diktat kalkulus 1.pdf
-
Upload
jetro-septrianto -
Category
Documents
-
view
292 -
download
78
Transcript of diktat kalkulus 1.pdf
-
DIKTAT MATEMATIKA I
Penyusun :Ir. Zainuddin Ginting, MT
JURUSAN TEKNIK KIMIA, FAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS MALIKUSSLEH
LHOKSEUMAWE, 2012
Ir. Amri Ismail
-
i
KATA PENGANTAR
,
Universitas Malikussaleh, buku ini merupakan modul untuk menunjang mata kuliah tersebut, Matematika I merupakan mata kuliah wajib tingkat I di jurusan Teknik Kimia
diharapkan mahasiswa dapat menjadikan buku ini sebagai diktat (handout). Penyusunan diktat ini untuk bertujuan untuk mengefektifkan proses pembelajaran. )ungsi diktat ini, bagi Dosen sebagai bahan pengajaran, sedangkan bagi Mahasiswa sebagai bahan pengganti buku catatan.
Diktat Matematika I ini berisikan teori dan soal-soal untuk dapat diselesaikan di rumah,
sehingga waktu pembelajaran dapat seefektif mungkin untuk dipergunakan berdiskusi dan mengerjakan banyak penyelesaian soal-soal di depan kelas.
Penulis mengharapkan masukan dari para mahasiswa dan pembaca, sehingga diktat ini
dapat lebih sempurna dikemudian hari.
Releut, Agustus 2012 Penulis,
Z ainuddin G inting
-
DAFTAR ISI Hal
Kata Pengantar ............................................................................................................ i
Daftar Isi ........................................................................................................................ iv
1. PENDAHULUAN ................................................................................................. 1 1.1 Sistem Bilangan Real ................................................................................ 1 1.2 Operasi Bilangan ....................................................................................... 3 1.3 Urutan .......................................................................................................... 3 1.4 Pertidaksamaan ......................................................................................... 4 1.5 Nilai Mutlak .............................................................................................. 7
2. FUNGSI dan LIMIT ............................................................................................... 12
2.1 Fungsi dan Grafik ...................................................................................... 12 2.2 Operasi pada Fungsi ................................................................................. 15 2.3 Pengertian Limit ........................................................................................ 16 2.4 Teorema Limit ........................................................................................... 23 2.5 Limit Kiri dan :Limit Kanan .................................................................... 31 2.6 Limit Tak Hingga ...................................................................................... 32 2.7 Kekontinuan Fungsi ................................................................................. 34
3. TURUNAN FUNGSI ............................................................................................ 38
3.1 Pengertian Turunan Fungsi ..................................................................... 38 3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat ..................................... 39 3.3 Sifat - Sifat Turunan .................................................................................. 40 3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi) ............................ 41 3.5 Turunan Fungsi Invers ............................................................................. 42 3.6 Turunan Fungsi Implisit .......................................................................... 42 3.7 Turunan Tingkat Tinggi ........................................................................... 43 3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden ............................... 44
3.8.1 Turunan Fungsi Rasional ............................................................... 44 3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional ............................................................. 44 3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri ....................................................... 45 3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri ............................................................ 46 3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma ............................................................ 47 3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial ....................................................... 49 3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik ........................................................... 50
ii
-
3.9 Turunan Fungsi Parameter ...................................................................... 50
4. INTEGRAL ............................................................................................................. 53 4.1 Rumus Dasar ............................................................................................. 54 4.2 Integral dengan Subsitusi ........................................................................ 55 4.3 Integral Parsial .......................................................................................... 57 4.4 Integral yang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma ............... 59 4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional ............................................................... 62
4.5.1 Keadaan N(x) = D(x) ....................................................................... 62 4.5.2 Keadaan derajat N(x) derajat D(x) .............................................. 62 4.5.3 Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x) ............................................ 63
4.6 Integral Fungsi Trigonometri .................................................................... 70 4.6.1 Rumus-rumus Sederhana ................................................................ 70 4.6.2 Bentuk R(sin x) cos x dx dan R(cos x) sin x dx ........................ 70 4.6.3 Integral dengan memperhatikan rumus-rumus ......................... 71 4.6.4 Substitusi y = tan (x/2) .................................................................... 71 4.6.5 Integral R(tan x) ................................................................................ 73 4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri ............... 73
4.7 Integral Fungsi Irrasional ......................................................................... 74 4.7.1 Rumus yang perlu dihafal ............................................................. 74 4.7.2 Bentuk Irrasional Satu Suku .......................................................... 75 4.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional ..................................................... 75 4.7.4 Subsitusi Trigonometri ................................................................... 75
5. INTEGRAL TERTENTU ...................................................................................... 77
5.1 Pengertian Integral Tertentu ................................................................... 77 5.2 Aplikasi Integral ........................................................................................ 83
5.2.1 Luas Daerah ..................................................................................... 83 5.2.2 Volume Benda Putar ....................................................................... 86 5.2.3 Panjang Kurva .................................................................................. 93 5.2.4 Luas Permukaan Benda Putar ....................................................... 97 5.2.5 Usaha atau Kerja .............................................................................. 101 5.2.6 Momen dan Pusat Massa (Titik Berat) ......................................... 104
iii
-
PENDAHULUAN
1
1.1 Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memahami bahasan tentang system bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, ... Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat menghitung banyaknya buku yang kita miliki, kendaraan yang melalui suatu jalan, orang-orang yang berada dalam suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi
N = {1, 2, 3, 4, } Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan semua
negatifnya dan nol, maka diperoleh bilangan-bilangan bulat, yaitu , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. Jadi
Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat dan arus listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Dalam hal ini bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup. Untuk keperluan ini maka dapat digunakan
bilangan-bilangan rasional, seperti 2
19,52,
43 , dan
87 . Bilangan rasional
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan ba dengan a dan b
keduanya bilangan bulat dan b 0. Dengan demikian bilangan-bilangan bulat termasuk bilangan rasional juga. Bilangan bulat 3 merupakan bilangan rasional
sebab 3 dapat ditulis sebagai 26 . Himpunan semua bilangan rasional biasa
dinotasikan dengan Q. Jadi
Q = {ba a Z, b Z, b 0}
Bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup ternyata masih tidak dapat menjadi ukuran semua besaran misalnya panjang sisi miring segitiga siku-siku berikut.
1
-
1
1
Gambar 1 Dengan menggunakan bilangan irrasional maka hal tersebut di atas tidak menjadi
masalah. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 2 . Bilangan
irrasional yang lain antara lain 3 7,5,3 , e dan . Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol bilangan-bilangan real (bilangan nyata). Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Hubungan keempat himpunan N, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan
N Z Q R dan digambarkan dengan diagram venn berikut.
NZ
Q
R
Gambar 2 Masih terdapat sistem bilangan yang lebih luas dari system bilangan real
yaitu bilangan yang secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk a + b 1 dengan a dan b keduanya bilangan bulat, atau a + bi dengan i = 1 . Bilangan demikian dinamakan bilangan kompleks dan himpunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan C.
2
-
Dalam buku ini bilangan kompleks tidak dibicarakan lebih lanjut. Jadi, apabila dalam buku ini disebutkan suatu bilangan tanpa keterangan apapun dimaksudkan adalah bilangan real. 1.2 Operasi Bilangan Pada R telah dikenal operasi penjumlahan dan perkalian. Misalkan x dan y bilangan real maka penjumlahan x dan y ditulis x + y dan perkalian x dan y ditulis x . y atau secara singkat ditulis xy. Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada R adalah sebagai berikut. 1) Hukum komutatif: x + y = y + x dan xy = yx. 2) Hukum asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z. 3) Hukum distributif: x(y + z) = xy + xz. 4) Elemen-elemen identitas:
Terhadap penjumlahan: 0 sebab x + 0 = x. Terhadap perkalian: 1 sebab x.1 = x.
5) Invers (balikan): Setiap bilangan real x mempunyai invers aditif (disebut juga negatif) x yang memenuhi x + x = 0 dan setiap bilangan real x yang tidak nol mempunyai invers multiplikatif (disebut juga balikan) yaitu x1 yang memenuhi x. x1 = 1.
Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan
x y = x + (y) dan
yx = x. y1
1.3 Urutan Bilangan-bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua himpunan terpisah yaitu bilangan-bilangan real positif dan bilangan-bilangan real negatif. Berdasarkan fakta ini diperkenalkan relasi urutan < (dibaca kurang dari) yang didefinisikan dengan:
x < y jika dan hanya jika y x positif. x < y mempunyai arti yang sama dengan y > x. 3
-
Sifat-sifat urutan: 1) Trikotomi: Jika x dan y bilangan-bilangan real maka pasti berlaku salah satu di
antara yang berikut: x < y atau x = y atau x > y.
2) Transitif: jika x < y dan y < z maka x < z. 3) Penambahan: x < y x + z < y + z 4) Perkalian:
Jika z positif maka x < y xz < yz Jika z negatif maka x < y xz > yz
Relasi urutan (dibaca kurang dari atau sama dengan) didefinisikan dengan:
x y jika dan hanya jika y x positif atau nol. Sifat-sifat ini adalah: 1) Transitif: jika x y dan y z maka x z. 2) Penambahan: x y x + z y + z 3) Perkalian:
Jika z positif maka x y xz yz Jika z negatif maka x y xz yz
1.4. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi , atau . Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah semua bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut yang biasanya merupakan interval atau gabungan interval-interval. Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut.
Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) = {x a < x < b}. Sedangkan interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi [a,b] = {x a x b}. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut.
4
-
Penulisan Interval Penulisan Himpunan Dalam Garis Bilangan
(a, b) {x a < x < b} a b [a, b] {x a x b} a b [a, b) {x a x < b} a b (a, b] {x a < x b} a b
(, b) {x x < b} a b (, b] {x x b} a b (a, ) {x x > a} a b [a, ) {x x a} a b
(, ) R Contoh Pertidaksamaan
1) 2x 7 < 4x 2 2) 5 2x + 6 < 4 3) x2 x 6 < 0 4) 3x2 x 2 > 0
5) 1252
xx
Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x 7 < 4x 2. Penyelesaian: 2x 7 < 4x 2 2x < 4x + 5 2x < 5 x > 25 Hp: interval ( 2
5 , ) = {x x > 25 }
5
-
Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 5 2x + 6 < 4. Penyelesaian: 5 2x + 6 < 4 11 2x < 2 211 x < 1 Hp: interval [ 2
11 , 1) = {x 211 x < 1} Contoh 3 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 x 6 < 0. Penyelesaian: x2 x 6 < 0 (x 3)(x + 2) < 0 + + + + 2 3 Hp: interval (2, 3) = {x 2 < x < 3} Contoh 4 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x2 x 2 > 0 Penyelesaian: 3x2 x 2 > 0 (x 1)(3x + 2) > 0 + + + +
32 1
Hp: interval (, 32 ) (1, ) = {x x < 32 atau x > 1} Contoh 5
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1252
xx
Penyelesaian: 252
xx 1
252
xx 1 0
2
)2(52
x
xx 0
6
-
23
xx 0
(x 3)(x 2) 0 dengan syarat x 2 (mengapa?)
+ + + +
2 3 Hp: interval (2, 3] = {x 2 < x 3} 1.5 Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Oleh karena pembaca yang ingin memahami betul konsep-konsep dalam kalkulus disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak. Definisi: Nilai mutlak bilangan real x, ditulis x didefinisikan dengan
x < a atau x > a.
Secara fisis x dapat menyatakan jarak x ke 0, sehingga x yang memenuhi ax < menyatakan x yang jaraknya ke 0 kurang dari a. Secara fisis cx dapat menyatakan jarak x ke c, sehingga x yang memenuhi
acx
-
Contoh 3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 53 x 1. Penyelesaian: 53 x 1 3x 5 1 atau 3x 5 1
3x 4 atau 3x 6 x
34 atau x 2
Jadi, penyelesaiannya adalah x yang memenuhi x 34 atau x 2. Gambarkan pada
garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini. Contoh 4 Andaikan (epsilon) adalah bilangan positif. Tunjukkan bahwa
52
-
Secara mundur dapat dilihat bahwa 0 26. 15
3 +x 4
12. 3x2 11x 4 0 27. 72+x > 2
13. 2x2 + 7x 15 0 28. 5
31 x 4
14. 0125
+x
x 29. x52 + > 1
15. 0132 >+
xx 30. 31
x > 6.
10
-
Buktikan bahwa implikasi yang ditunjukkan adalah benar
31. 5,03
-
FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2
2.1 Fungsi dan Grafiknya
Definisi
Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B.
A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range (daerah hasil). f
A B
Gambar 2.1 Fungsi
Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa himpunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan bilangan real.
Untuk memberi nama fungsi digunakan huruf tunggal seperti f (atau g, atau F), maka f(x) menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x) = x3 4, maka
12
-
f(2) = 23 4 = 4 f(1) = (1)3 4 = 5 f(a) = a3 4 f(a + h) = (a + h)3 4 = a3 + 3a2h + 3ah2 + h3 4
Contoh 1
Untuk f(x) = x2 2x, carilah dan sederhanakan: a. f(4) b. f(4 + h) c. f(4 + h) f(4)
d. h
fhf )4()4( + dengan h 0.
Penyelesaian: Contoh 2
Untuk f(x) = x2 2x dengan daerah asal {1, 0, 1, 2, 3}, carilah daerah hasil fungsi f.
Penyelesaian:
13
-
Bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak dirinci, maka dianggap daerah asal fungsi tersebut adalah himpunan bilangan real sehingga aturan fungsinya bermakna dan memberikan nilai bilangan real. Contoh 3
a. Daerah asal f(x) = 3
1x adalah {x R x 3}.
b. Daerah asal g(t) = 29 t adalah {t R 9 t2 0}.
Apabila daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan himpunan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat, dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x). Contoh 4
Buatlah sketsa grafik dari: (a) f(x) = x2 4
(b) g(x) = x1
(c) h(x) = x Penyelesaian:
14
-
2.2 Operasi pada Fungsi
Jika f dan g dua fungsi maka jumlah f + g, selisih f g, hasil kali fg, hasil bagi f/g dan perpangkatan fn adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa irisan dari daerah asal f dan daerah asal g, dan dirumuskan sebagai berikut.
(f + g)(x) = f (x) + g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) (f g)(x) = f (x) g(x)
(f / g)(x) = )()(
xgxf asalkan g(x) 0
Contoh 5
Jika f(x) = x2 2x dan g(x) = x 1, tentukan f + g, f g, fg, f/g dan f 3. Selanjutnya gambarlah sketsa grafiknya.
Penyelesaian:
15
-
Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut.
Jika f dan g dua fungsi dengan daerah asal g merupakan daerah hasil f maka
komposisi g o f memenuhi (g o f)(x) = g (f(x))
Contoh 6
Jika f(x) = x2 2x dan g(x) = x 1, tentukan g o f dan f o g. Selanjutnya gambarlah sketsa grafiknya.
Penyelesaian:
(g o f)(x) = g (f(x)) = g (x2 2x) = x2 2x 1
(f o g)(x) = f (g(x)) = f (x 1) = (x 1)2 2(x 1) = x2 2x + 1 2x + 2 = x2 4x + 3 Gambar grrafik dibiarkan untuk latihan. 2.3 Pengertian Limit Perkataan limit berarti mendekati, seperti Saya sudah menahan sampai mendekati batas kesabaran saya, atau Janganlah kamu mendekati zina. Untuk memahami pengertian limit fungsi kita awali dengan fungsi berikut.
f(x) = 113
xx
Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x = 1 sebab di titik ini f(x) berbentuk 00 . Tetapi
dapat diselidiki mengenai nilai f(x) di titik-titik yang dekat dengan 1 (x mendekati 1). Perhatikan nilai f(x) untuk beberapa x seperti terlihat pada daftar dan grafik y = f(x) dapat dilihat pada gambar berikut.
16
-
x y = f(x)
1,25 3,813 1,1 3,310 1,01 3,030 1,001 3,003 1 ? 0,999 2,997 0,99 2,970 0,9 2,710 0,75 2,313
Gambar 2.2 Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bahwa f(x) mendekati 3 apabila x mendekati 1. Secara matematis hal tersebut dituliskan dengan
11lim
3
1
xx
x = 3
dan ini dibaca limit (x3 1)/ (x 1) untuk x mendekati 1 adalah 3. Dalam contoh ini kita menghubungkan limit dengan perilaku fungsi dekat dengan 1, bukannya di 1. Contoh 1
Dengan menggunakan beberapa nilai pendekatan x tentukan x
xx
sinlim0
17
-
Penyelesaian:
x y = x
xsin
1 0,84147 0,5 0,95885 0,1 0,99833 0,01 0,99998 0 ? 0,01 0,99998 0,1 0,99833 0,5 0,95885 1 0,84147
Jadi, x
xx
sinlim = 1. 0
Ingat kembali mengenai nila mutlak. Jika adalah sembarang bilangan positif,
maka jarak f(x) ke bilangan L kurang dari dapat dinyatakan dalam bentuk: Lxf )( <
dan ini ekuivalen dengan L < f(x) < L +
yang menunjukkan bahwa f(x) terletak pada interval terbuka (L , L + ) seperti terlihat pada gambar 2.3 (a). Selanjutnya misalkan adalah suatu bilangan positif dan x cukup dekat dengan c sehingga jarak x ke c kurang dari , tetapi x c maka
0 < cx < dan ini ekuivalen dengan
c < x < c + yang berarti x terletak dalam interval terbuka (c , c + ) dan dapat digambarkan seperti terlihat pada gambar 2.3 (b).
Fungsi dan Limit Fungsi 18
-
f(x) L + L L x
0 sedemikian sehingga apabila 0 < cx < berlaku Lxf )( < .
Fungsi dan Limit Fungsi 19
-
Untuk setiap > 0 terdapat bilangan > 0 sedemikian sehingga
apabila 0 < cx < berlaku Lxf )( <
Gambar 2.4 Contoh 2 Buktikan bahwa 5)73(lim
4= xx
Analisis pendahuluan: Misalkan > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < 4x < berlaku 5)73( x < . Perhatikan 5)73( x < 123 x < )4(3 x < 43 x < 4x <
3
Fungsi dan Limit Fungsi 20
-
Oleh karena itu dapat dipilih = 3 . Tentu saja dapat dipilih bilangan yang kurang
dari 3 .
Bukti:
Ambil sembarang bilangan > 0. Kita pilih > 0, yaitu = 3 . Apabila 0 < 4x <
maka berlaku 5)73( x = 123 x = )4(3 x = 43 x = 3 4x
< 3 = 3.3 = .
Jadi, terbukti . 5)73(lim4
= xx Contoh 3
Buktikan bahwa 52
232lim2
2=
x
xxx
Analisis pendahuluan: Misalkan > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < 2x < berlaku 5
2232 2
x
xx < .
Perhatikan 52
232 2
xxx < 5
2)2)(12(
+x
xx <
5)12( +x < )2(2 x < 22 x < 2x <
2
Oleh karena itu dapat dipilih = 2 atau yang lebih kecil dari
2 .
Fungsi dan Limit Fungsi 21
-
Bukti:
Ambil sembarang > 0 dipilih = 2 sehingga 0 < 2x < berlaku
52
232 2
xxx = 5
2)2)(12(
+x
xx
= 5)12( +x = )2(2 x = 22 x = 2x
< = 2 <
Berarti terbukti bahwa 52
232lim2
2=
x
xxx
. Contoh 4 Buktikan bmcbmx
cx+=+ )(lim
Analisis Pendahuluan:
Untuk setiap > 0, akan dicari bilangan > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < x c < berlaku (mx + b) (mc + b) < . Perhatikan: (mx + b) (mc + b) < mx mc < mx c < x c <
m asalkan m 0
Dapat dipilih = m .
Bukti: Untuk m = 0, bukti cukup jelas.
Misal m 0. Untuk setiap > 0 dipilih = m . Oleh karenanya jika 0 < x c <
maka berlaku (mx + b) (mc + b) = (mx + b) (mc + b) = mx mc
22Fungsi dan Limit Fungsi
-
= mx c < m
m = .
Fungsi dan Limit Fungsi 23
EugeneNoteUnmarked set by Eugene
EugeneNoteUnmarked set by Eugene
EugeneCross-Out
EugeneReplacement Text22
EugeneNoteAccepted set by Eugene
EugeneInserted Text22
EugeneCross-Out
-
Contoh 5 Buktikan, jika c > 0, maka cx
cx=lim
Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < x c < berlaku
cx < untuk setiap > 0. Perhatikan:
cx = cx
cxcx+
+ ))((
= cx
cx+
= cx
cx+
ccx
Dapat dipilih = c Bukti:
Ambil sembarang > 0 dipilih = c . Oleh karenanya jika 0 < x c < maka berlaku cx
ccx
< cc < .
2.4 Teorema Limit
Teorema 2.4.1 Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:
1) kkcx
=lim2) cx
cx=lim
3) )(lim)(lim xfkxkfcxcx =
Fungsi dan Limit Fungsi 23
-
4) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
cxcxcx +=+ 5) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
cxcxcx = 6) )(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxf
cxcxcx =
7) )(lim
)(lim
)()(lim
xg
xf
xgxf
cx
cxcx
= , asalkan 0 )(lim xgcx
8) n
cxn
cxxfxf
= )(lim)]([lim
9) ncx
ncx
xfxf )(lim)(lim = , asalkan untuk n bilangan genap. 0)(lim > xfcx
Bukti teorema 2.4.1 ini dibiarkan untuk latihan. Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai limit suatu fungsi akan menjadi lebih mudah. Contoh 6
Carilah 235lim x
xPenyelesaian: = 5 teorema 2.2.1 3) 2
35lim x
x2
3lim xx
= 5 teorema 2.2.1 8) 2
3lim
xx = 5(3)2 teorema 2.2.1 2) = 45. Contoh 7
Carilah )205(lim 23
xx
Penyelesaian: = teorema 2.2.1 5) )205(lim 23
xx 20lim5lim 32
3 xx x = 45 20 teorema 2.2.1 1)
Fungsi dan Limit Fungsi 24 = 25.
-
Fungsi dan Limit Fungsi 25
ontoh 8
Carilah
C
xx
x
205lim2
3
= x
x
x
x
3
23
lim
205lim
xx
x
205lim2
3
Penyelesaian: teorema 2.2.1 7)
= 3
205lim 23
xx teorema 2.2.1 2) dan 9)
=325 dari contoh 7.
= 35
gat, bentuk disebut polinom dan hasil bagi
polinom
nn xaxaxaaxf ++++= ...)( 2210
disebut fungsi rasional, mm
nxa+...In
n
xb+... .
eorema 2.4.2 ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema 2.4.1.
engan adanya teorma 2.4.2 maka penentuan nilai limit fungsi polinom atau fungsi
xbxbbxaxaa++++++
2210
2210
Teorema 2.4.2
olinom maka = f(c)
2) Jika f fungsi rasional maka = f(c) asalkan nilai penyebut di c tidak nol.
1) Jika f fungsi p )(lim xfcx
)(lim xfcx
T Drasional menjadi sangat mudah, tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut untuk fungsi rasional dipenuhi.
-
Contoh 9
Tentukan 613107lim 452
+ xxxxPenyelesaian: = 7(2)5 10(2)4 13(2) + 6 = 44 613107lim 45
2+ xxxx
Contoh 10
Tentukan 863
613107lim 245
2 +
xxxxx
x
Penyelesaian: 863
613107lim 245
2 +
xxxxx
x =
8)2(6)2(36)2(13)2(10)2(7
2
45
+ =
844 = 2
11 .
Contoh 11
Tentukan 1273lim 2
3
1 +++
xxxx
x = 2
3
1 )1(73lim
++ x
xxx
Penyelesaian: Teorema 2.4.2 tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di x = 1 adalah nol
dan teorema 2.4.1 bagian 7) juga tidak dapat dugunakan karena limit penyebut nol. Tetapi, karena limit pembilang 11, maka selama x mendekati 1 terjadi pembagian bilangan yang dekat 11 dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adalah sebuah bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan x cukup dekat dengan 1. Dalam hal ini dikatakan limitnya tidak ada. Contoh seperti ini akan diuraikan lebih lanjut pada bagian lain. Contoh 12
Tentukan 6103lim 2
2
2 ++
xxxx
x
Penyelesaian: Sebelum mencoba mengambil limitnya terlebih dahulu diadakan
penyederhanaan pecahan dengan faktorisasi.
6103lim 2
2
2 ++
xxxx
x =
)3)(2()5)(2(lim
2 ++
xxxx
x
= 35lim
2 ++
xx
x
= 57
Fungsi dan Limit Fungsi 26
-
Teorema 2.4.3 (Teorema Apit) Misalkan f, g dan h adalah fungsi-fungsi dengan f(x) g(x) h(x) untuk setiap x di sekitar c, kecuali mungkin di c. Jika = = L, )(lim xf
cx )(lim xhcxmaka = L. )(lim xg
cx
Bukti: Diberikan bilangan > 0 Karena = L, berarti terdapat bilangan 1 > 0 sedemikian hingga )(lim xf
cx0 < x c < 1 f(x) L < L < f(x) < L + .
Karena = L, berarti terdapat bilangan 2 > 0 sedemikian hingga )(lim xhcx
0 < x c < 2 h(x) L < L < h(x) < L + Dipilih = min{1, 2} Apabila 0 < x c < maka berlaku
L < f(x) g(x) h(x) < L + L < g(x) < L + g(x) L <
Terbukti = L. )(lim xgcx
Contoh 13
Dapat diselidiki bahwa 1 6
2x x
xsin 1 untuk semua x yang mendekati tetapi
tidak 0. Tunjukkan bahwa x
xx
sinlim0 = 1.
Fungsi dan Limit Fungsi 27
-
Penyelesaian:
Misalkan f(x) = 1 6
2x , g(x) = x
xsin , dan h(x) = 1, maka = )(lim0
xfx 6
1lim2
0
xx
= 1 dan = 1, sehingga diperoleh )(lim
0xh
x
61lim
2
0
xx
xx
x
sinlim0 1lim0x
1 x
xx
sinlim0 1
Berdasarkan teorema 2.4.3 maka dapat disimpulkan x
xx
sinlim0 = 1.
SOAL 2
1. Untuk fungsi f(x) = 3x3 + x, hitunglah masing-masing nilai a. f(1) c. f( 21 )
b. f(6) d. f(x1 )
2. Untuk fungsi g(t) = 21 tt
+ , hitunglah masing-masing nilai a. f(1) c. f( 41 )
b. f(9) d. f(4
1
x)
3. Gambarlah grafik fungsi
a. b.
>
+=
1,3
1,4)(
2
xx
xxxf
+
-
a. (f g)(x) d. (f o g)(x)
Fungsi dan Limit Fungsi 29
+ g 4(x)
c. (g o f)(x)
alam soal nom it-limit tersebut.
b. (f / g)(x) e. f 4(x)
D or 6 10, buktikan lim
2)73(lim3
= xx 6. 8)42(lim
2= xx 7.
8. 10525lim
2
5=
x
xx
71
65lim2
1=
+ x
xxx
9.
10. 22lim2
= xx 11. Buktikan bahwa jika )(lim xf
cx = L dan )(lim xfcx = M, maka L = M.
Misalkan F dan G adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga 0 F(x) G(x) mua x dekat dengan c,
12.untuk se kecuali mungkin di c, buktikan bahwa jika
= 0 maka = 0.
k soal-soa erikut (no. 13 s.d. 20), tentukan nilai limit fungsi berikut 3.
4.
5.
6.
)(lim xGcx )(lim xFcx
Untu l b
)47(lim3
xx 1
)52(lim 31
xxx
1
)27)(34(lim 320
xxxx
+ 1
2483lim 3
4
2 +
xx
x 1
17. 4
2lim 22
2
uuu
u
18. 5477lim 2
2
1 ++
tttt
t
-
30
9. 44
)6)(2(lim 22
2 +++
wwwww
w 1
20. 12
)32)(1(lim 22
1 ++
yyyyy
y
Fungsi dan Limit Fungsi
-
2.5 Limit Kiri dan Limit Kanan
Definisi
Limit f(x) untuk x mendekati c dari kiri adalah L, ditulis
)(lim xfcx
= L
jika untuk setiap bilangan > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < c x < , maka berlaku Lxf )( < . Limit f(x) untuk x mendekati c dari kanan adalah L, ditulis
)(lim xfcx +
= L
jika untuk setiap bilangan > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < x c < , maka berlaku Lxf )( < .
Teorema 2.5.1
Lxfcx
= )(lim jika dan hanya jika = = L )(lim xfcx )(lim xfcx +
Contoh 14
f(x) =
0
sehingga dxcbxx ++ 212 = dxpbx ++ 22)( 1 dan dengan menggunakan (4.4.1)
dapat diperoleh
dxcbxx ++ 212 = p bxp +arctan1 + C (4.4.2)
dengan p = 2bc
Thobirin, Kalkulus Integral 59
-
Integral
Contoh 9
Tentukan + dxx 23 1 Penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh + dxx 23 1 = 31 arc tan
3x + C
Contoh 10
Tentukan + dxx 912 Penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh + dxx 23 1 = = 31 arc tan 3x + C Contoh 11
Tentukan ++ dxxx 5212 Penyelesaian:
b = 1 c = 5
p = 2415 2 == Dengan rumus (4.4.2) diperoleh ++ dxxx 5212 = 21 arc tan 2 1+x + C
Atau secara langsung dengan cara berikut:
++ dxxx 5212 = ++ dxx 4)1( 12 = 21 arc tan 2 1+x + C
Selanjutnya ingat: dxx1 = ln x + C Dengan rumus ini dapat ditunjukkan bahwa
dxxg xg )( )(' = ln )(xg + C (4.4.3)
Thobirin, Kalkulus Integral 60
-
Integral
Contoh 11
Tentukan ++ + dxxx x 42 222 Penyelesaian:
Dengan rumus (4.4.3) diperoleh ++ + dxxx x 42 222 = 42ln 2 ++ xx + C
Contoh 12
Tentukan ++ + dxxx x 136 52 Penyelesaian:
++ + dxxx x 136 52 = ++ ++ dxxx x 136 2)62(221
= ++ + dxxx x 136 )62(221
+ ++ dxxx 13622 = 136ln
21 2 ++ xx + ++ dxx 4)3( 12 2
= 136ln21 2 ++ xx +
21.2 arc tan
23+x + C
= 136ln21 2 ++ xx + arc tan
23+x + C
SOAL
Tentukan:
1. ++ + dxxx x 1310 52 5. ++ + dxxx x 74 232 2. + + dxxx x 115 53
2
6. ++ + dxxx x 136 152 3. = dxxxdxx cossintan 7. + + dxxx x 136 142 4. ++ dxxx 7452 8. + dxxx x 74 232
Thobirin, Kalkulus Integral 61
-
Integral
4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional Pn(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn dengan an 0 dinamakan polinomial (fungs
suku banyak) berderajat n. Fungsi konstan Po(x) = ao dapat dipandang sebagai polinomial berderajat nol.
Fungsi pecah rasional adalah fungsi berbentuk )()(
xDxN dengan N(x) dan D(x) polinomial-
polinomial. Uraian mengenai integral fungsi pecah rasional dapat diperinci untuk beberapa kasus sebagai berikut.
4.5.1 Keadaan N(x) = D(x)
Jika N(x) = D(x) maka berdasarkan rumus (4.4.3) diperoleh:
dxxD xN )( )( = ln )(xD + C dan ini sudah dibahas pada bagian 4.4 sehingga tidak perlu diulang.
4.5.2 Keadaan derajat N(x) derajat D(x)
Lakukan pembagian N(x) oleh D(x) sehingga diperoleh bentuk
)()()(
)()(
xDxRxQ
xDxN += dengan derajat R(x) < derajat D(x)
Q(x) adalah polinom, sehingga integralnya sangat mudah.
Contoh 13
1. + dxx x 123
= + dxxxx
12 = ...
2. ++ + dxxx xxx 136 604819224
= +++++ dxxx
xxx136
8646 22 = ...
Kepada pembaca dipersilakan untuk melanjutkan penyelesaian kedua contoh dalam contoh 13 di atas. Dengan demikian yang perlu dipelajari lebih lanjut adalah keadaan dimana
derajat N(x) < derajat D(x) dan N(x) D(x)
Thobirin, Kalkulus Integral 62
-
Integral
4.5.3 Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x) Pada pembahasan ini N(x) D(x). Tanpa mengurangi umumnya pembicaraan, diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu. Untuk
menghitung dxxD xN )( )( , terlebih dahulu integran dipisah menjadi pecahan-pecahan parsialnya. Contoh 14
6466
23
2
+++
xxxx dapat dipecah menjadi pecahan-pecahan parsial berikut
315
210
11
6466
23
2
+++=+++
xxxxxxx
Jadi
++ + dxxxx x 64 66 232
= +++ dxxdxxdxx 31521011
= +++ dxxdxxdxx 3115211011 = Cxxx ++++ 3ln152ln101ln Karena sebelum melakukan pengintegralan terlebih dahulu diadakan pemisahan
)()(
xDxN menjadi pecahan-pecahan parsialnya, maka sebelumnya perlu dipelajari
cara memisah )()(
xDxN menjadi pecahan-pecahan parsialnya tersebut.
Memisah Pecahan Menjadi Pecahan Parsial
Dalam pembicaraan ini tetap diasumsikan: 1) derajat N(x) < derajat D(x) 2) koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu 3) N(x) dan D(x) tidak lagi mempunyai faktor persekutuan
Thobirin, Kalkulus Integral 63
-
Integral
Menurut keadaan faktor-faktor D(x), dalam memisahkan )()(
xDxN menjadi pecahan-
pecahan parsialnya dapat dibedakan menjadi 4 keadaan, yaitu: a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang) c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama.
a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x a, x b, x c, dan x d, maka D(x) = (x a) (x b) (x c) (x d).
Dibentuk )()(
xDxN =
dxD
cxC
bxB
axA
+++ (1) sebagai suatu identitas dalam x, sehingga untuk setiap nilai x yang diberikan maka nilai ruas kiri dan nilai ruas kanan dalam (1) sama. Konstanta A, B, C, dan D adalah konstanta-konstanta yang masih akan dicari nilainya.
Contoh 15
Pisahkan 64
6623
2
+++
xxxx atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian: 64 23 ++ xxx = 0 (x 1) (x + 2) (x + 3) = 0
Dibentuk
32164
6623
2
++++=+++
xC
xB
xA
xxxx (2)
)3)(2)(1(
)2)(1()3)(1()3)(2(64
6623
2
++++++++=++
+xxx
xxCxxBxxAxxx
x
)2)(1()3)(1()3)(2(66 2 ++++++=+ xxCxxBxxAx untuk x = 1 )4)(3(12 A= A = 1 untuk x = 2 30 = B(3)(1) B = 10 untuk x = 3 60 = C(4)(1) C = 15 Jika nilai A, B, dan C ini disubstitusikan ke dalam (2) maka diperoleh
315
210
11
6466
23
2
+++=+++
xxxxxxx
Thobirin, Kalkulus Integral 64
-
Integral
sehingga
++ + dxxxx x 64 66 232
= +++ dxxdxxdxx 31521011 = Cxxx ++++ 3ln152ln101ln
Pada bagian ini dijumpai bentuk dxax 1
b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang) Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x a, x b, x c, x c, x d, x d, dan x d, maka D(x) = (x a) (x b) (x c)2 (x d)3. Selanjutnya dibentuk
)()(
xDxN = 322 )()()( dx
Gdx
Fdx
Ecx
Dcx
Cbx
Bax
A++++++ (3)
Perhatikan suku-suku pecahan di ruas kanan terutama yang sesuai dengan akar sama c dan d.
Contoh 16
Pisahkan 3)1)(2( + xxx atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian:
Dibentuk
323 )1()1(12)1)(2( ++++++=+ xD
xC
xB
xA
xxx (4)
)2()1)(2()1)(2()1( 23 ++++++= xDxxCxxBxAx untuk x = 1 1 = 3D untuk x = 2 2 = 27A untuk x = 0 0 = A 2B 2C 2D untuk x = 1 1 = 8A 4B 2C D Dari keempat persamaan tersebut diperoleh:
272=A ,
272=B ,
276=C ,
31=D
Jadi 323 )1(31
)1(276
1272
2272
)1)(2( +++
++
+=+ xxxxxxx
Thobirin, Kalkulus Integral 65
-
Integral
Selanjutnya dapat dicari integral + dxxx x 3)1)(2( + dxxx x 3)1)(2( = ++++++ dxxdxxdxxdxx 33
1
2276
272
272
)1()1(12
= ...
Pada bagian ini dijumpai bentuk dxax 1 dan dxax n)( 1 n = 2, 3, ...
c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan Ingat teorema dalam aljabar berikut. Teorema: Akar-akar tidak real persamaan derajat tinggi dengan koefisien real
sepasang-sepasang bersekawan, artinya jika a + bi suatu akar maka a bi juga akar persamaan itu
Berdasarkan teorema tersebut maka apabila a + bi akar persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a bi, sehingga salah satu faktor D(x) adalah {x (a + bi)}{ x (a bi)} = (x a)2 + b2 yang definit positif. Misal D(x) = (x p) (x q) 2 {(x a)2 + b2}{(x c)2 + d2} maka perlu dibentuk
)()(
xDxN = 22222 )()()( dcx
GFxbax
EDxqx
Cqx
Bpx
A+
+++++++ (5)
Contoh 17
Pisahkan 1
33 x
x atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian:
133 x
x = )1)(1(
32 ++ xxxx
Dibentuk 111
323 ++
++= xxCBx
xA
xx
)1)(()1(3 2 ++++= xCBxxxAx untuk x = 1 3 = 3A untuk x = 0 0 = A C untuk x = 1 3 = A + 2B 2C Setelah dicari nilai-nilai A, B, dan C diperoleh 1=A , 1=B , dan , sehingga 1=C
Thobirin, Kalkulus Integral 66
-
Integral
11
11
13
23 ++++= xx
xxx
x
Jadi ++ ++= dxxx xdxxdxx x 111113 23 = ... = ...
Pada bagian ini dijumpai bentuk dxax 1 , dxax n)( 1 n = 2, 3, ... , dan + + dxbax BAX 22)(
d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama
Berdasarkan teorema dalam bagian c di atas maka apabila a + bi merupakan akar berlipat k dari persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a bi, dan faktor-faktor dari D(x) yang sesuai dengan akar-akar ini adalah {(x a)2 + b2}k. Misal D(x) = (x p) (x q) 2 {(x a)2 + b2}{(x c)2 + d2}3 maka perlu dibentuk
)()(
xDxN = 22222222 }){()()()( dcx
JHxdcx
GFxbax
EDxqx
Cqx
Bpx
A++++
+++++++
322 }){( dcxLKx+
++
Contoh 18
Pisahkan 2223
)1)(2(1523
++
xxxxx atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian:
Dengan cara seperti yang telah diberikan sebelumnya didapatkan
22
23
)1)(2(1523
++
xxxxx = 222 )1(1
12
1++
xx
xx
x
Thobirin, Kalkulus Integral 67
-
Integral
Jadi + + dxxx xxx 2223
)1)(2(1523 = ++ dxx xdxxxdxx 222 )1(1121
Pada bagian ini dapat muncul bentuk + + dxbax BAX n}){( 22 , n = 2, 3, ... , dan
Dalam mencari dxxD xN )( )( kita dihadapkan kepada empat jenis integral yang berbentuk:
(1) dxax 1 (2) dxax n)( 1 n = 2, 3, ... (3) + + dxbax BAX 22)( (4) + + dxbax BAX n}){( 22 , n = 2, 3, ...
Tiga bentuk yang pertama telah dapat diselesaikan menggunakan teori-teori yang sudah diberikan. Adapun integral bentuk keempat dapat diselesaikan dengan substitusi y = x a sebagai berikut.
+ + dxbax BAX n}){( 22 = + ++ dyby BaAAy n}{ 22 = +++++ dyby BaAby bydA nn }{}{ )(2 2222
22
Integral untuk suku pertama pada ruas terakhir bukan masalah karena berbentuk
nudu , n = 2, 3, ... Sedangkan integral pada suku keduanya dapat diubah menjadi ++ dyby BaA n}{ 22 =
+
+nn
by
dyb
BaA22
1
= { } ++ nn t
dtb
BaA212 1
dengan byt =
Untuk menghitung integral { } + ntdt
21dapat digunakan rumus reduksi berikut
Thobirin, Kalkulus Integral 68
-
Integral
{ } + ntdt
21 = { } +
++ 1212 12232
)1)(22( nn tdt
nn
tnt
Dalam tulisan ini tidak diberikan bukti rumus reduksi tersebut.
Contoh 19
Selesaikan ++ + dxxx x 22 )134( 3 . Penyelesaian:
++ + dxxx x 22 )134( 3 = ++ ++ dxxx x 2221
)134(1)42(
= +++++ + dxxxdxxx x 222221 )134( 1)134( 42 = +++++ ++ dxxxx xxd 2222
2
21
}9)2{(1
)134()134(
= +++++ ++ dxxxx xxd 22222
21
}9)2{(1
)134()134(
= [ ]{ } +++++ dxxxx 22221 13/)2(9 11341 = [ ]{ } +++++ dxxxx 22811221 13/)2( 11341
Untuk [ ]{ } ++ dxx 22811 13/)2( 1 substitusikan dxdtxt 31,3 2 =+= sehingga
[ ]{ } ++ dxx 22811 13/)2( 1 = { } + dtt 22271 11 = { }
+++ dtttt 1122.2 32.2)1)(22.2(271 2
= { }
+++ dtttt 1121)1(2271 2 =
++ tt
t arctan21
)1(2271
Thobirin, Kalkulus Integral 69
-
Integral
=
+++
++ 3
2arctan21
)1(2.32
271
32
xxx
=
++++
+3
2arctan21
)2(262
271 x
xx
= 3
2arctan541
1022
271 +++
+ xxx
Jadi ++ + dxxx x 22 )134( 3 = [ ]{ } +++++ dxxxx 22811221 13/)2( 11341 =
1341
221
++ xx + 32arctan
541
1022
271 +++
+ xxx + C.
LATIHAN
1. + dxxx x 432 4. + dxxx x )1()1( 222 2. + + dxxx x )4()1( 32 5. + dxxx xxx 2
234 2322
3. + dxx x 22 )1( 6. ++ dxx xx 3223
)2(14
4.6 Integral Fungsi Trigonometri
4.6.1 Rumus-rumus Sederhana
dxxcos = sin x + C dxxtan = ln cos x+ C dxxsin = cos x + C dxxcot = ln sin x+ C dxx2sec = tan x + C dxxx tansec = sec x + C dxx2csc = cot x + C dxxx cotcsc = csc x + C dxxsec = ln sec x + tan x + C dxxcsc = ln csc x + cot x + C
4.6.2 Bentuk dxxxR cos)(sin dan dxxxR sin)(cos Jika R fungsi rasional maka dxxxR cos)(sin = )(sin)(sin xdxR = dyyR )(
Thobirin, Kalkulus Integral 70
-
Integral
dxxxR sin)(cos = )(cos)(cos xdxR = dttR )(
Dengan mengingat rumus cos2 x + sin2 x = 1, maka:
dxxxxR cos)cos,(sin 2 = dyyyR )1,( 2 dxxxxR sin)sin,(cos 2 = dtttR )1,( 2
Contoh 20
1. + dxxxx cos)7sincos2( 22. dxx3sin
4.6.3 Integral dengan memperhatikan rumus-rumus
sin x sin y = )}cos(){cos(21 yxyx + sin x cos y = )}sin(){sin(21 yxyx ++ cos x cos y = )}cos(){cos(21 yxyx ++ sin2 x = }2cos1{21 x cos2 x = }2cos1{21 x+
Contoh 21 Carilah
1. dxxx 2sin3sin2. dxxx 2cos3sin3. dxxx 2cos3cos4. dxx2sin5. dxx4sin
4.6.4 Substitusi xy 21tan=
Jika R(sin x, cos x) fungsi rasional dalam sin x dan cos x, maka
dapat dibawa menjadi integral fungsi rasional dalam y dengan
menggunakan substitusi
dxxxR )cos,(sinxy 21tan= .
Thobirin, Kalkulus Integral 71
-
Integral
xy 21tan= x = 2 arc tan y dyydx 212+=
Selanjutnya perhatikan
21 y+
x21
y
1 Memperhatikan gambar di atas dapat dipahami bahwa
x21sin = 21 yy+
dan x21cos = 211
y+
sin x = ).2sin( 21 x
= xx 2121 cossin2 = 2 21 yy+
21
1y+
= 212
yy
+
Jadi sin x = 212
yy
+ .
Dengan menggunakan rumus cos x = ).2cos( 21 x diperoleh
cos x = 22
11
yy
+
tan x = 212
yy
cot x = yy
21 2
Contoh 22
Carilah: 1. + xdxsin1 2. + xxdxcossin 3. + xdxcos1 4. dxxcsc
Thobirin, Kalkulus Integral 72
-
Integral
4.6.5 Integral R(tan x) Jika integran fungsi rasional dalam tan x saja, maka dapat dijadikan integral fungsi rasional dalam y dengan substitusi y = tan x, sehingga x = arc tan y dan
21 ydydx += .
Jadi += dyyyRdxxR 21 )()(tan Contoh 23
Carilah: 1. 2. dxxtan + xdxtan1
4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri Jika n bilangan bulat positif, maka:
=+ dyydxx nn )1(sin 212 dengan y = cos x =+ dttdxx nn )1(cos 212 dengan t = sin x Untuk n bilangan genap positif dapat digunakan rumus:
+= dxxnnn xxdxx nn
n 21
cos1cossincos
+= dxxnnn xxdxx nn
n 21
sin1sincossin
+= dxxn xdxx nn
n 21
tan1
tantan
= dxxn xdxx nn
n 21
cot1
cotcot
+= dxxnnn xxdxx nn
n 21
sec12
1secsinsec
+= dxxnnn xxdxx nn
n 21
csc12
1csccoscsc
Bukti rumus-rumus di atas tidak diberikan dalam tulisan ini.
Thobirin, Kalkulus Integral 73
-
Integral
LATIHAN
4.7 Integral Fungsi Irrasional
Dalam tulisan ini dibahas beberapa jenis integral fungsi irrasional. Pada dasarnya integral ini diselesaikan dengan mengubah integral irrasional menjadi integral rasional, baik rasional aljabar maupun trigonometri.
4.7.1 Rumus yang perlu dihafal
1) dxxa 22
1 = Cax +arcsin
2) dxaxx
a 22 = arc sec Cax +
3) dxax + 22
1 = Caxx +++ 22ln
4) dxax 22
1 = Caxx ++ 22ln
5) dxxa 22 = Caxaxax ++ arcsin222
22
6) dxax + 22 = Caxxaaxx +++++ 22222 ln22 7) dxax 22 = Caxxaaxx +++ 22222 ln22 Dua rumus pertama mudah dibawa ke bentuk rumus integral dasar dengan
substitusi axy = . Sedangkan rumus-rumus yang lain dapat dibuktikan dengan
menggunakan metode yang akan diterangkan pada bagian 4.7.4.
Thobirin, Kalkulus Integral 74
-
Integral
4.7.2 Bentuk Irrasional Satu Suku
ntuk irrasional dari satu macam suku, misalnya x, Jika integran hanya memuat be
maka integral dapat dijadikan integral rasional dengan substitusi n xy = dimana n kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar.
Contoh 24
+ dxxx3
6 xy =1
diambil substitusi , sehingga dan
.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional
6yx = dyydx 56=
cbxax ++2 Dalam hal ini
4
cbxax ++2 se tubagai satu-sa nya bentuk irrasional di dalam tegran dapat dintegran, maka in ijadikan rasional dengan substitusi
cbxax ++2 = yax + , jika a > 0 atau
cbx cxy +ax 2 ++ = , jika c 0 Dengan substitusi yang pertama diperoleh
baycyx
=2
)( 2 dan dx dapat dinyatakan
ke dalam bentuk rasional dalam y kali dy.
Contoh 25
+ dxxxx 26)3(1 yxxx +=+ 2622
diambil substitusi , sehingga
)3(2)2( 2
+=
yyx dan dy
yyydx 2
2
)3(26
21
+++= . Selanjutnya dapat diselesaikan seperti
integral raasional
.7.4 Substitusi Trigonometri mus trigonometri
+ tan2 x = sec2 x bentuk-bentuk irra rasional fungsi
4Dengan memperhatikan ru
cos2 x + sin2 x = 1 dan 1sional berikut dapat dijadikan bentuk
trigonometri.
Thobirin, Kalkulus Integral 75
-
Integral
Thobirin, Kalkulus Integral 76
entuk Substitusi Diferensial B22 xa x = a sin dx = a cos d 22 ax x = a sec dx = a sec tan d 22 xa + x = a tan dx = a sec2 d
Contoh 26
= Caxaxax ++ arcsin
22
222 dxxa 221. Buktikan
dxx 29
1 2. Gunakan substitusi x = a sin untuk menentukan
dxxxx + 26)3(
12
3. Carilah
ATIHAN 4.7 L
1. d 1 xxx 22 1 2. dx
xx 21
dxxxx + 14)2(
12
3.
dxxxx + 84)2(
12
4.
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 77
INTEGRAL TERTENTU
5.1 Pengertian Integral Tertentu Definisi 5.1.1
Partisi P pada interval [a,b] adalah suatu subset berhingga P = {x0, x1, x2, , xn} dari
[a,b] dengan a = x0 < x1 < x2 < < xn = b. Jika P = {x0, x1, x2, , xn} partisi pada [a,b] maka Norm P, ditulis P , didefinisikan
sebagai P = max{xi xi-11 = 1, 2, 3, , n}. a = x0 x1 x2 xn = b. Contoh 1:
Pada interval [3, 3], suatu partisi P = {3, 211 , 21 , 31 , 2, 3}mempunyai norm:
P = max{ 211 (3), 21 ( 211 ), 31 ( 21 ), 2 31 , 3 2}
= max{ 23 , 1, 65 , 35 , 1}
= 35 .
Jika f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], P = {x0, x1, x2, , xn} suatu partisi pada
[a,b], wi [xi-1, xi], dan xi = xi xi-1, maka disebut Jumlah Riemann f pada
[a,b].
=
n
iii xwf
1)(
w1 w2 w3 w4 wi wn x0 = a x1 x2 x3 x4 xi-1 xi xn-1 b = xn-1
y = f(x)
5
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 78
Contoh 2: Fungsi f pada [3, 3] didefinisikan dengan f(x) = x2 1 dan P = {3, 211 , 21 , 31 , 2, 3} partisi
pada [3, 3]. Dipilih titik-titik: w1 = 2, w2 = 21 , w3 = 0, w4 = 211 , w5 = 322 .
w1 = 2 f(w1) = 3 x1 = 23 f(w1).x1 = 29 w2 = 21 f(w2) = 43 x2 = 1 f(w2).x2 = 43 w3 = 0 f(w3) = 1 x3 = 65 f(w3).x3 = 65 w4 = 211 f(w4) = 45 x4 = 35 f(w4).x4 = 1225 w5 = 322 f(w5) = 955 x5 = 1 f(w5).x5 = 955 Jumlah Riemann fungsi f tersebut pada interval [3, 3] bersesuaian dengan partisi P di atas
adalah = =
5
1)(
iii xwf 9
100 .
Jika P = {3, 211 , 1, 21 , 31 , 2, 2 21 , 3} partisi pada [3, 3] dan w1 = 2, w2 = 1, w3 = 21 , w4 = 0, w5
= 211 , w6 = 31 , serta w7 =2 43 tentukan jumlah Riemann fungsi f pada [3, 3]
bersesuaian dengan partisi P ini. 2
Definisi 5.1.2
1. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] maka: Lxwfn
iiiP=
= 10)(lim jika dan hanya jika
untuk setiap bilangan positif terdapat bilangan positif sehingga untuk setiap partisi P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b] dengan P < , berlaku
=
n
iii Lxwf
1)( < .
2. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan =
n
iiiP
xwf10
)(lim ini ada, maka limit tersebut
dinamakan integral tertentu (Integral Riemann) fungsi f pada [a,b]. Selanjutnya f
dikatakan integrable pada [a,b] dan integralnya ditulis . b
a
dxxf )(
Jadi = ba
dxxf )( =
n
iiiP
xwf10
)(lim
3. Jika f integrable pada [a,b] maka: a. = ab
dxxf )( ba
dxxf )(
b. Jika a = b maka = = 0 ba
dxxf )( aa
dxxf )(
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 79
Dari definisi 5.1.2 bagian 2 dapat dipahami bahwa jika , maka
=
0)( >xf
ba
dxxf )( =
n
iiiP
xwf10
)(lim secara geometris menyatakan luas daerah di bawah kurva
, di atas sumbu X, di antara garis x = a dan x = b. )(xfy = Contoh 3:
Jika f(x) = x + 3, tentukan .
+3
2
)3( dxx
Penyelesaian: -3 -2 -1 0 1 2 3
Y f(x) = x + 3
3
Buat partisi pada [2, 3] dengan menggunakan n interval bagian yang sama panjang. Jadi panjang
setiap interval bagian adalah x = n5 .
Dalam setiap interval bagian [xi-1,xi] partisi tersebut diambil wi = xi.
Akan dicari nilai =
n
iiiP
xwf10
)(lim .
X x0 = 2
x1 = 2 + x = 2 + n5
x2 = 2 + 2x = 2 + 2( n5 )
x3 = 2 + 3x = 2 + 3( n5 )
. : xi = 2 + i.x = 2 + i( n
5 )
. : xn = 2 + n.x = 2 + n( n
5 ) = 3
Karena untuk setiap i = 1, 2, 3, , n dipilih wi = xi maka wi = 2 + i( n5 )= 2 +
ni5 , sehingga
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 80
f(wi) = wi + 3
= (2 + ni5 ) + 3
= 1 + ni5
Jadi jumlah Riemann fungsi f pada [2, 3] bersesuaian dengan partisi P tersebut adalah
=
n
iii xwf
1
)( = =
+n
i nni
1
551
= =
+n
i ni
n 1515
= ==
+n
i
n
i ni
nn 115515
= ==
+n
i
n
ii
nn 1212515
= )}1({25)(5 212 ++ nnnnn
= 5 +
+n11
225
Jika P 0 maka n , sehingga:
=
n
iiiP
xwf10
)(lim =
++ nn11
2255lim
= 2117
Jadi =
+3
2
)3( dxx 2117 .
Contoh 4:
Tentukan . ba
dx
Penyelesaian:
Dalam hal ini f(x) = 1 untuk setiap x [a,b]. Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b] dan sembarang titik wi [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, , n, maka
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 81
=
n
iii xwf
1)( = dan xi = xi xi-1
=
n
iix
1.1
= =
n
iii xx
11 )(
= (x1 x0) + (x2 x1) + (x3 x2) + + (xn xn-1)
= xn x0
= b a
Jadi =
n
iiiP
xwf10
)(lim = )(lim0
abP
= b a
Dengan demikian = b a. ba
dx
Teorema 5.1.3 (Teorema Fundamental Kalkulus)
Jika f integrable pada [a,b] dan F suatu anti turunan dari f pada [a,b]
(atau F(x) = f(x) untuk setiap x [a,b]), maka : = F(b) F(a) ba
dxxf )(
F(b) F(a) biasa ditulis [ ]baxF )( Bukti:
Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b]. Karena F(x) = f(x) untuk setiap
x [a,b] maka F(x) = f(x) untuk setiap x [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, , n. Berdasarkan teorema nilai rata-rata maka terdapat wi [xi-1, xi] sehingga F(xi) F (xi-1) = F(wi) (xi xi-1)
= f(wi) (xi xi-1) i = 1, 2, 3, , n
Diperoleh:
=
n
iii xwf
1)( =
=
n
iiii xxwf
11 ))((
= =
n
iii xFxF
11 )}()({
= {F(x1) F(x0)} + {F(x2) F(x1)} + {F(x3) F(x2)} + + {F(xn) F(xn-1)}
= F(xn) F(x0)
= F(b) F(a)
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 82
=
n
iiiP
xwf10
)(lim = )}()({lim0
aFbFP
= F(b) F(a).
Jadi = F(b) F(a) ba
dxxf )(
Contoh 5
+3
2
)3( dxx = [ ]3 2221 3 + xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 221221 ++ = 2117 . Contoh 6
Tentukan integral berikut.
1.
2
2
3dxx
2.
dxxsin
Teorema 5.1.4
Jika f integrable pada [a,b] dan c (a,b) maka = + ba
dxxf )( ca
dxxf )( bc
dxxf )(
Teorema 5.1.5
1. k konstanta = ba
b
a
dxxfkdxxkf )()(
2. +=+ ba
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()}()({
3. Jika f(x) 0 untuk setiap x [a,b] maka 0. ba
dxxf )(
4. Jika f(x) g(x) untuk setiap x [a,b] maka ba
dxxf )( ba
dxxg )(
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 83
5.2 Aplikasi Integral
5.2.1 Luas Daerah
Berdasarkan pengertian integral tertentu (Integral Riemann) pada definisi 5.1.2 dan
uraian di atas dapat dipahami bahwa jika , maka secara geometris
menyatakan luas daerah di antara kurva
0)( >xf
)(x
ba
dxxf )(
fy = dan sumbu X serta dibatasi oleh garis-garis x = a dan x = b. Jadi
=b
a
dxxfA )(
Contoh 7
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, sumbu X, garis x = 2 dan
garis x = 3.
Penyelesaian:
A = =
+3
2
)3( dxx [ ]3 2221 3 + xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 221221 ++ = 2117 .
Contoh 8
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva , sumbu X, garis x = 2 dan garis
x = 2.
3xy =
Penyelesaian:
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 84
Y
)(xfy =
)(xgy =
a b X
Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(xfy = dan serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di atas, maka luas daerahnya adalah sebagai berikut
)(xgy =
{ } =b
a
dxxgxfA )()(
b
Contoh 9
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan . 4xy = 22 xxy =Penyelesaian:
Menentukan batas-batas dicari dengan menentukan akar-akar persamaan
yang dapat kita temukan akar-akarnya adalah x = 0 dan x = 1.
24 2 xxx =
sehingga luasnya adalah A = = 1
0
42 )2( dxxxx1
0
532
51
31
xxx = 157
51
311 = .
22 xxy =
Y
4xy =
X 0
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 85
Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(yx = dan )(yx = serta garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini, maka luas daerahnya adalah sebagai
berikut
{ } =d
c
dyyyA )()(
Y
d x = (y) x = (y)
c
X 0
Contoh 10
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan xy 42 = 434 = yx . Penyelesaian:
434 = yx
Menentukan batas-batas dengan mencari akar-akar persamaan yang
diperoleh y = 1 dan y = 4.
432 += yy
xy 42 = ekuivalen dengan 241 yx = dan 434 = yx ekuivalen dengan )43(
41 += yx
Y
0
xy 42 =
X
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 86
sehingga luasnya adalah A =
+
4
1
2
41)43(
41 dyyy = {
+
4
1
24341 dyyy } =
24125
.
5.2.2 Volume Benda Putar
a. Metode Cincin
Y
0
y = f(x)
a b
X 1ix ix wi
f(wi)
Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, garis-garis x = a dan x = b diputar
mengelilingi sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari
sebagai berikut.
Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, , n dipilih satu
titik wi [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan lebar xi = xi xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu X, maka diperoleh silinder hampiran dengan volume
{ } iii xwfV = 2)( f(xi)
xi
Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann
{ }==
= ni
ii
n
ii xwfV
1
2
1)(
Apabila P 0 maka diperoleh volume benda putar yang dimaksud, yaitu
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 87
{ }=
= ni
iiPXxwfV
1
2
0)(lim
= = { }b
a
dxxf 2)( { }b
a
dxxf 2)(Jadi Jadi
{ }=b
aX dxxfV
2)( { }=b
aX dxxfV
2)(
Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurva Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurva )(xfy )(xfy
= dan serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah
)(xgy =
{ } { }[ ] = ba
X dxxgxfV22 )()(
0 Xa b
Y y = f(x)
y = g(x)
Dengan cara sama, jika daerah yang dibatasi kurva x = (y), sumbu Y, garis-garis y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang
terjadi adalah.
{ }=d
cY dyyV
2)(
Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(yx = dan )(yx = serta garis-garis y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka
volume benda yang terjadi adalah
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 88
{ } { }[ ] = dc
Y dyyyV22 )()(
Contoh 11
Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva
xy = , sumbu X dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X. Penyelesaian:
xy =
Y
X 0
4
{ }= 40
2dxxVX = 82
1 4
0
24
0
=
= xdxx
Contoh 12
Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva
, sumbu Y dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu Y. 3xy =
Penyelesaian:
3 yx =
Y
X 0
3
Karena maka3xy = 3 yx = , sehingga
{ } 5
9953 33
53
0
3
0
23 3
2 =
=== ydyydyyVY
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 89
Contoh 13
nda putar yang terjadi apabila daeTentukan volume be rah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva
diputar mengelilingi sumbu X.
Penyel
Dapat dicari bahwa perpotongan kedua kurva adalah di (0, 0) dan (2, 4). Jika
aka
2xy = dan y x82 =esaian:
xy 82 = xy 8=m . Perhatikan gambar berikut.
{ } { }[ ] [ ] 481488 2522 42 222 = === xxdxxxdxxxV entukan pula apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y.
benda pejal (ruang antara tabung besar dan kecil)
adalah
55 000 XT
b. Metode Kulit Tabung
Perhatikan gambar di samping.
Volume
h)rrV ( 212
2 = hrr )( 21
22 =
hrrrr ))(( 1212 +=
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 90
hrrrr 12 += )(2
2 12
Rumusan ini dapat ditulis sebagai
V rhr = 2 dengan
212 rrr += dan 12 rrr =
Misalkan diketahui daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X serta garis-garis x = a
dan x = b. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putarnya,
maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari sebagai berikut.
titik
Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, , n dipilih satu
21+= iii xxw [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan
dan lebar xi = xi xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu Y, maka diperoleh tabung hampiran dengan volume
iiii xwfwV = )(2 Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann
Apabila
= nn == i
iiii
i xwfwV11
)(2
P 0 maka diperoleh volume benda putar yang dim ksud, yaitu a
=
= fni
iiiPYxwwV
10)(lim2
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 91
=
Jadi
a kurva
b
a
dxxfx )(2
=Y dxxfxV )(2 b
a
Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh du )(xfy = dan serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputa
sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah
]
serta garis-garis y = c dan y = d i
sumbu putarnya, maka volume
)(xgy = r mengelilingi
[ =b
Y dxxgxfxV )()(2 a
oleh kurva x = (x), sumbu Y
Dengan cara sama, misalkan diketahui daerah dibatasi
Y
. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X sebaga
benda putar yang terjadi adalah
=d
cX dyyyV )(2
y = f(x)
y = g(x)
0 Xa b xi
c
d
Y
X 0
y = (x)
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 92
Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(yx = dan )(yx = serta garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah
Tentukan volum dibatasi oleh kurva
[ ] =d
cX dyyyyV )()(2
c
d
Y
0
x =
X
(y) x
Contoh 14
e benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang
xy 1= , sumbu X, dan garis x = 1 diputar mengelilingi sumbu Y.
Penyelesaian:
328
322212
4
1
234
1
214
1
=
=== xdxxdxxxVY
Contoh 15
Diketahui suatu daerah tertutup dibatasi oleh kurva garis xt
Dalam hal ini 0>
ry = , sumbu X, dan garis x = t. r dan 0>t . Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X, tentukan
olume benda yang terjadi dengan dua cara. v
= (y)
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 93
aian:
Dengan metode cincin
Penyeles
Cara I
=
t
X dxxtrV
0
2
X
xtry =
Y
0 t
r =t
dxxtr
0
22
2
t
xtr
0
32
2
31
=
tr 231=
Cara II
Dengan metode kulit tabung. Karena xtry = y
rtx = , maka
=r
X dyyrttyV
0
)(2
=r
dyyr
yt0
2 )1(2 r
yr
yt0
32
31
212
=
= 2231
212 rrt
tr 231=
5.2.3 P
n parameter x = f(t), y = g(t),
a t b. Panjang kurva tersebut dapat dicari sebagai berikut.
X
anjang Kurva
Misalkan suatu kurva mulus diberikan oleh persamaa
yrtx =
Y
0 t
r x = t
yt rt
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 94
Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, , tn} pada [a,b] dengan a = t0 < t1 < t2 < < tn = b, maka kurva akan terbagi menjadi n bagian oleh titik-titik Q0, Q1, Q2, , Qn-1, Qn. Perhatikan gambar
berikut.
Pada bagian ke i, panjang busur Qi-1Qi , yaitu is dapat didekati oleh . Dengan Pythagoras kita peroleh
iw
iw = 22 )()( ii yx + [ ] [ ]2121 )()()()( += iiii tgtgtftf
Selanjutnya berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata pada Derivatif tentu terdapat ),( 1 ii ttt dan demikian sehingga ),( 1 ii ttt
))((')()( 11 = iiiii tttftftf ))((')()( 11 = iiiii tttgtgtg
atau
iiii ttftftf = )(')()( 1 iiii ttgtgtg = )(')()( 1
dengan . 1= iii tttOleh karena itu diperoleh
[ ] [ ]22 )(')(' iiiii ttgttfw += [ ] [ ] iii ttgtf += 22 )(')('
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 95
dan panjang polygon dari segmen garis
[ ] [ ]==
+= ni
iii
n
ii ttgtfw
1
22
1)(')('
Apabila P 0 maka diperoleh panjang kurva seluruhnya adalah
[ ] [ ] [ ] [ ] +=+==
b
a
n
iiiiP
dttgtfttgtfL 221
22
0)(')(')(')('lim
Jadi
[ ] [ ] +=b
a
dttgtfL 22 )(')('
atau
+
=b
a
dtdtdy
dtdxL
22
Jika persamaan kurvanya adalah y = f(x) dengan a x b, maka
+=b
a
dxdxdyL
2
1
dan jika persamaan kurvanya adalah x = (y) dengan c y d, maka
+=
d
c
dydydxL
2
1
Contoh 16
Hitunglah keliling lingkaran . 222 ryx =+Penyelesaian:
Lingkaran tersebut dapat ditulis dalam persamaan parameter sebagai
x = r cos t, y = r sin t dengan 20 t , sehingga trdtdx sin= dan tr
dtdy cos= .
Akibatnya [ ] rtrdtrdtt 20
2 = rtrL
2cossin 202
0
222 ==+= Contoh 17
Menggunakan integral hitunglah panjang ruas garis yang menghubungkan titik P(0, 1) dan
Q(5, 13).
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 96
Penyelesaian:
Persamaan ruas garis PQ adalah 15
12 += xy , sehingga 5
12=dxdy
. Oleh karena itu
135
135
135
1215
0
5
0
5
0
2
=
==
+= xdxdxL
Contoh 18
Menggunakan integral hitunglah panjang kurva 23
xy = dari (1, 1) dan (4, 8). Penyelesaian:
23
xy = , maka 21
23 x
dxdy = . Oleh karenanya
63,78
1310278
491
278
491
231
23
23
4
1
23
4
1
4
1
2
21
=
+=+=
+= xdxxdxxL
Diferensial Panjang Busur
Misalkan f suatu fungsi yang dapat didiferensialkan pada [a, b]. Untuk setiap ),( bax didefinisikan s(x) sebagai
+=x
a
duufxs 2)]('[1)(
maka s(x) adalah panjang kurva y = f(u) dari titik (a, f(a)) ke titik (x, f(x)), sehingga
22 1)]('[1)('
+=+==
dxdyxf
dxdsxs
a
Y
X 0
s(x)
x
(x, f(x))
(a, f(a))
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 97
Oleh karenanya diferensial panjang kurva ds dapat ditulis sebagai
dxdxdyds
2
1
+=
Selanjutnya hal ini dapat ditulis dalam bentuk-bentuk
dydydxds
2
1
+= atau dt
dtdy
dtdxds
22
+
=
Untuk keperluan mengingat, dapat pula ditulis dalam bentuk: 222 )()()( dydxds +=
5.2.4 Luas Permukaan Benda Putar
Kita mulai dengan mencari rumus untuk luas permukaan (selimut) kerucut terpancung.
Misalkan jari-jari lingkaran alas kerucut terpancung adalah r1 dan jari-jari lingkaran atasnya r2
sedangkan panjang ruas garis pada pembangun kerucut antara dua lingkaran itu (rusuk kerucut
terpancung) l, maka luas selimut kerucut terpancung itu adalah
lrrA
+=2
2 21
Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sebuah garis pada bidang
itu, maka hasilnya berupa permukaan benda putar dengan luas permukaan dapat dicari sebagai
berikut.
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 98
Pemutaran terhadap sumbu X
Misalkan suatu kurva mulus pada kuadran pertama diberikan oleh persamaan parameter
x = f(t), y = g(t), a t b. Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, , tn} pada [a,b] dengan a = t0 < t1 < t2 < < tn = b, maka kurva terbagi menjadi n bagian. Misalkan panjang kurva bagian ke i dan ordinat sebuah titik pada bagian ini. Apabila kurva itu diputar mengelilingi
sumbu X, maka ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian ini akan membentuk
permukaan bagian. Luas permukaan bagian ini dapat dihampiri oleh luas kerucut terpancung,
yaitu
isiy
is
ii sy 2 .
Apabila kita jumlahkan luas-luas ini dan kemudian mengambil limitnya dengan membuat
0P , kita akan memperoleh hasil yang kita definisikan sebagai luas permukaan benda putar tersebut. Jadi luasnya adalah
===
**
*10
22lim dsysyAn
iiiP
Dengan menggunakan rumus A tersebut di atas, kita harus memberi arti yang tepat pada y, ds,
dan batas-batas pengintegralan * dan **.
Misalkan apabila permukaan itu terbentuk oleh kurva )(xfy = , a x b, yang diputar mengelilingi sumbu X, maka kita peroleh untuk luasnya:
dxxfxfdsyAb
a +== 2
**
*
)]('[1)(22 Contoh 19
Tentukan luas permukaan benda putar apabila kurva xy = , 0 x 4, diputar mengelilingi sumbu X.
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 99
Penyelesaian:
Misalkan xxf =)( maka x
xf2
1)(' = , sehingga
18,36)117(6
)14(32
4114
2112 2
34
0
234
0
4
0
2
=
+=+=
+= xdxxdxxxA
Apabila persamaan kurva yang bersangkutan diketahui dalam bentuk persamaan
parameter x = f(t), y = g(t), a t b, maka rumus untuk luas permukaan menjadi:
dttgtftgdsyAb
a +== 22
**
*
)]('[)]('[)(22 Contoh 20
Tentukan luas permukaan benda yang terbentuk apabila suatu busur dari sikloid
20),cos1(),sin( == ttayttax diputar mengelilingi sumbu X. Penyelesaian:
Y
0 X 2
Misalkan dan )sin()( ttatf = )cos1()( tatg = , maka )cos1()(' tatf = dan , sehingga: tatg sin)(' =
dttatataA +=
2
0
2222 sin)cos1()cos1(2
dttta =
2
0
2 cos22)cos1(2
dtta =
2
0
23
2 )cos1(22
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 100
dtta
=
2
0
32
2sin8
dttta
=
2
0
22
2sin
2cos18
Dengan substitusi
=2
cos tu maka dttdu
=2
sin21
Untuk t = 0 u = 1 Untuk t = 2 u = 1
Jadi 21
1
321
1
22
364
3116)1(16 auuaduuaA =
==
Pemutaran terhadap sumbu Y
Analog:
Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sumbu Y, maka hasilnya
berupa permukaan benda putar dengan luas permukaannya adalah:
=**
*
2 dsxA Contoh 21
Tentukan luas permukaan benda yang terbentuk apabila kurva ayayax = ,22 diputar mengelilingi sumbu Y.
Penyelesaian:
Misalkan 22)( yaygx == maka 22
)('ya
yyg
= a
a
X
X 0 sehingga
+==
a
a
dyya
yyadsxA 222
22**
*
122
[ ]
===a
a
aa ayadya
2422
Dengan demikian luas permukaan bola dengan jari-jari a adalah 4a2.
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 101
5.2.5 Usaha atau Kerja
Dalam fisika kita tahu bahwa apabila ada gaya F yang konstan menggerakkan suatu
benda sehingga bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dengan arah gaya dan gerakan benda
sama, maka kerja W yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah
W = F . d
Apabila satuan untuk F adalah pond an satuan jarak adalah kaki maka satuan kerja
adalah kaki pond. Apabila gaya diukur dengan satuan dyne dan jarak dengan satuan sentimeter
maka satuan kerja adalah dyne cm atau erg. Apabila gaya diukur dengan satuan Newton dan
jarak dengan satuan meter maka satuan kerja adalah Newton meter atau joule.
Pada kenyataannya biasanya gaya itu tidak konstan. Misalkan sebuah benda digerakkan
sepanjang sumbu X dari titik x = a ke titik x = b. Misalkan gaya yang menggerakkan benda
tersebut pada jarak x adalah F(x) dengan F suatu fungsi kontinu. Untuk menentukan kerja yang
dilakukan gaya tersebut dapat dicari sebagai berikut.
Interval [a,b] dibagi dengan menggunakan partisi P = {x0, x1, x2, , xn}. Pada setiap
interval bagian [xi-1, xi] gaya F dapat dihampiri oleh gaya konstan F(wi), dengan wi [xi-1, xi] untuk setiap i = 1, 2, , n. Jika xi = xi xi-1, maka kerja yang dilakuka gaya F pada interval bagian [xi-1, xi] adalah
Wi = F(wi) xi. Jika dijumlahkan kemudian dicari limitnya untuk 0P maka diperoleh kerja yang dilakukan gaya F pada interval [a, b], yaitu
===
b
a
n
iiiP
dxxFxwFW )()(lim10
Jadi
=b
a
dxxFW )(
a. Aplikasi pada Pegas
Dengan menggunakan hokum Hooke yang berlaku dalam fisika, gaya F(x) yang
diperlukan untuk menarik (atau menekan) pegas sejauh x satuan dari keadaan alami adalah
F(x) = k.x
Di sini, k adalah konstanta dan disebut konstanta pegas yang nilainya positif dan tergantung
pada sifat fisis pegas. Semakin keras pegas, maka semakin besar nilai k.
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 102
Contoh 22
Apabila panjang alami sebuah pegas adalah 10 inci. Untuk menarik dan menahan pegas sejauh
2 inci diperlukan gaya 3 pon. Tentukan kerja yang dilakukan gaya untuk menarik pegas itu
sehingga panjang pegas 15 inci.
Penyelesaian:
Menurut hokum Hooke gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x inci
adalah F(x) = k.x. Dari sini dapat dicari nilai konstanta k. Diketahui bahwa F(2) = 3, sehingga
3 = k.2 atau 23=k . Oleh karena itu xxF
23)( = .
Apabila pegas dalam keadaan alami sepanjang 10 inci menyatakan x = 0, maka pegas dengan
panjang 15 inci menyatakan bahwa x = 5, sehingga
75,18475
235
0
=== dxxW Jadi, kerja untuk menarik pegas itu adalah 18,75 inci pond.
b. Aplikasi pada Pemompaan Cairan
Dengan menggunakan prinsip-prinsip yang sama dapat dihitung kerja yang dilakukan
pada pemompaan cairan.
Contoh 23
Sebuah tangki berbentuk kerucut lingkaran tegak penuh dengan air. Apabila tinggi tangki 10
kaki dan jari-jari lingkaran atasnya 4 kaki,
a. tentukan kerja untuk memompa air sehingga sampai tepi tangki
b. tentukan kerja untuk memompa air sehingga mencapai 10 kaki di atas tepi tangki.
10 y
y
X
Y Y
y10 y
y
y
(4, 10)
y104
xy 104=X
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 103
Penyelesaian:
a. Letakkan tangki dalam system koordinat seperti tampak dlam gambar. Buatlah sketsa
yang berdimensi tiga dan juga sketsa penampang dimensi dua. Misalkan air dimasukkan ke
dalam kerucut-kerucut terpancung (horizontal),
Air ini harus diangkat sehingga mencapai tepi tangki. Perhatikan sebuah kerucut terpancung ke
i dengan tinggi yang berjarak y dari puncak kerucut (puncak kerucut berada di bawah),
memiliki jari-jari
y
y104
, maka ia mempunyai volume hampiran yyV
=2
104 dan
beratnya (gaya berat) yyF
=2
104 , dengan = 62,4 adalah kepadatan air dalam satuan
pon/kaki kubik. Gaya yang diperlukan untuk mengangkat air tersebut adalah sama dengan
beratnya dan harus diangkat sejauh 10 y. Jadi kerja W adalah
)10(104 2 yyyW
=
Karenanya, apabila dijumlahkan kemudian dicari limitnya diperoleh
138,2641
310
254)10(
254 10
0
4310
0
32
== yydyyyW Jadi kerja untuk memompa air sehingga sampai ke tepi tangki adalah 26,138 kaki pond.
b. Seperti dalam a, sekarang air dalam kerucut terpancung harus diangkat 20 y,
sehingga
69,13041
320
254)20(
254)20(
104 10
0
4310
0
3210
0
2
==
= yydyyydyyyW Jadi kerja untuk memompa air sehingga sampai ke tepi tangki adalah 130,690 kaki pond.
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 104
5.2.6 Momen dan Pusat Massa (Titik Berat)
Misalkan ada dua benda masing-masing memiliki massa sebasar m1 dan m2 yang
diletakkan pada papan berimbang dengan jarak berturut-turut d1 dan d2 dari titik penyangga
pada bagian-bagian yang berbeda. Keadaan tersebut akan seimbang jika dipenuhi
d1 m1 = d2 m2.
d1 d2 m1 m2
Suatu model amtematis yang baik diperoleh apabila papan tersebut kita letakkan pada
suatu system bandmil yang titik asalnya kita impitkan dengan titik penyangga papan, maka
koordinat x1 dari massa m1 adalah x1 = d1 dan dari massa m2 adalah x2 = d2. Jadi syarat
keseimbangan adalah
x1 m1 + x2 m2 = 0
m1 m2
x1 x1 0
Hasil kali massa m dan jarak berarah dari suatu titik tertentu dinamakan momen
partikel (benda) terhadap titik tersebut. Momen ini mengukur kecenderungan massa yang
menghasilkan suatu putaran pada titik tersebut. Syarat supaya dua massa pada sebuah garis
berimbang adalah jumlah momen-momen terhadap titik itu sama dengan nol.
Keadaan tersebut dapat diperluas untuk sejumlah n benda (partikel). Jumlah momen M
(terhadap titik asal) suatu system yang terdiri atas n massa, yaitu m1, m2, , mn yang berbeda
pada x1, x2, , xn pada sumbu X adalah jumlah momen masing-masing massa, yaitu
M = x1 m1 + x2 m2 + + xn mn = =
n
iii mx
1
Syarat keseimbangan di titik asal adalah M = 0. Tentunya titik asal tedak selalu menjadi titik
seimbang system tersebut, kecuali dalam hal khusus. Akan tetapi pasti terdapat titik seimbang
dalam suatu system tersebut. Misalkan x merupakan koordinat titik seimbang system pada sumbu X, maka momen terhadap titik tersebut harus nol. Jadi berlaku
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 105
0)(...)()( 2211 =+++ nn mxxmxxmxx atau
0...222111 =+++ nnn mxmxmxmxmxmx nnn mxmxmxmxmxmx +++=+++ ...... 212211
sehingga diperoleh
mM
m
mxx n
ii
n
iii
==
=
=
1
1
Titik dengan koordinat x dinamakan pusat massa, titik ini adalah titik seimbang. Perhatikan bahwa x diperoleh sebagai hasil bagi momen system terhadap titik asal dan jumlah massa.
a. Distribusi massa yang kontinu pada suatu garis
Perhatikan sepotong kawat lurus dengan kepadatan massa (massa tiap satuan panjang)
yang berlainan. Kita ingin mengetahui kedudukan titik berat kawat itu. Untuk ini kita letakkan
kawat itu sepanjang system koordinat (dengan batas-batas x = a dan x = b) dan andaikan
kepadatan di x adalah (x). Dengan menggunakan prosedur yang sudah kita lakukan untuk berbagai macam fenomena di depan, dibuat partisi, metode hampiran dan dicari limitnya,
dengan memperhatika bagian sepanjang x , sehingga xxm )( berakibat xxxM )( , diperoleh
=b
a
dxxm )( dan =b
a
dxxxM )(Akhirnya maka diperoleh
== ba
b
a
dxx
dxxx
mMx
)(
)(
Contoh 24
Kepadatan (x) sepotong kawat di sebuah titik yang terletak x cm dari salah satu ujungnya adalah (x) = 3x2 g/cm. Tentukan pusat massa kawat antara x = 0 dan x = 10.
-
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 106
Penyelesaian:
0 10
Dengan memperhatika (x) jelas bahwa kawat dibagian x = 10 lebih berat dari pada di bagian x = 0, sehingga pusat massanya akan lebih dekat ke x = 10. Secara pasti bahwa pusat massanya
adalah
[ ][ ] 5,73
3
100
3
10
04
43
10
0
2
10
0
2
===
x
x
dxx
dxxxx
b. Distribusi massa yang kontinu pada bidang
Perhatika n partikel yang masing-masing memiliki massa m1, m2, , mn yang terletak
pada bidang koordinat berturut-turut di , , , . ),( 11 yx ),( 22 yx ),( nn yx
m1 (x1, y1)
m3 (x3
m4 (x4, y4)
mn (xn, yn)
m2 (x2, y2)
, y3)
Jumlah momen n partikel terhadap sumbu Y adalah
=
=+++= ni
iinnY mxmxmxmxM1
2211 ...
Sedangkan jumlah momen n partikel terhadap sumbu X adalah
=
=+++= ni
iinnX mymymymyM1
2211 ...
Koordinat pusat massa system tersebut adalah ),( yx dengan
-
Integral Tertentu