DIMENSI TIGA(JARAK)

By GISOESILO ABUDI

Kita akan membahas jarak antara

titik ke titik

titik ke garis

titik ke bidang

garis ke garis

garis ke bidang

bidang ke bidang

Jarak titik ke titik

Peragaan ini,menunjukan

jarak titik A ke B,

adalah panjang ruas garis

yang menghubungkan

titik A ke B

A

BJa

rak

dua

titik

Contoh

Diketahui kubus ABCD.EFGH

dengan panjang rusuk a cm.

Tentukan jarak titik A ke C, titik A ke G,

dan jarak titik A ketengah-tengah bidang EFGH

A BCD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

P

Pembahasan

Perhatikan segitiga ABC yang

siku-siku di B, maka AC = = = = Jadi diagonal sisi AC = cm

22 BCAB 22 aa

2a2

2a

2a

A BCD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

Perhatikan segitiga ACG yangsiku-siku di C, maka

AG = = = = =

Jadi diagonal ruang AG = cm

22 CGAC 22 a)2a(

2a3 3a

3a

A BCD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

22 aa2

Jarak AG = ?

Perhatikan segitiga AEP yang

siku-siku di E, maka

AP =

=

=

= =Jadi jarak A ke P = cm

A BCD

HE F

G

a cm

P

22 EPAE

2

212 2aa

2212 aa

223 a 6a2

1

6a21

Jarak AP = ?

Jarak titik ke garis

Peragaan ini,menunjukanjarak titik A kegaris g adalahpanjang ruas garis yang ditarik dari titik A dan tegak lurus garis g

A

g

Jara

k tit

ik d

an g

aris

Contoh

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 5 cm.Jarak titik A kerusuk HG adalah….

A BCD

HE F

G

5 cm

5 cm

Jarak titik A kerusuk HG adalahpanjang ruas garisAH, (AH HG)

A BCD

HE F

G

5 cm

5 cm

AH = (AH diagonal sisi)AH = Jadi jarak A ke HG = 5√2 cm

2a

25

Pembahasan

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 6 cm.Jarak titik B kediagonal AGadalah….

A BCD

HE F

G

6 cm

6 cm

Contoh 2

Jarak B ke AG =jarak B ke P (BPAG)Diagonal sisi BG =6√2 cmDiagonal ruang AG= 6√3 cmLihat segitiga ABG

A BCD

HE F

G

6√2

cm

6 cm

P

6√3

cm

A B

G

P

6√3

6

6√2

?

Pembahasan

Lihat segitiga ABGSin A = = =

BP =

BP = 2√6

AG

BGAB

BP

36

26

6

BP

36

)6)(26(

Jadi jarak B ke AG = 2√6 cm

3

66

3

3x

2A B

G

P

6√3

6

6√2

?

Contoh 3

Diketahui T.ABCDlimas beraturan.Panjang rusuk alas12 cm, dan panjangrusuk tegak 12√2 cm. Jarak A ke TC adalah….12 cm

12√2

cm

T

C

A B

D

Contoh 3

Jarak A ke TC = APAC = diagonal persegi = 12√2AP = = = = Jadi jarak A ke TC = 6√6 cm12 cm

12√2

cm

T

C

A B

D

P

12√2

6√2

6√2

22 PCAC 22 )26()212( 108.2)36 144(2

6636.3.2

Pembahasan

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 6 cm dan

Titik P pada pertengahan FG. Jarak titik A dan garis DP adalah….

A BCD

HE F

G

6 cm6 cm

P

Contoh 4

DP = = =

A BCD

HE F

G

6 cm6 cm

P

Q

6√2

cm

R

P

AD

G F

6 cm

3 cm

22 GPDG 22 3)26(

9972

Pembahasan

Q

6√2

cm

R

P

AD

G F

6 cm

3 cmDP =Luas segitiga ADP½DP.AQ = ½DA.PR 9.AQ = 6.6√2 AQ = 4√2Jadi jarak A ke DP = 4√2 cm

9972

4

Pembahasan

19

Garis tegak lurussebuah bidangjika garis tersebuttegak lurus duabuah garis berpo-tongan yang ter-dapat pada bidang

V

g

a

b

g a, g b,

Jadi g V

Garis tegak lurus Bidang

20

Peragaan inimenunjukan jarakantara titik A kebidang V adalahpanjang ruas garis yang menghubungkantegak lurus titik A ke bidang V

A

V

Jarak titik ke bidang

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 10 cmJarak titik A kebidang BDHF adalah….

Contoh 1

A BCD

HE F

G

10 cm

P

Jarak titik A kebidang BDHF diwakili olehpanjang AP.(APBD)AP = ½ AC (ACBD) = ½.10√2 = 5√2

Jadi jarak A ke BDHF = 5√2 cm

Pembahasan

A BCD

HE F

G

10 cm

P

Diketahui limassegi-4 beraturanT.ABCD.Panjang AB = 8 cmdan TA = 12 cm.Jarak titik T kebidang ABCDadalah….8 cm

T

C

A B

D

12 c

m

Contoh 2

Jarak T ke ABCD = Jarak T ke perpotongan AC dan BD = TP AC diagonal persegiAC = 8√2AP = ½ AC = 4√2

8 cm

T

C

A B

D

12 c

m

P

Pembahasan

AP = ½ AC = 4√2 TP = = = = = 4√7

8 cm

T

C

A B

D

12 c

m

P

2 2 AP AT 2 2 )24( 12

32 144 112

Jadi jarak T ke ABCD = 4√7 cm

Pembahasn

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 9 cm.Jarak titik C kebidang BDGadalah….A B

CD

HE F

G

9 cm

Contoh

Jarak titik C kebidang BDG = CPyaitu ruas garis yang dibuat melaluititik C dan tegaklurus GT

A BCD

HE F

G

9 cm

PT

CP = ⅓CE = ⅓.9√3 = 3√3

Jadi jarak C ke BDG = 3√3 cm

Pembahasan

Peragaan menunjukan jarakantara garis g ke garis h adalahpanjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus keduagaris tersebut

P

Q

g

h

Jarak garis ke garis

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 4 cm.Tentukan jarak:

a.Garis AB ke garis HGb.Garis AD ke garis HFc.Garis BD ke garis EG

A BCD

HE F

G

4 cm

Contoh

Jarak garis:a.AB ke garis HG = AH (AH AB, AH HG) = 4√2 (diagonal sisi)b.AD ke garis HF = DH (DH AD, DH HF = 4 cm

A BCD

HE F

G

4 cm

Pembahasan

Jarak garis:c.BD ke garis EG = PQ (PQ BD, PQ EG = AE = 4 cm A B

CD

HE F

G

4 cmP

Q

Pembahasan

Peragaan menunjukanJarak antara garis g ke bidang V adalahpanjang ruas garis yang menghubungkantegak lurus garisdan bidang

V

g

Jarak garis ke bidang

33

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 8 cmJarak garis AE kebidang BDHF adalah….A B

CD

HE F

G

8 cm

P

Contoh 1

Jarak garis AE kebidang BDHF diwakili olehpanjang AP.(AP AEAP BDHF)AP = ½ AC(ACBDHF) = ½.8√2 = 4√2

Jadi jarak A ke BDHF = 4√2 cm

A BCD

HE F

G

8 cm

P

Pembahasan

35

Peragaan,menunjukan jarakantara bidang Wdengan bidang Vadalah panjang ruas garis yangtegak lurusbidang W dantegak lurus bidang V

V

WW

Jarak Dua B

idang

Jarak Bidang dan Bidang

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 6 cm.Jarak bidang AFHke bidang BDGadalah….A B

CD

HE F

G

6 cm

6 cm

Contoh 1

Jarak bidang AFHke bidang BDGdiwakili oleh PQPQ = ⅓ CE(CE diagonal ruang)PQ = ⅓. 9√3 = 3√3 A B

CD

HE F

G

6 cm

6 cm

P

Q

Jadi jarak AFH ke BDG = 4√2 cm

Pembahasan

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 12 cm.

Titik K, L dan M berturut-turutmerupakan titik tengah BC, CDdan CG. Jarak antara bidangAFH dan KLM adalah….

A BCD

HE F

G

12 cm KL

M

Contoh 2

•Diagonal EC = 12√3•Jarak E ke AFH =jarak AFH ke BDG =jarak BDG ke C

Sehingga jarak E ke AFH = ⅓EC =⅓.12√3 = 4√3Berarti jarak BDG ke C juga 4√3

A BCD

HE F

G

12 cm

L

Pembahasan

BDG ke C juga 4√3Jarak BDG ke KLM = jarak KLM ke C = ½.4√3 = 2√3

A BCD

HE F

G

12 cm KL

M

Jadi jarak AFH ke KLM = jarak AFH ke BDG + jarak BDG ke KLM = 4√3 + 2√3 = 6√3 cm

elementswww.animationfactory.com