Centro de gravedad Cuarto Circulo
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Centro de gravedad de un cuarto de círculo de masa M y radio R El área del semicírculo es 2 4 1 R A π = y su masa 2 4 1 R M σπ = . Consideramos que el círculo está contenido en el plano XY. 1º Método. Integración Como el semicírculo tiene un eje de simetría, las coordenadas x e y del centro de gravedad del cuarto de círculo son iguales, por lo que sólo es necesario calcular una de ellas ∫∫ = A G ydm M y 1 . La masa del elemento diferencial de área, se ha seleccionado a una distancia y que varía entre 0 y R, corresponde a un rectángulo de base x y altura dy por lo que xdy dm σ = ; además y puede expresarse en función del ángulo ϕ, el cual para el cuarto de círculo varía entre 0 y π/2. ∫ ∫∫ ∫∫ = = = = 2 0 cos cos 1 1 π ϕ ϕ ϕ ϕ σ σ d R R Rsen M xdy y M ydm M y x A A G G [ ] π ϕ σπ σ ϕ σ π π 3 4 cos 4 3 cos 3 1 2 2 0 3 2 3 0 3 3 R R R d M R y x G G = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = ∫ 2º Método. Aplicación del teorema de Guldin Cuando el cuarto de círculo de la figura gira en torno a un eje vertical, engendra una semiesfera de volumen 3 3 2 R V π = mientras que el centro de gravedad describe una circunferencia de longitud G ncia circunfere x L π 2 = de forma que ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 4 ) 2 ( 3 2 2 3 R y R G π π π de forma que la coordenada y del centro de gravedad es π 3 4 R y G = y dy x x G
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cdg cuarto de circulo
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Centro de gravedad de un cuarto de crculo de masa M y radio R
El rea del semicrculo es 241 RA = y su masa 2
41 RM = .
Consideramos que el crculo est contenido en el plano XY.
1 Mtodo. Integracin
Como el semicrculo tiene un eje de simetra, las coordenadas x e y del centro de gravedad del
cuarto de crculo son iguales, por lo que slo es necesario calcular una de ellas
=A
G ydmMy 1 .
La masa del elemento diferencial de rea, se ha seleccionado a una
distancia y que vara entre 0 y R, corresponde a un rectngulo de
base x y altura dy por lo que xdydm = ; adems y puede expresarse en funcin del ngulo , el cual para el cuarto de crculo vara entre 0 y /2.
==== 20
coscos11
dRRRsenM
xdyyM
ydmM
yxAA
GG
[ ]
34cos
43
cos31 2
2
03
2
3
0
33 R
RRd
MRyx GG =
=
==
2 Mtodo. Aplicacin del teorema de
Guldin Cuando el cuarto de crculo de la
figura gira en torno a un eje vertical,
engendra una semiesfera de volumen
3
32 RV = mientras que el centro de
gravedad describe una circunferencia de
longitud Gnciacircunfere xL 2= de forma que
=
4)2(
32 23 RyR G
de forma que la coordenada y del centro de gravedad es 34RyG =
y
dy x
xG
