Centro de gravedad de un cuarto de crculo de masa M y radio R

El rea del semicrculo es 241 RA = y su masa 2

41 RM = .

Consideramos que el crculo est contenido en el plano XY.

1 Mtodo. Integracin

Como el semicrculo tiene un eje de simetra, las coordenadas x e y del centro de gravedad del

cuarto de crculo son iguales, por lo que slo es necesario calcular una de ellas

=A

G ydmMy 1 .

La masa del elemento diferencial de rea, se ha seleccionado a una

distancia y que vara entre 0 y R, corresponde a un rectngulo de

base x y altura dy por lo que xdydm = ; adems y puede expresarse en funcin del ngulo , el cual para el cuarto de crculo vara entre 0 y /2.

==== 20

coscos11

dRRRsenM

xdyyM

ydmM

yxAA

GG

[ ]

34cos

43

cos31 2

2

03

2

3

0

33 R

RRd

MRyx GG =

=

==

2 Mtodo. Aplicacin del teorema de

Guldin Cuando el cuarto de crculo de la

figura gira en torno a un eje vertical,

engendra una semiesfera de volumen

3

32 RV = mientras que el centro de

gravedad describe una circunferencia de

longitud Gnciacircunfere xL 2= de forma que

=

4)2(

32 23 RyR G

de forma que la coordenada y del centro de gravedad es 34RyG =

y

dy x

xG