1

1

DISTRIBUSI PROBABILITAS MARGINAL & BERSYARAT

TI2131 TEORI PROBABILITASMINGGU KE-6

2

Joint Distribution Function

Distribusi peluang gabungan dari dua variabel random X dan Y merupakan distribusi peluang kejadian simultan keduanya, atau

f(x,y) = P(X=x,Y=y)

2

3

Definisi Joint Distribution Function Diskrit

Fungsi f(x,y) adalah sebuah joint probability distribution dari variabel random diskrit X dan Y jika:

1. f(x,y) > 0 untuk semua (x,y)

2.

3. P(X=x, Y=y) = f(x, y) untuk setiap daerah pada

bidang xy, P[(X,Y) ∈ A] =

∑∑ =x y

yxf 1),(

∑ ∑Ayxf ),(

4

Contoh Joint Distribution Function Diskrit

Sebuah kelompok terdiri atas 3 pria dan 2 wanita. Dari kelompok ini akan diundi dua orang yang akan mewakili kelompok tersebut untuk tampil ke panggung. Jika X merupakan variabel random yang menunjukkan jumlah pria yang tampil dan Ymerupakan variabel random yang menunjukkan jumlah wanita yang tampil, tentukan fungsi probabilitas gabungan f(x,y)!

3

5

Definisi Joint Distribution Function Kontinyu

Fungsi f(x,y) adalah sebuah joint density functiondari variabel random kontinu X dan Y jika:1. f(x,y) > 0 untuk semua (x,y)

2.

3. P[(X,Y)∈A] =

untuk setiap daerah A yang diberikan pada bidang xy

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= 1 ),( dydxyxf

∫∫A

dydxyxf ),(

6

Contoh Joint Distribution Function Kontinyu

Sebuah restoran memiliki fasilitas walk-in dan drive-in. Pada suatu hari pengamatan yang dipilih secara random, tetapkan X dan Y masing-masing sebagai proporsi waktu penggunaan dari fasilitas walk-in dan drive-in. Diperkirakan joint density function dari kedua variabel random ini adalah:

a. periksalah apakah f(x,y) merupakan sebuah joint density function!b.berapa probabilitas walk-in sibuk lebih dari setengah hari sedangkan drive in hanya sibuk kurang dari setengah hari?

lainnya ,0

10,10 ),32(52

),(⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤≤≤+= yxyxyxf

4

7

Distribusi Marginal

Distribusi marjinal dari X saja dan dari Y saja adalah:

g(x) = dan h(y) =

untuk kasus diskrit, dan

g(x) = dan h(y) =

untuk kasus kontinu.

∑y

yxf ),( ∑x

yxf ),(

∫∞

∞−

dyyxf ),( ∫∞

∞−

dxyxf ),(

8

Contoh Distribusi Marginal

Tentukan distribusi marjinal dari X dan Y pada contoh pada slide no 12 di atas!

5

9

Distribusi Kondisional

Diberikan X dan Y sebagai dua variabel random, baik diskrit maupun kontinu. Distribusi kondisional dari variabel random Y, diberikan X = x, adalah:

f(y|x) = g(x) > 0.

Analog, distribusi kondisional dari variabel random X, diberikan Y = y adalah:

f(x|y) = h(y) > 0.

,)(),(

xgyxf

,)(),(

yhyxf

10

Contoh Distribusi Kondisional

Joint density function untuk variabel random (X,Y), di mana X merupakan proporsi tiket bisnis yang terjual (dari tiket bisnis yang tersedia) dan Y proporsi tiket ekonomi yang terjual (dari tiket ekonomi yang tersedia), adalah

f(x,y) =

Berapa probabilitas proporsi tiket ekonomi yang terjual lebih dari setengah tiket ekonomi yang tersedia, manakala tiket bisnis yang terjual kurang 25%?

lainnya untuk10

,0

,10 2 <<<

⎩⎨⎧ yxxy

6

11

Statistical Independence

Diberikan dua variabel random X dan Y, diskrit ataupun kontinu, dengan joint distribution function, f(x,y) dan distribusi marginal g(x) dan h(y), berturut-turut. Variabel random X dan Y dikatakan independen secara statistika, jika dan hanya jika:

f(x,y) = g(x)h(y)

untuk semua (x,y) dalam rentang yang ada.

12

Statistical Independence(generalized)

Diberikan X1,X2, … , Xn adalah n variabel random, diskrit atau kontinu, dengan joint probability distribution f(x1,x2,…,xn) dan distribusi marginal-nya berturut-turut f1(x1), f2(x2), …, f(xn). Variabel-variabel random X1,X2, … , Xn dikatakan saling bebas secara statistika jika dan hanya jika:

f(x1,x2,…,xn) = f1(x1) f2(x2) … f(xn)

7

13

Contoh Statistical Independence

Diberikan waktu kedatangan antar order pada sebuah usaha job shop adalah sebagai berikut:

f(x) =

Jika X2, X3, dan X4 berturut-turut menunjukkan jarak waktu order (dalam hari) dari tiga pelanggan yang berbeda dan tidak berhubungan dengan pelanggan sebelumnya (X2 berarti selisih waktu order masuk dari pelanggan kedua terhadap pelanggan pertama, dan seterusnya), tentukan probabilitas bahwa jarak waktu dari masing-masing order kurang dari 2 hari!

lainnya untuk 0

,0, >

⎩⎨⎧ − xe x