Bab4. Integral Lipat Dua
description
Transcript of Bab4. Integral Lipat Dua
Integral lipat dua pada persegi panjang Integral lipat dua pada daerah
sembarang Perubahan urutan pengintegralan Integral lipat dua dalam koordinat polar
04/18/23Mat2-Unpad
2
1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.
2. Pilih pada setiap sub interval pada
[xi, xi-1] dan [yi, yi-1] 1. Bentuk jumlah Riemann.
2. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann.
Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis
04/18/23Mat2-Unpad
3
Z=f(x,y)
x
y
z
b
a
R
c d
xkyk
)y,x( kk
1 1
( , )n n
k k ki i
f x y A
1 1
lim ( , )n n
k k kn
i i
f x y A
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d}
1 1
( , ) lim ( , )n n
k k kn
i iR
f x y dA f x y A
)y,x( kk
Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.
04/18/23Mat2-Unpad
4
n
kkkk
PAyxf
10
),(limJika ada, kita katakan f dapat
diintegralkan pada R. Lebih lanjut ( , ) ( , )R R
f x y dA f x y dxdy
R
dAyxf ),(
n
kkkk
PAyxf
10
),(lim
yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan
oleh :
( , )R
f x y dx dy 01
lim ( , )n
k k k kP
k
f x y x y
atau
ANIMASI
04/18/23Mat2-Unpad
5
Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegpanjang R,
maka ( , )R
f x y dA menyatakan volume benda padat yang
terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan
di atas R.
Jika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu: (i) Sejajar bidang XOZ
04/18/23Mat2-Unpad
6
y
x
z z= f(x,y)
ca
b
d
a b
z
x
A(y)
( ) ( , )b
a
A y f x y dx
A(y)
04/18/23Mat2-Unpad
7
( , ) ( )d
R c
f x y dA A y dy
( , )d b
c a
f x y dx dy
( , )d b
c a
f x y dx dy
Maka
( , )R
f x y dA ( , )d b
c a
f x y dx dy
(ii) Sejajar bidang YOZ
04/18/23Mat2-Unpad
8
y
x
z z= f(x,y)
ca
b
d
c d
z
y
A(x)
( ) ( , )d
c
A x f x y dy
A(x)
04/18/23Mat2-Unpad
9
( , ) ( )b
R a
f x y dA A x dx
( , )b d
a c
f x y dy dx
( , )b d
a c
f x y dy dx
Maka
( , )R
f x y dA ( , )b d
a c
f x y dy dx
04/18/23Mat2-Unpad
10
1. Hitung integral lipat dua berikut ini :
2 22R
x y dAdimana R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y
4}Jawab:
2 22R
x y dA 6 4
2 2
0 0
2x y dy dx 6 4
2 3
00
2
3x y y dx
6
2
0
1284
3x dx
63
0
4 128
3 3x x 288 256 544
R
6
4
y
x
04/18/23Mat2-Unpad
11
2. Hitung integral lipat dua berikut ini :
sinR
x y dAdimana R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y
/2}
R
/2
/2
y
x
Jawab: sin
R
x y dA / 2 / 2
0 0
sin x y dy dx
/ 2 / 2
00
cos( )x y dx
6
0
cos cos2
y y dx
/ 2/ 2
00
sin sin2
y y
sin sin sin 22 2
04/18/23Mat2-Unpad
12
2 21 1
0 0
. x ya xy e dy dx
2 1
2
0 1
.b xy dy dx
1 2
20 0
.1
yc dy dx
x 1. Hitung
2. ,R
f x y dx dy untuk
2 2. ( ) , [0,1] [0,1]a f x x y R
2. ( ) ( 2 ) , [ 1,2] [0,2]b f x x y R
04/18/23Mat2-Unpad
13
Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R
1. , ,R R
k f x y dA k f x y dA 2. , , , ,
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA 3. Jika
1 2
, , ,R R R
f x y dA f x y dA f x y dA 4. Jika f(x,y) g(x,y), maka
, ,R R
f x y dA g x y dA
1 2R R R maka
04/18/23Mat2-Unpad
14
D
a b x
y
Definisikan
DRyxjika
Dyxjikayxfyxg
),(,0
),(),,(),(
D R
dAyxgdAyxf ),(),(Maka
04/18/23Mat2-Unpad
15
Ada dua jenis daerah
1. Jenis 1 ( x konstan )
)()(,|),( 21 xgyxgbxayxD
2. Daerah jenis 2 ( y konstan )
dycyhxyhyxD ,)()(,|),( 21
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
04/18/23Mat2-Unpad
16
D
a b x
q(x)
p(x)
y
b
a
xq
xpD
dxdyyxfdAyxf
)(
)(
),(),(
x
y
)()(,|),( 21 xgyxgbxayxD
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
04/18/23Mat2-Unpad
17
( )
( )
( , ) ( , )s yd
D c r y
f x y dA f x y dx dy
x
y
D
c
d
r (y) s (y)x
dycyhxyhyxD ,)()(,|),( 21
• Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).
• Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.
• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasidaerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.
04/18/23Mat2-Unpad
18
ANIMASI
04/18/23Mat2-Unpad
19
1. Hitung 2 x
R
y e dA ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y
x R 2 x
R
y e dA 21
0 0
2y
xy e dx dy21
00
2yxy e dy
21
0
2 1yy e dy
21
2
01 1 2ye y e e
x
yx = y2
1
1
R = {(x,y)| 0 x y2, 0 y 1}
04/18/23Mat2-Unpad
20
Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:
R
2 x
R
y e dA 1 1
0
2 x
x
y e dy dx1
12
0
x
xe y dx
1
0
x xe xe dy
1
0
x x xe xe e
R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1}
y x
yx = y2
1
1
2 (1 1) 2e e e
04/18/23Mat2-Unpad
21
2
2
4 2
0
2.x
ye dy dx
Daerah integrasinya
Jawab:
x R
x
yy = x/2
4
2
y
Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:x=2y
( , ) |0 4, 22
xR x y x y
( , ) |0 2 ,0 2D x y x y y
04/18/23Mat2-Unpad
22
2
2
4 2
0 x
ye dy dx2
22
0 0
yye dx dy
22
2
00
yye x dy2
2
0
2 yy e dy2 2
4
01ye e
Sehingga
04/18/23Mat2-Unpad
23
333
1
1.y
y
y
x e dx dy2
0 0
sin2. cos
xy x dy dx
21 1
0
3. y
x
e dy dx
34 1
0
4. x
y
e dx dy
2
0 0
cos5. sin
xy x dy dx
A
04/18/23Mat2-Unpad
24
B
1.Hitung integral berikut
2. ( 2 ) ,S
a x y dA S daerah antara 2y x dan y x
. ,S
b xdA S daerah di kuadran I antara3y x dan y x
2. Tulis integral lipat berikut dengan urutan berbeda
1
0 0
. ( , )x
a f x y dydx1
0
. ( , )y
y
b f x y dxdy
1. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y2 = 4 – X dan Y2 = 4 – 4X
2. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y = 2X – X2 dan Y = 3X2 – 6X
3. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh X + Y = 2 dan 2Y = X + 4 , Y = 0
4. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh X2 = 4Y , 8Y = X2 + 16
5. Hitunglah volume benda pejal di oktan pertama, di bawah permukaan x + 2y + z = 4
6. Hitunglah volume benda pejal di bawah paraboloida z = x2 + y2 dan di atas persegi panjang [-2 , 2] x [-3 , 3]
7. Hitung volume tetrahedron 2z + 3x + y = 6 berikut.
04/18/23Mat2-Unpad
25