [a, b, c] …………………….(1.10)

Persamaan 1-10 dapat ditulis menjadi :

x1 = a1 + b1

x2 = a2 + b2

x3 = a3 + b3

yang disebut dengan persamaan parameter garis lurus.

Kemudian bila a 0, b 0, c 0, kita eliminasikan dari persamaan

parameter di atas, diperoleh :

=

( x1−a1 )a =

( x2−a2 )b =

( x3−a3 )c …………….. 1-11

persamaan 1-6 Persamaan garis lurus melalui titik dan arahPRAKATA



Merupakan persamaan linier garis lurus melalui titik A(a1, a2, a3) dengan

vektor arah [a, b, c].

1.7.2. Bidang rata

Misal diketahui 3 titik P(p1, p2, p3) , Q(q1, q2, q3) dan R(r1, r2, r3) pada

sebuah bidang rata seperti di atas.

Maka PQ−→

= [q1-p1, q2-p2, q3-p3]

PR−→

= [r1-p1, r2-p2, r3-p3]

Pertahikan gambar 1-14 dibawah ini :

gambar 1.14 Persamaan bidang rata

Untuk setiap titik pada bidang, berlaku PX−→

= PQ−→

+ PR−→

Jelas dari gambar OX−→

= OP−→

+ PX−→

= OP−→

+ PQ−→

+ PR−→

Atau

[x1, x2, x3] = [p1, p2, p3] + [q1-p1, q2-p2, q3-p3] + [r1-p1, r2-p2, r3-p3]

Merupakan persamaan vektoris bidang yang melalui 3 titik. Kedua vektor

PQ−→

dan PR−→

adalah vektor arah bidang.

PRAKATA Halaman


1.7 Evaluasi

1. Tentukan :

a. a . b bila a = [2, -3, 6] dan b = [8, 2, -3]

b. Jarak A(2, 4, 0) , B(-1, -2, 1)

c. Jarak vektor a = [ 1, 7] dan b = [6, -5]

2. Tentukan

a. k supaya a = [1, k, -2, 5] mempunyai panjang √39

b. Berapa sudut antara a = [1, 2, 3, 4] dan b = [0, 0, 1, 1]

c. Tentukan k supaya a = [1, k, -3] tegak lurus b = [4, -k, 1]

3. Carilah u. v untuk

a. u = [-3, 1, 2] dan v = [4, 2, -5]

b. u = [ 1, 2] dan v = [6, -8]

4. Carilah sudut antara u dan v pada soal (3)

5. Misalkan u = [2, -1, 3] , v = [0, 1, 7] dan w = [1, 4, 5], hitunglah

a. v x w b. u x (v x w) c. (u x v) x w

d. (u x v) x (v x w) d. u x (v – 2w) f. (u x v) – 2w

6. Tentukan

a. persamaan vektoris dari garis lurus x1 – 3 = x2 – 4 = -x3 + 2 = 3x4 +2

b. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui (1,1,1) dan garis lurus g :

[x1, x2, x3] = [1, 2,1] + λ [1, 0, 2]

c. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui garis lurus g :

[x, y, z] = [1, 2, 3] + λ [4, 5, 6] serta sejajar dengan garis lurus h : [x,

y, z] = [7, 8, 10] + λ [1, 2, 31]

PRAKATA Halaman


BAB 2 RUANG VEKTOR

2.1 Ruang Vektor Umum

Ruang vektor umum dapat didefinisikan sebagai berikut misalkan V

sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan yaitu

penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penjumlahan tersebut

kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda

u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah

u dan v, dengan perkalian skalar kita artikan setiap benda u pada V yang

mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar u oleh k. Jika

semua aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh

semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor dan benda –

benda pada V kita namakan vektor :

a) Jika u dan v adalah benda – benda pada V kita namakan vektor

b) u + v = v + u

c) u + (v + w) = (u + v) + w

d) Ada vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V

e) Untuk setiap u di V, terdapat –u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0

f) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di V, maka

ku berada di V

g) k(u + v )= ku + kv

h) (k + l)u = ku + lu

i) k(lu) = l(ku)

j) 1u = u

PRAKATA Halaman


2.1.1. SubRuang (subspace)

Sub ruang dalam sebuah vektor dapat didefinisikan sebagai subhimpunan

W dari sebuah ruang vektor V disebut sub ruang (subspace) V jika W itu

sendiri adalah ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang

didefinisikan pada V.

2.2 Vektor yang Bebas Linier dan Tak Bebas Linier

Ketika m merupakan himpunan m buah vektor (u1, u2, … um) disebut tak

bebas linier (linearly dependent) bila terdapat skalar – skalar 1, 2, …, m

yang tidak semuanya nol sedemikian hingga (u1, u2, … um)

Sebaliknya himpunan (u1, u2, … um) disebut bebas linier (linearly

independent) jika 1 u1 + 2 u2 + …+ m um = 0 hanya dipenuhi oleh 1= 2 =

…= m = 0.

Catatan :

1. Jika m=1, maka :

a. Bila u = 0 (vektor nol), akan tak bebas linier,

karena u = 0 0 = 0 terpenuhi juga untuk 0

b. Bila 0, akan bebas linier karena u=0 hanya dipenuhi oleh =0

2. Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya {u1, u2,…,0, … um) maka

himpunan itu tak bebas linier,

1 u1 + 2 u2 + … + i 0+ … + m um = 0 dipenuhi juga oleh I 0

3. JIka u dan v adalah 2 vektor yang berkelipatan, u = v, maka mereka tak

bebas linier. Sebab u = v 1u - v = 0, artinya terdapat 0 pada 1 v

+ 2 u = 0

PRAKATA Halaman


2.3 Kombinasi Linier

Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor – vektor (u1, u2, …

um) bila terdapat skalar – skalar 1, 2, …, m sedemikian hingga v = 1 u1 + 2

u2 + …+ m um.

Perhatikan ilustrasinya sebagai berikut

a = [2, 1, 2], b = [1, 0, 3], c = [3, 1, 5]

Kita hendak menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c Kita

hitung 1, dan 2 yang memenuhi

[2, 1, 2] = 1 [1, 0, 3] + 2 [3, 1, 5]

2 = 1 + 3 2

1 = 2

2 = 3 1 + 5 2

Dengan substitusi, diperoleh 1 = -1 dan 2 = 1 Jadi penulisan yang

diminta adalah a = -b + c

2.4 Arti Kombinasi Linier Secara Ilmu Ukur

1. Kalau v kombinasi linier dari suatu vektor u, yaitu v = u yang mana v

adalah kelipatan dari u dengan garis pembawanya sama (atau sejajar), v dan

u disebut koliner (segaris).

2. v kombinasi linier dari 2 vektor u1 dan u2, yaitu v = 1u1 + 2u2 maka v

adalah diagonal jajaran genjang yang sisi – sisinya 1u1 dan 2u2 . u1 dan

u2 disebut koplanar (sebidang).

3. v kombinasi linier dari 3 vektor u1 , u2 dan u3, yang tidak sebidang, yaitu v =

1u1 + 2u2 + 3u3 maka v adalah diagonal paralelepipedum yang sisi –

sisinya 1u1, 2u2 dan 3u3.

PRAKATA Halaman


2.5 Dimensi dan Basis

Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, …, vr} merupakan

himpunan berhingga dari vektor – vektor pada S, maka S disebut basis untuk V

jika S bebas linier dan S merentang V

Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan

sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V.

Contoh 2.2

Tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh :

p = [1, -2, 3, 1] dan q = [2, -4, 5, 2]

u = [5, 7, 11, 4] dan v = [10, 14, 22, 8]

Jawab :

1. Kedua vektor pembentuk tidak berkelipatan, jadi sistem pembentuk bebas

linier. Berarti dimensi = 2

2. Kedua vektor berkelipatan. Vektor u maupun v 0, jadi keduanya

merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Berarti dimensi = 1

Latihan:

1. Tentukan dimensi dan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh :

(i). a = [1, 1, 2], b= [1, 2, 5] , c = [5, 3, 4]

(ii). p = [1, 2, 2], q = [2, 4, 4] , r = [1, 0, 1]

(ii) u = [1, 0, 1], v = [3, 0, 3] , w = [2, 0, 2]

2. Apakah himpunan – himpunan vektor ini merupakan basis R-3 ?

(i). [1, 1, 1] , [1, -2, 3]

(ii). [1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]

(iii). [1, 1, 2], [1, 2, 5], [5, 3, 4]

3. Diketahui L dibentuk oleh p = [1, 3, 1], q= [2, 1, 0], dan r = [ 4, x-2, 2]

Ditanya :

PRAKATA Halaman


(i) Nilai x supaya L berdimensi 2

(ii) Nilai y supaya vektor a = [3, 2-y, 4] L{p,q,r}

(iii) Koordinat a di atas relative terhadap basis {p,q}

PRAKATA Halaman


BAB 3 SISTEM PERSAMAAN LINIER

3.1 Pendahuluan

Dalam bagian ini kita akan mempelajari mengenai konsep dasar dari

sistem persamaan linier serta akan pula diperkenalkan istilah dasar guna

memecahkan sistem persamaan linier tersebut.

Sebuah garus dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh

persamaan yang berbentuk

a1x + a2y = b

Persamaan semacam ini disebut sebagai persamaan linier dalam peubah x

dan peubah y. Secara lebih umum, persamaan linier dapat didefinisikan dalam

n peubah x1, x2, …… , xn

a1x1 + a2x2 + ….. + anxn = b

dimana a1, a2, ……. , an adalah konstanta riil

Perhatikan ilustrasinya berikut ini, ini adalah contoh beberapa persamaan-

persamaan linier :

x + 3y = 7 x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7

y = ½ x + 3z + 1 x1 + x2 + x3 = 1

Perhatikan bahwa persamaan linier tidak melibatkan sesuatu hasil kali atau

akar peubah. Semua peubah hanya terdapat sampai dengan angka pertama dan

tidak muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonometri, fungsi logaritmik

atau fungsi eksponensial, berikut adalah bukan persamaan linier

x + 3y2 = 7 xz – 2x2 – 3x3 + x4 = 7

y = ½ x2 + 3z3 + 1 x11/2 + x2 + x3 = 1

Pemecahan persamaan linier a1x1 + a2x2 + ……. + anxn = b adalah urutan

dari n bilangan s1, s2, ……………, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi

bila kita menstubtitusikannya terhadap x1 = s1, x2 = s2, ……, xn = sn,

Himpunan semua pemecahan tersebut disebut sebagai himpunan pemecahan.

PRAKATA Halaman


Persamaan linier dalam n peubahx1 , x2 , x3 ,…. xn adalah persamaan yang

dapat dinyatakan dalam bentuk a1x+a2 x2+…+a n xn = b, dimana

a1 , a2 ,… , an dan b adalah konstanta – konstanta riil. Sebuah himpunan

berhingga dari persamaan – persamaan linier dalam peubah x1 , x2 , x3 ,…. xn

dinamakan sistem persamaan linier.

Sebuah persamaan linier yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tidak

konsisten, sedangkan yang paling sedikit mempunyai satu penyelesaian disebut

konsisten.

Sebuah sistem persamaan linier dikatakan homogen jika semua suku

konstanta sama dengan nol, system tersebut mempunyai bentuk

a11 x1+a12 x2+…+a1n xn=0a21 x2+a22 x2+…+a2n xn=0⋮an 1 x1+an2 x2+…+ann xn=0

Tiap – tiap sistem persamaan linier homogen adalah system yang

konsisten, karena x1 , x2 , x3 ,…. xn = 0 selalu merupakan penyelesaian.

Penyelesaian x1 , x2 , x3 ,…. xn = 0 dikatakan penyelesaian trivial. Jika ada

penyelesaian lain selain penyelesaian tersebut maka penyelesaian disebut

penyelesaian taktrivial.

Dimana

aij adalah konstanta koefisien

bj konstan

xi variabel

i =1, 2, 3,…, n dan

j=1, 2, 3,…, n.

PRAKATA Halaman


3.2 Susunan Persamaan Linier

Suatu persamaan linier memiliki susunan seperti tampak pada gambar 3-0

dibawah ini :

gambar 3-0 Susunan persamaan linier

3.3 Menyatakan Bentuk SPL

Secara umum SPL dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut

gambar 3-1 Matriks persamaan linier

Matriks A dinamakan dengan Matriks Koefisien dari SPL. Vektor x

dinamakan dengan vektor variabel dan vektor B dinamakan vektor konstanta.

PRAKATA Halaman


Dengan vektor kolomnya X dan konstanta B adalah sebagai berikut

:X=[ x1x2¿

xn] dan B=[b1b2¿

bn]Teorema (1).

Suatu susunan persamaan linier (SPL) akan memiliki jawaban (konsisten)

apabila rank matriks koefisien = rank matriks lengkap bila r (A) = r (B).

Matriks lengkap (A, B) adalah sebagai berikut :

a11 x1 a12 x2 … a1 n xn=b1a21 x2 a22 x2 … a2 n xn=b2⋮ ⋮an 1 x1 an 2 x2 … ann xn=b 3

Persamaan diatas ini dapat pula ditulis

:[a11a21¿

am1]∗x1+…+[a1 na2 n¿

amn ]∗xn=[b1b 2¿

bn] Atau vektor A1x1 + A2x2 + … + Anxn = B dimana nilai A1, … , An

adalah vektor kolom dari matriks A, namun yang menjadi masalah apakah

x1, …, xn adalah skalar yang memenuhi persamaan tersebut.

Jika ada maka itu harus merupakan kombinasi linier dari A1, A2, A3, …,

An dengan kata lain banyak vektor kolom yang bebas linier antara A1, … An

maka B harus berada di dalam ruang kolom matriks A. maka r (A) = r (A,B).

PRAKATA Halaman


3.4 Penyelesaian SPL Dengan Metode Substitusi

Untuk mencari pemecahan dari sistem persamaan linier dengan

menggunakan metode substritusi perhatikan ilustrasinya sebagi beriku

Carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x+3y=21 dan

x+4y=23 !

Jawab:

Salah satu persamaan dirubah dahulu menjadi y = ... atau x = .... Misal

persamaan x+4y=23 dirubah menjadi x=23-4y. Kemudian disubstitusikan ke

dalam persamaan yang satu.

x = 23-4y 2x + 3y = 21

2(23-4y) + 3y = 21

46 – 8y + 3y = 21

46 – 5y = 21

25 = 5y

y = 5

Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan y = 5 ke dalam salah satu

persamaan.

y = 5 2x + 3y = 21

2x + 3(5) = 21

2x + 15 = 21

2x = 21 – 15

x = 6/2

x = 3

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut

adalah himpunan pasangan (3,5)

PRAKATA Halaman


3.5 Penyelesaian SPL Dengan Metode Eliminasi

Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 3x-2y=7

dan 2x+4y=10 !

Jawab:

Misal variabel yang hendak dieliminasi adalah y

Untuk mendapatkan nilai y, substitusikan x = 3 ke dalam salah satu

persamaan.

x = 3 3(3) - 2y = 7

-2y = 7 – 9

2y = 2

y = 1



3.6 Penyelesaian SPL Dengan Determinan

ax + by = c

dx + ey = f

Misal persamaan pada soal sebelumnya yaitu 3x-2y=7 dan 2x+4y=10 akan

diselesaikan dengan cara determinan:

PRAKATA Halaman




3.7 Susunan Persamaan Linier Homogen

Jika semua konstanta b1 = 0 maka persamaan AX = 0 sehingga

susunannya menjadi :

a11 x1+a12 x2+…+a1n xn=0a21 x2+a22 x2+…+a2n xn=0⋮an 1 x1+an2 x2+…+ann xn=0

Yang selanjutnya disebut sebagai susunan persamaan linier yang

homogen. Jelas r (A) = r (A, 0), jadi susunan persamaan linier homogen selalu

memiliki jawaban. Harga-harga x1 = x2 = … = xn = 0 jelas selalu memenuhi

susunan diatas. Jadi [0,0, …, 0] pasti merupakan jawab dari susunan persamaan

homogen manapun

Maka suatu susunan persamaan linier homogen selalu memiliki paling

sedikit satu jawaban [0, 0, …, 0] yang disebut sebagai jawab nol atau jawab

trivial.

Teorema (2)

PRAKATA Halaman


Semua jawab dari vektor susunan persamaan linier homogen membentuk

suatu ruang vektor di Rn yang disebut sebagai ruang jawab atau solution space

L dimensi L = (n-r) dimana n banyaknya variable dan r adalah rank dari

matriks.

Catatan :

1. Ketika r < n, berarti dimensi ruang jawab n – r > o maka akan

didapatkan jawab tidak nol (non trivial)

2. Ketika r = n maka dimensi ruang jawab = n – r = 0 jadi jelasnya hanya

didapatkan jawaban nol(trivial)

3. Ketika bekerja dengan bayak sistem persamaan linier (m buah) maka

vektor kolom A1, …. , An maka komponen m buah akan menjadi

anggota dari Rm. Maka jelasnya bahwa jumlah maksimum vektor

kolom matriks A yang bebas linier = m arau r(A) paling besar = m

Jadi ketika m < n pasti jawab non trivial

Perhatikan ilustrasinya berikut ini :

x1 + x2 – x3 = 0

2x1 + 3x2 – x3 = 0

Akan memiliki jawaban non trivial karena m = dan n = 3

3.8 Peninjauan Secara Baris

Suatu susunan persamaan linier disebut bebas atau tidak bebas, tergantung

apakah vektor-vektor barisnya bebas linier atau tidak


2x + y = 0

2x + 3y = 0

3x + 4y = 0

PRAKATA Halaman


Dapat ditulis sebagai berikut :

A =[1 12 33 4]

Jelas ketiga buah vektor tersebut adalah tidak bebas linier karena

banyaknya vektor tersebut adalah 3 sedangkan ketiga vektor tersebut berada

diruang 2, jadi susunan persamaan diatas tidak bebas linier.

Teorema

Kita tulis vektor-vektor baruis dari A sebagai B1 = [a11, a12, …, a1n], B2

= [a21, a22, …, a2n], ….. , Bm, = [am1, am2, …, amn]. Dapat dituliskan AX =

0 sebagai m buah dot product : Bix dimana I = 1, 2, …, m sedangakan x = {x1,

x2, …, xn}

Kalau r (A) = r, maka r buah baris akan bebas linier, katakanlah B1, B2, …

, Br (kalau perlu dengan pertukaran indeks).

Ternyata jawab dari r persamaan/dot product : B1x = 0, B2x = 0, … , Bix

= 0 adalah jawab dari seluruh m buah persamaan mula-mula

Dari hasil yang telah kita pelajari pada bagian matriks bahwa rang matriks

yang ekuivalen baris (matriks yang didapatkan sebagai hasil transformasi

elementer baris terhadap matriks lainnya) adalah sama. Suatu susunan

persamaan linier tidak berubah (tidak memiliki jawab yang sama) apabila

dilakukan transformasi elementer baris terhadap matriks lengkapnya. Maka

kadang-kadang lebih baik kalau kita lakukan transformasi elementer lebih

dahulu sekaligus untuk memeriksa rank dari matriks tersebut.

Contoh :

Diketahui persamaan :

3x + 2y + z = 0

x + y + z = 0

PRAKATA Halaman


2x + y = 0

Maka :

A = [3 2 11 1 12 1 0] ~ H12

(-1) [2 1 01 1 12 1 0] ~ H13

(-1) [0 0 01 1 12 1 0 ]

Maka B2 dan B3 adalah bebas linier r (A_ = 2 serta kita mengambil

persamaan :

x + y + z = 0

2x + y = 0

Carilah jawaban dari

2x + 3y + z = 0

Dari yang telah dipelajari diatas bahwa ketika m < n, mengakibatkan

susunsan selalu memiliki jawaban non trivial, sebuah matriks A r(A) = 1. Maka

dimensiu ruang jawab adalah n-r = 3-1 =2

Kita dapat memliih suatu jawab , misalnya kita ambil x =1 dan y = 1 maka

z = -5

Harga z selalu tergantung pada pemilihan harga dari x dan y, dengan

perkataan lain xz = -2x – 3y, dimana x adan y adalah sebarang skalar. Karena

itu kita perkenalkan disini pengertian PARAMETER atau FREE VARIABLE,

untuk x dan y jadi secara umum jawaban persamaan adalah :

x = x

y = y

z = -2x – 3y

Dimana kita boleh mengambil asumsi bahwa harga x dan y adalah

sebarang, misalnya kita sebuah

x = + 0

PRAKATA Halaman


y = 0 +

y = -2 - 3

Perhatikan contohnya berikut ini :

3x1 – 2x2 – 3x3 + 3x4 = 0

x1 – x2 – x3 + x4 = 0

2x1 – x2 – 2x3 + 2x4 = 0

[3 −2 −31 −1 −12 −1 −2

312] ~ H12

(-3) dan H32

(-2)

[0 1 01 −1 −10 1 0

010] ~ H31

(-1)

[0 1 01 −1 −10 0 0

010]

Sehingga rank = 2, lihat baris vektor tak nolnya

3.9 Susunan Persamaan Linier Non Homogen

Pandang susunan persamaan linier AX = B, dimana B ≠ 0

a11 x1+a12 x2+…+a1n xn=b 2a21 x2+a22 x2+…+a2n xn=b 1⋮an 1 x1+an2 x2+…+ann xn=bm

Dimana A1x1 + A2x2 + … + Anxn = B dimana A1 ,…, An adalah vektor-

vektor kolom dari matriks koefisien A1 maka susunan persamaan linier diatas

disebut sebgai yang non homogen

PRAKATA Halaman


Teorema

Semua jawab vektor dari susunan persamaan linier non homogen AX = B

berbebtuk z = x’ + y, dimana x’ adalah suatu jawab khusus non homogen AX =

B dan y jawab umum homogen AX = 0.

Perhatikan contohnya berikut ini :

Diketahui suatu persamaan linier

3x + 2y = 5

X + y = 2

Hanya memiliki satu jawab, yaitu x =1 dan y = 1 atau [x,y] = [1,1] kita

lakukan sebagai berikut :

Pertama periksalah terlebih dahulu apakah r(A) = r (A,B)

[3 21 1

¿¿

52]

Jelas karena baris 1 dan 2 tidak berkelipatan maka r(A) = r(A,B) = 2, jadi

sistem ini konsisten maka ada jawabannya.

Karena r (A) = 2 = n, maka susunan homogennya hanya memiliki jawab 0

jadi jawaban untuk susunan homogennya adalah hanya satu tunggal.

Salah satu cara adalah dengan transformasi elementer baris

[3 21 1

52] ~ H12(-2) [1 0

1 112] ~ H21(-1) [1 0

0 111] ~ H21(-1)

Atau x1 = 1, x2 = 1 atau menggunakan cara lain yaitu aturan crammer.

PRAKATA Halaman


3.10 Aturan Crammer

Untuk mencari jawab dari persamaan linier yang bersifat non homogen

yang memiliki jawaban tunggal (r = n) kita dapat mempergunakan aturan

crammer, sebagai berikut :

AX = B maka xk = Dk/D dimana

a11x1+a12 x2+…+a1 n xn=b2a21 x2+a22 x2+…+a2n xn=b1. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .an1 x1+an 2 x2+…+ann xn=bn

Dk = Determinan dari matriks dan memiliki bentuk umum :

[a11 x1 a12 x2 … b 1 … a 1n ¿ ] [a21 x2 a22 x2 … b 2 … a 2 n ¿ ] [. . .. ¿ ]¿¿

¿¿

Dimana determinan matriks koefisiennya ≠ 0

Untuk menentukan Dk, kita tulis matriksnya dengan mengganti

kolom k oleh kolom konstanta b

Sehingga jelas karena r (A) = n, kita akan memiliki n persamaan yang

bebas, dimana vektor-vektor barisnya bebas linier, atau determinan matriks

koefisien ≠ 0. Jadi syarat dapat dipakai oleh aturan crammer adalah m = n

(banyak persamaan linier = banyanya variabel) atau det (A) ≠ 0

Perhatikan contoh berikut ini :

3x + 2y = 5

X + y = 2

PRAKATA Halaman


Jawab :

A=[3 21 1]

Maka dapat dipakai aturan crammer sebagai berikut :

D=1 , x=[5 22 1]

1=1

y=[5 22 1]

1=1

Perhatikan contoh dari :

2x + 3y = 6

X + 2y = 4

3x + y = 2

Karena m > n, kita bel;um bisa menggunakan aturan crammer, kita

periksa terlebih dahulu r (A) dan r (A, B).

[2 3 61 2 43 1 2 ] H12(-2) dan H32 (-3)

[0 −1 −21 2 40 −5 10 ] H31 (-5)

[0 −1 −21 2 40 0 0 ]

Dari hasil tersebut ternyata diperoleh r (A) = r(A, B) = 2 sehingga

persamaan tersebut memiliki jawaban (trivial)

PRAKATA Halaman


Contoh

Carilah nilai x, y , z secara crammer dari

3x + y + z = 7

2x - y + 2z = 7

x + 2y - z = 0

Meskipun m = n = 3 tetapi determinannya

[3 1 12 −1 21 2 −1] = 0

Sehingga aturan cramer tidak dapat dipakai. Disini diperoleh r (A) =

r(A, B) = 2, maka penyelesaian sama seperti contoh sebelumnya.


2x + y + z = 4

x - y - z = -1

x + 2y + 2z = 4

Selidiki terlebih dahulu r (A) dan r (A, B)

[2 1 11 −1 −11 1 2

4−14 ] H13(-2) dan H23 (-1)

Jadi jelas karena baris 1 dan 2 tidak berkelipatan maka r (A) = r (A, B)

= 3 jadi benar r = n = 3 jadi jawaban dari persamaan tersebut hanya lah ada 1

Dari hasil yang diperoleh ini kita dapat menuliskan kembali menjadi

bentk

0x + y - 3z = 4

0x - 2y - 3z = -1

x + y + 2z = 4PRAKATA



D = [0 −1 −30 −2 31 1 2 ] = [−1 −3

−2 −3 ] = 3

Maka :

x=[−4 −1 −3−5 −2 −3

4 1 2 ]−3

=−3−3

=1

y=[0 −4 −30 −5 −31 4 2 ]

−3=−3−3

=1

z=[0 −1 −40 −2 −51 1 4 ]

−3=−3−3

=1

3.11 Pertanyaan

Tentukan apakah masing-masing persamaan dibawah ini bersifat non

trivial.

a. Apakah Persmaan dibawah ini bersifat non triviL

x - 2y - 3z + w = 4

x - 3y + z + w = -1

4x + y - 2z – w = 4

Karena jumlah persamaan m = 3, sedangkan jumlah variable adalah 4

jadi m < n maka pasti nontrivial

b. asdasd

PRAKATA Halaman


x + 2y - 3z = 4

2x + 5y + 2z = -1

3x - y - 4z = 4

Karena jumlah persamaan m = n = 3, maka terlebih dahulu r (A) < n

[1 2 −32 5 23 −1 −4 ] H21(-2) dan H31 (-3)

[1 2 −30 1 80 −7 5 ]

Jadi jelas disini baris 2 dan 3 tidak berkelipatan, maka r (A) = 3 = n

jadi tidak memliki jawaban non trivial

PRAKATA Halaman


BAB 4 MATRIKS

4.1 Definisi Matriks

Sebuah matrik adalah serangkaian elemen dalam bentuk persegi panjang.

Skalar – skalar itu disebut elemen matrik. Untuk batasnya biasanya digunakan:

( ), [ ], || ||

Elemen ke-(i,j) aij dari matriks A berada dibaris ke-i dan kolom ke-j dari

rangkaian tersebut. Order (ukuran) dari sebuah matrik dikatakan sebesar (m x

n) jika matriks tersebut memiliki m baris dan n kolom. Misalnya,

Amxn = (a 11 ⋯ a1 n⋮ ⋱ ⋮

a 41 ⋯ amn)persamaan 4..0 Bentuk umum matriks

Adalah sebuah matriks (s x m), notasi lain yang cukup singkat adalah :

(aij) atau Amn = (aij). Notasi Matriks Suatu matriks dilambangkan dengan

huruf besar. Contoh :

A =

( x ¿ )¿¿

¿¿B = (4 – 2 5) C =

(6 8 10 ¿ ) ¿¿

¿¿

Setiap kolom, yang ditunjukkan pertama menyebutkan nomor barisnya dan

kemudian nomor kolomnya.

A =

– 1 adalah elemen baris kedua kolom pertama

6 adalah elemen baris ke tiga kolom ke empat.

PRAKATA Halaman


Baris 1Baris 2

Baris 3Kolom 1

Kolom 3

Kolom 2

Kolom 4

Ordo suatu matriks diberikan dengan menyetakan banyaknya baris

kemudian kolom. Perhatikan contohnya berikut ini :

A = (1 0 43 2 5 )

Banyaknya baris matriks A adalah 2 Banyaknya kolom matriks A adalah

3. Ordo matriks A adalah 2 x 3 ditulis A2×3 Secara umum Jika banyaknya baris

matriks A adalah m dan banyaknya kolom n maka ordo matriks A ialah m x n

ditulis A m×n .

4.2 Jenis Matriks

Ada berbagai jenis matriks diantaranya adalah :

a. Matriks Nol

Matriks nol didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau elemennya

adalah bilangan nol, berikut ini adalah salah satu contoh bentuk matriks nol.

Amxn = [0 0 00 0 00 0 0 ]

b. Matriks Satu

Matriks satu didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau elemennya

adalah 1, berikut ini adalah salah satu contoh bentuk matriks nol

Amxn = [1 1 11 1 11 1 1]

c. Matriks bujur sangkar adalah sebuah matriks dimana m = n.

d. Matriks identitas adalah matriks bujur sangkar dimana semua elemen

diagonal adalah satu dan semua elemen diluar diagonal adalah nol; yaitu :

aij = 1, untuk I = j

aij = 0, untuk I �‚ j

PRAKATA Halaman


misalnya, sebuah matriks identitas (3x3) diketahui :

I=[1 0 00 1 00 0 1]

e. Vektor baris adalah sebuah matriks dengan satu baris dan n kolom.

f. Vektor kolom adalah sebuah matriks dengan m baris dan satu kolom.

g. Matriks AT disebut tranpose dari A jika elemen aij dalam A adalah sama

dengan elemen aji dari AT untuk semua I dan j, misalnya, jika

A=[1 42 35 6 ]

Maka

AT=[1 2 54 3 6 ]

secara umum , AT diperoleh dengan menukar baris dan kolom dari A.

Akibatnya jika A memiliki order (m x n), AT memiliki order (m x n).

h. Dua buah matriks A = ||aij|| dan B= ||bij||, dikatakan sama jika dan hanya

jika keduanya memiliki order yang sama dan setiap elemen aij adalah sama

dengan bij yang bersesuaian untuk semua i dan j.

Kesamaan Matriks Definisikan sebagai jika A Dan B Suatu Matriks M X

N, Maka A=B Jika Dan Hanya Jika Ordo Kedua Matriks Tersebut Sama Dan

Entri/Elemen Yang Seletak Sama. Dari Definisi Di Atas, Dua Buah Matriks

Dikatakan Sama Jika: 1. Ordo Kedua Matriks Itu Sama dan Entri/Elemen Yang

Seletak Sama.

PRAKATA Halaman


4.3 Operasi Matriks

Pada sebuah matriks dapat dilakukan beberapa operasi sebagai berikut :

4.3.1. Penjumlahan Matriks

Definisi. A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka

jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-

sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-

matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan, perhatikan

ilustrasinya berikut ini :

A = (a bc d ) dan B =

(e fg h )

Maka A + B = (a bc d )+

(e fg h ) =

(a+e b+ fc+g d+h )

Dari definisi di atas, dapat dikatakan bahwa dua matriks dapat

dijumlahkan jika ordonya sama, penjumlahan dilakukan pada elemen yang

seletak. Jadi dapat dituliskan dalam rumus: Amxn + Bmxn = Cmxn,

Perhatikan contoh berikut ini

Jika P =

(3 ¿ ) (2¿ )¿¿

¿¿ dan Q =

(0 ¿ ) (−2 ¿ )¿¿

¿¿ maka P + Q =

(3 ¿ ) (2¿ )¿¿

¿¿+

(0 ¿ ) (−2 ¿ )¿¿

¿¿=

(3 ¿ ) (0 ¿ ) ¿¿

¿¿

Q + P =

(0 ¿ ) (−2 ¿ )¿¿

¿¿+

(3 ¿ ) (2¿ )¿¿

¿¿=

(3 ¿ ) (0 ¿ ) ¿¿

¿¿ karena P + Q = Q + P,

maka penjumlahan matriks bersifat komutatif.

PRAKATA Halaman


4.3.2. Pengurangan Matriks

Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil

pengurangan A dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan

matriks lawan B. Jadi A – B = A + (– B). Contoh :

P = [4 73 2 ] dan Q =

[2 13 −2 ]

a). P – Q = [4 73 2 ] –

[2 13 −2 ]

= [4 73 2 ] +

[−2 −1−3 2 ]

= [2 60 4 ]

b).Q – P = [2 13 −2 ] –

[4 73 2 ]

= [2 13 −2 ] +

[−4 −7−3 −2 ]=

[−2 −60 −4 ]

Karena P – Q tidak sama dengan Q – P, maka pada pengurangan matriks

tidak berlaku hokum komutatif

4.3.3. Perkalian Matriks

A. Perkalian Skalar

Ketika merupakan suatu skalar (bilangan) dan A = (a ij), maka matrik A

= (aij), dengan kata lain, matrik A diperoleh dengan mengalikan semua

elemen matrik A dengan atau dengan kata lain, perkalian skalar ialah

perkalian suatu matriks dengan bilangan (skalar). Hasil kali matriks A dengan

bilangan p ditulis p.A, ialah matriks yang ordonya sama dengan matriks A, dan

elemen-elemennya didapat dari perkalian setiap unsur A dengan p.

PRAKATA Halaman



Jika A = [a bc d ]

maka p.A = p.

[a bc d ] =

[ pa pbpc pd ]


Jika A=[−4 2 3

1 −5 −2 ] maka

4 . A=4 .[−4 2 31 −5 −2 ]

= [−16 8 12

4 −20 −8 ]Hukum pada penjumlahan dan perkalian skalar :

Jika A, B, C adalah matrik berukuran sama, dan adalah skalar maka :

1. A + B = B + A (komutatif)

2. (A + B) + C = A + (B+C) (asosiatif)

3. (A + B) = A + B (distributif)

4. Selalu ada matrik D sedemikian hingga A + D = B

PRAKATA Halaman


B. Perkalian Antar Matriks

Pada umumnya matrik tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB

BA. Pada perkalian matrik AB, matrik A disebut matrik pertama dan B matrik

kedua. Syaratnya Jumlah kolom matrik pertama = jumlah baris matrik kedua

atau dengan kata lain, dua matriks dapat dikalikan, apabila banyaknya kolom

matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks ke dua.

Pandang A = (aij) berukuran (p x q) dan B = (bij) berukuran (q x r). Maka

perkalian AB adalah suatu matrik C = (cij) berukuran (p x r) dimana, cij = ai1 b1j

+ ai2 b2j + … + aiq bqj, untuk setiap i = 1,2,…,p dan j = 1,2, … r

Hukum pada perkalian matrik :

1. A(B + C) = AB + AC, dan (B + C) A = BA + CA, memenuhi hukum

distributif

2. A(BC) = (AB)C , memenuhi hukum asosiatif

3. Perkalian tidak komutatif, AB BA

4. Jika AB = 0 (matrik 0 ) , yaitu matrik yang semua elemennya adalah =

0, kemungkinan kemungkinannya adalah :

(i). A = 0 dan B = 0

(ii) A = 0 atau B = 0

(iii) A 0 dan B 0

5. Bila AB = AC belum tentu B = C

PRAKATA Halaman



[a bc de f ]⋅¿ [x ¿ ]¿

¿¿

Contoh 1 :

Jika P=(2 1 0

3 4 2 ) dan

Q=(5 16 27 3 )

Maka P×Q=(2 1 0

3 4 2 )¿(5 16 27 3 )

= (2.5+1 .6+0 .7 2. 1+1. 2+0 . 33 .5+4 .6+2.7 3 . 1+4 . 2+2. 3 )

=

(10+6+0 2+2+015+24+14 3+8+6 )=(

16 453 17 )

1. Matriks Identitas (Matriks Satuan)

Sifat-sifatnya menyerupai sifat-sifat satuan dalam sistem bilangan real.

Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka I . A = A . I = A Misal :

A = [3 52 4 ]

dan I = [1 00 1 ]

Maka

I . A = [1 00 1 ][3 5

2 4 ]=[3+0 5+00+2 0+4 ] =

[3 52 4 ]

PRAKATA Halaman


A . I = [3 52 4 ][1 0

0 1 ] = [3+0 5+00+2 0+4 ] =

[3 52 4 ]

Ternyata I . A = A . I = A

2. Pemangkatan Matriks Bujur Sangkar

Pemangkatan matriks bujur sangkar adalah perkalian antara matriks itu

sendiri. Contoh : Jika A= [−2 4

3 5 ] maka tentukan A2

Jawab :

A2= [−2 4

3 5 ] . [−2 43 5 ]=[

4+12 −8+20−6+15 12+25 ]=[16 12

9 37 ]

4.4 Transpose Matriks

Pandang suatu matrik A = (aij) berukuran (m x n) maka transpose dari A

adalah matrik AT berukuran (n x m) yang didapatkan dari A dengan menuliskan

baris ke – i dari A, i = 1,2,…,m sebagai kolom ke –i dari AT. Dengan kata lain :

AT = (aji)

Sifat – sifat matrik transpose

1. (A + B)T = AT + BT

2. (AT)T = A

3. (AT) = (A)T

4. (AB)T = BT AT

Dengan kata lain matriks transpose dapat didefinisikan sebagai berikut.

Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh At dan

didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris

pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga

dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya. Dari definisi di PRAKATA



atas, dapat juga dikatakan bahwa matriks tranpose adalah suatu matriks yang

diperoleh dari perpindahan baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks

At. Jadi dapat dituliskan dalam rumus:

4.5 Transformasi (Operasi) elementer pada baris dan kolom

matrik

Ttransformasi elementer pada baris dan kolom suatu matrik A adalah

sebagai berikut :

1. Penukaran tempat baris ke – i dan baris ke – j ditulis Hij (A)

2. Penukaran tempat kolom ke – i dan kolom ke – j ditulis Kij (A)

3. Mengalikan baris ke – i dengan skalar 0 , ditulis Hi( λ ) (A)

4. Mengalikan kolom ke – j dengan skalar 0 , ditulis Ki( λ ) (A)

5. Menambah baris ke – i dengan kali baris ke – j ditulis Hij()(A)

6. Menambah kolom ke – i dengan kali kolom ke – j ditulis Kij()(A)

Misalnya kita telah mengetahui matrik B sebagai hasil transformasi

elementer dari A. Kita dapat mencari A, disebut invers dari transformasi

elementer tersebut.

Matrik ekivalen

Dua matrik A dan B dikatakan ekivalen (A~B) apabila salah satunya dapat

diperoleh dari yang lin dengan transformasi – transformasi elementer terhadap

baris dan atau kolom. Jika transformasi elementernya pada baris saja, maka

dikatakan ekivalen baris. Begitu juga dengan kolom.

Matrik Elementer

Sebuah matrik n x n disebut matrik elementer jika matrik tersebut dapat

diperoleh dari matrik identitas n x n yaitu In dengan melakukan sebuah operasi

baris elementer tunggal.

PRAKATA Halaman


4.6 Mencari solusi dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan

Misal diketahui matrik A adalah matrik bujursangkar. Dan X adalah

pemecahan bagi AX = 0 dimana AX = 0 adalah bentuk matrik dari sistem :

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0

.

.

.

an1x1 + an2x2 + … + annxn = 0

Jika kita memecahkannya dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan,

maka sistem persamaan yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi

dari matrik yang diperbesar akan menjadi :

x1 = 0

x2 = 0

.

.

xn = 0

dan matrik yang diperbesar tersebut adalah :

[a11 a12 . . a1 n 0

a21 a22 . . a2 n 0

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .an 1 an2 . . ann 0

]PRAKATA



Lebih jauh tentang gauss jordan akan dibahas pada bagian lain dari buku

ini.

4.7 Invers

Pengertian Invers matriks / Kebalikan Matriks Jika A dan B adalah matriks

bujur sangkar yang ordonya sama sehingga A.B = B.A = I , maka B adalah

invers A dan A adalah invers B. Dalam hal ini akan dibahas untuk matriks

berordo 2 x 2 Contoh :

Jika A = [5 −23 −1 ] dan B =

[−1 2−3 5 ] , tunjukkanlah matriks A dan B

adalah saling invers, jawab :

A . B =[5 −23 −1 ].[

−1 2−3 5 ]=

[−5+6 10−10−3+3 6−5 ]=[1 0

0 1 ]

B . A =[−1 2−3 5 ] .[

5 −23 −1 ]=[

−5+6 2−2−15+15 6−5 ]=[1 0

0 1 ]Karena A.B = B.A = I, maka A adalah invers B dan sebaliknya. Rumus

Umum :

Jika

A = (a bc d ) maka inversnya adalah,

A−1= 1a . d−bc ( d −b

−c a ) , dengan ad−bc≠0

ad−bc dinamakan determinan matriks A dan ditulis

det A = |a bc d

|=ad−bc atau bias ditulis D=ad−bc

PRAKATA Halaman


Jika D=ad−bc=0 , matriks A tersebut tidak mempunyai invers, dalam

hal ini matriks A disebut matriks singular.

Contoh :

Diketahui matriks A = (2 14 3 ) tentukan determinan dan inversnya.

Jawab :

D=ad−bc=(2)(3 )−( 4 )(1)=6−4=2

A−1= 1a . d−bc ( d −b

−c a )

=

12 ( 3 −1−4 2 )=( 3

2− 1

2

−2 1 )Pemakaian matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Contoh :

Tentukan harga X dan Y dari sistem persamaan dengan matriks.

{2 x+ y=5 ¿¿¿¿Jawab :

(2 14 −5 )¿ (x ¿ ) ¿

¿¿

Misal : A = (2 14 −5 )

A−1=1

−10−4 (−5 −1−4 2 )=(

514

114

414

− 214)

A−1 . A .¿ (x ¿ ) ¿¿

¿

PRAKATA Halaman


(5

141

144

14− 2

14)(2 1

4 −5 )¿ (x ¿ ) ¿¿

¿

(1 00 1 )¿ ( x ¿ )¿

¿¿

Jadi x = 2 dan y = 1

Invers dari sebuah matriks dapat pula dicari melalui operasi baris

elementer perhatikan contohnya sebagai berikut :

Cari invers matrik A = [1 2 32 5 31 0 8 ]

Jawab :

Pada akhir operasi , matrik dibentuk menjadi [I |A-1] dari bentuk asal [A | I]

[1 2 32 5 31 0 8

1 0 00 1 00 0 1

]

dengan operasi elementer H21(−2) dan H21

(−1) menjadi

[1 2 30 1 −30 −2 5

1 0 0−2 1 0−1 0 1

]

dengan operasi elementer H32(2) menjadi

[1 2 30 1 −30 0 −1

1 0 0−2 1 0−5 2 1

]

PRAKATA Halaman


dengan operasi elementer H3(−1) menjadi

[1 2 30 1 −30 0 1

1 0 0−2 1 05 −2 −1

]

dengan operasi elementer H13(−3) dan H23

(3 )menjadi

[1 2 00 1 00 0 1

−14 6 313 −5 −3

5 −2 −1]

dengan operasi elementer H12(−2) menjadi

[1 0 00 1 00 0 1

−40 16 913 −5 −3

5 −2 −1]

Jadi invers dari matrik A adalah [−40 16 913 −5 −3

5 −2 −1 ]4.8 Gauss Jordan

Metode Gauss-Jordan merupakan suatu variasi dari Eliminasi Gauss dan

dalam bahasa analitik biasanya lebih dikenal dengan nama reduksi baris.

Perbedaan utamanya dengan eliminasi Gauss adalah bila sebuah yang tidak

diketahui dieliminasikan dengan metode Gauss-Jordan maka ia deliminasikan

dari setiap persamaan lainnya. Ini merupakan bentuk matrik kesatuan,padahal

eliminasi Gauss merupakan matrik triangular.

• Penambahan Matrik sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal

PRAKATA Halaman


• Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai

d1,d2,d3,…,dn dan atau x1 = d1,x2 = d2,x3=d3,….,xn=dn

• Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama

seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris

Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh

dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris .

• Satu cara yang gamblang untuk menghitung inversi ialah dengan

menggunakan metode Gauss-Jordan. Untuk melakukan ini,matriks

koefisien diperluas dengan sebuah matriks kesatuan. Kemudian metode

Gauss Jordan diterapkan agar mengurangi matriks koefisien menjadi

sebuah matriks kesatuan. Jika ini telah selesai, ruas kanan matriks yang

diperluas akan mengandung inversi.

• Jika matrik [A] adalah bujur sangkar, terdapat matrik lainnya [A] -1 yang

disebut matrik inversi.dan merupakan hasil inversi matrik [A]

• [A] [A]-1 = [A]-1 [A] =[I]

Dimana [I] merupakan matrik Identitas

Contoh matrik Identitas:

[1 0 00 1 00 0 1 ]

1. Selanjutnya:

2. [x] = [A]-1 [c]

3. Suatu aplikasi inversi terjadi bila diperlukan

PRAKATA Halaman


4. untuk menyelesaikan beberapa sistem

5. Persamaan dalam bentuk:

6. [A] [x] = [c]

Hanya dibedakan oleh vektor di ruas kanan [c]

Eliminasi gauss jordan ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier simultan, perhatikan contohnya berikut ini :

A=¿

Persamaan ini dapat kembali ditulis menjadi

[2 4 4 x 13 5 3 x 22 1 2 x 3

1312.5

6 ]Selanjutnya matriks tersebut ditulis menjadi

¿

Tujuannya adalah membuat matriks yang berada pada sisi kiri menjadi matriks identias langkah yang dilakukan sama halnya ketika mencari inversnya Perhatikan hasil-hasilnya berikut ini :

¿

¿

¿

PRAKATA Halaman


[a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33

|||

1 0 00 1 00 0 1 ]

[1 0 00 1 00 0 1

|||

a 11−1 a12−1 a 13−1

a 21−1 a 22−1 a 23−1

a 31−1 a32−2 ¿¿−3 ¿

−1 ¿¿¿]

¿

dari hasil tersebut diperoleh x1 = 0.5 dan x2 = 2

4.9 Evaluasi

1. Diketahui matriks berikut ini :

A = [2 14 2 ] B =

[0 12 3 ] dan C =

[3 78 9 ]

Maka tentukanlah :

a. ( A + B ) + C

b. A + (B + C)

Jawab :

( A + B ) + C = ¿¿

= [2 26 5 ] +

[3 78 9 ] =

[ 5 914 14 ]

A + (B + C) = [2 14 2 ]+ ¿¿

= [2 14 2 ] +

[ 3 810 12 ] =

[ 5 914 14 ]

Dari contoh 1a) dan 1b) , maka berlaku hukum asosiatif penjumlahan matriks.

2. Diketahui sebuah persamaan matriks berikut ini :

[1 22 3] [ z x

3 z x ]=[ 8 x 416 y 9 z ] [ x 6

2 y 5 z ]Setelah dilakukan operasi perkalian maka dihasilkan seperti tampak berikut

ini :

PRAKATA Halaman


[ z+6 z x+2 x2 z+9 z 2 x+3 x]=[ 7 x 10

14 y 4 z ]Sehingga menghasilkan persamaan berikut ini :

3x = 10 dan x = 103

;

x = 4z maka z = 1012

14y = 7z maka 14y = 71012

sehingga y=5

12

3. Diketahui P dan Q sebagai berikut :

P=[2 51 3]dan Q=[3 5

1 2]Maka tentukan :

c. PQ2

d. Apakah PQ2 = Q

e. Buktikan PQ = IJawab

a. Q2 = [3 51 2] [3 5

1 2]=[ 4 51 1]

PQ2 = [2 51 3] [4 5

1 1]=[3 51 2]

b. Ya

c. PQ = [2 51 3] [3 5

1 2]=[1 00 1]

4. Diketahui sebuah matrik A sebagai berikut :

A = [ 2 1 −11 3 4−2 −1 1 ]

Maka tentukan :

a. Matriks kofaktornya

Jawab :

PRAKATA Halaman


C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2

C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3

C13 = (-1)4 M13 = M13 =

C21 = (-1)3 M21 = - M21 =

C22 = M22 = 0

C23 = - M23 = 0

C31 = M31 = 7

C32 = - M32 = - 9

C33 = M33 = 5

Andaikan A = [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]

Jadi matrik kofaktor A = [7 −9 50 0 07 −9 5 ]

5. Tentukan Determinan dari Matriks A

A =[2 3 41 2 22 1 3 ]

= 2 (6 – 2) – 3 (3 – 4) + 1 (1 – 4)

= 2 (4) – 3 (-1) + 4 (-3)

= 8 + 3 + - (12)

= -1

PRAKATA Halaman


BAB 5 DETERMINAN

5.1 Pengertian Dasar

Setiap matrik bujursangkar A selalu dikaitkan dengan suatu sknlar yang

disebut Determinan. Sebelum mulai dengan yang lebih umum, kita ambil

dahulu matrik A(2x2) sebagai berikut : [a bc d ]

Didefinisikan ; det(A) = |a bc d

| = ad -bc

Contoh :

A = [1 35 5 ] maka det(A) = 1.5 – 3.5 = 5 – 15 = -10

Dengan kata lain untuk setiap matriks persegi A dengan elemen-elemen

bilangan real, terdapat tepat satu nilai yang berhubungan dengan matriks

tersebut. Satu nilai real ini disebut determinan. Determinan dari matriks A

ditulis det(A) atau |A|. Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-

unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda,

kemudian hasilnya dijumlahkan.

Cara termudah mencari determinan dari matrik bujursangkar untuk orde

yang tidak terlalu besar adalah dengan metode SARRUS .

(-) (-) (-)

PRAKATA Halaman


|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

|a11 a12

a21 a22

a31 a32

(+) (+) (+)

Contoh 4.3:

|2 3 12 1 23 1 2

|

2 32 13 1

= 2.1.2 + 3.2.3 + 1.2.1 – 1.1.3 – 2.2.1 – 3.2.2

= 4 + 18 + 2 – 3 – 4 – 12 = 5

5.2 Sifat – Sifat Determinan

1. det(A) = det(AT)

2. Tanda determinan berubah jika 2 baris atau kolom ditukar tempatnya.

3. Harga determinan menjadi kali, bila suatu baris / kolom dikalikan dengan

skalar

5.3 Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris

Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat

dalam penerapan definisi determinan secara langsung.

Theorema :

Jika A adalah matrik segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen –

elemen pada diagonal utama, yaitu , det(A) = a11.a22.a33 .. ann

PRAKATA Halaman


Contoh 4.4 :

|

2 7 −3 8 30 −3 7 5 10 0 6 7 60 0 0 9 80 0 0 0 4

|

= (2) (-3) (6) (9) (4) = -1296

Contoh 4.5 :

Hitung det(A) dimana A =

|0 1 53 −6 92 6 1

|

Jawab :

Baris I ditukar dengan baris II ( H21),

sehingga menjadi = -

|3 −6 90 1 52 6 1

|

= - 3

|1 −2 30 1 52 6 1

| ⇒ H31

(-2) ⇒ = - 3

|1 −2 30 1 50 10 −5

| ⇒ H32

(-10) ⇒

= - 3

|1 −2 30 1 50 0 −55

| = (-3) (-55)

|1 −2 30 1 50 0 1

| = (-3) (-55) (1) = 165

Metode reduksi baris ini sangat sesuai untuk menghitung determinan

dengan menggunakan komputer karena metode tersebut sistematis dan mudah

diprogramkan.

PRAKATA Halaman


5.4 Minor dan Kofaktor

Sebelum mempelajari kofaktor terlebih dahulu kita mempelajari tentang

konsep minor dari sebuah matriks Andaikan A berdimensi n, determinan dari

submatriks yg berdimensi (n-1) disebut minor

Dengan kata lain minor aij adalah determinan submatrik yang tetap setelah

baris ke – i dan kolom ke – j dicoret dari A . Dinyatakan dengan |Mij|.

Sedangkan bilangan (-1) i+j |Mij|dinyatakan oleh Cij disebut Kofaktor

Contoh 4.6 :

A = [2 3 45 6 78 9 1 ]

Minor dari elemen a23 = |2 38 9

| = 18 – 24 = -6

Kofaktor dari elemen a23 = (-1)5

(-6) = 6

Mrs : minor dari submatriks dng menghilangkan baris ke r kolom ke s.


a21 a22 a23

a31 a32 a33]

M32 = [a11 a13

a21 a23] = a11a23 – a13a21

Dan matriks diatas memiliki 9 minor nah kofaktor dari matriks a dapat

didefinisikan sebagai berikut : Kofaktor yang berhubungan dengan minor

Mrs adalah Crs = (-1)r+s Mrs.PRAKATA




a21 a22 a23

a31 a32 a33]

maka kofaktor M32 = adalah = (-1)3+2 (a11a23 – a13a21)

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor hanya berbeda pada tandanya, yaitu

Cij = ±Mij . Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaantanda + atau

tanda – merupakan penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada

dalam baris ke – i dan kolom ke – j dari susunan :

[+ − + − + . .− + − + − . .+ − + − + . .− + − + − . .+ − + − + . ....

.. .. . . . . . . ]Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23

Theorema

Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan

mengalikan elemen – elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor –

kofaktornya dan menambahkan hasil kali – hasil kali yang dihasilkan, yaitu

setiap 1 i n dan 1 j n , maka

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – j)

dan

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – i)

PRAKATA Halaman


Perhatikan ilustrasinya sebagai berikut :

Det(A) bila A = [ 3 1 0−2 −4 35 4 −2 ]adalah

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama

= 3 |−4 3

4 −2| - 1

|−2 35 −2

| + 0

|−2 −45 4

| = (3)(-4) – (1)(-11)

= -12 + 11

= -1

Definisi :

Jika A adalah sebarang matrik n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka

matrik

[C11 C12 C13 .. . C1n

C21 C22 C23 .. . C2n

. . . .. . .

. . . . .Cn 1 Cn 2 Cn3 .. . Cnn

] disebut matrik kofaktor A.

Transpose matrik ini disebut Adjoin A dan sinyatakan dengan adj(A).

Jika A adalah matrik yang dapat dibalik, maka : A−1 =

1det (A ) adj(A)

5.5 Aturan Cramer

Theorema

PRAKATA Halaman


Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n

bilangan tak diketahui sehingga det(A) ¿ 0, maka system tesebut mempunyai

pemecahan unik. Pemecahan ini adalah :

x1 =

det (A1 )det (A ) , x2 =

det (A2 )det (A ) , … , xn =

det (An )det (A )

dimana Aj adalah matrik yang didaptkan dengan mengantikan elemen-

elemen dalam kolom ke j dari A dengan elemen matrik B = [ bb2

.bn]

Contoh 4.8:

Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan

x1 + + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8

Jawab :

A= [ 1 0 2−3 40 6−1 −2 3 ] ,

A1= [ 6 0 230 4 68 −2 3 ] , A2=

[ 1 6 2−3 30 6−1 8 3 ] , A3=

[ 1 0 6−3 4 30−1 −2 3 ]

Maka

PRAKATA Halaman


x1 =

det (A1 )det (A ) =

−4044 =

−1011 ,

x2=

det (A2 )det (A ) =

7244 =

1811 ,

x3 =

det (A3 )det (A ) =

15244 =

3811

PRAKATA Halaman


BAB 6 NILAI EIGEN

6.1 Definisi

Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan

vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu,

Ax = x

Untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan

vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Contoh 1

Vektor x = [12] adalah vektor eigen dari A =

[3 08 −1 ]

Yang bersesuaian dengan nilai = 3 karena

Ax = [3 08 −1 ][12] =

[36 ]= 3[12]

Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita

menuliskannya kembali Ax = x sebagai

Ax = Ix (I – A)x = 0

Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika

det(I – A)=0 ...................................................(6.1)

Persamaan 6.1 disebut persamaan karakteristik A.

PRAKATA Halaman


Contoh 3

Carilah nilai – nilai eigen dari A =

[ 1 1 004

0 1−17 8 ]

Dan persamaan karakteristiknya

Jawab :

Karena

I – A = [ 1 0 000

1 00 1 ]

- [ 1 1 004

0 1−17 8 ]

= [ λ − 1 00−4

λ − 117 λ−8 ]

Det(I – A) = 3 + 8 2 + 17 - 4 = 0

1 = 4, 2 = 2 √3

Persamaan karakteristiknya adalah 3 + 8 2 + 17 - 4 = 0

Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 4, 2 = 2 + √3 3 = 2 - √3

Contoh 4

Carilah basis untuk ruang eigen dari A = [ 3 −2 0−20

3 00 5 ]

Jawab :

Karena

I – A = [ 1 0 000

1 00 1 ]

- [ 3 −2 0−20

3 00 5 ]

= [ λ−3 2 0

20

λ −3 00 λ−5 ]

Setelah dilakukan perhitungan

( -1) ( -5)2 = 0

PRAKATA Halaman


Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 1, 2 = 5 buktikan sendiri

Masing-masing nilai eigen tersebut dikembalikan ke dalam matriks jadi

1. Untuk ( = 5)

[ 2 2 020

2 00 0 ] [ x1 ¿ ] [x 2¿ ]¿

¿¿¿= [0 ¿ ] [0 ¿ ]¿

¿¿¿

Seperti yang telah dipelajari sebelumnya cari nilai x1,x2, dan x3

melalui cara determinan, dengan ketentuan misalnya x2 = s dan x3 = t Langkah

berikutnya adalah kelompokan berdasarkan komponen s dan t sehingga

menghasilkan persamaan

x = [−s ¿ ] [ s ¿ ]¿¿

¿¿= [−s ¿ ] [ s ¿ ]¿¿

¿¿+ [ 0¿ ] [ 0 ¿ ]¿¿

¿¿ atau dapat ditulis

x = [−s ¿ ] [ s ¿ ]¿¿

¿¿= s[−1¿ ] [ 1 ¿ ] ¿¿

¿¿+ t[ 0¿ ] [ 0 ¿ ]¿¿

¿¿

Jadi basis untuk Untuk ( = 5) adalah

PRAKATA Halaman


[−1¿ ] [ 1 ¿ ] ¿¿

¿¿ dan

[ 0¿ ] [ 0 ¿ ]¿¿

¿¿

2. Sedangkan untuk Untuk ( = 1)

Seperti yang telah dipelajari sebelumnya cari nilai x1,x2, dan x3

melalui cara determinan, dengan ketentuan misalnya x1 = t dan x2 = t

Maka diperolah basis

[1¿ ] [1¿ ]¿¿

¿¿

Diagonalisasi

Teorema 1

-A adalah matriks yang dapat didiagonalkan

-A Memiliki linieritas tetap dari eigen vektor

PRAKATA Halaman


Invers

Suatu matriks yang mempunyai invers dikatakan matriks invertibel ( dapat

dibalik ).

Contoh 4

Diketahui A =

[ 3 −2 0−20

3 00 5 ]

Carilah Matriks K yang mendiagonalkan matriks A

Jawab

Langkah 1

Kita misalkan suatu matriks sebut saja P (digunakan untuk menampung

basis yang telah kita ketahui dari matriks A, pada contoh 3 diatas kita telah

mengetahui nilai dari masing-masing nilai nya, penempatan basis kedalam

matriks ini bebas :

[−1¿ ] [ 1 ¿ ] ¿¿

¿¿dan[ 0¿ ] [ 0 ¿ ]¿¿

¿¿dan[1¿ ] [1¿ ]¿¿

¿¿di asumsikan menjadi satu dalam matriks ini [−1 0 110

0 11 0 ]

Sehingga

PRAKATA Halaman


P = [−1 0 110

0 11 0 ]

Langkah 2

Carilah invers matriks yang baru saja anda peroleh caranya adalah

Bila matriks P bernilai

INVERS DARI MATRIKS P =

Sebelum menyelesaikan soal ini pelajari dulu bagian ini :

Adj [A] = (cof [A])T

Nilai kofaktor dari matriks A adalah

PRAKATA Halaman


a b cd e fg h i

1Det [ A ]

Xadj [ A ]

k11= (-1)1+1 (ei – hf) k12= (-1)1+2 (di – gf) k13= (-1)1+3 (dh – ge)

K21= (-1)2+1 (bi – hc) k22= (-1) 2+2(ai –gc) k23= (-1) 2+3(ah – gb)

K31= (-1)3+1 (bf – ec) k32= (-1) 3+2(af - dc) k33= (-1)3+3 (ae – db)

(cot [A])T =

Setelah dilakukan perhitungan diperoleh :

k11= (-1)1+1 (-1) k12= (-1)1+2 (-1) k13= (-1)1+3 (0)

K21= (-1)2+1 (0) k22= (-1) 2+2(0) k23= (-1) 2+3(-2)

K31= (-1)3+1 (1) k32= (-1) 3+2(-1) k33= (-1)3+3 (0)

Det P = a(ei-fh)+b(di-fg)+c(dh-eg)

Maka

P−1 =1

−−−Det [−1 1 0

01

0 21 0 ]

=1

−−−2 [−1 1 0

01

0 21 0 ]

= [−1/2 1/2 001/2

0 11/2 0 ]

dan simbolkan dengan P

-1

PRAKATA Halaman


k 11 k 21 k 31

k 12 k 22 k 32

k 13 k 23 k 33

Langkah 3

Lakukan operasi perkalian dari matriks matriks yang telah

diperoleh yaitu

K = P−1 A P

= [−1/2 1/2 001/2

0 11/2 0 ] [ 3 −2 0

−20

3 00 5 ][−1 0 1

10

0 11 0 ]

Aturan operasi perkalian matriks

MBarisxKolom

M12 x M21 jadi kolom pada matriks pertama = jumlah kolom

pada matriks kedua :

= [−1/2 1/2 001/2

0 11/2 0 ] [ 3 −2 0

−20

3 00 5 ]=

.

PRAKATA Halaman


= [ −5/2 5 /2 001/2

0 51 /2 0 ][−1 0 1

10

0 11 0 ]= [ 5 0 0

00

5 00 1 ]

Jadi hasilnya adalah

= [ 5 0 000

5 00 1 ]

Lihatlah hanya pada posisi diagonal matriks ini yang hanya

berisi nilai sedangkan lainnya nol, ini lah hasilnya

Hasil yang lain dapat anda peroleh ketika anda pada langkah 1

melakukan penempatan yang berbeda, tetapi pada hakikatnya apapun

yang anda lakukan pada langkah 1 akan menghasilkan langkah yang

benar selama anda melakukan operasi perkalian yang benar

Contoh hasil perkalian ketika anda hal yang berbeda dengan

saya pada langkah 1

[ 5 0 000

1 00 5 ]

PRAKATA Halaman


1. Suatu sistem disebut sebagai taktrivial adalah determinan dari

matriks tersebut adalah nol

2. Suatu sistem disebut sebagai trivial adalah determinan dari

matriks tersebut adalah tidak sama dengan nol

3. Suatu sistem bebas linier maka matriks tersebut tidak dapat

didiagonalisasikan

4. Tidak semua matriks memiliki nilai eigen hal ini terjadi ketika

persamaan karakteristik tersebut adalah akar-akar imajiner,

misalkan seperti berikut ini

Persamaan karakteristiknya adalah (2+1) =0

6.2 Evaluasi

Contoh 2

Carilah nilai – nilai eigen dari A =

[ 3 2−1 0 ]

Dan tentukan persamaan karakteristiknya

Jawab :

Karena

I – A = [1 00 1 ] - [

3 2−1 0 ] =

[ λ−3 −21 λ ]

PRAKATA Halaman


Det(I – A) = (-3) - (-2) = 0

= 2 - 3 + 2 = 0

1 = 2, 2 = 1

Persamaan karakteristiknya adalah : 2 - 3 + 2 = 0

Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 2 dan 2 = 1

PRAKATA Halaman


Bahan Ajar Matek I v1.4

Documents

Transcript of Bahan Ajar Matek I v1.4