Integral Tentu - kuliahonline.unikom.ac.id
Transcript of Integral Tentu - kuliahonline.unikom.ac.id
Matematika Dasar II
Integral Tentu
ALLPPT.com _ Free PowerPoint Templates, Diagrams and Charts
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Riemann yang menggambarkan luas
daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada selang tutup [a,b].
๐ท = ๐ฅ, ๐ฆ ๐ โค ๐ฅ โค ๐, 0 โค ๐ฆ โค ๐ ๐ฅ
Integral Riemann
Langkah โLangkah Integral Riemann
Partisikan selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian
๐ = ๐ฅ0 < ๐ฅ1 < โฏ < ๐ฅ๐ = ๐
๐ = ๐ = ๐ฅ0, ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐ = ๐ disebut partisi dari [a,b]
Langkah โLangkah Integral Riemann
Definisikan panjang partisi P, sebagai ๐ =๐๐๐๐
1 โค ๐ โค ๐โ๐ฅ๐ , โ๐ฅ๐ = ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐โ1
Pilih ๐๐ โ ๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐ , k = 1, 2, โฆ, n
๐1 ๐2 ๐3 ๐4 ๐5
Latihan
Hitunglah luas daerah berikut ini
Langkah โLangkah Integral Riemann
Bentuk jumlah Riemann: ฯ๐=1๐ ๐ ๐๐ โ๐ฅ๐
Jika ๐ โ 0 maka diperoleh limit jumlah Riemann
lim๐ โ 0
๐=1
๐
๐ ๐๐ โ๐ฅ๐
Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b] dan
ditulis sebagai
เถฑ๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = lim๐ โ0
๐=1
๐
๐ ๐ฅ๐ โ๐ฅ๐ = lim๐โโ
๐=1
๐
๐ ๐ฅ๐ โ๐ฅ๐
Contoh
โ2
3๐ฅ + 3 ๐๐ฅ , Partisi interval [-2,3]. Jika dibagi sama besar maka โ๐ฅ = 5/๐. Untuk setiap
selang digunakan titik tengah เดฅ๐ฅ๐=๐ฅ๐ . Maka
๐ฅ0 = โ2
๐ฅ1 = โ2 + โ๐ฅ = โ2 +5
๐
๐ฅ2 = โ2 + 2โ๐ฅ = โ2 + 25
๐
๐ฅ๐ = โ2 + ๐โ๐ฅ = โ2 + ๐5
๐
๐ฅ๐ = โ2 + ๐โ๐ฅ = โ2 + ๐5
๐= 3
Karena ๐ ๐ฅ๐ = ๐ฅ๐ + 3 = โ2 + ๐5
๐+ 3 = 1 + ๐
5
๐
Sifat dan Rumus Sigma
๐=1
๐
๐๐๐ + ๐๐๐ = ๐
๐=1
๐
๐๐ + ๐
๐=1
๐
๐๐
๐=1
๐
๐ =๐ ๐ + 1
2
๐=1
๐
๐2 =๐ ๐ + 1 2๐ + 1
6
๐=1
๐
๐3 =๐ ๐ + 1
2
2
๐=1
๐
๐4 =๐(๐ + 1)(6๐3 + 9๐2 + ๐ + 1)
30
Contoh
Karena ๐ ๐ฅ๐ = ๐ฅ๐ + 3 = โ2 + ๐5
๐+ 3 = 1 + ๐
5
๐
๐=1
๐
๐ าง๐ฅ๐ โ๐ฅ๐ =
๐=1
๐
๐(๐ฅ๐) โ๐ฅ =
๐=1
๐
1 + ๐5
๐
5
๐
=5
๐
๐=1
๐
1 +25
๐2
๐=1
๐
๐ = 5 +25
21 +
1
๐
Jika โ๐ฅ diperkecil maka sama dengan n semakin besar, sehingga
เถฑโ2
3
๐ฅ + 3 ๐๐ฅ = lim๐โโ
5 +25
21 +
1
๐=35
2
Latihan
Hitunglah 2โ1(๐ฅ2 + 1) dengan menggunakan penjumlahan Riemann
Sifat-sifat Integral tentu
Andaikan bahwa f dan g terintegralkan pada [a,b] dan bahwa k konstanta.
Maka kf dan ๐ + ๐ adalah terintegralkan dan
1. ๐๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐
๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
2. ๐๐๐ ๐ฅ ยฑ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐
๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ ยฑ ๐
๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
3. Jika ๐ < ๐ < ๐, maka ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐
๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ + ๐
๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
4. ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = 0 dan ๐
๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐โ
๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
5. Jika f(x) ganjil dan a adalah konstanta, maka โ๐
๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = 0
6. Jika f(x) genap dan a adalah konstanta, maka ๐โ๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = 02
๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
Teorema Dasar Kalkulus II
Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan f(x) suatu anti turunan dari F(x). Maka
เถฑ๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐น ๐ โ ๐น ๐
Contoh: Selesaikan integral tentu 02๐ฅ2๐๐ฅ
Jawab:
Berdasarkan soal di atas ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2, dan diketahui bahwa anti turunannya
๐น ๐ฅ =1
3๐ฅ3. Maka
เถฑ
0
2
๐ฅ2๐๐ฅ =1
323 โ
1
303 =
8
3
Latihan
Hitung 0
5๐ ๐ฅ ๐๐ฅ memakai rumus luas
yang cocok dari geometri bidang. Mulai
dengan menggambarkan grafik fungsi
yang diberikan.
๐ ๐ฅ = เต
๐ฅ jika 0 โค ๐ฅ < 11 jika 1 โค ๐ฅ โค 3
๐ฅ โ 4 jika 3 < ๐ฅ โค 5
๐ ๐ฅ = แ๐ฅ + 2 jika 0 โค ๐ฅ < 26 โ ๐ฅ jika 2 โค ๐ฅ โค 5
Gunakan teorema dasar kalkulus untuk
menghitung tiap integral tentu
a) โ1
23๐ฅ2 โ 2๐ฅ โ 3 ๐๐ฅ
b) 17 1
2๐ก+2๐๐ก
c) 1โ1(๐ฅ2+2)๐๐ฅ
d) โ๐
2
๐
2 cos 2๐ฅ ๐๐ฅ
Teorema Dasar Kalkulus I
Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan andaikan x sebuah titik dalam [a,b].
Maka ๐ท๐ฅ ๐๐ฅ๐ ๐ข ๐๐ข = ๐ ๐ฅ
Secara umum
๐ท๐ฅ เถฑ
๐
๐ฃ ๐ฅ
๐ ๐ข ๐๐ข = ๐ ๐ฃ ๐ฅ ๐ฃโฒ ๐ฅ
๐ท๐ฅ เถฑ
๐ฃ ๐ฅ
๐ค ๐ฅ
๐ ๐ข ๐๐ข = ๐ ๐ค ๐ฅ ๐คโฒ ๐ฅ โ ๐ ๐ฃ ๐ฅ ๐ฃโฒ ๐ฅ
Contoh: Hitung fโ(x) dari ๐ ๐ฅ = 4
๐ฅ21 + ๐ก2๐๐ก
Jawab: ๐โฒ ๐ฅ = 1 + ๐ฅ4 2๐ฅ
Latihan
Cari ๐นโฒ ๐ฅ
1. ๐น ๐ฅ = 6โ๐ฅ2๐ง + 1 ๐๐ง
2. ๐น ๐ฅ = ๐ฅ2๐ฅ
๐ ๐๐4 ๐ก ๐ก๐๐ ๐ก ๐๐ก, โ๐
2< ๐ฅ <
๐
2