Barisan bilangan
Transcript of Barisan bilangan
Program Studi Pendidikan MatematikaUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURAKARTA
BARISAN BILANGAN
STARTDisusun olehHAFID WICAKSANA (A410090 248)
BARISAN BILANGAN
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Tujuan Pembelajaran
Diagram Alur
Evaluasi
Video The Fibonacci Sequence Materi Pembelajaran
Deret Bilangan
Pola Bilangan Soal Latihan
Barisan Bilangan Tour to Jakarta
MENU
EXIT
Standar Kompetensi
Memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar
Menentukan pola barisan bilangan sederhana
Menentu kan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri
Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret
6.1
6.2
6.3
6.4
Tujuan Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan pola barisan bilangan sederhana
Peserta didik dapat menentukan suku ke-n barisan aritmatika
Peserta didik dapat menentukan suku ke-n barisan geometri
Peserta didik dapat menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika
Peserta didik dapat menentukan jumlah n suku pertama deret geometri
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret
Diagram Alur
Barisan dan Deret Bilangan
Pola Bilangan
Barisan Bilangan Deret Bilangan
Deret Geometri
Deret Aritmatika
Barisan Geometri
Barisan Aritmatika
Pola Bilangan Ganjil Pola Bilangan Genap Pola Bilangan Persegi Pola Bilangan Persegi Panjang Pola Bilangan Segitiga
materi dasarnya membahas tentang
misalnya
terdiri atas terdiri atas
Pola Bilangan Ganjil
Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut
(1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal.(2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya.
Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini.
1 3 5 7 9 11 13 15
+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2
Pola Bilangan
Pola Bilangan Genap
Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut
(1) Bilangan 2 sebagai bilangan awal.(2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya.
Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini.
Pola Bilangan
2 4 6 8 10 12 14 16
+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2
Pola Bilangan Persegi Panjang
Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola persegipanjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupai bentuk persegipanjang. Misalnya;
mewakili bilangan 6, yaitu 2×3 = 6.
mewakili bilangan 8, yaitu 2×4 = 8.
mewakili bilangan 6, yaitu 3×2 = 6.
Pola Bilangan
Pola Bilangan PersegiPersegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian berikut.
mewakili bilangan 1, yaitu 1 × 1 = 1.
mewakili bilangan 4, yaitu 2 × 2 = 4.
mewakili bilangan 9, yaitu 3 × 3 = 9.
mewakili bilangan 16, yaitu 4 × 4 = 16.
Jika dilanjutkan, bilangan-bilangan yang digambarkan mengikuti pola persegi adalah :1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
Pola Bilangan
Pola Bilangan SegitigaSelain mengikuti pola persegipanjang dan persegi, bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan empat bilangan yang mengikuti pola segitiga berikut ini.
mewakili bilangan 1.
mewakili bilangan 3.
mewakili bilangan 6.
mewakili bilangan 10.
Jadi, bilangan yang mengikutipola segitiga dapat dituliskanSebagai berikut.1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ..
Pola Bilangan
Pengertian Barisan BilanganPerhatikan pola-pola bilangan berikut
a. 1,1,2,3,5,8,13,21, . . . .b. 1,2,4,8,16,32, . . . .c. 1,3,6,10,15
Ketiga susunan bilangan di atas disebut barisan bilangan. Adapun aturan pembentukan barisan bilangan tersebut sebagai berikut.
a. 1,1,2,3,5,8,13,21, . . . .Aturan pembentukannya, setiap bilangan adalah jumlah dari dua bilangan sebelumnya.Suku ke-1 adalah 1Suku ke-2 adalah 1 (0+1=1)Suku ke-3 adalah 2 (1+1=2)Suku ke-4 adalah 3 (1+2=3)Suku ke-5 adalah 5 (2+3=5)
Barisan Bilangan
Barisan Bilangan
b. 1,2,4,8,16,32, . . .Aturan pembentukannya adalah untuk setiap bilangan dikalikan 2.Suku ke-1 adalah 1Suku ke-2 adalah 2 (1×2=2)Suku ke-3 adalah 4 (2×2=4)Suku ke-4 adalah 8 (4×2=8)Suku ke-5 adalah 16 (8×2=16)
c. 1,3,6,10, . . .Aturan pembentukannya adalah untuk setiap bilangan dikalikan 2.Suku ke-1 adalah 1Suku ke-2 adalah 3 (1+2=2)Suku ke-3 adalah 4 (2×2=4)Suku ke-4 adalah 8 (4×2=8)Suku ke-5 adalah 16 (8×2=16)
Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan dalam matematika yang diurutkan dengan aturan tertentu. Secara umum barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U1,U2,U3...Un, dengan U1 adalah suku pertama dan Un adalah suku ke-n.
Barisan Aritmatika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Perhatikan uraian berikut.
Diketahui barisan bilangan:
Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.
Barisan Bilangan
1 4 7 10 13 16 19 22
+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3
Menghitung suku ke-n dengan rumusDiketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut.
U1 U2 U3 U4 U5 .... .... Un
+b +b +b +bSelisih atau beda tiap suku dimisalkan b dan suku pertama dimisalkan a
U1 = a = a+(0×b)U2 = a + b = a+(1×b)U3 = a + b + b = a+(2×b)U4 = a + b + b + b = a+(3×b)U3 = a + b + b + b+ b = a+(4×b)...........Un= a + b + b + b + b + b + ......+ b = a+(n-1)b
(n-1) suku
Jadi, untuk menentukan suku ke-n (Un) dari barisan aritmatika digunakan rumus :
Un= a + (n-1) b
di mana : a = U1 dan b=U2-U1=U3-U2=...
Barisan Bilangan
Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r).
Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2.Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.
Barisan Bilangan
3 6 12 24 48 96 192
×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2
Menghitung suku ke-n dengan rumusDiketahui barisan bilangan geometri sebagai berikut.
Misalkan : U1 = a , maka:U1 = a = a × r 0
U2 = a × r = a × r 1
U3 = a × r × r = a × r 2
U4 = a × r × r × r = a × r 3
U3 = a × r × r × r × r = a × r 4
...........Un= a × r × r × r × r × r × r ×...... × r = a × r n-1
(n-1) faktor
Jadi, untuk menentukan suku ke-n (Un) dari barisan geometri digunakan rumus :
Un = a × r n-1
di mana: a = U1 dan r= =...2
3
1
2
u
u
u
u
( r = rasio)
Barisan Bilangan
U1 U2 U3 U4 U5 .... .... Un
× r × r × r × r
Pengertian Deret Bilangan
Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., Un
Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + ... + Un
Bentuk seperti ini disebut deret bilangan . Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan. Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri.
Deret Bilangan
Deret Aritmatika
Coba kamu perhatikan barisan aritmetika berikut.
3, 6, 9, 12, 15, 18, ... , Un
Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagaiberikut.
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + Un
Jadi, deret aritmatika adalah jumlah suku-suku barisan aritmatika.
Deret Bilangan
Menentukan jumlah -n suku pertama deret aritmatika
Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika maka
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ..... + Un = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + ..... + UnKemudian, Sn = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + ..... + Un Sn = Un + (Un-b) + (Un-2b) + (Un-3b) + (Un-4b) + ..... + a
2Sn = (a+U) + (a+U) + (a+U) + (a+U) + ...... + (a+U)
+
sebanyak n kali
2Sn = n(a+Un)
Sn = )(2
)(2
1Una
nUnan
Deret Bilangan
Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmatika adalah sebagai berikut.
)(2
Unan
Sn
Oleh karena Un= a+ (n-1) b , rumus itu juga dapat ditulis sebagai berikut.
))1(2(2
bnan
Sn
Deret Bilangan
Deret Geometri
Coba kamu perhatikan barisan geometri berikut ini.
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ..., Un
Jika kamu menjumlahkan suku-suku barisan geometri tersebut, diperoleh
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + ... +Un
Bentuk seperti ini disebut sebagai deret geometri.
Deret Bilangan
Menentukan jumlah -n suku pertama deret geometri
Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama dari deret geeometri maka :
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ..... + Un
= a + a r + a r 2 + a r 3 + a r 4 + ..... + a r n – 1
Kemudian,Sn = a + a r + a r 2 + a r 3 + a r 4 + ..... + a r n – 1
rSn = ar + a r 2 + a r 3 + a r 4 + a r 5 ..... + a r n
Sn - rSn = a - a r n
Sn- rSn = a(1- r n )Sn(1-r) = a (1- r n )
-
)1(
)1(
r
raSn
n
Deret Bilangan
Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret geometri adalah sebagai berikut.
atau
)1(
)1(
r
raSn
n
)1(
)1(
r
raSn
n
Deret Bilangan
Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut. 10,13,16,19,22,25,...... . Tentukan suku ke dua belas barisan
tersebut!
Jawab :Un = a + (n-1) b maka U12 = 10+(12-1) 3
= 10+11 . 3 = 10+33 = 43
Jadi, suku kedua belas barisan tersebut adalah 43.
Contoh Soal
Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut. 10,13,16,19,22,25,...... . Tentukan suku ke dua belas barisan
tersebut!
Jawab :Un = a + (n-1) b maka U12 = 10+(12-1) 3
= 10+11 . 3 = 10+33 = 43
Jadi, suku kedua belas barisan tersebut adalah 43.
Contoh Soal
Carilah suku ke – 3 pada barisan geometri di bawah ini :a. 2,6,18,54,…b. 3,6,12,24,…
Jawab :
a. Un = a r n - 1
= 2 x 3 3 - 1
= 2 x 3 2
= 2 x 9 = 18, jadi suku ke – 3 dari barisan geometri tersebut adalah 18.
b.Un = a r n - 1
= 3 x 2 3 - 1
= 3 x 2 2
= 3 x 4 = 12, jadi suku ke – 3 dari barisan geometri tersebut adalah 12.
Contoh Soal
Tentukan Deret Aritmatika berikut:5+18+21+. . .samapai 15 suku.
Jawab :a = 15 b = 18 – 15 = 3 n = 15
bnan
Sn )1(22
3.115(15.215.2
115 S
3.14302
15
540722
15
Contoh Soal
Tentukan jumlah 3 suku pertama dari deret geometri berikut 8+4+2+1+…
Jawab : r
raSn
n
1
)1(
21
1
))21(1(8 3
21
)81
1(8
14
21
)87(8
Contoh Soal
Evaluasi
1. Pola noktah-noktah berikut yang menunjukkan pola bilangan persegi panjang adalah....
a
b
c
d
SALAH
BENAR
SALAH
SALAH
Evaluasi
2. Diketahui barisan bilangan aritmatika sebagai berikut,42, 45, 48, 51, 54, . . . .Suku ke 12 barisan tersebut adalah . . . . .
a
b
c
d
75
55
85
65 BENAR
SALAH
SALAH
SALAH
Evaluasi
3. Perhatikan barisan bilangan berikut.1, 3, 9, 27, 81, m, 729, . . . .Agar barisan tersebut menjadi barisan geometri makanilai m yang memenuhi adalah . . . .
a
b
c
d
324
234
243
342 BENAR
SALAH
SALAH
SALAH
Evaluasi
4. Suatu deret aritmatika memiliki suku ketiga 9 dan suku keenam adalah 243. Jumlah lima suku pertamaderet aritmatika tersebut adalah . . . . .
a
b
c
d
242
121
81
45BENAR
SALAH
SALAH
SALAH
Evaluasi
5. Dalam sebuah deret geometri, diketahui nilai S10 = 1023. Jika rasio pada deret tersebut adalah 2, suku pertama deret tersebut adalah . . . .
a
b
c
d
1
2
3
4BENAR
SALAH
SALAH
SALAH
Evaluasi
6. Sebuah bambu dibagi menjadi 4 bagian dan panjangsetiap bagian membentuk suatu bagian geometri. Jikapanjang potongan bambu terpendek adalah 25 cm dan potongan bambu terpanjang adalah 200 cm, panjang bambu mula-mula adalah . . .
a
b
c
d
225
375
400
425 BENAR
SALAH
SALAH
SALAH
M A S U K K E I b u K o t a J A K A R T A
Selamat datang di Ibu Kota JAKARTA. Sekarang kamu telah sampai di Monumen Nasional. Klik Schedule untuk melihat jadwal perjalanan dan klik peta untuk melihat peta.
Schedule Peta
SELAMAT DATANG DI JAKARTA
Perjalanan kamu dimulai dengan mengunjungi DUFAN, kemudian melihat pertunjukan teater, dan terakhir ke Sea World Indonesia. Untuk memulai perjalanan klik tempat tujuan pertama yaitu DUFAN . Let’s Go!!!
1. DUFAN
2. Jakarta Theater
3. Sea World Indonesia
Tekan tombol di kanan untuk melanjutkan
L A N J U T P E R J A L A N A N
Hai, pola bilangan apa yang terbentuk pada tempat dudukDi roller coaster tersebut?
Pola bilangan Persegi Panjang
W E L C O M E T O D U F A N
BENAR SEKALI .......
W E L C O M E TO JA K A R TA T H E AT E R
Tekan tombol di kanan untuk melanjutkan
L A N J U T P E R J A L A N A N
Oke, perhatikan susunan kursi penonton. Susunannya membentuk pola barisan aritmatika, dapatkah kamu menghitung jumlah keseluruhan kursi tersebut?
Apakah ada data yang dapat membantu untuk menghitung?
Baris ke 3 tersebut terdiri dari 36 kursi dan baris ke 7 terdiri dari 48.
Jumlah ke seluruhan di ruangan tersebut ada berapa baris?
Keseluruhan ada 20 baris.
Misalkan baris ketiga = U3=36 , dan baris ke tujuh = U7=48.Maka akan di peroleh 2 persamaan berikut
U3 = a+(3-1)b U7 = a+(7-1)b 36 = a + 2b 48 = a + 6b
Lalu langkah selanjutnya bagaimana?
Eliminasi kedua persamaan tersebut maka akan di peroleha = 30 dan b = 3. lalu kita subtitusikan ke Sn = n/2 (2a+(n-1)b)S 20 = 20/2 (2.30+(20-1)3)
= 1170Jadi jumlah keseluruhannya ada 1170 kursi.
TEPAT SEKALI . . . . .
S e a Wo r l d , I ’ M C O M I N G
Selamat, Anda sekarang telah tiba di Sea World Indonesia. Tapi sekarang bantulah permasalahan Pak Samsul (pegawai Sea world).
Tekan tombol di kanan untuk melanjutkan
KEMBALI KE SOLO
OKEY . . . . .
Pak Samsul ingin menghitung perkembang biakan Amoeba. Jika Amoeba yang terdiri atas satu sel yang berkembang biak dengan cara membelah diri. Setelah 20 menit, Amoeba itu membelah menjadi 2 ekor, setelah 40 menit menjadi 4 ekor, setelah 60 menit men jadi 8 ekor, dan demikian seterusnya. Berapa banyaknya Amoeba setelah 3 jam??
3 jam = 180 menit
20 menit → 2 ekor40 menit → 4 ekor60 menit → 8 ekor....................Un = a × r n - 1
U9 = 2 × 2 9 - 1
= 2 × 2 8
= 512Jadi setelah 3 jam ada 512 amoeba.
BETUL . . . . . . .
F INISH
Sekarang kamu telah selesai study tour dari Jakarta. Bagaimana perasaanmu? Selain menikmati pemandangan di Jakarta kamu diharapkan sudah mengerti mengenai Barisan dan Deret.