GRAF

GRAFGRAFGRAFGRAF

Matematika DiskritMatematika Diskrit

Matematika Diskrit 2

Pendahuluan

• Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut

• Representasi :• Objek : noktah, bulatan atau titik• Hubungan antar objek : garis

D

C

B

A


Definisi • Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E)• Ditulis dengan notasi :

G = (V, E)V = himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node)E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul

• Graf trivial adalah : Graf hanya mempunyai satu buah simpul tanpa

sebuah sisi• Simpul pada graf dinomori dengan :

Huruf (a,b, …,z) atau Bilangan (1, 2, … ) atau Huruf dan bilangan (a1, a2, …. )

• Sisi yang menghubungkan simpul u dan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u,v) atau dinyatakan dengan e1, e2, …. Sehingga dapat ditulis :

e = (u,v)


Contoh 1

• G1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E :

V = {1, 2, 3, 4}E = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)}

1

32

4

Graf sederhana


Contoh 2• G2 adalah graf dengan himpunan simpul V dan

himpunan sisi E :V = {1, 2, 3, 4}E = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4),

(3,4)} = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}

1

32

4

e2

e5

e1e4

e7

e3

e6

Graf ganda

• Pada G2 : sisi e3 = (1,3) dan sisi e4 = (1,3) dinamakan sisi ganda (multiple edges atau paralel edges)

Himp. Ganda


Contoh 3• G3 adalah graf dengan himpunan simpul V dan

himpunan sisi E :V = {1, 2, 3, 4}E = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4),

(3,3)} = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}

1

3

2

4

e2

e5

e1e4

e7

e3

e6

e8

Graf semu

• Pada G3 : e8 = (3,3) dinamakan gelang atau kalang (loop)

Himp. Ganda


Jenis-jenis Graf

Berdasarkan ada atau tidaknya gelang :• Graf sederhana (simple graph)

Graf tidak mengandung gelang maupun sisi ganda Sisi adalah pasangan tak terurut (unordered pairs)

• Graf tak-sederhana (unsimple graph) Graf yang mengandung sisi ganda atau gelangAda 2 macam graf tak-sederhana : Graf ganda (multigraph)

Graf yang mengandung sisi ganda, sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah

Graf semu (pseudograph)Graf yang mengandung gelang (loop), sisi graf semu

terhubung ke dirinya sendiri


Jenis-jenis Graf (Cont.)Berdasarkan orientasi arah pada sisi :• Graf tak-berarah (undirected graph)

Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah Urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi

tidak diperhatikan

• Graf berarah (directed graph atau digraph) Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah Biasanya disebut dengan busur (arc)Busur (u,v) : Simpul u = simpul asal (initial vertex) Simpul v = simpul terminal (terminal vertex)


Jenis-jenis Graf (Cont.)

Jenis Sisi Sisi ganda

Sisi gelang

Graf sederhana

Tak berarah Tidak Tidak

Graf ganda Tak berarah Ya Tidak

Graf semu Tak berarah Ya Ya

Graf berarah Berarah Tidak Ya

Graf ganda-berarah

Berarah Ya Ya


Kardinalitas Graf

• Kardinalitas graf adalah : Jumlah simpul pada graf

• Dinyatakan dengan :n = |V|

• Jumlah sisi dinyatakan dengan :m = |E|


Terminologi (Istilah) Dasar

• Adjacent (bertetangga)• Incident (bersisian)• Isolated vertex (simpul terpencil)• Null graph atau empty graph (graf kosong)• Degree (derajat)• Path (lintasan)• Cycle (siklus) atau circuit (sirkuit)• Connected (terhubung)• Subgraph (upagraf) dan Komplemen Upagraf• Spanning subgraph (upagraf merentang)• Cut – set• Weigted graph (graf berbobot)


Adjacent (bertetangga)

• Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi.

• Contoh :

simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3 tetapi simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4

1

32

4


Incident (bersisian)

• Untuk sembarang sisi e = (u,v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v

• Contoh :

sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3, sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4 tetapi sisi (1,2) tidak bersisian dengan simpul 4

1

32

4


Isolated vertex (simpul terpencil)

• Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.

• Dapat juga dinyatakan bahwa simpul terpencil adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul lainnya

• Contoh :

Simpul 5 adalah simpul terpencil

5

43

2

1


Null graph atau empty graph (graf kosong)

• Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong disebut sebagai graf kosong

• Ditulis sebagai :Nn , n = jumlah simpul

• Contoh :

graf di atas adalah graf kosong N5

1

24

3

5


Degree (derajat)

• Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut

• Notasi :d(v) menyatakan derajat simpul v

• Contoh :

d(1) = d(4) = 2d(2) = d(3) = 3

• Sisi terpencil adalah simpul dengan d(v) = 0 karena tidak satupun sisi yang bersisian dengan simpul tersebut

• Sisi gelang (loop) dihitung berderajat dua• Jika terdapat g buah gelang dan e buah sisi bukan

gelang yang bersisian dengan simpul v maka derajat simpul v adalah :

d(v) = 2g + e

1

32

4


Degree (derajat)

• Simpul yang berderajat satu disebut anting-anting (pendant vertex)

• Pada graf berarah, derajat simpul v dinyatakan dengan din(v) dan dout(v), dalam hal ini :

din(v) = derajat masuk (in-degree) = jumlah busur yang masuk ke simpul v

dout(v) = derajat keluar (out-degree) = jumlah busur yang keluar dari simpul v

Dan d(v) = din(v) + dout(v)


Contoh • Derajat setiap simpul :

din(a) = 2 ; dout(a) = 1 din(b) = 2 ; dout(b) = 3 din(c) = 1 ; dout(c) = 2 din(d) = 2 ; dout(d) = 1

• Pada graf berarah G = (V,E) selalu berlaku hubungan :

• Sehingga :

b

d

a

c

EvdvdVv

outVv

in

EvdvdVv

outVv

in

712312122


Path (lintasan)

• Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal vo ke simpul tujuan vn di dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk vo, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (vo, v1), e2 = (v1, v2), …, en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G

• Lintasan sederhana (simple path) : Jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya

sekali)• Lintasan tertutup (closed path) :

Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama• Lintasan terbuka (opened path) :

Lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama

• Panjang lintasan : Jumlah sisi dalam lintasan tersebut


Contoh

• Lintasan 1,2,4,3 adalah lintasan sederhana dan terbuka

• Lintasan 1,2,4,3,1 adalah lintasan sederhana dan tertutup

• Lintasan 1,2,4,3,2 bukan lintasan sederhana tetapi lintasan terbuka

• Lintasan 1,2,4,3 memiliki panjang lintasan = 3

1

32

4


Cycle (siklus) atau circuit (sirkuit)

• Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus

• Sirkuit sederhana (simple circuit) : jika setiap sisi yang dilalui berbeda

• Contoh :• Lintasan 1,2,3,1 sirkuit sederhana• Lintasan 1,2,4,3,2,1 bukan sirkuit

sederhana karena sisi (1,2) dilalui 2 kali


Connected (terhubung)

• Graf tak-berarah G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v (yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke v)

• Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya terhubung (graf tak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya)

• Graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang simpul sembarang vi dan vj di G terhubung kuat


Contoh

• Graf di samping merupakan graf terhubung kuat karena untuk sembarang sepasang simpul di dalam graf terdapat lintasan

• Graf di samping merupakan graf terhubung lemah karena tidak semua pasangan simpul mempunyai lintasan dari dua arah

2

3

5

4

1

2

3

5

4

1


Subgraph (upagraf) dan Komplemen Upagraf

• Misalkan G = (V,E) adalah sebuah graf. G1 = (V1, E1) adalah upagraf (subgraph) dari G jika V1 V dan E1 E

• Komplemen dari upagraf G1 terhadap G adalah graf G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E - E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya

2

3

54

1

6

3

54

1

2

3

5

1

6

Upagraf dari G1Graf G1

Komplemen dari upagrafyang bersesuaian


Contoh

• Tentukan komponen terhubung dari G = (V,E) dimana V = {a,b,c,d,e,f} dan E = {(a,d),(c,d)}Penyelesaian :simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c, ini berarti a juga terhubung dengan c. Simpul b,e dan f merupakan simpul terpencil. Sehingga ada : G1 = (V1, E1) dengan V1 = {a,c,d} dan E1 = {(a,d),(c,d)} G2 = (V2, E2) dengan V2 = {b} dan E2 = { } G3 = (V3, E3) dengan V3 = {e} dan E3 = { } G4 = (V4, E4) dengan V4 = {f} dan E4 = { }Dan V1 V2 V3 V4 = V E1 E2 E3 E4 = E G1 V2 V3 V4 =

d

c

e

b

a

f


Spanning subgraph (upagraf merentang)

• Upagraf G1 = (V1, E1) dan G = (V,E) dikatakan upagraf merentang jika = V1 = V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G)

2 3

54

1

2 3

54

1

Upagraf merentang dari GGraf G

2 3

1

Bukan upagraf merentang dari G


Cut – set

• Cut set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung

• Cut set selalu menghasilkan 2 buah komponen terhubung

• Nama lain : jembatan (bridge) adalah himpunan sisi apabila dibuang dari graf

menyebabkan graf tersebut tidak terhubung (menjadi 2 buah komponen terhubung)


Contoh

• Sisi (1,2) dibuang, graf tetap terhubung• Jika sisi (1,2) dan (1,5) dibuang, graf tetap terhubung• Jika sisi dari himpunan {(1,2),(1,5),(3,5),(3,4)} dibuang,

graf tidak terhubung cut-set• Cut-set terjadi pada himpunan :

{(1,2),(1,5),(3,5),(3,4)} {(1,2),(2,5)} {(1,3),(1,5),(1,2)} {(2,6)}

12

43

65

12

43

65

12

43

65

Himpunan {(1,2),(1,5),(3,5),(3,4)} adalah cut-set


Weigted graph (graf berbobot)

• Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot)

• Bobot pada tiap sisi berbeda-beda tergantung pada masalah yang dimodelkan dengan graf

• Bobot dapat menyatakan : Jarak antara 2 kota Biaya perjalanan antara 2 kota Waktu tempuh pesan (message) dari sebuah simpul

komunikasi ke simpul komunikasi lain Ongkos produksi dll

• Istilah lain : graf berlabel

e b

cd

a

12

9

8

10

15

14

11


Graf Sederhana Khusus

• Complete graph (Graf lengkap)• Graf lingkaran• Regular graph (Graf teratur)• Bipartite graph (Graf bipartit)


Complete Graph (Graf Lengkap)

• Adalah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya.

• Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn

• Setiap simpul pada Kn berderajat n-1• Jumlah sisi :

K1 K2 K3K4 K5 K6

Graf lengkap Kn , 1 n 6

2

1nn


Graf Lingkaran

• Adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat 2

• Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan : Cn

• Jika simpul-simpul pada Cn adalah v1, v2, …, vn, maka sisi-sisinya adalah :

(v1, v2), (v2, v3), …, (vn-1, vn) dan (vn, v1)• Ada sisi simpul dari simpul terakhir, vn, ke simpul

pertama, v1

Graf lingkaran Cn , 3 n 6


Regular graph (Graf teratur)

• Adalah : graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama

• Jika derajat setiap simpul adalah r maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r

• Jumlah sisi pada graf teratur derajat r dengan n buah simpul adalah :

Derajat 0 Derajat 1 Derajat 2

2

rn


Contoh (1)

i. Grafteratur berderajat 3 dengan 4 buah simpulii. Graf teratur berderajat 3 dengan 6 buah simpuliii. Graf teratur berderajat 3 dengan 8 buah simpul

(i) n = 4, r = 3 (ii) n = 6, r = 3 (iii) n = 8, r = 3


Contoh (2)

Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang 3 ?

Penyelesaian :• Tiap simpul berderajat sama berarti graf teratur• e = 12, r 3 • Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e = nr/2 n = 2e/r

= 2 * 12/r = 24/r• Sehingga :

r = 3 n = 24/3 = 8 maksimum r = 4 n = 24/4 = 6 minimum r = 6 n = 24/6 = 4 tidak mungkin membentuk graf

sederhana r = 8 n = 24/8 = 3 tidak mungkin membentuk graf



sederhana• Jadi jumlah simpul paling sedikit (minimum) = 6 buah dan paling

banyak (maksimum) = 8 buah


Bipartite graph (Graf bipartit)

• Adalah graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi 2 himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian hingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2

• Dinyatakan sebagai G(V1, V2)• Graf bipartit lengkap (complete bipartite graph) adalah :

Jika setiap simpul di V1 bertetangga dengan semua simpul di V2 • Dilambangkan dengan Km,n • Jumlah sisi : mn

V1 V2

Graf bipartit G(V1, V2)


Contoh (1)

• V1 = {a,b,d} dan V2 = {c,e,f,g}

• Setiap sisi menghubungkan simpul di V1 ke simpul V2

• Sehingga bentuk graf bipartit C6 adalah :a b

d

c

e

f

g


Contoh (2)

• Graf bipartit lengkap K2,3 , K3,3 dan K2,4 adalah :

K2,3K3,3 K2,4


Representasi Graf

• Adjacency matrix (matriks ketetanggaan)

• Incidency matrix (matriks bersisian)• Adjacency list (senarai ketetanggaan)


Adjacency matrix (matriks ketetanggaan)

• Adalah matriks dwimatra yang berukuran n x n• Jika A = [aij] maka aij = 1 simpul i dan j

bertetanggaan• Jika aij = 0 simpul i dan j tidak bertetanggaan• Matriks ketetanggaan berisi 0 dan 1 matriks nol-satu

(zero-one)• Matriks ketetanggaan untuk graf sederhana dan tidak

berarah selalu simetri• Matriks ketetanggaan untuk graf berarah belum tentu

simetri (akan simetri jika berupa graf berarah lengkap)• Matriks ketetanggaan tidak dapat digunakan untuk

merepresentasikan graf yang mempunyai sisi ganda (graf ganda)

• Untuk matriks semu, gelang pada simpul vi dinyatakan dengan nilai 1 pada posisi (i,i) di matriks ketetanggaan


Contoh

1

2 3

4

0110

1011

1101

0110

4

3

2

1

4321

1

2

3 4

5

1

2 3

4

00000

00100

01011

00101

00110

5

4

3

2

1

54321

0110

0001

1101

0010

4

3

2

1

4321

0210

2112

1101

0210

4

3

2

1

4321

1

2

3

4

e1

e2

e4

e5e7

e6e8

e3


Adjacency matrix• Jumlah elemen matriks ketetanggaan untuk graf dengan

n simpul adalah :n2

• Jika tiap elemen membutuhkan ruang memori sebesar p, maka ruang memori yang diperlukan seluruhnya adalah :

p n2

• Matriks ketetanggaan untuk graf tak-berarah sederhana simetri membutuhkan ruang memori :

p n2 / 2• Derajat tiap simpul i dapat dihitung

Untuk graf tak-berarah :

Untuk graf berarah :

n

jiji avd

1

n

iijjin ajkolompadanilaijumlahvd

1

n

jijiout aibarispadanilaijumlahvd

1


Contoh • Derajat matriks simpul 2 adalah :

1 + 0 + 1 + 1 = 3• Derajat matriks simpul 4 adalah :

0 + 1 + 1 + 0 = 2

• Derajat matriks simpul 4 adalah :0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1

• Derajat matriks simpul 5 adalah : 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

• Derajat masuk matriks simpul 2 adalah :1 + 0 + 0 + 1 = 2

• Derajat keluar matriks simpul 2 adalah : 1 + 0 + 1 + 1 = 3

1

2 3

4

1

2

3 4

5

1

2 3

4


Incidency matrix (matriks bersisian)

• Adalah matriks dwimatra yang berukuran n x m• Baris menunjukkan label simpul• Kolom menunjukkan label sisinya• Jika A = [aij] maka aij = 1 simpul i bersisian dengan sisi j• Jika aij = 0 simpul i tidak bersisian dengan sisi j• Digunakan untuk merepresentasikan graf yang

mengandung sisi ganda atau sisi gelang (loop)• Derajat setiap simpul i adalah : jumlah seluruh elemen

pada baris i (kecuali pada graf yang mengandung gelang)• Jumlah elemen matriks bersisian :

nm• Jika tiap elemen membutuhkan ruang memori sebesar p,

maka ruang memori yang diperlukan adalah : pnm


Contoh

Jumlah elemen matriks adalah 4 x 6 = 24

1 2

3

e1

4

e2

e3e4

e5

e6

110000

011100

000111

001011

4

3

2

1654321 eeeeee


Adjacency list (senarai ketetanggaan)

• Senarai ketetanggaan mengenumerasi simpul-simpul yang bertetangga dengan setiap simpul di dalam graf

1

2 3

4

1

2

3 4

5

1

2 3

4

Senarai ketetanggaan :1 : 2,32 : 1,3,43 : 1,2,44 : 2,3

Senarai ketetanggaan :1 : 2,32 : 1,33 : 1,2,44 : 35 : -

Senarai ketetanggaan :1 : 22 : 1,3,43 : 14 : 2,3


Isomorphic Graph (graf isomorfik)

• Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sedemikian hingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G2

• G1 isomorfik dengan G2. Simpul 1,2,3 dan 4 di G1 berkoresponden dengan simpul a,b,c dan d di G2 . Sisi (1,2), (2,3), (3,1), (3,4), (1,4) dan (2,4) berkoresponden dengan sisi (a,b), (b,c), (c,d), (a,d), (a,c) dan (b,d). Semua simpul di G1 dan G2 berderajat 3

• G1 dan G2 tidak isomorfik dengan G3 karena simpul-simpul di G3 2 buah berderajat 2 dan 2 buah berderajat 3, sedangkan G1 dan G2 berderajat 3

1 2

3

4

G1 G2 G3a b

cd

x y

wv


Contoh

• Simpul a,b,c,d dan e di G1 masing-masing berkoresponden dengan simpul x, y, w, v dan z di G2

• Masing-masing simpul berderajat 3, 2, 3, 3 dan 1

a

b c

d

e

G1 G2

v

x

z

y

w


• Dua buah graf isomorfik harus memenuhi syarat :1. Mempunyai jumlah simpul yang sama2. Mempunyai jumlah sisi yang sama3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu

• Untuk memeriksa graf isomorfik, digunakan bantuan matriks ketetanggaan (adjacency matrix)

Isomorphic Graph (graf isomorfik)

a

b cd

eG1

G2 v

x

z

y

w

01000

10101

01011

00101

01110

1

e

d

c

b

a

A

edcba

G

01000

10101

01011

00101

01110

2

e

d

c

b

a

A

zvwyx

G


Graf Planar

• Graf planar adalah : Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar

dengan sisi-sisi yang tidak saling memotong (bersilangan)

K4 adalah graf planar

K5 bukan graf planar


Graf Datar• Graf datar adalah :

Representasi graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan

• Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face)

Graf planar dan graf bidangBukan graf bidang tetapi graf planar

Jumlah wilayah pada graf bidang = 4, R1, R2, R3 dan R4

R1 R2

R3 R4


Rumus Euler

• Jumlah wilayah (f) pada graf planar sederhana dapat dihitung dengan rumus Euler

n – e + f = 2 f = e – n + 2dimana :

e = jumlah sisin = jumlah simpul

• Lemma jabat tangan :jumlah derajat = 2 x jumlah sisi

r = 2 x e e = r / 2


Contoh (1)

• Pada gambar di atas : Jumlah sisi (e) = 9 Jumlah simpul (n) = 6

• Sehingga jumlah wilayah (f) pada graf bidang tersebut adalah :

f = e – n + 2 = 9 – 6 + 2f = 5

R1 R2

R3 R4


Contoh (2)

• Graf planar sederhana dan terhubung memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk ?

• Penyelesaian : Diketahui n = 24 ; r = 4 Maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 x 4 = 96Sehingga jumlah sisi (e), menurut lemma jabat tangan :

e = jumlah derajat / 2 = 96 / 2 = 48Jadi jumlah wilayah (f) pada graf planar sederhana :

f = e – n + 2 = 48 – 24 + 2f = 26


Ketidaksamaan Euler

• Pada graf planar sederhana dan terhubung dengan f wilayah, n buah simpul dan e buah sisi (dengan e > 2) berlaku :

e 3f/2 f 2e/3• Berdasarkan rumus Euler maka :

n – e + f 2n – e + 2e/3 23n – 3e + 2e 63n – e 6e 3n - 6

• Ketidaksamaan Euler digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana

• Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi dan v adalah jumlah simpul, dalam hal ini v 3, maka berlaku ketidaksamaan Euler, e 3v - 6


Ketidaksamaan Euler

• Pada graf planar sederhana dan terhubung dengan f wilayah, n buah simpul dan e buah sisi (dengan e > 2) berlaku :

e 4f/2 f e/2• Berdasarkan rumus Euler maka :

n – e + f 2n – e + e/2 22n – 2e + e 42n – e 4e 2n - 4

• Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi dan v adalah jumlah simpul, dalam hal ini v 3 dan tidak ada sirkuit yang panjangnya 3, maka berlaku ketidaksamaan Euler, e 2v - 4


Contoh (1)

• Pada graf K4 :n = 4 ; e = 6

Ketidaksamaan Euler :e 3n – 66 3 (4) – 66 6 terpenuhi

K4 merupakan graf planar

K5K4

• Pada graf K5 :n = 5 ; e = 10

Ketidaksamaan Euler :e 3n – 610 3 (5) – 610 9 tidak

terpenuhi K5 merupakan graf bukan planar


Contoh (2)

• Pada graf K3,3 :n = 6 ; e = 9

Ketidaksamaan Euler :e 2n – 49 2 (6) – 49 8 tidak terpenuhi

K3,3 merupakan graf bukan planar

K3,3


Teorema Kuratowski

• Graf Kuratowski I, yaitu graf lengkap yang mempunyai 5 buah simpul (K5) adalah graf tidak planar

• Graf Kuratowski II, yaitu graf terhubung teratur dengan 6 buah simpul dan 9 buah sisi (K3,3) adalah graf tidak planar

• Sifat graf Kuratowski : Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak planar Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkan

menjadi graf planar Graf Kuratowski I adalah graf tidak planar dengan jumlah simpul

minimum dan graf Kuratowski II adalah graf tidak planar dengan jumlah sisi minimum. Keduanya graf tidak planar paling sederhana

• Graf G adalah tidak planar jika dan hanya jika mengandung upagraf yang isomorfik dengan K5 atau K3,3 atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya

K3,3G Graf G tidak planar karena mengandung upagraf K3,3


Homeomorphic (homeomorfik)

• Dua graf G1 dan G2 dikatakan homeomorfik jika salah satu dari kedua graf dapat diperoleh dari graf lain dengan cara menyisipkan dan/atau membuang secara berulang-ulang simpul berderajat 2

G G1K5

c b

a

c d

e f g

h

i b a

d

e f g

hi

• Graf G tidak planar karena upagrafnya, G1, homeomorfik dengan K5

a

c

eg

h


Graf Euler

• Lintasan Euler adalah : Lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam

graf tepat satu kali.

• Sirkuit Euler adalah : Sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu

kali

• Graf Euler (Eulerian graph) adalah : Graf yang mempunyai sirkuit Euler

• Graf semi-Euler (semi-Eulerian graph) adalah : Graf yang mempunyai lintasan Euler


• Lintasan Euler pada graf : 4,2,1,4,3,2

• Graf yang mempunyai lintasan Euler (graf semi-Euler)

Graf Euler

1

4 3

2 1

4 3

2

1

56

2

34

• Lintasan Euler pada graf : 1,2,4,6,2,3,6,5,1,3• Graf yang mempunyai lintasan Euler (graf

semi-Euler)

• Lintasan Euler pada graf : 7,1,2,4,6,2,3,6,5,3,1,5,7

• Graf yang mempunyai sirkuit Euler (graf Euler)

1

56

2

347


Graf Euler

1

43

2

5

1

43

2

5

6

Graf yang tidak mempunyai lintasan Euler (graf semi-Euler) dan sirkuit Euler (graf Euler)


• Graf terhubung tak-berarah G adalah : graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika

setiap simpul di dalam graf tersebut berderajat genap graf semi-Euler (memiliki lintasan Euler) jika dan

hanya jika di dalam graf tersebut terdapat tepat 2 simpul berderajat ganjil

• Graf terhubung berarah G memiliki : sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan

setiap simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama

Lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama kecuali 2 simpul :1. Memiliki derajat keluar 1 lebih besar dari derajat masuk2. Memiliki derajat masuk 1 lebih besar dari derajat keluar

Graf Euler


Graf berarah yang memiliki sirkuit Euler (a,g,c,b,g,e,d,f,a)

Graf Euler

a

e d

b

g

cf

d

ab

c

Graf berarah yang memiliki lintasan Euler (d,a,b,d,c,b)

d

ab

c

Graf berarah yang tidak memiliki lintasan Euler dan sirkuit Euler


Graf Hamilton

• Lintasan Hamilton adalah : lintasan yang melalui tiap simpul di dalam

graf tepat satu kali• Sirkuit Hamilton adalah :

Sirkuit yang melalalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui 2 kali

• Graf Hamilton adalah : Graf yang memiliki sirkuit Hamilton

• Graf semi-Hamilton adalah : Graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton


Graf Hamilton

a) Graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal : 3, 2, 1, 4)b) Graf yang memiliki sirkuit Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)c) Graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton

(a)

1

4 3

2

(b)

1

4 3

2

(c)

1

4 3

2

Graf yang mengandung sirkuit Hamilton


• Teorema Dirac : Jika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul (n

3) sedemikian hingga derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu d(v) n/2 untuk setiap simpul v di G) maka G adalah graf Hamilton

• Teorema Ore : Jika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul (n

3) sedemikian hingga d(v) + d(u) n untuk setiap pasang simpul tidak bertetangga u dan v, maka G adalah graf Hamilton

• Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton• Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n 3)

terdapat sebanyak (n – 1)! / 2 buah sirkuit Hamilton• Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul :

n 3 dan n ganjil, terdapat (n – 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan)

n 4 dan n genap, terdapat (n – 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas

Graf Hamilton


Contoh• Sembilan anggota sebuah klub bertemu tiap hari untuk makan

siang pada sebuah meja bundar. Mereka memutuskan duduk sedemikian hingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dilaksanakan ?

• Penyelesaian :Dapat direpresentasikan oleh sebuah graf dengan 9 buah simpul sedemikian hingga setiap simpul menyatakan anggota klub dan sisi yang menghubungkan 2 buah simpul menyatakan kedua simpul tersebut bertetangga tempat duduk

1

2

3

4

56

7

8

9

Pengaturan tempat duduk adalah : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,1 (gaaris tebal dan merah) 1,3,5,2,7,4,9,6,8,1 (garis putus-putus dan

hijau)Ada 2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepasJumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda (n = 9) :

(n -1) / 2 n ganjil(9 – 1) / 2 = 4

Jadi pengaturan tempat duduk yang berbeda diterapkan selama 4 hari, setiap haarinya setiap peserta mempunyai tetangga yangberbeda dengan hari sebelumnya


Aplikasi Graf

• Lintasan terpendek (shortest path)• Persoalan pedagang keliling

(travelling salesman problem)• Persoalan tukang pos Cina• Pewarnaan graf (graph colouring)


Lintasan terpendek (shortest path)

• Graf yang digunakan dalam pencarian lintasan terpendek adalah graf berbobot (weighted graph), yaitu graf setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot

• Beberapa persoalan : Lintasan terpendek antara 2 buah simpul tertentu Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul

yang lain Lintasan terpendek antara 2 buah simpul yang melalui

beberapa simpul tertentu

• Algoritma untuk lintasan terpendek adalah algoritma Dijkstra


Algoritma Dijkstra

Procedure Dijkstra (input m : matriks, a: simpul awal){ Mencari lintasan terpendek dari simpul awal

a ke semua simpul lainnyamasukan : matriks ketetanggan (m) dari

graf berbobot G dan simpul awal a

keluaran : lintasan terpendek dari a ke semua simpul lainnya

}Deklarasi

s1, s2, …, sn : integer (tabel integer)d1, d2, …, dn : integer (tabel integer)i, j , k : integer

Algoritma { langkah 0 (inisialisasi) }for i 1 to n do

s(i) 0d(i) m(a(i))

endfor

{ langkah 1 }

s(a) 1 (karena simpul a adalah simpul

asal lintasan terpendek, jadi

simpul a sudah pasti terpilih

dalam lintasan terpendek)

d(a) (tidak ada lintasan terpendek

dari simpul a ke a)

{ langkah 2 }

for k 2 to n-1 do

j simpul dengan s(j) = 0 dan d(j)

minimal

s(j) 1 (simpul j sudah terpilih ke dalam

lintasan terpendek)

{perbarui tabel d)

for semua simpul i dengan s(i) = 0 do

if d(j) + m(ji) < d (i) then

d(i) d(j) + m(ji)

endif

endfor

endfor


Contoh (1) Tentukan lintasan terpendek dari graf berikut :

j=a b c d e f

i=a 0 50 10 40 45

b 0 15 10

c 20 0 15

d 20 0 35

e 30 0

f 3 0

Matriks ketetanggan M :

Lintasan terpendek dari :•a ke c adalah : a,c p = 10•a ke d adalah : a,c,d p = 25•a ke b adalah : a,c,d,b p =

45•a ke e adalah : a,e p = 45•a ke f tidak ada lintasan

a

c d

b50 10

3

e

f

30

3520

15

40

1020

15


Contoh (2) Router

asalRouter tujuan

Lintasan terpende

k

1 123456

-1,4,21,4,6,31,41,4,2,51,4,6

2 123456

2,4,1-2,4,6,32,42,52,4,6

3 123456

3,6,4,13,6,4,2-3,6,43,53,6

4 123456

4,14,24,6,3-4,2,54,6

5 123456

5,2,4,15,25,35,2,4-5,3,6

6 123456

6,4,16,4,26,36,46,3,5-

Router 1

1040

km

, 10

kbpsRouter 2 Router 4

Router 3 Router 5

Router 6

560 km, 56 kbps

450 km, 30 kbps

1210

km

, 11

kbps

350 km, 5 kbps

2275 km, 25 kbps

890 km, 10 kbps

1225 km, 35 kbps

340km, 20 kbps

Jaringan komputer


Router 1

Router 5

1040

km

, 10

kbps

Router 2 Router 4

Router 3

Router 6

560 km, 56 kbps

450 km, 30 kbps

1210

km

, 11

kbps

350 km, 5 kbps

2275 km, 25 kbps

890 km, 10 kbps

1225 km, 35 kbps

340km, 20 kbps

Lintasan terpendek yang dilalui oleh pesan dari

router 1 ke router 5


Persoalan Pedagang Keliling (Travelling Salesman Problem)

Graf lengkap dengan n = 4 memiliki :(n – 1)! /2 = (4 – 1)! /2

= 3! / 2 = 3*2*1 / 2

= 3 sirkuit HamiltonYaitu :• S1 = (a,b,c,d,a) atau (a,d,c,b,a) dengan panjang rute = 10 + 15 + 8 + 12 =

45• S2 = (a,c,d,b,a) atau (a,b,d,c,a) dengan panjang rute = 12 + 9 + 15 + 5 =

41• S3 = (a,c,b,d,a) atau (a,d,b,c,a) dengan panjang rute = 10 + 9 + 8 + 5 = 32Sehingga lintasan terpendek dari sirkuit Hamilton adalah :

S3 = (a,c,b,d,a) atau (a,d,b,c,a) Dengan panjang rute 32

a

dc

b12

8

15

105

9

a

dc

b12

8

15

105

9


Latihan Soal1. Sebuah graf akan dibentuk dari 25

buah sisi. Berapa jumlah maksimum simpul di dalam graf sederhana yang dapat dibuat dari 25 buah sisi dengan r 4

2. Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan tiap simpul berderajat 3?

3. Gambarkan dua buah graf teratur berderajat 3 dengan 6 buah simpul

GRAF

Documents

Transcript of GRAF