Dinamica Sistema Particulas

8/14/2019 Dinamica Sistema Particulas

1/91

DINMICA DE ROTACINDE

UN CUERPO RGIDO

L I C . F A N N Y E S M E R A L D A M O R I E S C O B A R

Curso : Fsica 1


2/91

px= mvx py= mvy pz= mvz

Tiene carcter vectorial, y como m es

un escalar, entonces p V

Cantidad de Movimiento linealde una par tcula

Se define como el producto de la masa

por la velocidad de la partcula.

m Vp [kg m/s]V p


3/91

1ra ley de Newton

Un cuerpo libre de la accin deotros cuerpos se mover con

cantidad de movimiento constante(p = cte) o permanecer en reposo

hasta que algn agente externo le

modifique su estado de

movimiento


4/91

mv vmp

Sistema aislado

0F

ctep

0p


5/91

La segunda ley de Newtonse puedeescribir en funcin del momento lineal:

dt

dpF

dt

d(mv)

dt

dvmF

ext

R

ext

R

Sistema de una par tcula

2da ley de Newton


6/91

extRR FF

Sistema de partculas

sistema

jiF ijF

ext

iFext

jF

iii mr ,v, ii pr,Ni ..1

ji i

ext

iijR FFF,

0

rj

vj

Cuerpo externo

ext

R

int

RR FFF

La sumatoria de las fuerzas internas se hace cero, teniendo en cuenta

que dentro del sistema estn todas las parejas de cuerpos que sienten

los pares de accin y reaccin.


7/91

iext

i

ext

RR FFF

ii

i

extiR

dtdpFF

i

i

ext

R p

dt

dF

sist

dt

dp

2da ley de Newton


8/91

(sist)

dt

dpF

ext

R

)(

Conservacin de la cantidad de

movimiento lineal

0

ctepdt

dp sist(sist)

)(,0

Cuando la resultante de las fuerzas externas que

actan sobre un sistema se anula, entonces se conserva

la cantidad de movimiento lineal del sistema


9/91


10/91

m

vmp

F

t2t1

m

1p2p

F


11/91

En el caso en que est actuando una fuerza

resultante sobre el sistema:

integrando ambos miembros, obtenemos:

Fdt,dp

2

1

t

t12 Fdtppp


12/91

A la cantidad anterior se le conoce como

Impulso Ide la fuerza Fen el intervalo

,t t tf i

I Fdt pt

t

i

f

el impulsoes igual al cambio demomento lineal

Impulso de una fuerza


13/91

Una pelota colisionando con

una pared rgida


14/91

1p

2p

ot

tt


15/91

Mientras la pelota colisiona con la

pared, ella se deforma

rpidamente, lo cual indica que la

fuerza de interaccin pared pelota

crece montonamente con eltiempo, cuando la deformacin de

la pelota es mxima, entonces la

fuerza que acta sobre la pelota

tambin lo es.


16/91

F

tt(s)

AREAFdtI

tt

t

0

A

Comportamiento

de la fuerza

impulsiva con eltiempo


17/91

Es conveniente definir una fuerza

promedio como:

Por lo tanto el impulso tambin se

puede expresar como:

mF

2

1

1 t

tm Fdt

tF

tFpI m


18/91

H=2m

h=1,5m

iv fv

Una pelotita de 100g de masa

se deja caer desde una altura

de 2m y rebota verticalmente

tal como se indica. determine

la fuerza promedio que el pisoejerci sobre la pelotita, si el

tiempo de interaccin pared -

pelota fue de 0,02s


19/91

En el sistema mostrado determinese el

impulso que la pelotita recibe y la fuerza

promedio sobre ella, si el tiempo deinteraccin pared -pelota fue de 0,025s

o37

o37

m= 10kg

V=50m/s

v

v


20/91


21/91

0

dt

dpF

sistext

R

En los choques la cantidad de movimiento

lineal del sistemasiempre se conserva,

pues las fuerzas externas, de existir, sedesprecian frente a las internas, las cuales

son muy intensas mientras actan.

0

Conservacin de la cantidad de

movimiento lineal


22/91

Conservacin del momento para un

sistema de dos partculas

m1

m2

p1=m1v1

p2=m2v2

F12

F21

Como

2112 FyFCorresponden al par accinreaccin se cumple :

02112 FF


23/91

Se conserva la cantidad de movimiento

p del sistema p = 0

Se conserva la energa cintica K del

sistema K = 0

Clasificacin de los choques

inelsticoelstico

inelstico plstico

K 0 K mxima

Se conserva la cantidad de movimiento

p del sistema

NO se conserva la energa cintica K del

sistema K no es cero


24/91

p pi f

fi KK p pi f

fi KK

Tipos de colisin

Elstica:

Inelsticas


25/91

colisin perfectamente inelstica

m1

m2

m1+ m2

Choque plstico


26/91

Choque plstico

por conservacin del momento:'' 22112211 vmvmvmvm

podemos suprimir el vector unitario i ')( 212211 vmmvmvm ......(1)

21

2211'mm

vmvmv


27/91

por conservacin del momento:'' 22112211 vmvmvmvm

podemos suprimir el vector unitarioi '' 22112211 vmvmvmvm ......(1)

Por conservacin de la energa cintica(2)

2

22

2

11

2

22

2

11 '

2

1'

2

1

2

1

2

1vmvmvmvm

Choque elstico


28/91

'' 1221 vvvv ........(3)esta igualdad independiente de las masas nosindica que:

La velocidad relativa de acercamiento esigual y opuesta a la velocidad relativa de

alejamiento

Combinando las ecuaciones (1) y (3)

obtenemos las velocidades finales de lasmasas m1y m2inmediatamente despus de lacolisin, en funcin de las velocidades

iniciales y las masas:


29/91

2

21

1

1

21

21'

1

2

vmm

m

vmm

mm

v

2

21

121

21

2'

2

2vmm

mmvmm

mv

Analicemos estas ecuaciones :


30/91

Analicemos estas ecuaciones :

1) si m1= m2, las ecuaciones se reducen a:21

' vv 12

' vv

1v 2v21 ' vv

12 ' vv

Antes DespusSus momentos lineales se intercambian


31/91

si m2>>>m1tenemos :

212 mmm y0

2

1 m

m

sus velocidades finales sern:

211 2' vvv

y 22 ' vv

es decir el cuerpo de mayor masa no cambia su

cantidad de movimiento

Si i


32/91

1v2v 11 ' vv

0'2 v

Antes Despus

m1rebota elsticamente

Si asumimos que m2esta en reposo

0'y'0 2112 vvvv


33/91

P bl


34/91

Problema

Un bloque de masa m1=1.6kg, moviendose

hacia la derecha con una velocidad de 4m/ssobre un camino horizontal sin friccin, choca

contra un resorte sujeto a un segundo bloque

de masa m2=2,1kg que se mueve hacia laizquierda con una velocidad de 2,5m/s. (k=de

600N/m). En el instante en que m1 se mueve

hacia la derecha con una velocidad de 3m/s

determine: a) la velocidad de m2b) la distancia

x que se comprimi el resorte


35/91

m1 m2k

smv /41 smv /5,22

m1 m2

smv /3'1 '2v


36/91

Por conservacin del momento lineal

'' 22112211 vmvmvmvm

')1,2()3)(6,1()5,2)(1,2()4)(6,1( 2v

Obtenemos: ismv )/74,1('2 Por conservacin de la energa:

22

22

2

11

2

22

2

11 2

1

'2

1

'2

1

2

1

2

1

kxvmvmvmvm

X = 0,173m

U h f t l l ti


37/91

v1f

qf

v1f

v1fcosqv1f senq

v2fcos f-v2f sen f

Un choque no frontal elstico

entre dos partculas

Antes

Despus


38/91

Ejemplo. En un juego de billar se

quiere introducir la bola roja en labuchaca despus de golpearla con la

blanca. Si la buchaca est a 35o a qu

ngulo se desva la bola blanca?


39/91

v1i

v1f

v2f

x

y

35o

q


40/91

Ejercicio:

Un ncleo U en reposo se divide en dos fragmentos con masas de

140 y 90 u.m.a.. La Q de la reaccin es de 190 MeV. (un mega M es

106 veces). Datos: 1 u.m.a. = 1.66 10-27kg, 1eV = 1.6 10-19J.Hallar las velocidades de cada uno de los dos fragmentos.


41/91

Ejercicio:

Tres partculas A, B y C de masas mA = mB = m y mC = 2m,

respectivamente se estn moviendo con velocidades cuyo sentido seindica en la figura y de valor vA = vB = v y vC = 2v.

Se dirigen hacia el origen del sistema de coordenadas al que llegan

en el mismo instante. Al colisionar A y B quedan adheridas y salenen la direccin indicada con velocidad v/2.

Determinar:

La velocidad y direccin sale la partcula C.

Es un choque elstico?. Razona la respuesta


42/91


43/91

44

4.1Definicin y clasificacin de los sistemas de partculas.

Qu es un sistema de partculas?

Modelo ms complejo que el de la partcula. Considera los objetos como

agregados de partculas que interaccionan.

Se usa cuando el modelo de partcula no es adecuado y considera lasdimensiones del objetoen estudio.

Clasificacin de los sistemas de partculas.

Discretos n finito de partculas Continuos distribucin continua de materia

Deformables Rgidos

Cambia distancia No cambia

Deformables Rgidos

Cambia forma No cambia

1m

2m

3m

4m

nm

1r

2r

X

Y

Z

O

X

Y

Z

O

dm

r


44/91

45

4.2Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de

partculas.

Centro de masa (CM)

Para un sistema de partculas discretoel CMes un punto

cuya posicin, velocidad y aceleracin vienen dadas por

Mam

dtvdm

Mdtvda

M

vm

dt

rdm

Mdt

rdv

M

rm

m

rm

mm

rmrmr

i iiii i

CMCM

i iiii i

CMCM

i ii

i i

i iiCM

1

1

21

2211

Se puede colocar un sistema de referencia en el CM

llamado sistema C(SC), distinto del sistema inercial

donde se encuentra el observador que se llama

sistema laboratorio o sistema L(SL).

1m

2m

3m

4m

nm1r

2r

X

Y

Z

O

CM

CMr

LXLY

LZ

O

S

L

CX

CY

CZ

SC

CM4m1

m

2m

3m

nm


45/91

46

Para un sistema de partculas continuola posicin, velocidad y aceleracin del CM

vienen dadas por

dmaM

a

dmvM

v

dmrM

r

CM

CM

CM

1

1

1

Centro de masa de algunos sistemas de partculas

continuos


partculas.


46/91

47

Momento lineal de un sistema de partculas

Para un sistema de partculas discretose define el momento lineal del sistema como

i iivmvmvmppp

221121

ComoM

vmv i

iiCM

M

p

M

vm

v i ii

CM

CMvMp

Para un sistema de referenciacolocado en el CMdel sistema de partculas (sistema

C) el CM est en reposo(su velocidad es nula). Por tanto en relacin con el sistema

Cel momento lineal del sistema es nulo.

0 i ipp

Para sistema

C

Sistema

C

Sistema de referencia de momento

nulo


partculas.

C


47/91

48

Fuerzas internas y fuerzas externas

1m

2m

S

S

Sistema S

21 ,FF

Fuerzas externas

2112, ff

Fuerzas internas

Fuerza externa resultante que acta sobre el

sistema S

i iext FFFF

21

Para el sistema Sse puede demostrar que

dt

pdFext

Como CMvMp

CM

CMext aM

dt

vdMF

Si el sistema Sse encuentra aislado

0

dt

pdFext ctevCM

El CM de un sistema de

partculas se mueve como si

fuera una partcula de masa

igual a la masa total del

sistema y estuviera sujeto a la

fuerza externa resultante.

El CM de un sistema de partculas aislados se

mueve con velocidad constante en relacin con

cualquier sistema de referencia inercial.

2F

12f 21f

1F


partculas.

4 2 C t d M i i t d l t d d i t d


48/91

49

Trayectoria del CM de sistemas de partculas sometido

a fuerzas externas

Trayectoria del CM de un sistema

de partculas aislado


partculas.


49/91

50

4.3Momento angular de un sistema de partculas.

Para un sistema de dos partculas el momento angular del sistemarespecto de un

puntoOse define como

i OOOO iLvmrvmrLLL

22211121

Y el momento de las fuerzas externasrespecto de un puntoOse define como

i

extO

extO

extO

extO i

MFrFrMMM 221121

LX LY

LZ

O

1F

2F

21r

Para el sistema de partculas se puede demostrar

que

dt

LdM O

extO

Si no hay fuerzas externas, o la suma de sus

momentosrespecto al punto Oes nula,entonces

0

dt

LdM O

extO

cteLO

12f 21f

1r

2r

1m

2m

4 4 M l i bi l


50/91

51

4.4Momento angular interno y orbital.

Se define el momento angular internode un sistema de partculas como el momento

angular total calculado con respecto al CMo sistema C

i CMCMCMCMinti

LLLLL

21

orbL

CMr

LX LY

LZ

O

Para el sistema de partculas se puededemostrar que

orbintO LLL

Tambin se puede demostrar que

dt

LdM int

extCM

Se define el momento angular orbitalde un sistema de partculas como el momento

angular del CMcalculado con respecto a Oo sistema L

CMCMorb vMrL

intL

CX

CY

CZ

CM

4 4 M t l i t bit l


51/91

52

Momentos angulares interno y orbital de algunos sistemas de partculas

Una pelota La Tierra Un electrn en un tomo

4.4Momento angular interno y orbital.


52/91

Animacin

4 5 Ci ti d l lid id


53/91

54

4.5Cinemtica del slido rgido.

Un slido rgido puede presentar los siguientes movimientos

Movimiento de traslacin

Movimiento de rotacin (alrededor de un eje)CM

CMCM

1v

CMv

2v

1v

CMv

2v

1v

2v

Todas las partculas describen trayectorias

paralelas.

En un instante dado todos los puntos del

slido poseen la misma velocidad y

aceleracin.

CMvvv

21

Todas las partculas describen trayectorias circulares

alrededor de una lnea llamada eje de rotacin.

En un instante dado todos los puntos del slido

poseen la misma velocidad y aceleracin angular.

22

11

rv

rvrv

CMCM

CM

CM CM

2v

CMv

1v

1v

CMv

2v 2v

CMv

1v

4 5 Ci ti d l lid id


54/91

55

Movimiento general RotacinEste movimiento siempre puede

considerarse como una combinacin de una

traslaciny una rotacin.

CM

CM

Traslacin

4.5Cinemtica del slido rgido.

4 6 Mo imiento de traslacin de n slido rgido


55/91

56

4.6Movimiento de traslacin de un slido rgido.

Como todas las partculas del slido se mueven con la misma velocidad y

aceleracin, el estudio del movimiento de traslacin del slidose puede llevar a cabo

analizando el movimiento de su CM.

El movimiento del CM viene dado por

Por tanto, tomando el CM y usando los mtodos explicados en el tema anterior para

la dinmica de la partcula, se puede analizar el movimiento de traslacin del slido

rgido.

Ecuacin del movimiento para la traslacin de un slido rgido.

CMCM

ext aMdt

vdMF

Traslacin

CMv

CM

4 7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido


56/91

57

4.7Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido.

Momento angular y momento de inercia.

Considrese una placa delgada slidaque rota alrededor de un eje de rotacin fijo.

iv

Ai

El momento angulardel elementoAide la placa respecto Oes

2iiiiiOi RmvmrL

El momento angular de toda la placa respecto al punto Oes

i

iii

OiOOOO RmLLLLL

2321

Como la velocidad angulares la

misma para todos los puntos del slido

iiiO RmL

2

Definiendo el momento de inercia para el eje ZZ que pasa por Ocomo

i

iiRmRmRmRmI 22

33222

211

se tiene

ILOEcuacin vectorial. El momento

angular tiene la misma direccin

que la velocidad angular para un

slido plano.

Z

Z

OiL

R

iO

oL



57/91

58

Considrese ahora un slido rgido de forma arbitrariarotando alrededor de un eje fijo.

El momento angulardel puntoAidel slido respecto a Oes

iiiOi vmrL

El momento angulartotaldel slido respecto al punto Oes

i

OiO LL

Sin embargo para cada cuerpo independientemente de su forma se verifica que

existen al menos tres direcciones mutuamente perpendiculares para las que el

momento angular es paralelo al eje de rotacin.

Estos son los tres ejes principales de inercia (XO, YO, ZO) y sus correspondientes

momentos de inercia se conocen como momentos principales de inercia(I1, I2, I3). Si

el eje de giro coincide con una de estas direcciones se cumple

Ecuacin escalar. Vlida independientemente

de la forma del cuerpo.Z

Z

R

i iv

Ai

El momento angulardel punto tiene unadireccin distintaa la velocidad angular.Es

perpendicular a y .ir

iv

El momento angular totaldel slido puede

tener una direccin distintaa la de

No obstante se cumple siempre que la componente del momentoangular a lo largo del eje de rotacinZ es

ILOz

ILOVlida cuando el slidogira alrededor de un

eje principal de inercia.


oiL

ir

O



58/91

59

Cuando el cuerpo posee algn tipo de simetra, los ejes principales coinciden con los

ejes de simetra.

XO

YO

ZO

XO

YO

ZO

XO

YO

ZO

Dos teoremas importantes relacionados con el clculo del momento de inercia son:

Teorema de Steiner

X

Z

OY

Z

X CM

Y

xCM

yCM

d

dX

Z

O Y

Teorema de los ejes paralelos

2MdIICMe YXZ III




59/91

60

Cilindro

R

L

RL

2

2

1MRIo

22312

1LRMIo

ab

c 2212

1baMIo

Paraleleppedo

ab

ab

22121 baMIo

2

12

1MbIo

Placa rectangular

Varilla delgada

L2

12

1MLIo

Disco

R

R

2

2

1MRIo

2

4

1MRIo

R

Esfera

2

5

2MRIo

R 2MRIo

Anillo

Hemos visto que el momento de inerciapara un sistema de partculas discretose

define i

iiRmI 2

Para un objeto continuoel sumatorio anterior se reemplaza por una integral

dmRI 2



60/91

Ejercicio

Una pieza de un acoplamiento mecnico (figura 9.21) tiene una masade 3.6 kg. Medimos su momento de inercia alrededor de un eje que

pasa a 0.15 m de su centro de masa y obtenemosIP 5 0.132 kg ? m2.

Calcule el momento de inerciaIcm alrededor de un eje paralelo que

pasa por el centro de masa.


61/91

Calculo del momento de inercia

La figura muestra una varilla uniforme con masaM

y longitudL

.Podra ser el bastn (sin las tapas de hule) de una bastonera que

marcha

al frente a una banda de msicos. Calcule su momento de inercia

alrededor de un eje que pasa por O, a una distancia arbitraria h de un

extremo.


62/91

Calculo del momento de inercia

La figura muestra un cilindro

hueco uniforme de longitud L,

radio interior R1 y radio

exterior R2. Podra ser un

cilindro de una imprenta o una

laminadora. Calcule elmomento de inercia alrededor

del eje de simetra

del cilindro.


63/91

Ejercicio

Un ingeniero est diseando unapieza mecnica formada por tresconectores circulares gruesosunidos por puntales ligerosmoldeados (figura). a) Qumomento de inercia tiene estecuerpo alrededor de un eje quepasa por el centro del disco A y esperpendicular al plano deldiagrama? b) Qu momento deinercia tiene alrededor de un ejeque pasa por el centro de los discosB

yC

?c) Si el cuerpo gira sobre eleje que pasa por A y es

perpendicular al plano deldiagrama, con rapidez angular w =4.0 rad/s, qu energa cinticatiene?



64/91

65

El momento de las fuerzas exteriorespara un slido rgido que gira alrededor de un ejeprincipal de inerciaque pasa por Ose expresa

Ecuacin del movimiento para la rotacin de un slido rgido que gira en torno a un eje

fijo (que es principal de inercia).

dt

LdM O

extO

Como es principal

ILO

dt

dI

dt

IdM

extO

IMextO

Rotacin en

torno a un eje

Z

Z

O

oM

4.7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido.

4 8 Movimiento de traslacin y rotacin combinados Movimiento de


65/91

66

4.8 Movimiento de traslacin y rotacin combinados. Movimiento de

rodadura. Ecuaciones del movimiento de traslacin y rotacin combinados de un slido rgido.

Para un slido rgido que se trasladay que gira alrededor de un eje que pasa por su

CM, las ecuaciones del movimiento son

CMext aMF

IMextCM

Tipos de movimientos de un slido rgido de forma cilndrica que se mueve sobre una

superficie plana

El cilindro desliza

Todos los puntos del slido tienen la

misma velocidadpara cualquier instante

de tiempo.

El cilindro tiene un movimiento detraslacin.

El mismo punto del slidopermanece en

todo momento en contacto con la

superficie.

Traslacin

Rotacin en

torno a un eje

CMv

CMv

SCM

CM CM

P P

4 8 Movimiento de traslacin y rotacin combinados Movimiento de


66/91

67

El cilindro rueda sin deslizar. Movimiento de rodadura.

Un punto distinto del slidoen cada instantepermanece en contacto con la superficie

verificndose.

CM

P

Pj

R

SCM

RsCM j RvCM RaCM

El cilindro tiene un movimiento de traslacin yrotacin combinados.

R

R

R

CM

R

RTraslacin Rotacin

+ R

R2

0pv

La velocidad del punto de contactocon la superficie es nula.

Si existe fuerza de rozamientosta es esttica.

CM

CM CM


rodadura.



67/91

68

El cilindro rueda y desliza.

Al rodar y deslizar en este caso se tiene que

RsCM j RvCM RaCM

El cilindro tiene un movimiento de traslacin y rotacin combinados, pero la

velocidad del punto de contacto no es nula.

Si existe fuerza de rozamientosta es dinmica.


rodadura.

4.9 Movimiento giroscpico.


68/91

69

4.9 Movimiento giroscpico.

Un giroscopio (o girscopo) es un dispositivo en el que el eje de rotacin puede

cambiar libremente de direccin. Un ejemplo se ilustra en la siguiente figura.

Si la rueda gira libremente alrededor del eje de simetra

ABde forma que respecto a O el momento de fuerzas

es nulo, entonces,

0dt

LdM O

extO

cteLO

Si se mueve el giroscopio alrededor de una habitacin

el eje de simetra AB apuntar siempre en la mismadireccin.

Si el eje del giroscopio se coloca de modo queABsea

horizontal y apunte en la direccin este-oeste, debido a

la rotacin terrestre el eje se inclinar y despus de seis

horas est en posicin vertical.

N

Esta caracterstica de los giroscopiosa mantener su eje

de rotacin fijo, hace que tenga una gran aplicacin

como sistema de nivelacin y estabilizador(en aviones,

barcos y sondas espaciales).

4.9Movimiento giroscpico.


69/91

70

Si el giroscopio ahora se encuentra apoyado en un extremo O entonces el momento

de las fuerzas respecto Ono es nulo y se tiene

0dtLdM OextO

dtMLd OO

Si en primer lugar el eje se mantiene horizontal con la rueda desprovista de giroy se

deja en libertad, entonces la rueda caergirando alrededor de un eje horizontal que

pasa porO. Este giro se debe a que el momento de las fuerzas

externasrespecto a O no es nulo(debido al peso de la

rueda), actuando en la direccin horizontal y.

Inicialmente el momento angular es nulo al no haber

rotacin.

Despus de un cierto intervalo de tiempo se produce

un cambio en ste que viene dado por

dtMLd OO

x

y

OLd fO

L

OM

0iO

L

x

yz

OM

9 o e o g oscp co



70/91

71

Si en segundo lugar el eje se mantiene horizontal con la rueda provista de giroy se

deja en libertad, entonces la rueda no caersino que el eje de rotacin de la rueda se

desplazar en el plano horizontalen la direccin del eje y, describiendo un movimiento

circular. A este movimiento se le denomina precesin. En este caso el momento angular inicial no es

nulo, y tiene un valor igual a

x

y

OLd

iOL

fOL

x

yz

OM

OL

OLd

La variacin del momento angular (en la direccin

del momento de fuerzas) ser en la direccin

perpendicular a la del momento angular. Esto da lugar a que el momento angular cambie

en direccin y no en mdulo describiendo un

movimiento circular.

ILO

g p



71/91

72

La velocidad angular de precesinse puede calcular teniendo en cuenta que el

cambio del momento angular en un tiempo infinitesimal es

MgDdtdtMdL OO El ngulo barridopor el eje en su movimiento es

OO

O

L

MgDdt

L

dLd f

Y la velocidad angular de precesines por tanto

f

I

MgD

L

MgD

dt

d

O

OL

OL

OLd

Adems del movimiento de precesin, el eje de la rueda realiza una pequea oscilacin

hacia arriba y hacia abajo. Este movimiento se llama de nutacin.

g p



72/91

73

Otro ejemplo de movimiento giroscpico lo realiza un trompoo peonza.

La Tierra tambin realiza un movimiento de precesin y nutacin (precesin de losequinoccios).

El plano del Ecuador forma un ngulo de 2327con el

plano de la rbita terrestre alrededor del Sol (eclptica).

La interseccin de ambos se llama lnea de

equinoccios. Debido a esta inclinacin y a que la Tierra no es una

esfera (elipsoide), hay un momento de fuerzas (debidoal Sol y la Luna), en la direccin perpendicular al eje de

rotacin de la Tierra (que pasa por los Polos), que hace

que ste tenga un movimiento de precesiny nutacin.

Precesin: 27725 aos Nutacin: 19 aos

g p

4.10Condiciones de equilibrio.


73/91

74

q

Para el equilibrio de un slido rgidoes necesario considerar el equilibrio con respecto

tanto a la traslacin como a la rotacin. Las condiciones han de ser:

0

i iext FF Equilibrio de traslacin

0

i

extO

extO i

MM Equilibrio de rotacin

Esta situacin implica que

ctevF CMext

0

cteMextO

0

Por tanto, para que un slido rgido en equilibrio est quieto, es necesario que en el

instante inicial se encuentre en reposo.

4.11Energa cintica de un sistema de partculas.


74/91

75

g p

La energa cintica de un sistema de partculas (respecto un SRI o sistema L) se

define 2332

12222

12112

12

21 vmvmvmvmEc

i

ii

Teniendo en cuenta que el trabajo total lo podemos separar en el trabajo de las

fuerzas externasy las internas, es posible expresar el trabajo total como

intWWW ext

Con lo cual el teorema del trabajo y la energa cintica para un sistema de partculas

se expresa como

EcWWext int

Se define la energa cintica internacomo la energa cintica referida a un sistema de

referencia situado en el CMo sistema C.

La relacin entre la energa cintica referida a un sistema Cy un sistema Lviene dada

por:2

21

CMintorbint MvEcEcEcEc

Un trmino para cada partcula

Teorema de Koening

4.12Energa propia, energa interna y energa total de un sistema de


75/91

76

partculas. Si las fuerzas internas que actan en un sistema de partculas son conservativas

entonces hay definida unaenerga potencial internay

intint EpW EcEpW intext intintext EpEcEpEcW

Definiendo la energa propiacomo

intEpEcU UWext

Hay definido un trmino de energa potencial internapara cada par de partculas

Un trmino para cada par de partculas 231312 EpEpEpEpEpij

ijint

Si el sistema de partculas se encuentra aislado o el trabajo de las fuerzas externas es

nulo0U

Se define la energa internacomo

intintint EpEcU

cteEpEcU int

La energa potencial internadepende de la posicin relativa de las partculasy cambia

segn vara la posicin relativa de las partculas durante el movimiento. Si las fuerzas

son centrales la energa potencial interna slo depende de la distancia que separaacada par de partculas.

4.12Energa propia, energa interna y energa total de un sistema de


76/91

77

Si las fuerzas externasque actan sobre el sistema son conservativasentonces hay

definida una energa potencial externay

extext EpW

Si las fuerzas internas son conservativas

UEpext 0 extintext EpEpEcEpU cteEpEpEc extint

Definiendo la energa totalcomo

extint EpEpEcE Si todas las fuerzas

son conservativas

cteE

Hay definido un trmino de energa potencial externapara cada partcula del sistema

Un trmino para cada partcula 321 extextexti

extext EpEpEpEpEp i

partculas.

4.13Energa cintica de un slido rgido.


77/91

78

Z

Z

O

Ri ii

Rv

ir

Ai

Sea un slido rgidoque gira alrededor de un eje fijo.

Como las partculas del slido describen un movimiento circular alrededor del eje, su

energa cintica ser

22

2122

212

21

iii

iii

iii RmRmvmEc

Como i

iiRmI 2

2

21 IEc

Sea un slido rgidoque tiene un movimiento de traslacin.

Como todas las partculas del slido se mueven con idntica velocidad, que ser igual

a la de su CM y su energa cintica ser

2

212

212

21

CMi

ii

CMii

ii vmvmvmEc

22

1CMMvEc

Traslacin

Rotacin en

torno a un eje

CMv

CM

4.13Energa cintica de un slido rgido.


78/91

79

Sea un slido rgidoque gira alrededor de un eje que pasa por su CMy al

mismo tiempo tiene un movimiento de traslacinrespecto a un observador

inercial.

La energa cintica respecto a un observador inercial es

CM

O

2

21

CMintorbint MvEcEcEcEc

Y como el nico movimiento de las partculas respecto a un eje que

pasa por el CM es de rotacin, la energa cintica interna ser de

rotacin y por tanto

2

212

21 IMvEc CM

4.14Energa total de un slido rgido.


79/91

80

Para un slido rgidoya que es indeformable y la distancia relativa entre las partculas

que lo constituyen no vara con el tiempo, se tiene que su energa potencial interna es

constantey por tanto,

0 intint EpW De este modo, la energa totalpara un slido rgidose reduce a

extEpEcE

Y si tiene un movimiento de

traslacin y rotacin combinados.

extCM EpIMvE 2

212

21

Para un slido rgido que rueda sin deslizar sobre una superficie, ya que si existe

fuerza de rozamiento sta es esttica, se tiene que,

0estrFW

Para un slido rgidoque rueda y deslizasobre una superficie, ya que si existe fuerza

de rozamiento sta es dinmica, se tiene que,

0dinrFW



80/91

81

partculas. Para un sistema de partculas continuola posicin, velocidad y aceleracin del CM

vienen dadas por

dmaM

a

dmv

M

v

dmrM

r

CM

CM

CM

1

1

1

Centro de masa de algunos sistemas de partculas

continuos

Ejemplo Se tienen 3 masas iguales en los


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Ejemplo. Se tienen 3 masas iguales en los

vrtices de un tringulo rectngulo. Calcular

el vector C.M.

d

h

a

y

x


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Ejemplo.

a

b

c

y

x

dx

x

dm

Ejercicio


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Ejercicio

Una esfera homognea de masa m yradio R rueda sin deslizar por un planoinclinado con un ngulo .

Datos: = 30o; m= 0.5 kg;R= 15 cm;L=2.5 m; ICM= (2/5)mR

2.

a. Dibujar las fuerzas que actan sobre laesfera y expresar las ecuaciones de ladinmica de rotacin y de traslacin.

b. Calcular la aceleracin del centro demasas, la aceleracin angular conrespecto al centro de masas y la fuerza

de rozamiento.c. Si inicialmente se encontraba en

reposo, calcular la velocidad del CM yla velocidad angular de rotacincuando ha rodado por el plano unalongitudL.


84/91


85/91


86/91

Un listn homogneo de longitud L = 2 m y masa m = 1 kg est clavado en la pared

por su punto medio (O), de forma que puede girar libremente en torno a ese punto.

Sobre l se aplican las fuerzas F1 = F2 = 4 N y F3 = 6 N, segn la figura.

Dato: Icm = (1/12) m L2

a. Determinar el valor de d para que el listn est en equilibrio esttico, as como

el valor de la normal en el punto O.

b. Si se duplica el mdulo de F3 y d = 0.75 m, determinar la aceleracin angulardel listn en funcin del ngulo que barre, suponiendo que las fuerzas son

siempre verticales.


87/91

Ejercicio


88/91

Ejercicio

Sobre un plano horizontal est

situado un cuerpo de 50 kg que estunido mediante una cuerda, quepasa a travs de una polea de 15 kg aotro cuerpo de 200 kg. Sabiendo queel coeficiente de rozamiento entre el

cuerpo de 50 kg y el plano horizontalvale 0.1, calcular.

La aceleracin de los cuerpos

Las tensiones de la cuerda

La velocidad de los cuerpos

sabiendo que el de 200 kg hadescendido 2 m partiendo delreposo.(emplear dos procedimientosde clculo para este apartado)

Ejercicio


89/91

Ejercicio90

Un disco de 0.6 m de radio y 100 kg de masa, gira inicialmente

con una velocidad de 175 rad/s. Se aplican los frenos que ejercenun momento deM= -2tNm. Determinar:

la aceleracin angular en funcin del tiempo

la velocidad angular en funcin del tiempo

el ngulo girado en funcin del tiempo.

El momento angular inicial y en el instante t=18 s.

Representar el momentoMen funcin del tiempo. Comprobar

que el impulso angular

0 (rea) es igual a la variacin de

momento angular.

La velocidad, aceleracin tangencial y normal de un punto dela periferia del disco en dicho instante. Representar estasmagnitudes.

60cm.

w

Ejercicio


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Ejercicio

Una esfera hueca de masaM=6 kg y

radioR=8 cm puede rotar alrededor de uneje vertical.

Una cuerda sin masa est enrolladaalrededor del plano ecuatorial de la esfera,pasa por una polea de momento de

inerciaI=310-3kgm2y radio r=5 cm y estatada al final a un bloque de masa m=0.6kg. No hay friccin en el eje de la polea y lacuerda no resbala.

Cul es la velocidad del bloque cuando ha

descendido 80 cm?Resolverlo dinmica y por balanceenergtico. I (esfera hueca)=2/3 MR2

Ejercicio


91/91

Ejercicio

Un disco de 0.2 kg y de 10 cm de radio se hace

girar mediante una cuerda que pasa a travs deuna polea de 0.5 kg y de 7 cm de radio. De lacuerda cuelga un bloque de 3 kg, tal como semuestra en la figura. El disco gira alrededor deun eje vertical en cuyo extremo hay una varilla

de 0.75 kg masa y de 20 cm de longitudperpendicular al eje y en cuyos extremos se hanfijado dos esferas iguales de 2 kg de masa y 5cm de radio. Se suelta el bloque y el dispositivocomienza a girar. Calcular:

El momento de inercia del dispositivo. La aceleracin del bloque.

La velocidad del bloque cuando hadescendido 2 m partiendo del reposo

Dinamica Sistema Particulas

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