Dilla Kholilah Suri Kusuma Ratna Dewi Ratih Kumala Sari Yunita Christianti Evi Rahmawati
description
Transcript of Dilla Kholilah Suri Kusuma Ratna Dewi Ratih Kumala Sari Yunita Christianti Evi Rahmawati
Dilla KholilahSuri Kusuma Ratna DewiRatih Kumala SariYunita ChristiantiEvi RahmawatiMargaretta Linanda Dewi
1
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS
( COMPLEX VARIABLE ANALYSIS)
2
BAB IIIT U R U N A N
( 3.2 )
3
3.2 Syarat Chaucy-Ricmann
Syarat yang diperlukan agar fungsi f
terdiferensialkan di zo = xo + i yo adalah
syarat Chaucy - Ricmann, yang
menghubungkan derivatif-derivatif parsial
tingkat pertama dari fungsi bagian real
dan fungsi bagian imajiner dari f.
4
Teorema 3.2.1 (Syarat Chaucy-Ricmann)
Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) terdiferensial di zo=xo + i yo, maka u(x,y) dan
v(x,y) mempunyai derivatif parsial pertama di (xo , yo) dan di titik ini
dipenuhi persamaan Cauchy-Ricmann,
dan derivatif f di zo dapat dinyatakan dengan
f’ (zo) = ux (xo,yo) + i vx (xo,yo)
Jika persamaan C-R tidak terpenuhi di (xo,yo) maka
f(z) = u(x,y) + i v(x,y) pasti tidak terdiferensial di zo= xo + i yo
xv
yudan
yv
xu
5
Contoh 3.2.1
Buktikan f(z) = |z|2 tidak terdifferensiasi di z 0
Bukti : f(z) = x2 + y2 sehinggau(x,y) = x2 + y2
v(x,y) = 0
Persamaan Cauchy – Riemann
y2yudanx2
xu
0yvdan0
xv
)1(0x2yv
xu
6
)2(0y2xv
yudan
(1) dan (2) tidak dipenuhi jika x 0 atau y 0, jadi pasti f tidak terdeferensial di z 0
Catatan :
Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan.
7
Contoh 3.2.2
Buktikan fungsi f(z) = 22
33
yxi)1(yi)1(x
dan f(0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R !
Bukti :u = 22
33
yxyx
dengan u(0,0) = 0
v = 22
33
yxyx
dengan v(0,0) = 0
ux(0,0) = ox
lim x
)0,0u()0u(x, = 1
uy(0,0) = y)0,0u(,y)0u(lim
oy
= -1
8
vx(0,0) = x)0,0v()0v(x,lim
ox
= 1
oylim y
)0,0v(,y)0v( vy(0,0) = = 1
Jadi persamaan Cauchy – Riemann terpenuhi
iy))(xy(xi)1(yi)1(xlim
z)0(f)z(flim 22
33
0z0z
Tetapi
Untuk z 0
oxlim 3
3
xi)1(x
Sepanjang garis real y = 0 = 1 + i
9
oxlim 3
3
xi)1(2xi2
i1iSepanjang garis real y = x =
ozlim z
)0f(f(z)Jadi tidak ada
sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun
persamaan C-R dipenuhi di (0,0)
10
xu
yu
xv
yv
xu
yv
yu
xv
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa :
i. Syarat perlu
f(z) = u(x,y) + iv(x,y), zo = xo + i yo
f’(z) ada maka , , ,
berlaku C-R yaitu :
= dan =
dan f’(z0) = ux(x0,y0) + i vx(x0,y0)
ada di (xo, yo)
11
ii. Syarat cukup
u(x,y), v(x,y), ux(x,y), vx(x,y), uy(x,y), vy(x,y)
kontinu
pada kitar zo = xo + i yo dan di (xo,yo) dipenuhi C-
R
maka f’(zo) ada
12
Contoh 3.2.3
Buktikan f(z) = ex(cos y + i sin y) terdiferensial untuk setiap z dalam
ℂ !
Bukti :
u(x,y) = excos y ux(x,y) = excos y
uy(x,y) = -exsin y
v(x,y) = exsin y vx(x,y) = exsin y
vy(x,y) = excos y
ada dan
kontinu di
setiap (x,y) ℂ
13
Berdasarkan persamaan C-R :
ux = vy dan uy = -vx dipenuhi di (x,y) , dan ada ℂ
kitar
dimana keenam fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di
(x,y).
Jadi f’(z) ada z .ℂ
Dan f’(z) = ux(x,y) + i vx(x,y)
= excos y + i exsin y
14
SEE YOU
………