Getaran - Lecture Notes 19-24 (MDOF - Shear Building)

Oscar M (132 258 564) III – 1

BBAABB IIIIII

SSIISSTTEEMM SSTTRRUUKKTTUURR DDEENNGGAANN BBAANNYYAAKK DDEERRAAJJAATT KKEEBBEEBBAASSAANN

((MMUULLTTII DDEEGGRREEEESS OOFF FFRREEEEDDOOMM SSYYSSTTEEMM –– MMDDOOFF))

3.1. PENDAHULUAN

Sistem struktur yang dimodelkan sebagai sistem dengan satu derajat kebebasan (single

degree of freedom system – SDOF) hanyalah merupakan pendekatan dari struktur yang

sebenarnya mempunyai derajat kebebasan yang tak berhingga jumlahnya. Keakuratan dari

sistem SDOF tergantung pada karakteristik struktur dan beban luar yang dianalisa.

Pemodelan struktur sebagi sistem SDOF akan memberikan nilai respon struktur yang

akurat jika struktur dianggap hanya mempunyai satu bentuk perpindahan (lendutan) selama

bergerak/bergetar.

Jika struktur mempunyai lebih dari satu kemungkinan bentuk perpindahan, maka untuk

mendapatkan respon dinamis struktur yang lebih baik dan lebih akurat, sebaiknya struktur

dimodelkan sebagai sistem dengan banyak derajat kebebasan (multi degrees of freedom

system – MDOF).

Menara Air SDOF Model MDOF Model

Gambar 3.1 Pemodelan Struktur menjadi SDOF dan MDOF

m m4

m3

m2

m1

k, c

k1, c1

k4, c4

k3, c3

k2, c2

Multi Degrees of Freedom System

Oscar M (132 258 564) III – 2

Salah satu bentuk struktur yang paling praktis digunakan dalam analisa dinamis struktur,

yang dimodelkan sebagai sistem dengan banyak derajat perpindahan (multi degrees of

freedom sistem – MDOF) adalah struktur bangunan geser (shear building). Bangunan geser

(shear building) dapat didefinisikan sebagai struktur dimana tidak terjadi rotasi pada

penampang horizontal bidang lantainya.

Gambar 3.2 Bangunan Geser (Shear Building)

Ciri-ciri dari bangunan geser (shear building) adalah :

1. Massa total struktur dipusatkan pada bidang lantai dari masing-masing tingkat (lumped

mass)

dengan mengasumsikan massa total struktur terpusat pada bidang lantai dari masing-

masing tingkat, maka derajat kebebasan struktur yang tak berhingga jumlahnya (akibat

massa yang terbagi rata pada struktur) dapat ditransformasikan menjadi beberapa derajat

perpindahan sesuai dengan jumlah massa yang terkumpul pada bidang lantai

2. Kekakuan balok pada lantai dianggap tak berhingga dibandingkan dengan kekakuan

kolom

karena kekakuan balok dianggap teka berhingga atau balaok kaku sekali (EI = ), maka

pada balok tidak terjadi rotasi dan balok tetap lurus (balok tidak mengalami deformasi)

3. Pengaruh deformasi dari struktur akibat gaya aksial yang bekerja pada kolom diabaikan

karena pengaruh deformasi aksial kolom diabaikan, maka balok pada lantai akan tetap

horizontal selama bergerak

x1

x4

m4

EI4 k4

F4(t)

x3

x2

EI =

F3(t)

F2(t)

F1(t)

EI4

EI3 EI3

EI2 EI2

EI1 EI1

k3

k2

k1

m3

EI =

m2

EI =

m1

EI =

H4

H3

H2

H1

F4(t)

F3(t)

F2(t)

F1(t)


Oscar M (132 258 564) III – 3

3.2. FORMULASI PERSAMAAN GERAK BANGUNAN GESER

Untuk menentukan persamaan gerak dari bangunan geser, tinjau suatu bangunan geser 3

lantai berikut :

(a) Bangunan Geser 3 Lantai

(b) Model Matematis dan Diagram Freebody

Gambar 3.3 Model Matematis dari Bangunan Geser 3 Lantai

Berdasarkan diagram freebody dari model matematis bangunan geser pada gambar di atas,

diperoleh persamaan kesetimbangan dinamis struktur untuk masing-masing lantai sebagai

berikut :

x1 x2 x3

m3

EI3

F3(t)

EI =

F2(t)

F1(t)

EI3

EI2 EI2

EI1 EI1

m2

EI =

m1

EI =

H3

H2

H1

x1

x3

k3 ; c3

x2

k2 ; c2

k1 ; c1

F3(t)

F2(t)

F1(t)

c3

c2

c1

x1 x2 x3

F3(t) F2(t) F1(t) m3 m

2 m

1

11

xm F3(t) F2(t) F1(t)

22

xm 33

xm

k1 k2 k3

c1 c2 c3

k2 (x2 – x1) k3 (x3 – x2)

k1 x1

c1 1

x

c2

)(12

xx c3

)(23

xx


Oscar M (132 258 564) III – 4

Persamaan kesetimbangan dinamis lantai 1 :

m1 1x + c1 1x + k1 x1 – c2 )( 12 xx – k2 (x2 – x1) = F1(t)

m1 1x + (c1 + c2) 1x – c2 2x + (k1 + k2) x1 – k2 x2 = F1(t) ...... (3.1)


m2 2x + c2 )( 12 xx + k2 (x2 – x1) – c3 )( 23 xx – k3 (x3 – x2) = F2(t)

m2 2x – c2 1x + (c2 + c3) 2x – c3 3x – k2 x1 + (k2 + k3) x2 – k3 x3 = F2(t) ...... (3.2)


m3 3x + c3 )( 23 xx + k3 (x3 – x2) = F3(t)

m3 3x – c2 2x + c3 3x – k2 x2 + k3 x3 = F3(t) ...... (3.3)

Secara umum, persamaan kesetimbangan dinamis masing-masing lantai pada bangunan

geser, dapat ditulis dalam bentuk :

FIi + FDi + FSi – FDi+1 – FSi+1 = Fi(t)

dimana :

FIi = gaya inersia pada lantai ke-i = mi ix

FDi = gaya redaman pada lantai ke-i = ci )( 1 ii xx

FSi = gaya statis pada lantai ke-i = ki )( 1 ii xx

Fi(t) = gaya luar yang bekerja pada lantai ke-i

Dari persamaan kesetimbangan dinamis di atas diperoleh :

m1 1x + (c1 + c2) 1x – c2 2x + (k1 + k2) x1 – k2 x2 = F1(t)

m2 2x – c2 1x + (c2 + c3) 2x – c3 3x – k2 x1 + (k2 + k3) x2 – k3 x3 = F2(t)

m3 3x – c2 2x + c3 3x – k2 x2 + k3 x3 = F3(t)

Persamaan di atas merupakan formulasi kekakuan (stiffness) dari persamaan gerak bangun-

an geser 3 (tiga) lantai. Secara umum, persamaan gerak bangunan geser dapat ditulis dalam

bentuk notasi matriks sebagai berikut :

[M] }{x + [C] }{x + [K] {x} = {F} ...... (3.4)

dimana :

[M] = matriks massa .... (N-dt2/mm ; lb-sec

2/in)

[C] = matriks redaman .... (N-dt/mm ; lb-sec2/in)

[K] = matriks kekakuan .... (N/mm ; lb/in)


Oscar M (132 258 564) III – 5

}{x = vektor percepatan .... (mm/dt2 ; in/sec

2)

}{x = vektor kecepatan .... (mm/dt ; in/sec)

{x} = vektor perpindahan .... (mm ; in)

{F} = vektor gaya luar .... (N ; lb)

n = jumlah derajat kebebasan (degree of freedom)

atau :

[M] =

nm

m

m

m

000

000

000

000

3

2

1

; [C] =

nc

ccc

cccc

ccc

000

00

0

00

433

3322

221

[K] =

nk

kkk

kkkk

kkk

000

00

0

00

433

3322

221

}{x =

nx

x

x

x

3

2

1

; }{x =

nx

x

x

x

3

2

1

; {x} =

nx

x

x

x

3

2

1

; {F} =

)(

)(

)(

)(

3

2

1

tF

tF

tF

tF

n

Catatan :

Konstanta pegas (kekakuan) dari kolom Konstanta pegas (kekakuan) dari kolom

yang kedua ujungnya terjepit adalah : yang satu kedua ujungnya terjepit dan

ujung lainnya sendi adalah :

k = 3

12

L

EI k =

3

3

L

EI

Kolom Jepit – Jepit Kolom Jepit – Sendi

L EI L EI


Oscar M (132 258 564) III – 6

3.3. GERAK BEBAS TANPA REDAMAN DARI BANGUNAN GESER

Kondisi gerak bebas dari bangunan geser dapat dicapai jika bangunan geser sama sekali

tidak dipengaruhi oleh gaya luar dan redaman pada bangunan geser diabaikan. Gerak yang

terjadi pada bangunan geser hanya dipengaruhi oleh kondisi awal. Walaupun kondisi gerak

bebas tanpa redaman pada bangunan geser jarang dijumpai, namun analisanya sangat perlu

dilakukan untuk mendapatkan sifat dinamis yang paling penting dari bangunan geser yaitu

frekuensi natural dan pola perubahan bentuk (mode shapes).

Untuk mendapatkan nilai frekuensi natural (ω) dan pola perubahan bentuk (mode shapes)

dari bangunan geser untuk kondisi gerak bebas tanpa redaman, ada beberapa metoda yang

dapat digunakan, yaitu :

1. Metoda Direct (Kekakuan)

2. Metoda Stodola (Iterasi)

3. Metoda Holzer

3.3.1. METODA DIRECT

Pendahuluan

Metoda direct (langsung) atau disebut juga metoda kekakuan (stiffness), didasarkan pada

formulasi persamaan kekakuan (stiffness equation) dari bangunan geser.

Persamaan gerak struktur bangunan geser untuk kondisi gerak bebas tanpa redaman adalah

sebagai berikut :

[M] }{x + [K] {x} = {0} ...... (3.5)

dimana :

[M] = matriks massa .... (N-dt2/mm ; lb-sec

2/in)

[K] = matriks kekakuan .... (N/mm ; lb/in)

}{x = vektor percepatan .... (mm/dt2 ; in/sec

2)

{x} = vektor perpindahan .... (mm ; in)

n = jumlah derajat kebebasan (degree of freedom)


Oscar M (132 258 564) III – 7

Formulasi Matriks Kekakuan [K]

Untuk mendapatkan matrik kekakuan struktur, tinjau suatu bangunan geser 4 lantai sebagai

berikut :

Gambar 3.4 Matriks Kekakuan Struktur Bangunan Geser (Shear Building)

berdasarkan Formulasi Persamaan Kekakuan (Stiffness Equation)

Matriks kekakuan [K] dari struktur bangunan geser di atas adalah :

[K] =

44342414

43332313

42322212

41312111

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

...... (3.6)

dimana :

Kij = besarnya gaya yang bekerja pada lantai ke-i akibat perpindahan horizontal

sebesar satu satuan pada lantai ke-j

Nilai-nilai koefisien kekakuan Kij, dapat ditentukan dengan mengasumsikan perpindahan

horizontal sebesar satu satuan pada masing-masing lantai, sebagai berikut :

m4

EI4

EI =

EI4

EI2 EI2

EI1 EI1

m2

EI =

m1

EI =

H4

H2

m3

EI3

EI =

EI3

H1

H3


Oscar M (132 258 564) III – 8

Akibat perpindahan sebesar satu satuan pada lantai 1

Dari persamaan kesetimbangan masing-masing lantai, diperoleh :

K11 = 2

3

1

112

H

EI + 2

3

2

212

H

EI = k1 + k2 ; K31 = 0

K21 = – 2

3

2

212

H

EI = – k2 ; K41 = 0


32

212

H

EI 3

2

212

H

EI

31

112

H

EI

1

K41

EI4 EI4

EI2 EI2

EI1 EI1

K21

K11

H4

H2

1

K41

K21

K11

31

112

H

EI H1

K31

EI3 EI3 H3

K31

32

212

H

EI 3

2

212

H

EI

33

312

H

EI

1

K42

EI4 EI4

EI2 EI2

EI1 EI1

K22

K12

H4

H2

1

K42

K22

K12

H1

K32

EI3 EI3 H3

K32

33

312

H

EI

m4

m2

m1

m3

m4

m2

m1

m3


Oscar M (132 258 564) III – 9


K12 = – 2

3

2

212

H

EI = – k2

K22 = 2

3

2

212

H

EI + 2

3

3

312

H

EI = k2 + k3

K32 = – 2

3

3

312

H

EI = – k3

K42 = 0 = 0



K13 = 0

K23 = – 2

3

3

312

H

EI = – k3

K33 = 2

3

3

312

H

EI + 2

3

4

412

H

EI = k3 + k4

K43 = – 2

3

4

412

H

EI = – k4

34

412

H

EI 3

4

412

H

EI

33

312

H

EI

1

K43

EI4 EI4

EI2 EI2

EI1 EI1

K23

K13

H4

H2

1

K43

K23

K13

H1

K33

EI3 EI3 H3

K33

33

312

H

EI

m4

m2

m1

m3


Oscar M (132 258 564) III – 10



K14 = 0

K24 = 0

K34 = – 2

3

4

412

H

EI = – k4

K44 = 2

3

4

412

H

EI = k4

Jadi, matriks kekakuan dari bangunan geser 4 lantai yang terdapat pada Gambar 3.4 adalah

sebagai berikut :

[K] =

3

4

4

3

4

4

3

4

4

3

4

4

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

3

1

1

242400

242424240

024242424

00242424

H

EI

H

EI

H

EI

H

EI

H

EI

H

EI

H

EI

H

EI

H

EI

H

EI

H

EI

H

EI

H

EI

...... (3.7)

34

412

H

EI 3

4

412

H

EI

1 K

44

EI4 EI4

EI2 EI2

EI1 EI1

K24

K14

H4

H2

1 K

44

K24

K14

H1

K34

EI3 EI3 H3

K34

m4

m2

m1

m3


Oscar M (132 258 564) III – 11

atau dapat juga ditulis dalam bentuk :

[K] =

44

4433

3322

221

00

0

0

00

kk

kkkk

kkkk

kkk

...... (3.8)

dimana :

k1 = 2

3

1

112

H

EI =

3

1

124

H

EI ; k3 = 2

3

3

312

H

EI =

3

3

324

H

EI

k2 = 2

3

2

212

H

EI =

3

2

224

H

EI ; k4 = 2

3

4

412

H

EI =

3

4

424

H

EI

Matriks kekakuan [K] struktur bangunan geser dapat juga ditentukan secara langsung

dengan menggunakan persamaan :

[K] =

nk

kkk

kkkk

kkk

000

00

0

00

433

3322

221

...... (3.9)

Sehingga matriks kekakuan [K] untuk bangunan geser 4 lantai yang terdapat pada Gambar

3.4 adalah :

[K] =

44

4433

3322

221

00

0

0

00

kk

kkkk

kkkk

kkk

.... (3.10)

dimana :

k1 = 2

3

1

112

H

EI =

3

1

124

H

EI ; k3 = 2

3

3

312

H

EI =

3

3

324

H

EI

k2 = 2

3

2

212

H

EI =

3

2

224

H

EI ; k4 = 2

3

4

412

H

EI =

3

4

424

H

EI

Catatan :

ki merupakan penjumlahan semua kekakuan kolom pada lantai ke-i dari bangunan

geser


Oscar M (132 258 564) III – 12

Frekuensi Natural (ω) dan Pola Perubahan Bentuk (Mode Shape)

Solusi dari persamaan gerak bebas tanpa redaman dari bangunan geser adalah :

xi = ai sin ωt ; i = 1, 2, 3, … , n .... (3.11)

atau dapat juga ditulis dalam bentuk notasi vektor :

{x} = {a} sin ωt .... (3.12)

atau :

nx

x

x

x

3

2

1

=

na

a

a

a

3

2

1

sin ωt

dimana :

xi = perpindahan pada lantai ke-i

ai = amplitudo gerak pada lantai ke-i

n = jumlah derajat kebebasan (jumlah lantai)

Dari Pers. 3.12, diperoleh :

}{x = {a} sin ωt

}{x = ω {a} cos ωt

}{x = – ω2 {a} sin ωt .... (3.13)

Dengan mensutitusikan Pers. 3.13 kedalam Pers. 3.5, akan didapatkan :

[M] }{x + [K] {x} = {0}

[M] (– ω2 {a} sin ωt) + [K] ({a} sin ωt) = {0}

[ [K] – ω2 [M] ] {a} sin ωt = {0} .... (3.14)

Pers 3.14 dapat diselesaikan jika dan hanya jika :

[ [K] – ω2 [M] ] {a} = {0} .... (3.15)

Pers. 3.15 merupakan masalah matematis yang penting yang dikenal dengan masalah eigen

(eigen problem). Solusi non-trivial dari Pers 3.15 yaitu solusi dimana setiap nilai ai tidak

sama dengan nol (ai 0), memerlukan determinan dari faktor-faktor matriks {a} sama

dengan nol, atau :

| [K] – ω2 [M] | = 0 .... (3.16)


Oscar M (132 258 564) III – 13

Determinan dari Pers. 3.16 akan memberikan persamaan polynomial berderajat n dalam

bentuk variabel ω2, yang disebut juga dengan persamaan karakteristik (characteristic

equation) sistem. Dari persamaan karakteristik ini memberikan n buah nilai ω2, dimana

dengan setiap nilai ω2 yang memenuhi persamaan karakteristik, akan diperoleh nilai

konstanta-konstanta a1, a2, a3, … , an.

Variabel ω2 adalah nilai eigen (eigen value) yang merupakan frekuensi natural sistem, dan

nilai {a} adalah vektor eigen (eigen vector) yang merupakan pola perubahan bentuk (mode

shape).

Amplitudo dari getaran pada pola normal (normal mode) merupakan harga relatif yang

dapat diberikan oleh suatu harga pilihan tertentu. Untuk memudahkan perhitungan, dapat

dilakukan normalisasi mode shape dengan menggunakan persamaan berikut :

ij = }{][}{ j

T

j

ij

aMa

a .... (3.17)

Untuk sistem yang mempunyai matriks massa diagonal, Pers. 3.17 dapat ditulis sebagai

berikut :

ij =

n

kkjk

ij

am

a

1

2

.... (3.18)

dimana :

ij = normalisasi komponen i dari vektor pola j

n = jumlah derajat kebebasan

Pola normal dapat disusun pada kolom pada matriks yang dikenal sebagai matriks pola

(modal matrix) dari sistem. Untuk sistem berderajat kebebasan n, matriks pola dapat ditulis

sebagai berikut :

[Φ] =

nnnnn

n

n

n

321

3333231

2232221

1131211

.... (3.19)

Secara umum, kondisi ortogonolitas dapat dinyatakan sebagai :

[Φ]T [M] [Φ] = [I] .... (3.20)


Oscar M (132 258 564) III – 14

CONTOH 3.1

Tentukanlah frekuensi natural (ω) dan pola perubahan bentuk (mode shape) dari suatu

struktur bangunan geser tiga lantai, dengan menggunakan Metoda Direct. Buktikan kondisi

ortogonolitas dari pola-pola tersebut.

Massa lantai (mi) :

m1 = 2,0 m

m2 = 1,5 m

m3 = 1,0 m

Tinggi kolom (hi):

h1 = 1,5 h

h2 = 1,0 h

h3 = 1,0 h

Gambar P.1. Bangunan Geser Tiga Lantai

SOLUSI :

Menentukan matriks massa [M]

[M] =

3

2

1

00

00

00

m

m

m

=

m

m

m

0,100

05,10

000,2

= 2

m

200

030

004

Menentukan matriks kekakuan [K]

Matriks kekakuan untuk bangunan geser 3 lantai di atas adalah :

[K] =

332313

322212

312111

kkk

kkk

kkk

Nilai-nilai koefisien kekakuan Kij dari matriks kekakuan dapat ditentukan berdasarkan

formulasi persamaan kekakuan, yaitu sebagai berikut :

EI

EI

EI

EI

EI

m2

m3

m1

h1

h2

h3 EI


Oscar M (132 258 564) III – 15



K11 = 2

3

1

112

H

EI + 2

3

2

212

H

EI =

3)5,1(

24

h

EI +

3

24

h

EI =

327

840

h

EI

K21 = – 2

3

2

212

H

EI = –

3

24

h

EI

K31 = 0



K12 = – 2

3

2

212

H

EI = –

3

24

h

EI

33

312

H

EI 3

3

312

H

EI

32

212

H

EI 3

2

212

H

EI

31

112

H

EI

1

EI2 EI2

EI1 EI1

K21

K11

H2

1

K21

K11

31

112

H

EI H1

K31

EI3 EI3 H3

K31

m2

m1

m3

32

212

H

EI

1

EI2 EI2

EI1 EI1

K22

K12

H2

1 K

22

K12

32

212

H

EI

H1

K32

EI3 EI3 H3

K32

m2

m1

m3


Oscar M (132 258 564) III – 16

K22 = 2

3

2

212

H

EI + 2

3

3

312

H

EI =

3

24

h

EI +

3

24

h

EI =

3

48

h

EI

K32 = – 2

3

3

312

H

EI = –

3

24

h

EI



K13 = 0

K23 = – 2

3

3

312

H

EI = –

3

24

h

EI

K33 = 2

3

3

312

H

EI =

3

24

h

EI

Jadi, matriks kekakuan [K] dari bangunan geser 3 lantai yang terdapat pada Gambar P.1

adalah :

[K] = 3h

EI

24240

244824

02427

840

= 327

24

h

EI

27270

275427

02735

Disamping itu, matriks kekakuan struktur bangunan geser dapat juga ditentukan dengan

menggunakan Pers. 3.9, dimana untuk bangunan geser 3 lantai diperoleh :

33

312

H

EI 3

3

312

H

EI

1

EI2 EI2

EI1 EI1

K23

K13

H2

1

K23

K13

H1

K33

EI3 EI3 H3

K33

m2

m1

m3


Oscar M (132 258 564) III – 17

[K] =

33

3322

221

0

0

kk

kkkk

kkk

dimana :

k1 = 2

3

1

12

h

EI =

3)5,1(

24

h

EI =

327

192

h

EI

k2 = 2

3

2

12

h

EI =

3

24

h

EI

k3 = 2

3

3

12

h

EI =

3

24

h

EI

diperoleh :

[K] =

33

3333

333

24240

24242424

02424

27

192

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

= 3h

EI

24240

244824

02427

840

[K] = 327

24

h

EI

27270

275427

02735

Menentukan Frekuensi Getaran (ω)

Frekuensi natural getaran (ω) dari bangunan geser 3 lantai, diperoleh dari persamaan :

| [K] – ω2 [M] | = 0

200

030

004

227270

275427

02735

27

24 2

3

mω

h

EI = 0

Untuk memudahkan dalam menghitung nilai frekuensi natural getaran dari persamaan

determinan di atas, misalkan :

ω2

2

m =

327

24

h

EI α α =

3

2

2724

2

hEI

ωm

= EI

hm

48

27 3

ω2


Oscar M (132 258 564) III – 18

sehingga diperoleh :

| [K] – ω2 [M] | = 0

200

030

004

227270

275427

02735

27

24 2

3

mω

h

EI = 0

200

030

004

27

24

27270

275427

02735

27

2433

αh

EI

h

EI = 0

α

α

α

h

EI

227270

2735427

027435

27

243

= 0

[ (35 – 4α) {(54 – 3α)(27 – 2α) – ( –27)(– 27)} – (–27) {(–27)(27 – 2α)} ] = 0

(35 – 4α) (729 – 189α + 6α 2) + (27) (– 729 + 54α) = 0

(25515 – 9531α + 966α 2

– 24α3) + (–19683 + 1458α) = 0

5832 – 8073α + 966α 2 – 24α

3 = 0

atau :

α3 – 40,25α

2 + 336,375 α – 243,0 = 0

Dengan ″trial and errors″, diperoleh :

α1 = 0,79689

α2 = 10,55040

α3 = 28,90271

karena :

α = EI

hm

48

27 3

ω2 ω

2 =

327

48

hm

EI α

maka diperoleh nilai frekuensi natural (ωi) dari bangunan geser sebagai berikut :

ω12 =

327

48

hm

EI α1 =

327

48

hm

EI (0,79689) = 1,41669

3hm

EI

ω1 = 1,19025 3hm

EI


Oscar M (132 258 564) III – 19

ω22 =

327

48

hm

EI α2 =

327

48

hm

EI (10,55040) = 18,75627

3hm

EI

ω2 = 4,33085 3hm

EI

ω32 =

327

48

hm

EI α3 =

327

48

hm

EI (28,90271) = 51,38259

3hm

EI

ω3 = 7,16817 3hm

EI

Menentukan pola perubahan bentuk (mode shapes)

Pola perubahan bentuk (mode shapes) untuk masing-masing nilai frekuensi natural (ωi)

diperoleh dengan menentukan nilai vektor {ai}dari persamaan berikut :

[ [K] – ωi2 [M] ] {ai} = {0}

Mode Shape 1

Untuk α1 = 0,79689 atau ω1 = 1,19025 3hm

EI, diperoleh :

1

1

1

3

227270

2735427

027435

27

24

α

α

α

h

EI

31

21

11

a

a

a

=

0

0

0

)0,79689(227270

27)0,79689(35427

027)0,79689(435

31

21

11

a

a

a

=

0

0

0

,4062225270

27,609335127

02781244,31

31

21

11

a

a

a

=

0

0

0

atau :

31,81244 a11 – 27 a21 = 0

– 27 a11 + 51,60933 a21 – 27 a31 = 0

– 27 a21 + 25,40622 a31 = 0

dengan memisalkan :

a31 = 1,00000


Oscar M (132 258 564) III – 20

diperoleh :

– 27 a21 + 25,40622 a31 = 0

– 27 a21 + 25,40622 (1,00000) = 0 a21 = 0,94097

– 27 a11 + 51,60933 a21 – 27 a31 = 0

– 27 a11 + 51,60933 (0,94097) – 27 (1,0) = 0 a11 = 0,79863

Jadi, untuk mode shape 1 :

ω1 = 1,19025 3hm

EI dan {a1} =

00000,1

94097,0

79863,0

Mode Shape 2

Untuk α2 = 10,55040 atau ω2 = 4,33085 3hm

EI, diperoleh :

2

2

2

3

227270

2735427

027435

27

24

α

α

α

h

EI

32

22

12

a

a

a

=

0

0

0

)10,55040(227270

27)10,55040(35427

027)10,55040(435

32

22

12

a

a

a

=

0

0

0

,899205270

27,348802227

02720160,7

32

22

12

a

a

a

=

0

0

0

atau :

– 7,20160 a12 – 27 a22 = 0

– 27 a12 + 22,34880 a22 – 27 a32 = 0

– 27 a22 + 5,89920 a32 = 0

dengan memisalkan :

a32 = 1,00000

diperoleh :

– 27 a22 + 5,89920 a32 = 0

– 27 a22 + 5,89920 (1,00000) = 0 a22 = 0,21849


Oscar M (132 258 564) III – 21

– 27 a12 + 22,34880 a22 – 27 a32 = 0

– 27 a12 + 22,34880 (0,21849) – 27 (1,0) = 0 a12 = – 0,81915


ω2 = 4,33085 3hm

EI dan {a2} =

00000,1

21849,0

81915,0

Mode Shape 3

Untuk α3 = 28,90271 atau ω3 = 7,16817 3hm

EI, diperoleh :

3

3

3

3

227270

2735427

027435

27

24

α

α

α

h

EI

33

23

13

a

a

a

=

0

0

0

)28,90271(227270

27)28,90271(35427

027)28,90271(435

33

23

13

a

a

a

=

0

0

0

,8054130270

27,708123227

02780,61083

33

23

13

a

a

a

=

0

0

0

atau :

– 80,61083 a13 – 27 a23 = 0

– 27 a13 – 32,70812 a23 – 27 a33 = 0

– 27 a23 – 30,80541 a33 = 0

dengan memisalkan :

a33 = 1,00000

diperoleh :

– 27 a23 – 30,80541 a33 = 0

– 27 a23 – 30,80541 (1,00000) = 0 a23 = – 1,14094

– 27 a13 – 32,70812 a23 – 27 a33 = 0

– 27 a13 – 32,70812 (– 2,98559) – 27 (1,0) = 0 a13 = 0,38215


Oscar M (132 258 564) III – 22


ω3 = 7,16817 3hm

EI dan {a3} =

00000,1

14094,1

38215,0

Mode Shape 1 Mode Shape 2 Mode Shape 3

ω1 = 1,190253

hm

EI ω2 = 4,33085

3hm

EI ω1 = 7,16817

3hm

EI

Menentukan matriks pola (modal matrix)

[Φ] =

333231

232221

131211

; ij =

n

kkjk

ij

am

a

1

2

maka :

11 = 2

313

2

212

2

111

11

amamam

a

=

3,60374

0,79863 = 0,42069

12 = 2

323

2

222

2

121

12

amamam

a

=

41362,2

81915,0 = – 0,52727

13 = 2

333

2

232

2

131

13

amamam

a

=

24470,3

38215,0 = 0,21215

21 = 2

313

2

212

2

111

21

amamam

a

=

3,60374

0,94097 = 0,49568

a23 = – 1,14094

a13 = 0,38215

a33 = 1,00000

a22 = 0,21849

a12 = – 0,81915

a32 = 1,00000

a21 = 0,94097

a11 = 0,79863

a31 = 1,00000


Oscar M (132 258 564) III – 23

22 = 2

323

2

222

2

121

22

amamam

a

=

41362,2

21849,0 = 0,14064

23 = 2

333

2

232

2

131

23

amamam

a

=

24470,3

14094,1 = – 0,63340

31 = 2

313

2

212

2

111

31

amamam

a

=

3,60374

1,00000 = 0,52677

32 = 2

323

2

222

2

121

32

amamam

a

=

41362,2

1,00000 = 0,64367

33 = 2

333

2

232

2

131

33

amamam

a

=

24470,3

1,00000 = 0,55515

diperoleh :

[Φ] =

55515,064367,052677,0

63340,014064,049568,0

21215,052727,042069,0

Kontrol kondisi ortogonolitas

[Φ]T [M] [Φ] = [I]

55515,063340,021215,0

64367,014064,052727,0

52677,049568,042069,0

0,10,00,0

0,05,10,0

0,00,00,2

55515,064367,052677,0

63340,014064,049568,0

21215,052727,042069,0

=

0,10,00,0

0,00,10,0

0,00,00,1

55515,095010,042430,0

64367,021095,005453,1

52677,074352,084139,0

55515,064367,052677,0

63340,014064,049568,0

21215,052727,042069,0

=

0,10,00,0

0,00,10,0

0,00,00,1

0,10,00,0

0,00,10,0

0,00,00,1

=

0,10,00,0

0,00,10,0

0,00,00,1

......... OK !!


Oscar M (132 258 564) III – 24

3.3.2. METODA STODOLA

Pendahuluan

Metoda Stodola (Metoda Iterasi) atau disebut juga Metoda Fleksibilitas, didasarkan pada

formulasi persamaan kelenturan/fleksibilitas (flexibility equation) struktur.

Persamaan gerak dari struktur bangunan geser untuk kondisi gerak bebas tanpa redaman,

dengan menggunakan Metoda Stodola diperoleh sebagai berikut :

[M] }{x + [K] {x} = {0}

[f] [M] }{x + [f] [K] {x} = {0}

[f] [M] }{x + [I] {x} = {0}

[f] [M] }{x + {x} = {0}

atau :

{x} + [f][M] }{x = {0} .... (3.21)

Formulasi Matriks Kekakuan [K]

Untuk mendapatkan matrik kekakuan struktur, tinjau suatu bangunan geser 4 lantai sebagai

berikut :

Gambar 3.5 Matriks Fleksibilitas Struktur Bangunan Geser (Shear Building)

berdasarkan Formulasi Persamaan Fleksibilitas (Flexibility Equation)

m4

EI4

EI =

EI4

EI2 EI2

EI1 EI1

m2

EI =

m1

EI =

H4

H2

m3

EI3

EI =

EI3

H1

H3


Oscar M (132 258 564) III – 25

Matriks fleksibilitas [f] dari struktur bangunan geser di atas adalah :

[f] =

44342414

43332313

42322212

41312111

ffff

ffff

ffff

ffff

.... (3.22)

dimana :

fij = besarnya perpindahan horizontal yang terjadi pada lantai ke-i akibat adanya

gaya horizontal sebesar satu satuan yang bekerja pada lantai ke-j

Nilai-nilai koefisien fleksibilitas fij, dapat ditentukan dengan mengasumsikan adanya gaya

horizontal sebesar satu satuan yang bekerja pada masing-masing lantai, sebagai berikut :

Akibat gaya horizontal sebesar satu satuan pada lantai 1

Kesetimbangan lantai 1

2

3

1

112

H

EI f11 = 1 k1 f11 = 1 f11 =

1

1

k

dan diperoleh :

f21 = f31 = f41 = f11 = 1

1

k

H4

H2

1

H1

H3

f31

f11

f41

f21

f31

f11

f41

1

EI4 EI4

EI2 EI2

EI1 EI1

f21

EI3 EI3

m4

m2

m1

m3

31

112

H

EIf11 3

1

112

H

EIf11


Oscar M (132 258 564) III – 26



2

3

2

212

H

EI(f22 – f12) = 1 k2 (f22 – f12) = 1

f22 – f12 = 2

1

k f22 = f12 +

2

1

k


2

3

1

112

H

EI f12 – 2

3

2

212

H

EI(f22 – f12) = 0

k1 f12 – k2 (f12 + 2

1

k – f12) = 0 k1 f12 – 1 = 0

f12 = 1

1

k

dan diperoleh :

f22 = f12 + 2

1

k =

1

1

k +

2

1

k

f32 = f42 = f22 = 1

1

k +

2

1

k

H4

H2

1

H1

H3

f32

f12

f42

f22

f32

f12

f42

1

EI4 EI4

EI2 EI2

EI1 EI1

f22

EI3 EI3

m4

m2

m1

m3

31

112

H

EIf12 3

1

112

H

EIf12

32

212

H

EI(f22 – f12) 3

2

212

H

EI(f22 – f12)


Oscar M (132 258 564) III – 27



2

3

3

312

H

EI(f33 – f23) = 1 k3 (f33 – f23) = 1

f33 – f23 = 3

1

k f33 = f23 +

3

1

k


2

3

2

212

H

EI(f23 – f13) – 2

3

3

312

H

EI(f33 – f23) = 0

k2 (f23 – f13) – k3 (f23 + 3

1

k – f23) = 0 k2 (f23 – f13) – 1 = 0

f23 – f13 = 2

1

k f23 = f13 +

2

1

k


2

3

1

112

H

EI f13 – 2

3

2

212

H

EI(f23 – f13) = 0

H4

H2

1

H1

H3

f13

f13

1

EI4 EI4

EI2 EI2

EI1 EI1

EI3 EI3

m4

m2

m1

m3

31

112

H

EIf13 3

1

112

H

EIf13

32

212

H

EI(f23 – f13) 3

2

212

H

EI(f23 – f13)

33

312

H

EI(f33 – f23) 3

3

312

H

EI(f33 – f23)

f33

f43

f23

f33

f43

f23


Oscar M (132 258 564) III – 28

k1 f13 – k2 (f13 + 2

1

k – f13) = 0 k1 f13 – 1 = 0

f13 = 1

1

k

dan diperoleh :

f23 = f13 + 2

1

k =

1

1

k +

2

1

k

f33 = f23 + 3

1

k =

1

1

k +

2

1

k +

3

1

k

f43 = f33 = f22 = 1

1

k +

2

1

k +

3

1

k



2

3

4

412

H

EI(f44 – f34) = 1 k4 (f44 – f34) = 1

f44 – f34 = 4

1

k f44 = f34 +

4

1

k

H4

H2

1

H1

H3

f34

f14

f44

f24

f34

f14

f44

1

EI4 EI4

EI2 EI2

EI1 EI1

f24

EI3 EI3

m4

m2

m1

m3

31

112

H

EIf14 3

1

112

H

EIf14

32

212

H

EI(f24 – f14) 3

2

212

H

EI(f24 – f14)

33

312

H

EI(f34 – f24) 3

3

312

H

EI(f34 – f24)

34

412

H

EI(f44 – f34) 3

4

412

H

EI(f44 – f34)


Oscar M (132 258 564) III – 29


2

3

3

312

H

EI(f34 – f24) – 2

3

4

412

H

EI(f44 – f34) = 0

k3 (f34 – f24) – k4 (f34 + 4

1

k – f34) = 0 k3 (f34 – f24) – 1 = 0

f34 – f24 = 3

1

k f34 = f24 +

3

1

k


2

3

2

212

H

EI(f24 – f14) – 2

3

3

312

H

EI(f33 – f23) = 0

k2 (f23 – f13) – k3 (f23 + 3

1

k – f23) = 0 k2 (f23 – f13) – 1 = 0

f23 – f13 = 2

1

k f23 = f13 +

2

1

k


2

3

1

112

H

EI f14 – 2

3

2

212

H

EI(f24 – f14) = 0

k1 f14 – k2 (f14 + 2

1

k – f14) = 0 k1 f14 – 1 = 0

f14 = 1

1

k

dan diperoleh :

f24 = 1

1

k

f24 = f14 + 2

1

k =

1

1

k +

2

1

k

f34 = f24 + 3

1

k =

1

1

k +

2

1

k +

3

1

k

f44 = f44 + 4

1

k =

1

1

k +

2

1

k +

3

1

k +

4

1

k


Oscar M (132 258 564) III – 30

Jadi, matriks fleksibilitas [f] dari bangunan geser 4 lantai yang terdapat pada Gambar 3.5

adalah sebagai berikut :

[f] =

4321321211

321321211

2121211

1111

1111111111

111111111

1111111

1111

kkkkkkkkkk

kkkkkkkkk

kkkkkkk

kkkk

.... (3.23)

dimana :

k1 = 2

3

1

112

H

EI ; k2 = 2

3

2

212

H

EI ; k3 = 2

3

3

312

H

EI ; k4 = 2

3

4

412

H

EI

Disamping itu, matriks fleksibilitas [f] struktur bangunan geser dapat juga ditentukan ber-

dasarkan hubungan antara matriks kekakuan [K] dengan matriks fleksibilitas [f], dimana :

[K] {X} = {P}

[f] {P} = {X} .... (3.24)

sehingga :

[f] = [K]-1

.... (3.25)

Frekuensi Natural (ω) dan Pola Perubahan Bentuk (Mode Shape)

Solusi dari persamaan gerak bebas tanpa redaman dari bangunan geser adalah :

xi = ai sin ωt ; i = 1, 2, 3, … , n .... (3.26)

atau dapat juga ditulis dalam bentuk notasi vektor :

{x} = {a} sin ωt .... (3.27)

Dari Pers. 3.27, diperoleh :

}{x = {a} sin ωt

}{x = ω {a} cos ωt

}{x = – ω2 {a} sin ωt .... (3.28)


Oscar M (132 258 564) III – 31

Dengan mensutitusikan Pers. 3.28 kedalam Pers. 3.21, akan didapatkan :

{x} + [f][M] }{x = {0}

{a} sin ωt + [f][M] (– ω2 {a} sin ωt) = {0}

{{a} – ω2 [f][M] {a}} sin ωt = {0} .... (3.29)

Pers 3.29 dapat diselesaikan jika dan hanya jika :

{a} – ω2 [f][M] {a} = {0}

{a} = ω2 [f] [M] {a} .... (3.30)

atau :

{a} = ω2 [D] {a} .... (3.31)

dimana :

[D] = matriks dinamis [D] = [f] [M] .... (3.32)

Analisis Modus Pertama/Dasar (Mode Shape 1)

Prosedur perhitungan dalam menentukan nilai frekuensi natural pertama (ω1) dan pola

perubahan bentuk dasar (mode shape 1) dengan metoda Stodola, didasarkan kepada Pers.

3.31, yaitu :

2

1

ω{a} = [D] {a} .... (3.33)

Pertama sekali, diasumsikan sembarang nilai dari vektor {a} yang terdapat di ruas kanan

persamaan, yang menyatakan taksiran mode shape pertama yang mungkin terbaik.

Kemudian dilakukan iterasi matriks sampai dicapai kondisi konvergen, yaitu setelah

diperoleh nilai vektor {a} di ruas kanan persamaan yang konstan (tetap) pada 2 iterasi

matriks yang terakhir.

Analisis Modus Kedua (Mode Shape 2)

Untuk modus kedua (mode shape 2), digunakan ″Prinsip Ortogonalitas″ antara dua mode

shape i dan j, yang dinyatakan sebagai :

n

kkjkik aam

1

= 0 ; i j .... (3.34)

Sedangkan nilai frekuensi natural kedua (ω2) dan pola perubahan bentuk kedua (mode

shape 2) ditentukan berdasarkan persamaan berikut :


Oscar M (132 258 564) III – 32

2

1

ω{a} = [D2] {a} .... (3.35)

dimana :

[D2] = [D] [S1] .... (3.36)

[S1] = matrils sweeping, yang diperoleh dari Pers. 3.34

Analisis Modus Tertinggi

Untuk modus tertinggi, digunakan persamaan berikut :

2

1

ω{a} = [D] {a}

atau :

{a} = ω2 [D] {a}

{a} = ω2 [M] [f] {a}

[K] {a} = ω2 [K] [M] [f] {a} ; [K] [f] = [I]

[K] {a} = ω2 [I] [M] {a}

[K] {a} = ω2 [M] {a}

[M]-1

[K] {a} = ω2 {a}

{a} = 2

1

ω [M]

-1 [K] {a} .... (3.37)

atau :

{a} = 2

1

ω [E] {a}

ω2 {a} = [E] {a} .... (3.38)

dimana :

[E] = [M]-1

[K] .... (3.39)

atau :

[E] = [D]-1

.... (3.40)


Oscar M (132 258 564) III – 33

CONTOH 3.2

Tentukanlah frekuensi natural (ω) dan pola perubahan bentuk (mode shape) dari suatu

struktur bangunan geser tiga lantai, dengan menggunakan Metoda Stodola (Metoda Fleksi-

bilitas). Buktikan kondisi ortogonolitas dari pola-pola tersebut.

Massa lantai (mi) :

m1 = 2,0 m

m2 = 1,5 m

m3 = 1,0 m

Tinggi kolom (hi):

h1 = 1,5 h

h2 = 1,0 h

h3 = 1,0 h

Gambar P.2. Bangunan Geser Tiga Lantai

SOLUSI :

Menentukan matriks massa [M]

[M] =

3

2

1

00

00

00

m

m

m

=

m

m

m

0,100

05,10

000,2

= 2

m

200

030

004

Menentukan matriks fleksibilitas [f]

Matriks kekakuan untuk bangunan geser 3 lantai di atas adalah :

[f] =

332313

322212

312111

fff

fff

fff

Nilai-nilai koefisien fleksibilitas fij dari matriks fleksibilitas di atas dapat ditentukan

berdasarkan formulasi persamaan fleksibilitas, yaitu sebagai berikut :

EI

EI

EI

EI

EI

m2

m3

m1

h1

h2

h3 EI


Oscar M (132 258 564) III – 34



2

3

1

112

H

EI f11 = 1

3)5,1(

24

h

EI f11 = 1 f11 =

EI

h

192

27 3

dan diperoleh :

f21 = f31 = f11 = EI

h

192

27 3



2

3

2

212

H

EI(f22 – f12) = 1

3

24

h

EI (f22 – f12) = 1

f32

f12

f22

f32

f12

f22

1

H2

H1

H3

31

112

H

EIf11 3

1

112

H

EIf11

f31

f11

f21

f31

f11

f21

1

EI2 EI2

EI1 EI1

EI3 EI3

m2

m1

m3

1

EI2 EI2

EI1 EI1

EI3 EI3

m2

m1

m3

H2

1

H1

H3

31

112

H

EIf12 3

1

112

H

EIf12

32

212

H

EI(f22 – f12) 3

2

212

H

EI(f22 – f12)


Oscar M (132 258 564) III – 35

f22 – f12 = EI

h

24

3

f22 = f12 + EI

h

24

3


2

3

1

112

H

EI f12 – 2

3

2

212

H

EI(f22 – f12) = 0

3)5,1(

24

h

EI f12 –

3

24

h

EI (f12 +

EI

h

24

3

– f12) = 0

327

192

h

EI f12 – 1 = 0 f12 =

EI

h

192

27 3

dan diperoleh :

f22 = f12 + EI

h

24

3

= EI

h

192

27 3

+ EI

h

24

3

= EI

h

192

35 3

f32 = f22 = EI

h

192

35 3



2

3

3

312

H

EI(f33 – f23) = 1

3

24

h

EI (f33 – f23) = 1

f33 – f23 = EI

h

24

3

f33 = f23 + EI

h

24

3

f13

f13

f33

f23

f33

f23

H2

H1

H3

1

EI2 EI2

EI1 EI1

EI3 EI3

m2

m1

m3

1

31

112

H

EIf13 3

1

112

H

EIf13

32

212

H

EI(f23 – f13) 3

2

212

H

EI(f23 – f13)

33

312

H

EI(f33 – f23) 3

3

312

H

EI(f33 – f23)


Oscar M (132 258 564) III – 36


2

3

2

212

H

EI(f23 – f13) – 2

3

3

312

H

EI(f33 – f23) = 0

3

24

h

EI (f23 – f13) –

3

24

h

EI (f23 +

EI

h

24

3

– f23) = 0

3

24

h

EI (f23 – f13) – 1 = 0 f23 – f13 =

EI

h

24

3

f23 = f13 + EI

h

24

3


2

3

1

112

H

EI f13 – 2

3

2

212

H

EI(f23 – f13) = 0

3)5,1(

24

h

EI f13 –

3

24

h

EI (f13 +

EI

h

24

3

– f13) = 0

327

192

h

EI f13 – 1 = 0 f13 =

EI

h

192

27 3

dan diperoleh :

f23 = f13 + EI

h

24

3

= EI

h

192

27 3

+ EI

h

24

3

= EI

h

192

35 3

f33 = f23 + EI

h

24

3

= EI

h

192

35 3

+ EI

h

24

3

= EI

h

192

43 3

Dari hasil perhitungan yang dilakukan, diperoleh matriks fleksibilitas sebagai berikut :

[f] =

332313

322212

312111

fff

fff

fff

= EI

h

192

3

433527

353527

272727

Menentukan matriks dinamis [D]

[D] = [f] [M]

= EI

h

192

3

433527

353527

272727

2

m

200

030

004

= EI

mh

384

3

86105108

70105108

5481108


Oscar M (132 258 564) III – 37

Menentukan bentuk modus (mode shape) dan frekuensi natural (ω) getaran

MODE SHAPE 1

2

1

ω{a} = [D] {a}

atau :

2

1

ω

31

21

11

a

a

a

= EI

mh

384

3

86105108

70105108

5481108

31

21

11

a

a

a

Misalkan :

31

21

11

a

a

a

=

1

1

1

dan α = EI

mh

384

3

Iterasi 1

2

1

ω

31

21

11

a

a

a

= α

86105108

70105108

5481108

1

1

1

= α

00000,299

00000,283

00000,243

= 299,00000 α

00000,1

94649,0

81271,0

Iterasi 2

2

1

ω

31

21

11

a

a

a

= α

86105108

70105108

5481108

00000,1

94649,0

81271,0

= α

15385,273

15385,257

43813,218

= 273,153846 α

00000,1

94142,0

79969,0

Iterasi 3

2

1

ω

31

21

11

a

a

a

= α

86105108

70105108

5481108

00000,1

94142,0

79969,0

= α

21603,271

21603,255

62183,216


Oscar M (132 258 564) III – 38

= 271,21603 α

00000,1

94101,0

79871,0

Iterasi 4

2

1

ω

31

21

11

a

a

a

= α

86105108

70105108

5481108

00000,1

94101,0

79871,0

= α

06591,271

06591,255

48175,216

= 271,06591 α

00000,1

94097,0

79863,0

Iterasi 5

2

1

ω

31

21

11

a

a

a

= α

86105108

70105108

5481108

00000,1

94097,0

79863,0

= α

05444,271

05444,255

47107,216

= 271,05444 α

00000,1

94097,0

79863,0

Iterasi 6

2

1

ω

31

21

11

a

a

a

= α

86105108

70105108

5481108

00000,1

94097,0

79863,0

= α

05357,271

05357,255

47026,216

= 271,05357 α

00000,1

94097,0

79863,0

Iterasi 7

2

1

ω

31

21

11

a

a

a

= α

86105108

70105108

5481108

00000,1

94097,0

79863,0

= α

05350,271

05350,255

47020,216

= 271,05350 α

00000,1

94097,0

79863,0


Oscar M (132 258 564) III – 39

Iterasi 8

2

1

ω

31

21

11

a

a

a

= α

86105108

70105108

5481108

00000,1

94097,0

79863,0

= α

05350,271

05350,255

47020,216

= 271,05350 α

00000,1

94097,0

79863,0

Iterasi 9

2

1

ω

31

21

11

a

a

a

= α

86105108

70105108

5481108

00000,1

94097,0

79863,0

= α

05350,271

05350,255

47020,216

= 271,05350 α

00000,1

94097,0

79863,0

Iterasi dapat dihentikan pada iterasi 9, karena nilai-nilai dari vektor {a} telah konvergen

ke suatu nilai. Dari hasil iterasi yang dilakukan, diperoleh bentuk modus dan frekuensi

natural getaran untuk Mode Shape 1 sebagai berikut :

Frekuensi Getaran ()

2

1

1

ω = 271,05350 α = 271,05350

EI

mh

384

3

= 0,70587EI

mh3

ω12 =

0,70857

1

3mh

EI = 1,41669

3mh

EI

ω1 = 1,19025 3mh

EI

Bentuk Modus 1 (Mode Shape 1)

31

21

11

a

a

a

=

00000,1

94097,0

79863,0

31

21

11

a

a

a

00000,1

94097,0

79863,0

KO

NV

ER

GE

N


Oscar M (132 258 564) III – 40

MODE SHAPE 2

Bentuk modus kedua (mode shape 2) ditentukan berdasarkan bentuk modus pertama

(mode shape 1) dengan menggunakan prinsip ortogonalitas, dimana :

n

kkjkik aam

1

= 0 ; i = 1 dan j = 2

m1 a11 a12 + m2 a21 a22 + m3 a31 a32 = 0

(2,0 m) (0,79863) a12 + (1,5 m) (0,94097) a22 + (1,0 m) (1,00000) a32 = 0

1,59725 a12 + 1,41146 a22 + 1,00000 a32 = 0

maka :

a12 = 1,00000 a12

a22 = 1,00000 a22

a32 = – 1,59725 a12 – 1,41146 a22

atau dalam bentuk matriks :

32

22

12

a

a

a

=

041146,159725,1

010

001

32

22

12

a

a

a

dimana :

[S1] =

041146,159725,1

010

001

Nilai frekuensi natural kedua (ω2) dan bentuk modus kedua (mode shape 2) ditentukan

berdasarkan persamaan berikut :

2

1

ω{a} = [D2] {a} = [D] [S1] {a}

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= EI

mh

384

3

86105108

70105108

5481108

041146,159725,1

010

001

32

22

12

a

a

a

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= EI

mh

384

3

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

32

22

12

a

a

a


Oscar M (132 258 564) III – 41

Misalkan :

32

22

12

a

a

a

=

1

1

1

dan α = EI

mh

384

3

Iterasi 1

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

1

1

1

= α

74883,45

39049,2

52981,26

= – 45,74883 α

00000,1

05225,0

57990,0

Iterasi 2

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

05225,0

57990,0

= α

88414,17

88414,1

86180,12

= 17,88414 α

00000,1

10535,0

71917,0

Iterasi 3

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

10535,0

71917,0

= α

39127,19

39127,3

13719,15

= 19,39127 α

00000,1

17489,0

78062,0

Iterasi 4

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

17489,0

78062,0

= α

05620,20

05620,4

14107,16

= 20,05620 α

00000,1

20224,0

80479,0


Oscar M (132 258 564) III – 42

Iterasi 5

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

20224,0

80479,0

= α

31779,20

31779,4

53601,16

= 20,31779 α

00000,1

21251,0

81387,0

Iterasi 6

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

21251,0

81387,0

= α

41601,20

41601,4

68430,16

= 20,41601 α

00000,1

21630,0

81722,0

Iterasi 7

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

21630,0

81722,0

= α

45223,20

45223,4

73899,16

= 20,45223 α

00000,1

21769,0

81844,0

Iterasi 8

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

21769,0

81844,0

= α

46551,20

46551,4

75904,16

= 20,46551 α

00000,1

21820,0

81889,0

Iterasi 9

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

21820,0

81889,0

= α

47036,20

47036,4

76636,16


Oscar M (132 258 564) III – 43

= 20,47036 α

00000,1

21838,0

81906,0

Iterasi 10

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

21838,0

81906,0

= α

47213,20

47213,4

76904,16

= 20,47213 α

00000,1

21845,0

81912,0

Iterasi 11

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

21845,0

81912,0

= α

47278,20

47278,4

77001,16

= 20,47278 α

00000,1

21847,0

81914,0

Iterasi 12

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

21847,0

81914,0

= α

47302,20

47302,4

77037,16

= 20,47302 α

00000,1

21848,0

81915,0

Iterasi 13

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

21848,0

81915,0

= α

47310,20

47310,4

77050,16

= 20,47310 α

00000,1

21849,0

81915,0


Oscar M (132 258 564) III – 44

Iterasi 14

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

21849,0

81915,0

= α

47313,20

47313,4

77055,16

= 20,47313 α

00000,1

21849,0

81915,0

Iterasi 15

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

21849,0

81915,0

= α

47315,20

47315,4

77057,16

= 20,47315 α

00000,1

21849,0

81915,0

Iterasi 16

2

1

ω

32

22

12

a

a

a

= α

0,038527,1636356,29

0,019804,680755,3

0,078134,474846,21

00000,1

21849,0

81915,0

= α

47315,20

47315,4

77057,16

= 20,47315 α

00000,1

21849,0

81915,0

Iterasi dapat dihentikan pada iterasi 16, karena nilai-nilai vektor {a} telah konvergen ke

suatu nilai. Dari hasil iterasi yang dilakukan, diperoleh bentuk modus dan frekuensi


Frekuensi Getaran ()

2

2

1

ω = 20,47315 α = 20,47315

EI

mh

384

3

= 0,05332 EI

mh3

ω22 =

0,05332

1

3mh

EI = 18,75627

3mh

EI

ω2 = 4,33085 3mh

EI

KONVERGEN


Oscar M (132 258 564) III – 45


32

22

12

a

a

a

=

00000,1

21849,0

81915,0

32

22

12

a

a

a

00000,1

21849,0

81915,0

MODE SHAPE 3

Bentuk modus kedua (mode shape 3) ditentukan berdasarkan persamaan :

ω2 {a} = [E] {a}

dimana :

[E] = [M]-1

[K] = m

2

1

200

030

004

327

24

h

EI

27270

275427

02735

= 327

4

mh

EI

1621620

108216108

081105

atau :

[E] = [D]-1

= 3

384

mh

EI

1

86105108

70105108

5481108

= 3

384

mh

EI

864

1

54540

367236

02735

= 327

4

mh

EI

1621620

108216108

081105

sehingga :

ω2 {a} = [E] {a}

ω2

33

23

13

a

a

a

= 327

4

mh

EI

1621620

108216108

081105

33

23

13

a

a

a

Misalkan :

33

23

13

a

a

a

=

1

1

1

dan α = 327

4

mh

EI


Oscar M (132 258 564) III – 46

Iterasi 1

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

1

1

1

= α

0,324

0,216

0,24

= – 324,0 α

00000,1

66667,0

07407,0

Iterasi 2

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

66667,0

07407,0

= α

00000,270

00000,244

22222,46

= 270,00000 α

00000,1

90370,0

17119,0

Iterasi 3

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

90370,0

17119,0

= α

40000,308

68889,321

17531,91

= 308,40000 α

00000,1

04309,1

29564,0

Iterasi 4

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

04309,1

29564,0

= α

98054,330

23649,365

53245,115

= 330,98054 α

00000,1

10350,1

34906,0

Iterasi 5

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

10350,1

34906,0

= α

76673,340

05425,384

03479,126


Oscar M (132 258 564) III – 47

= 340,76673 α

00000,1

12703,1

36986,0

Iterasi 6

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

12703,1

36986,0

= α

57882,344

38293,391

12434,130

= 344,57882 α

00000,1

13583,1

37763,0

Iterasi 7

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

13583,1

37763,0

= α

00444,346

12363,394

65369,130

= 346,00444 α

00000,1

13907,1

38050,0

Iterasi 8

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

13907,1

38050,0

= α

52950,346

13302,395

21695,132

= 346,52950 α

00000,1

14026,1

38155,0

Iterasi 9

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

14026,1

38155,0

= α

72179,346

50269,395

42323,132

= 346,72179 α

00000,1

14069,1

38193,0


Oscar M (132 258 564) III – 48

Iterasi 10

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

14069,1

38193,0

= α

79206,346

63779,395

49861,132

= 346,79206 α

00000,1

14085,1

38207,0

Iterasi 11

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

14085,1

38207,0

= α

81773,346

68713,395

52614,132

= 346,81773 α

00000,1

14091,1

38212,0

Iterasi 12

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

14091,1

38212,0

= α

82710,346

70514,395

53620,132

= 346,82710 α

00000,1

14093,1

38214,0

Iterasi 13

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

14093,1

38214,0

= α

83052,346

71171,395

53987,132

= 346,83052 α

00000,1

14094,1

38215,0

Iterasi 14

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

14094,1

38215,0

= α

83177,346

71412,395

54120,132


Oscar M (132 258 564) III – 49

= 346,83177 α

00000,1

14094,1

38215,0

Iterasi 15

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

14094,1

38215,0

= α

83222,346

71499,395

54169,132

= 346,83222 α

00000,1

14094,1

38215,0

Iterasi 16

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

14094,1

38215,0

= α

83239,346

71531,395

54187,132

= 346,83239 α

00000,1

14094,1

38215,0

Iterasi 17

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

14094,1

38215,0

= α

83245,346

71543,395

54194,132

= 346,83245 α

00000,1

14094,1

38215,0

Iterasi 18

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

14094,1

38215,0

= α

83247,346

71547,395

54196,132

= 346,83247 α

00000,1

14094,1

38215,0


Oscar M (132 258 564) III – 50

Iterasi 19

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

14094,1

38215,0

= α

83248,346

71549,395

54197,132

= 346,83248 α

00000,1

14094,1

38215,0

Iterasi 20

ω2

33

23

13

a

a

a

= α

1621620

108216108

081105

00000,1

14094,1

38215,0

= α

83248,346

71549,395

54197,132

= 346,83248 α

00000,1

14094,1

38215,0

Iterasi dapat dihentikan pada iterasi 20, karena nilai-nilai vektor {a} telah konvergen ke

suatu nilai. Dari hasil iterasi yang dilakukan, diperoleh bentuk modus dan frekuensi


Frekuensi Getaran (3)

33 = 346,83248 α = 346,83248

327

4

mh

EI = 51,38259

3mh

EI

ω3 = 7,16817 3mh

EI


33

23

13

a

a

a

=

00000,1

14094,1

38215,0

33

23

13

a

a

a

00000,1

14094,1

38215,0

KONVERGEN


Oscar M (132 258 564) III – 51

Mode Shape 1 Mode Shape 2 Mode Shape 3

ω1 = 1,190253

hm

EI ω2 = 4,33085

3hm

EI ω1 = 7,16817

3hm

EI

Frekuensi Natural dan Mode Shape Bangunan Geser 3 Lantai pada Contoh 3.2

a23 = – 1,14094

a13 = 0,38215

a33 = 1,00000

a22 = 0,21849

a12 = – 0,81915

a32 = 1,00000

a21 = 0,94097

a11 = 0,79863

a31 = 1,00000

Getaran - Lecture Notes 19-24 (MDOF - Shear Building)

Documents

Transcript of Getaran - Lecture Notes 19-24 (MDOF - Shear Building)