SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

Bentuk Umum :

y = px + q

y = ax2 + bx + c

p, q, a, b dan c ∈ R

Cara menyelesaikannya :

1. Substitusi

Substitusikan y = px + q ke y = ax2 + bx + c

Diperoleh :

px + q = ax2 + bx + c

ax2 + (b-p)x + (c-q) = 0

dengan D = (b-p)2 – 4.a.(c-q)

ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya :

a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik)

b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik)

c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)

2. Grafik

Ada 3 kemungkinan :

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesian dari :

y = 2 –x

y = x2

D>0

D=0

D<0

jawab :

Substitusika y = 2 – x ke y = x2 diperoleh :

x2 = 2 – x D = b2 – 4ac

x2 + x – 2 = 0 D = (1)2 – 4.(1).(2) = 1 + 8 = 9

(x – 1)(x + 2) = 0 D > 0 (ada 2 penyelesaian)

x = 1 atau x = -2

x = 1 disubstitusikan ke y = 2 – x = 2 – 1 = 1

x = -2 disubstitusikan ke y = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4

Jadi himpunan penyelesaian {(1,1),(-2,4)}

Dengan grafik dapat digambarkan sebagai berikut :

y = x2

y = 2 - x

1. Menentukan Akar-akar persamaan kuadrat

Cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan memfaktorkan,

melengkapkan kuadrat, dan menggunakan rumus kuadrat (rumus ABC).

a. Memfaktorkan

Dari bentuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 jika a = 1, maka c merupakan hasil kali

dua bilangan dan b adalah jumlah dua bilangan tersebut.

Dengan demikian bentuk pemfaktorannya adalah :

b. Melengkapkan kuadrat

Untuk melengkapkan kuadrat , persamaan kuadrat diubah menjadi bentuk :

(-2,4)

(1,1)

(x – x1) (x – x2) = 0 ; maka x = x1 atau x = x2

c. Rumus kuadrat (Rumus ABC)

Dari bentuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, bentuk tersebut dapat

dipakai untuk mencari rumus penyelesaian suatu persamaan kuadrat. Secara umum rumus

kuadrat / ABC adalah :

2. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

Sifat-sifat persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, ditentukan oleh nilai b2 – 4ac.

Nilai ini disebut deskriminan, dilambangkan dengan D. Jadi D = b2 – 4ac.

3. Penjumlahan dan Perkalian Akar Persamaan Kuadrat

Rumus penjumlahan dua akar :

Rumus perkalian dua akar :

4. Menyusun Persamaan Kuadrat

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru dapat menggunakan dua cara yaitu dengan

menggunakan faktor dan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

a. Menggunakan Faktor

Persamaan yang akarnya x1 dan x2 adalah :

b. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, didapatkan :

(x+p)2 = q & x + p = ± qx1,2 = -p ± q

x1,2=−b±√b2−4 ac

2 a

x1+x2=−b

a

x1×x2=ca

( x−x1 )(x−x2 )=0

x1+x2=−b

a dan

ba=−( x1+ x2)

x1 x2=ca dan

ca=x1 x2

APLIKASI DALAM KIMIA

1. Termodinamika (Kapasitas Panas)

Kami mendefinisikan dua kapasitas panas yang berbeda, satu untuk perubahan dalam

sistem yang dijaga pada volume konstan, dan satu untuk perubahan dalam sistem yang

dijaga pada tekanan konstan yang ditulis dalam simbol Cv dan Cp.

Gas ideal memiliki kapasitas panas yang tidak bervariasi dengan suhu, sedangkan gas

nyata tidak. Sebagian besar upaya untuk mengekspresikan kapasitas panas dari gas nyata

menggunakan deret pangkat, dalam salah satu dari dua bentuk berikut:

Cp = a + bT + cT2

Cp=a+bT + c

T 2

dimana a, b, dan c adalah konstanta yang ditentukan dari percobaan.