Statistika Non Parametrik Bab 2 : Uji Statistik Sampel Tunggal

halaman 8

Bab 2

Uji Statistik Sampel Tunggal

2. Uji Peringkat-bertanda Wilcoxon

Pada uji tanda hanya menggunakan tanda-tanda dari selisih-selisih antara nilai-nilai hasil pengamatan dan median hipotesis. Untuk pengujian H0 : M = M0 dipunyai sebuah uji statistik lain yang memperhitungkan besar selisih-selisih tersebut bila dia. Untuk menggunakan uji statistik ini, yang dikenal uji peringkat-bertanda Wilcoxon, yang diperkenalkan oleh Frank

Wilcoxon, yang mula-mula mengurutkan selisih-selisih menurut peringkat berdasarkan nilai mutlaknya masing-masing. Kemudian diberikan tanda-tanda pada selisih (beda) yang semula kepada peringkat-peringkat yang dihasilkan, dan setelah itu melakukan dua penjumlahan, yakni penjumlahan peringkat-peringkat bertanda negatif dan penjumlahan peringkat-peringkat bertanda positif. Kabel uji peringkat-bertanda Wilcoxon menggunakan informasi yang lebih baik daripada uji Tanda, maka seringkali uji ini lebih tinggi daripada uji Tanda. Uji peringkat-bertanda Wilcoxon juga mengandaikan bahwa sampel diambil dari populasi yang simetrik. Apabila populasi yang diambil sampelnya memenuhi asumsi-asumsi ini, kesimpulan-kesimpulan mengenai median populasi tersebut berlaku pula untuk nilai rata-ratanya (rata-rata populasi). Asumsi-asumsi A. Sampel yang tersedia untuk analisis adalah sampel acak berukuran n dari suatu populasi

dengan median M yang tidak diketahui. B. Skala pengukuran yang digunakan sekurang-kurangnya skala interval. C. Variabel-variabel acaknya kontinu. D. Populasi yang diambil sampelnya simetrik. E. Pengamatan-pengamatan yang dilakukan saling independen Hipotesis-hipotesis A (Dua Sisi) H0 : M = M0 H1 : M ≠ M0

B (Satu Sisi) H0 : M = M0 atau M ≤ M0 H1 : M > M0

C (Satu Sisi) H0 : M = M0 atau M ≥ M0 H1 : M < M0

Taraf Nyata (αααα) Statistik Uji 1. Hitung Di = Xi - M0 dengan i = 1, 2, 3, . . . , n

Statistika Non Parametrik Bab 2 : Uji Statistik Sampel Tunggal

halaman 9

Jika ada nilai pengamatan Xi yang sama dengan median hipotesis M0 atau Di = 0, maka hasil pengamatan ini disingkirkan dari perhitungan dan ukuran sampel akan berkurang/dikurangi sesuai dengan banyaknya pengamatan yang disingkirkan.

2. Beri harga mutlak pada Di (= |Di|). 3. Beri peringkat pada |Di| dari yang terkecil sampai yang terbesar. Jika terdapat dua |Di|

atau lebih yang sama, berilah kepada masing-masing |Di| yang sama ini, nilai rata-rata (mean) dari semua posisi peringkat yang semestinya diduduki oleh |Di| yang sama tadi. Sebagai contoh, bila dua buah |Di| bernilai sama dan peringkatnya 6 dan 7, sehingga kepada masing-masing |Di| ini diberikan peringkat yang sama yakni peringkat (6 + 7)/2 = 13/2 = 6,5. Contoh lain, bila tiga |Di| bernilai sama dan peringkatnya 3, 4 dan 5, sehingga kepada masing-masing |Di| ini diberikan peringkat yang sama yakni peringkat (3 + 4 + 5)/3 = 12/2 = 4.

4. Berilah kepada masing-masing peringkat ini dengan tanda plus “+” dan tanda minus “-“ sesuai tanda plus dan tanda minus dari Di . Dan pemberian tanda ini pada peringkat dinamakan peringkat-bertanda.

5. Hitung jumlah peringkat bertanda plus (T+) dan jumlah peringkat bertanda minus (T-). 6. Untuk Hipotesis A (dua sisi) : Tentukan T dari T+ atau T- yang terkecil.

Untuk Hipotesis B (satu sisi) : Tentukan T dari T- , jadi T = T- Untuk Hipotesis C (satu sisi) : Tentukan T dari T+ , jadi T = T+

Kaidah Pengambilan Keputusan Nilai-nilai kritis statistik uji pada uji peringkat-bertanda Wilcoxon untuk sampel dari 3 sampai dengan 25 dan berbagai taraf nyata dapat diperoleh dalam kolom d pada Tabel 3. Nilai-nilai kritis (d) untuk uji peringkat-bertanda Wilcoxon. Untuk A (Dua Sisi) :

Tolaklah H0 , jika T lebih kecil dari d untuk n dan α (dua sisi) yang ditabulasikan. Untuk B (Satu Sisi) :

Tolaklah H0 , jika T lebih kecil dari d untuk n dan α (satu sisi) yang ditabulasikan. Untuk C (Satu Sisi) :

Tolaklah H0 , jika T lebih kecil dari d untuk n dan α (satu sisi) yang ditabulasikan. Contoh 2.2 : Dalam sebuah studi tentang penyalahgunaan narkotika di suatu daerah pinggiran, para peneliti menemukan bahwa median IQ para pecandu yang tertangkap, yang berusia 16 tahun atau lebih, adalah 107. Andaikan seorang peneliti ingin mengetahui apakah mereka dapat menyimpulkan bahwa median IQ pecandu-pecandu yang tertangkap, yang berusia 16 tahun atau lebih, di suatu daerah pinggiran yang lain berbeda dengan 107. Tabel 2.5 memperlihatkan nilai-nilai IQ 15 orang pemuda yang dijadikan sampel secara acak dari populasi yang diminati. Bagaimanakah kesimpulan peneliti tersebut ? Misalkan α = 0,05. Tabel 2.5 IQ orang-orang berusia 16 tahun atau lebih yang ditangkap sebagai pecandu narkotika dan tinggal di daerah

pinggiran kota tertentu 99 100 90 94 135 108 107 111 119 104 127 109 117 105 125

Sumber : data fiktif

Statistika Non Parametrik Bab 2 : Uji Statistik Sampel Tunggal

halaman 10

Penyelesaian : Hipotesis : H0 : M = 107 H1 : M ≠ 107

Taraf Nyata : α = 0,05 , maka α/2 = 0,025 Statistik Uji : Perhitungan-perhitungan untuk mendapatkan statistik uji untuk uji peringkat-bertanda Wilcoxon dapat dilihat dalam Tabel 2.6 sebagai berikut Tabel 2.6 Perhitungan-perhitungan guna mendapatkan statistik uji untuk Contoh 2.2 IQ Di = Xi – Mi |Di | Peringkat |Di | Peringkat bertanda |Di | 99 -8 8 7 -7 100 -7 7 6 -6 90 -17 17 11 -11 94 -13 13 10 -10 135 +28 28 14 +14 108 +1 1 1 +1 107 0 singkirkan data dari analisis 111 +4 4 5 +5 119 +12 12 9 +9 104 -3 3 4 -4 127 +20 20 13 +13 109 +2 2 2,5 +2,5 117 +10 10 8 +8 105 -2 2 2,5 -2,5 125 +18 18 12 +12 -------------

T+ = 64,5 T- = 40,5

Karena terdapat satu data bernilai Di = 0, maka data ini disingkirkan, sehingga sampel data berkurang satu menjadi 14. Karena hipotesisnya dua sisi, maka nilai T ditentukan oleh T+ dan T- terkecil. Karena T- (= 40,5) lebih kecil daripada T+ (= 64,5), maka T = T- = 40,5 Keputusan Untuk taraf nyata α = 0,05 dua sisidan sampel data berukuran n = 14, dari Tabel 3. Nilai-nilai kritis (d) untuk uji peringkat-bertanda Wilcoxon diperoleh nilai kritis (d) sebesar 22. Karena T = 40,5 lebih besar d = 22, maka H0 diterima. Kesimpulan Bahwa peneliti kedua tidak dapat menyimpulkan bahwa median IQ pecandu-pecandu yang tertangkap, yang berusia 16 tahun atau lebih, di suatu daerah pinggiran yang lain berbeda

Statistika Non Parametrik Bab 2 : Uji Statistik Sampel Tunggal

halaman 11

dengan 107 pada taraf nyata 0,05, atau dapat disimpulkan bahwa median IQ pecandu-pecandu yang tertangkap, yang berusia 16 tahun atau lebih, di suatu daerah pinggiran yang lain berkisar/sama dengan 107. Aproksimasi bila sampel besar. Apabila n lebih besar dari 25, maka Tabel 3. Nilai-nilai kritis (d) untuk uji peringkat-bertanda Wilcoxon tidak dapat diterapkan. Sehingga diperlukan suatu aproksimasi (pendekatan) untuk sampel-sampel besar yang memiliki distribusi yang hampir mendekati distribusi normal, dengan menghitung statistik ujinya menjadi :

( )

( )( )24

1n21nn

4

1nnT

zhit ++

+−= 2

Untuk taraf nyata α. Bandingkan zhit dengan harga z pada tabel 2.