Idea 1 - PENGHAMPIRAN OLEH ARCHIMEDESSeorang ahli matematik, ahli fizik, jurutera, ahli astronomi dan ahli falsafahYunani yang dilahirkan di Bandar pelabuhan tanah jajahan Syracuse, Sicily, Italy.Beliau yang dimaksudkan adalah Archimedes.Archimedes juga adalah salah satu dari pada tiga ahli matematik yang paling penting selain Isaac Newton dan Ferdinand Eisenstein.Sekitartahun 250 SM, Archimedes mengira nisbah ukur lilitan bulatan melalui diameternya.Suatu penentuan tepat ini, yang pada hari ini dikenali sebagai nisbah telah lama menarik minat orang orang Greek purba untuk mencari perkadaran matematik yang tepat dalam seni bina, muzik dan seni seni yang lain. Archimedes juga membentuk bidang bidang fizik dan kejuruteraan amali dan telah dirujuk sebagai ahli sains yang teragung serta telah mencipta skru Archimedes. Penghampiran (pi) telah diketahui selama lebih 1000 tahun. Nilai Archimedes bukan sahaja tepat malah ia adalah satu teori yang pada asalnya dan bukan pengiraan. Maka, nilai pada hari ini adalah asas daripada penghampiran daripada teori Archimedes.

APA ITU ?Disebut pi () adalah satu pemalar matematik yang merupakan nisbah kepada lilitan bulatan dengan garis pusat (diameter), lebih kurang sama dengan 3.14159. Pi diwakilkandenganhurufgreekiaitu sejak pertengahan abad ke 18. Ia juga dikenali sebagai pemalar Archimedes dan nombor Ludolph.

KEGUNAAN ?Pi () digunakan untuk mengira dalam beberapa rumus matematik seperti lilitan satu bulatan jejari (r = 2), luas suatu bulatan berjejari (, luar permukaan sesuatu sfera berjejari () danisipadusuatusferaberjejari (.

KAEDAH ARCHIMEDESArchimedes membuatpenisbahandenganmenggunakan polygon yang dilukis di dalam (inscribes polygon)dan polygon yang dilukis di luarbulatan (circumscribe polygon).

Pertamanya, Archimedes mengatakan bahawa kawasan luar bulatan adalah lebih besar daripada kawasan polygon yang dilakarkan di dalam.

Untuk mencari nilai pi, Archimedes mengambil polygon bersisienam (heksagonsekata) sebagai eksperimen awal.Heksagon awal terdiri daripada enam buah segitiga sama sisi.

Luas hexsagon = 6 kali luas segitigaLuas segitiga

Luasheksagon (dalam)

Idea 4 PENYIASATAN LENGKUNG KUBIK OLEH NEWTON

Rajah :Sir Isaac Newton

Sir Isaac Newton dilahirkan pada tanggal 4 Januari 1643 di Woolsthorpe-by-Colsterworth yang merupakan sebuah desa di Lincolnshire.Ayahnya telah meninggal dunia tiga bulan sebelum Newton dilahirkan manakala ibunya pula digambarkan sebagai seorang yang berkarakter baik dan berintelek.Pada tahun 1661, Newton telah diterima masuk ke Trinity College Cambridge untuk menyambung pelajaran dalam bidang undang-undang. Peraturan di Cambridge telah didominasi oleh falsafah Aristotle namun pada tahun ketiga, pelajar telah diberikan kebebasan untuk mempelajari falsafah yang lain. Newton telah mempelajari falsafah Descartes, Gassendi, Hobbles dan Boyle.Newton telah merekodkan dapatannya dalam bukunya yang bertajuk Certain Philosophical Questions.

Pada tahun 1665, beliau telah menemui teorem binomial umum dan mula memperkembang teori matematik yang kemudiannya berkembang menjadi kalkulus.Newton telah berjaya menamatkan pelajarannya semasa berumur 22 tahun.Pembelajaran persendirian yang telah dilakukan oleh beliau telah berjaya mendorongnya mengembangkan teori kalkulus, optik dan juga hukum graviti.Penemuan pertama Newton adalah mengenai cahaya putih yang sebenarnya wujud berdasarkan pembiasan tujuh jenis warna yang terdapat pada pelangi.Berpegang kepada hukum ini, beliau telah mencipta teropong refleksi pertama yang digunakan oleh sebahagian besar penyelidik bintang pada hari ini.Salah satu pencapaian terbesar yang telah dicapai oleh Isaac Newton ialah penyiasatan beliau mengenai pengkelasan lengkung kubik pada akhir abad ke tujuh belas.Newton telah menjumpai 72 bentuk lengkungan yang berbeza manakala pengkaji lain telah menemui enam lagi bentuk lengkungan yang menjadikan jumlah keseluruhan bagi lengkung kubik sebanyak 78. Newton menyatakan bahawa semua kubik boleh dihasilkan melalui lima unjuran parabola kubik yang berbeza.

Pengkelasan mengenai lengkung kubik Newton dinyatakan dalam topik Curve pada tahun 1710 oleh John Harris dalam buku yang ditulisnya bertajuk Technicum Lexicon yang diterbitkan di London. Di samping itu, beliau turut menunjukkan bahawa mana-mana kubik boleh didapati dengan unjuran yang sesuai bagi lengkung eliptik dengan persamaan berikut:

di mana unjurannya adalah transformasi birational, dan kubik umum juga boleh ditulis sebagai:

Persamaan Newton bagi kelas pertama adalah:

Lengkung Newton yang ke-66 dinamakan sebagai Trident of Newton.Pengkelasan Newton mengenai kubik telah dikritik oleh Euler kerana kekurangan kenyataan umum.Plucker kemudiannya telah mengupas mengenai pengkelasan tersebut secara lebih mendalam dengan menyatakan bahawa terdapat 219 jenis kubik.

Newton telah mengenalpasti beberapa tingkah laku kualitatif yang mungkin wujud melalui lengkungan yang mempunyai persamaan berikut:

yang mana ialah parameter tetap, manakala ialah pemboleh ubah. Dianggarkan bahawa sekurang-kurangnya satu pekali awal adalah bukan sifar supaya ia dapat membentuk lengkungan kubik yang sah. Penyiasatan Newton boleh dikaji dengan mengaplikasikan pengetahuan mengenai kalkulus dan aljabar seperti berikut:

a) Untuk mendapatkan idea mengenai kepelbagaian lengkung kubik, lukiskan graf lengkung yang telah disenaraikan di bawah yang telah berlaku dalam persekitaran geometri atau algebra tertentu.

, the witch of Maria Agnesi, the cissoids of Diocles, Lengkung Fermat bagi the folium of Descartes

Didapati bahawa pakej aljabar komputer adalah sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan bagi y dalam sebutan x dan kemudian menghasilkan graf. Walau bagaimanapun, anda perlu berhati-hati dengan folium itu; anda akan perlu melakukan plot parametrik untuk mendapatkan sekurang-satu ini dengan betul. Untuk memastikan bahawa graf anda menunjukkan semua ciri-ciri lengkung, anda mungkin perlu untuk zum keluar untuk melihat gambar global.

b) Andaikan kes khasdi mana manakala adalah nombor nyata yang tetap. Tentukan bentuk-bentuk graf dari segi fungsi pekali yang sesuai. Adalah lebih mudah jika kita menganggarkan bahawa penyelesaian bagi .c) Dengan menggunakan cara yang sama, teroka bentuk bagi lengkung di mana . Kemudian tentukan bentuk bagi lengkung dari segi pekali. Anda perlu membuat keputusan apabila persamaan mempunyai penyelesaian dalam bentuk tiga positif atau tiga negatif.

d) Teruskan penyiasatan anda dengan menganggarkan bahawa lengkung dalam bentuk di mana . Kali ini, anda perlu mendapatkan lima bentuk yang berbeza bergantung kepada ciri bagi punca .

e) Newton telah dapat mempermudah persamaan kubik umum kepada empat persamaan yang lebih ringkas berdasarkan perubahan koordinat yang sesuai. Empat persamaan tersebut adalah:

Persamaan (1) dan (2) menyumbang kepada satu spesies daripada 78 spesies lengkung kubik yang tidak dijana. Persamaan (3) menyumbang kepada lima spesies dan persamaan (4) menyumbang kepada 71 spesies yang selebihnya.Berdasarkan persamaan (2) dan (3), Newton menenekankan bahawa kedua-dua lengkung ini hanya menyumbang satu spesies kepada katalog beliau.Ini adalah berdasarkan fakta bahawa bumps boleh tergelincir keluar apabila berlaku perubahan koordinat yang linear dan dibenarkan oleh Newton supaya ia tidak boleh dipisahkan melalui skima spesifikasi beliau.Sebagai contoh, mulakan dengan dengan lengkung dan lakukan perubahan pemboleh ubah dan Lakarkan lengkung pada titik yang asal, koordinat dan koordinat yang baru.

f) Kita telah mengkaji tiga jenis lengkung kubik pada langkah (b) hingga (d). Secara umum, langkah keempat adalah lebih rumit. Namun demikian, adalah tidak mustahil untuk menyelesaikan dalam sebutan . Newton melakukannya dengan mendarabkan dan kemudiannya melakukan completing the square. Buat sebarang kenyataan umum mengenai persamaan kubik yang keempat. Sebagai contoh, berapakah titik di atas lengkung yang boleh menyentuh setiap nilai ? Berapa banyakkah selang pada paksi yang tidak boleh menyentuh setiap nilai ? Berapakah asimptot yang mungkin?

Cara yang lain juga boleh digunakan bagi memansuhkan lengkung (selain daripada tidak mempunyai nilai kubik) jika faktor-faktor yang menentukan persamaan menjadi hasil darab bagi nilai tersebut. Sebagai contoh, yang mempunyai faktor . Berikan senarai yang lengkap mengenai lengkung kubik yang dimansuhkan dengan menggunakan cara ini.Akhir sekali, gunakan komputer untuk meneroka tentang persamaan kubik yang keempat.

Dalam usaha mentakrifkan persamaan kubik sebenar iaitu selain kuadratik, telah diandaikan bahawa ialah bukan sifar.Newton berpendapat bahawa semua persamaan dalam bentuk adalah dari jenis yang sama;persamaan ini boleh mempunyaisifar atau dua ekstrema (titik ekstrem) yang cenderung sebagai infiniti positif mahupun negatif. Hal ini telah menyokong fakta bahawa Newton menganggap dua lengkungan akan mempunyai bentuk yang sama sekiranya perubahan koordinat mentransformasikannya kepada posisi yang lain. Ciri-ciri utama bagi membezakan lengkungan ialah:

Rajah : Ciri-ciri yang membezakan lengkungan

Isaac Newton telah membezakan lengkung kubik kepada empat buahkelas yang mana setiap satu kelas tersebut dibahagikan kepada beberapa spesies.Berikut merupakan enam jenis lengkung kubik yang akan dibincangkan:

3) Kubik Tschirnhausen

4) Hanya 1 punca nyata2) Lengkung Telur Newton

Parabola Mencapah Newton5) Lengkung Eliptik1) Parabola Semikubik

Lengkung Kubik Newton

6) Trident of Newton

Rajah :Enam jenis lengkung kubik Newton

3.4.1Parabola Mencapah NewtonParabola mencapah merupakan lengkung kubik bagi kelas yang ketiga.Menurut Newton, parabola mempunyai kaki yang saling mencapah antara satu sama lain dan bersifat tidak terhingga. Beliau menggunakan teorem bahawa setiap kubik boleh diperolehi melalui unjuran di bahagian tengah iaitu dari satu permukaan kepada permukaan yang lain. Persamaan bagi lengkung kubik ini adalah seperti berikut:

Parabola mencapah pula boleh dikategorikan mengikut jenis-jenisnya bergantung kepada penyelesaian bagi sebelah kanan persamaan yang dinyatakan di atas. Rajah di bawah menunjukkan jenis-jenis lengkungan kubik bagi parabola mencapah:

Lengkung EliptikHanya 1 punca nyata

2 punca nyata:Kubik Tschirnhausen3 punca nyata & punca yang tidak nyata:Lengkungan telur Newton3 punca nyataParabola Mencapah Newton

Semua punca nyata sama:Parabola semikubik

Rajah : Jenis Parabola Mencapah Newton dan jenisnya